線性代數(shù)模擬試卷及答案

1、線性代數(shù)(文)模擬試卷(一)參考答案一.填空題(每小題3分,共12分)1.設(shè),則=.解 = =.2.已知向量,設(shè),其中是的轉(zhuǎn)置,則=.解 注意到,故 =. 注 若先寫出,再求,將花比前更多的時(shí)間.3.若向量組,線性相關(guān),則=.解 由,線性相關(guān),則有 =.由此解得.4.若階矩陣與相似,矩陣的特征值為,則行列式=.解 因?yàn)榕c相似,所以,有相似的特征值,從而有特征值,.故. 注 本題解答中要用到以下結(jié)論:(1)若可逆,的特征值為,則的特征值為.(2)若是的特征值,則的特征值為,其中為任意關(guān)于的多項(xiàng)式.(3)若階矩陣有個(gè)特征值,則.二.單項(xiàng)選擇題(每小題3分,共18分)1.矩陣在( )時(shí),其秩將被改變

2、. () 乘以奇異矩陣() 乘以非奇異矩陣 () 進(jìn)行初等行變換() 轉(zhuǎn)置2.要使,都是線性方程組的解,只要系數(shù)矩陣為( ). () () () () 解 我們知道,若,是齊次線性方程組的個(gè)線性無關(guān)的解向量,的任一解為向量,的線性組合,則,為的基礎(chǔ)解系,且所含解向量的數(shù)目,其中為矩陣的列數(shù). 由于,為的解,知.又因與是線性無關(guān)的,故.因而,而()、()、()、()四個(gè)選項(xiàng)中滿足的矩陣只有()項(xiàng)中的.3.設(shè)向量組:,可由向量組:,線性表示,則( ). () 當(dāng)時(shí),向量組必線性相關(guān) () 當(dāng)時(shí),向量組必線性相關(guān) () 當(dāng)時(shí),向量組必線性相關(guān) () 當(dāng)時(shí),向量組必線性相關(guān)解 根據(jù)定理“若,可由,線性

3、表出,并且,則,必線性相關(guān)”,即若多數(shù)向量可以由少數(shù)向量線性表出,則這多數(shù)向量必線性相關(guān),故應(yīng)選().4.設(shè)是矩陣,是非齊次線性方程組所對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組,則下列結(jié)論正確的是( ). () 若僅有零解,則有唯一解 () 若有非零解,則有無窮多解 () 若有無窮多個(gè)解,則僅有零解 () 若有無窮多個(gè)解,則有非零解解 方程組與其對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的解之間有密切的關(guān)系.正確作答本題要求掌握以下結(jié)論:(1)非齊次線性方程組有解的充要條件為方程組的增廣矩陣的秩等于系數(shù)矩陣的秩.(2)在非齊次線性方程組有解的條件下,解惟一的充分必要條件是齊次線性方程組只有零解.(3)非齊次線性方程組的任意兩個(gè)解之差是

4、齊次線性方程組=的解. 由于題干及()、()項(xiàng)中均未指明有解,即的秩不一定等于增廣矩陣的秩,故()、()兩項(xiàng)為干擾項(xiàng).由結(jié)論(3)知()為正確選項(xiàng).5.若矩陣與相似,則( ). () () () ,有相同的特征向量() 與均與一個(gè)對(duì)角矩陣相似解 由與相似,知存在可逆矩陣,使得.由此可得 =.6.設(shè)矩陣的秩為,為階單位矩陣,下述結(jié)論中正確的是( ). () 的任意個(gè)列向量必線性無關(guān) () 的任意階子式不等于零 () 若矩陣滿足,則 () 通過初等行變換,必可以化為的形式解 應(yīng)選(). 由于,表明矩陣的秩等于行數(shù),即的行向量必線性無關(guān).根據(jù)矩陣秩的性質(zhì):行向量的秩等于列向量的秩,因此的列向量的秩等

5、于.由于(列數(shù)),故一定存在個(gè)列向量線性無關(guān),但并不是任意個(gè)列向量線性無關(guān),故()不成立. 根據(jù)矩陣秩的等價(jià)定義,表明至少存在一個(gè)階子式不等于零,但并不要求任意一個(gè)階子式均不等于零,故()不成立.()也是不成立的.若()成立,則存在個(gè)行變換,使=,即A=,說明的后列均為零向量,顯然題目未作這種要求. ()為正確選項(xiàng).設(shè)的個(gè)列向量為,則,線性無關(guān),因此,方程組僅有零解.若,是維行向量滿足,即,即故.三.(本題6分) 設(shè)行列式,求第四行各元素余子式之和的值.解 設(shè)()為第四行各元素余子式,對(duì)應(yīng)代數(shù)余子式記為(=),則= = = =.四.(本題10分) 設(shè),且滿足,求矩陣.解 由可得.矩陣.又 ,故

6、可逆,從而. 下面用初等行變換法求. = .于是 .因此 . 注 因?yàn)?也可以不求而用初等行變換直接求出.方法如下: = =.即 .五.(本題12分) 已知,為3階矩陣,且滿足,其中是3階單位矩陣. (1)證明:矩陣可逆,并求其逆矩陣; (2)若,求矩陣.解 (1)由知 ,從而或,故可逆,且=. (2)由(1)知,而 ,故 . 注 如果只要證明可逆,那么由 得 .因?yàn)榭赡?知,故 ,由此證出可逆.六.(本題10分)設(shè)向量組,(1)求向量組的秩;(2)求向量組的一個(gè)極大無關(guān)組,并把其余向量分別用此極大無關(guān)組線性表出.解 = .所以向量組的秩為3. ,為其一個(gè)極大無關(guān)組,且.七.(本題12分) 問

7、,為何值時(shí),線性方程組 有惟一解,無解,有無窮多組解?并求出有無窮多組解時(shí)的通解.解 對(duì)方程組的增廣矩陣進(jìn)行初等行變換: = . 當(dāng)時(shí),方程組有惟一解. 當(dāng),時(shí),方程組無解. 當(dāng),時(shí),方程組有無窮多組解,這時(shí),得同解方程組: 令,由此得到一個(gè)特解為:. 另外,原方程組的對(duì)應(yīng)齊次線性方程組的同解方程組為: 依次令,;,得到一個(gè)基礎(chǔ)解系:,=.于是原方程組的通解為: .八.(本題15分)若矩陣相似于對(duì)角陣,試求常數(shù)的值,并求可逆矩陣使.解 由矩陣的特征多項(xiàng)式 =,得知的特征值為,. 由于相似于對(duì)角陣,而是二重特征值,故應(yīng)有兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量,因此矩陣的秩必為,從而由 知. 當(dāng)時(shí),由, ,得到矩

8、陣屬于特征值的特征向量為 , . 當(dāng)時(shí),由, ,得到屬于特征值的特征向量為 .那么,令 ,則 .九.(本題5分) 設(shè)向量可由向量組,線性表示,但不能由向量組,線性表示,證明:不能由向量組,線性表示.證 用反證法.若 ,(1)又已知 ,(2)將(2)代入(1),整理得 .這與不能由向量組,線性表示的假設(shè)矛盾,所以得證不能由向量組,線性表示.線性代數(shù)(文)模擬試卷(二)參考答案一.單項(xiàng)選擇題(每小題2分,共16分)1.若,則等于( ). ()()()() 解 根據(jù)行列式的性質(zhì),有 =.故選(). 2.下列階行列式的值必為零的是( ). ()主對(duì)角元全為零 ()三角形行列式中有一個(gè)主對(duì)角元為零 ()

9、零元素的個(gè)數(shù)多余個(gè)()非零元素的個(gè)數(shù)小于零元素的個(gè)數(shù) 3.已知矩陣,則下列運(yùn)算可行的是( ). ()()()() 解 兩矩陣可以相乘的條件是:矩陣的列等于矩陣的行,依此條件,應(yīng)選(). 4.若,均為階非零矩陣,且,則必有( ). (),為對(duì)稱矩陣()()() 解 因?yàn)?矩陣的乘法一般不滿足交換律,只有當(dāng)(與可交換)時(shí),上式成立,故選(). 5.設(shè)齊次線性方程組有非零解,則的值為( ). ()()()() 解 該齊次線性方程組有個(gè)方程,個(gè)未知數(shù),則根據(jù)克萊姆法則,當(dāng)系數(shù)行列式 =時(shí),有非零解.故選(). 6.若向量組線性相關(guān),則一定有( ). ()線性相關(guān)()線性相關(guān)()線性無關(guān) ()線性無關(guān)

10、解 本題要求掌握以下結(jié)論: (1)若在向量組中,由部分向量構(gòu)成的向量組線性相關(guān),則整個(gè)向量組必線性相關(guān)(部分相關(guān)整體必相關(guān)); (2)若向量組線性無關(guān),則任意抽取部分向量構(gòu)成的向量組必?zé)o關(guān)(整體無關(guān)部分必?zé)o關(guān)).因此,()、()均不能肯定,()也是不一定的.故選(). 7.設(shè)是同階實(shí)對(duì)稱矩陣,則是( ). ()對(duì)稱矩陣()非對(duì)稱矩陣 ()反對(duì)稱矩陣()以上均不對(duì)8.設(shè)為一個(gè)可逆矩陣,則其特征值中( ). ()有零特征值()有二重特征值零 ()無零特征值()以上均不對(duì) 解 因?yàn)?若可逆,則,所以均不能為零,故選(). 二.填空題(每小題3分,共18分) 1.行列式. 解法1 利用反對(duì)角行列式=.

11、 解法2 由于此行列式只有4階,也可以按某一行(列)展開后計(jì)算結(jié)果. 2.,均為3階方陣,且,則. 解 因?yàn)?所以. 3.若,為可逆矩陣,則分塊矩陣的逆矩陣為. 解 應(yīng)記住以下幾個(gè)常用結(jié)論: (1)若,且均可逆,則. (2)若,且均可逆,則. (3)若,且,均可逆,則. (4)若,且,均可逆,則. (5)若,且,可逆,則. (6)若,且,可逆,則. 4.設(shè),則. 解 因?yàn)?,所以的秩為2.5.設(shè),則線性 相 關(guān). 解 因?yàn)?,所以線性相關(guān).6.設(shè),則的所有特征值為. 解 設(shè)的特征值為,特征向量為,則 =, =.因?yàn)?,則=,即.又為非零向量,所以,即=. 三.(本題6分)計(jì)算行列式的值. 解

12、原式=. 四.(本題6分) 設(shè),求. 解 =, . 五.(本題8分) 解矩陣方程,其中,. 解 由,可得,而 , X=. 六.(本題10分)試求向量組,的一個(gè)最大無關(guān)組,并寫出其余向量用此最大無關(guān)組的線性表示式. 解 由 () . 所以,取,為一個(gè)最大無關(guān)組,且. 七.(本題12分) 設(shè)方程組 ,解此方程組,并用其導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示全部解. 解 .令,由此得到原方程組的一個(gè)特解: .令,;,得到導(dǎo)出組的一個(gè)基礎(chǔ)解系: , .所以,原方程組的解為,其中,為任意常數(shù). 八.(本題14分) 設(shè),求的特征值,特征向量. 解 因?yàn)榈奶卣鞫囗?xiàng)式為 ,所以的特征值為, 當(dāng)時(shí), ,所以 .對(duì)應(yīng)的特征向量 (

13、,不同時(shí)為零). 當(dāng)時(shí), .所以 .對(duì)應(yīng)的特征向量為 (). 九.(本題5分)設(shè)是齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系,證明:,也是的一個(gè)基礎(chǔ)解系. 證 令,即 , .因?yàn)槭堑囊粋€(gè)基礎(chǔ)解系,則線性無關(guān),所以 .解得 所以線性無關(guān),且基礎(chǔ)解系中所含的向量的個(gè)數(shù)為3,命題得證. 十.(本題5分) 證明:如果,但不是單位矩陣,則必為奇異矩陣. 證 用反證法.假設(shè)可逆,且其逆矩陣為.因?yàn)?所以 ,即 . 由此得,=,這與不是單位矩陣矛盾!因此不可逆,即,所以必為奇異矩陣.線性代數(shù)(文)模擬試卷(三)參考答案 一.填空題(每小題2分,共20分) 1.設(shè)四階行列式,則=. 解 2. 解 按第一行或第一列展開即可.

14、 3.設(shè). 解 設(shè),則 , .于是 .4.三階矩陣按列分塊為,且,則=. 解 交換該行列式中兩列的位置,則 原式= =. 5.為三階矩陣,為的伴隨矩陣,已知,則. 解 . 6.設(shè),則=. 解 , . 7.為三階矩陣,且,則=. 解 原式=. 8.設(shè),且有,則;. 9.若向量組,線性相關(guān),則. 解 因?yàn)橄蛄拷M,線性相關(guān),則有 ,解得. 10.設(shè)的特征值為,則=. 解 矩陣的特征多項(xiàng)式為 .因?yàn)槭堑奶卣鞲?所以,是的兩個(gè)根,把代入得. 二.單項(xiàng)選擇題(每小題3分,共15分)1.設(shè)是的解,是的解,則( ). ()是的解()是的解 ()是的解()是的解解 根據(jù)非齊次方程組解的性質(zhì)可知選(C). 2.向

15、量組線性無關(guān)的充分條件是( ). ()均不是零向量 ()中有部分向量線性無關(guān) ()中任意一個(gè)向量均不能由其余個(gè)向量線性表示 ()有一組數(shù),使得 解 選項(xiàng)(),()都只是向量組線性無關(guān)的必要條件,而不是充分條件.選項(xiàng)()是錯(cuò)誤的,若將“有一組數(shù)”改為“當(dāng)且僅當(dāng)”時(shí)才為正確.所以選(). 3.設(shè)是階可逆矩陣,是階不可逆矩陣,則( ). ()是可逆矩陣()是不可逆矩陣 ()是可逆矩陣()是不可逆矩陣解 由題設(shè)知,所以,即是不可逆矩陣,應(yīng)選().但是當(dāng)可逆,不可逆時(shí),是否可逆不能一概而論,例如,若取,則可逆,不可逆,但是不可逆的.若取,則不可逆的,但是可逆的.故是不正確的. 4.與相似的矩陣為( ).

16、 () () () () 解 因?yàn)橹芯仃嚨奶卣髦禐?所以不能與相似. ()中矩陣的特征值為,但對(duì)二重根,因,所以不能對(duì)角化,也不能與相似.()中矩陣的特征值為,對(duì)二重根,因,所以可對(duì)角化,故成立. 5.已知為可逆陣,則=( ). ()()()() 解 =,故選(). 三.(本題5分)計(jì)算行列式的值. 解 原式 . 四.(本題6分) 已知,求. 解 = = = =. 五.(本題10分) 設(shè)向量組,.求它們的秩,及其一個(gè)極大無關(guān)組,并將其余向量用該極大無關(guān)組表示. 解 .所以,所求向量組的秩為,取為其一個(gè)極大無關(guān)組,且 , . 六.(本題6分) 已知,求. 解 .七.(本題6分) 設(shè),求. 解 由

17、和,又因?yàn)榈哪婢仃?可以求得 , . 八.(本題6分)已知線性無關(guān),設(shè),判斷是線性相關(guān)的. 解 若是線性相關(guān)的,則存在一組不全為零的數(shù)使得 ,即方程組 有非零解.又因?yàn)樵摲匠探M的系數(shù)矩陣 ,所以,的秩為,方程組有非零解.所以存在一組不全為零的數(shù).故是線性相關(guān)的. 九.(本題12分) 對(duì)于線性方程組 ,討論取何值時(shí),方程組無解,有唯一解和有無窮多組解.在方程組有無窮多組解時(shí),試用其導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示全部解. 解 因?yàn)橄禂?shù)行列式 . (1)當(dāng)時(shí),由克萊姆法則知方程組有唯一解. (2)當(dāng)時(shí),對(duì)增加廣矩陣作高斯消元,有 ,第一個(gè)方程矛盾,故方程組無解. (3)當(dāng)時(shí),有 ,可見,故方程組有無窮多組解.

18、又由此可得與原方程組同解的方程組為.令,得其特解.與原方程組的導(dǎo)出組同解的方程組為.由此可得基礎(chǔ)解系為,.原方程組的全部解為 ,其中是任意常數(shù). 十.(本題8分) 設(shè)矩陣,問能否對(duì)角化?若能,試求可逆陣陣,使得為對(duì)角陣. 解 因?yàn)槭菍?shí)對(duì)稱矩陣,所以可對(duì)角化.由 ,得矩陣的特征值為. 求得的特征向量為 , . 的特征向量為 .令,則有. 十一.證明題(本題6分) 已知可逆,試證也可逆,且. 分析 本題因?yàn)橐呀?jīng)給出,故只需驗(yàn)證 即可. 證 因?yàn)?= =.故可知是可逆,且. 注 本題若沒有給出條件:已知可逆,一般的證法如下: 因?yàn)?故 而 = = =.由此知也可逆,且.線性代數(shù)(工科)模擬試卷(一)

19、參考答案 一.填空題(每小題2分,共20分) 1.若,則.解 將第三行的3倍加到第一行,第三行的倍加到第二行,可得原行列式的轉(zhuǎn)置行列式. 2.設(shè)階方陣,且,則. 解 . 3.方陣為冪等矩陣,即,則.解 由,由此可得: 即 ,則有. 4.設(shè)矩陣,且的秩,而. 解 因可逆,則.5.設(shè)階矩陣的各行元素之和均為零,且的秩為,則線性方程組的通解為.解 因的各行元素之和均為零,所以可得是方程組的一個(gè)解,而的秩為,故方程組的基礎(chǔ)解系只含有一個(gè)解向量,即方程組的通解為.6.設(shè),若線性相關(guān),則滿足關(guān)系式.解 .7.設(shè)二次型是正定的,則的取值為.解 此二次型的矩陣為,則的各順序主子式為 , , 解得 .8.已知是

20、的一個(gè)基,多項(xiàng)式關(guān)于這個(gè)基下的坐標(biāo)是.解 .9.在中線性變換,那么關(guān)于基,下的矩陣是.解 即 .10.已知階方陣的特征值為(二重),則.解 已知階方陣的特征值為(二重),可得階方陣的特征值為,則 .二.選擇題(每小題分,共分)1.設(shè)為階非零矩陣滿足,則和的秩為( ).必有一個(gè)等于零都小于都等于一個(gè)小于一個(gè)等于解 因,且與為階非零矩陣,可得與都為不可逆矩陣,即和的秩都小于. 現(xiàn)說明與都為不可逆矩陣. 用反證法.假設(shè)是可逆的,則一定有存在,對(duì)等式兩邊左乘有,即得,與已知矛盾.故是不可逆.同理可證也是不可逆.2.非齊次線性方程組中未知量的個(gè)數(shù)為,方程個(gè)數(shù)為,而是它所對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組,則下列結(jié)論正

21、確的是( ). 若僅有零解時(shí),則方程組有唯一解若有非零解時(shí),則方程組有無窮多組解若有無窮多組解時(shí),則方程組只有零解若有無窮多組解時(shí),則方程組有非零解解 若僅有零解時(shí),能得,但也有可能,從而方程組無解; 例:方程組,此方程組只有零解,方程組,此方程組無解.是不正確的;同樣也不正確;而有無窮多組解時(shí),得,即方程組有非零解. 3.設(shè),均為階行列式,則( ). 解 和顯然是錯(cuò)誤的;而,即也是不正確的. 4.設(shè)階方陣為正定矩陣,下列結(jié)論不對(duì)的是( ). 可逆也是正定矩陣 所有的元素全為正數(shù) 解 由為正定矩陣,可知的所有特征值均大于零,則的行列式大于零所以是正確的;從而也可得可逆,即也正確;又因的特征值和

22、的特征值互為倒數(shù),所以的特征值全部大于零,故也是正定矩陣,正確.三.(本題8分)計(jì)算行列式 .解 根據(jù)行列式數(shù)字的特點(diǎn),可作第列提出公因數(shù),然后把從第2列開始的每列的-1倍加至第1列,把行列式變?yōu)樯先切辛惺?即 四.(本題12分)設(shè)向量組,問: (1)為何值時(shí),該向量組線性無關(guān)?并在此時(shí)將向量用向量組線性表示;(2)為何值時(shí),該向量組線性相關(guān)?并此時(shí)求它的秩和一個(gè)極大無關(guān)組. 解 . (1)當(dāng)時(shí),線性無關(guān),并可求得: .(2)當(dāng)時(shí),則線性相關(guān),向量組為其一個(gè)極大無關(guān)組. 五.(本題8分) 設(shè)矩陣,矩陣滿足,其中是的伴隨矩陣,求矩陣.解 在的兩邊左乘,得 , 即有 ,移項(xiàng)得 ,于是.因 ,故

23、.六.(本題10分)求非齊次線性方程組 的通解. 解 對(duì)增廣矩陣作初等行變換: ,從最后的階梯形矩陣可知,其導(dǎo)出組的通解為: ,其一個(gè)特解為 .故原方程組的通解為 +.七.(本題12分)求一正交變換,將二次型 化為標(biāo)準(zhǔn)形. 解 此二次型的矩陣.解特征方程 得特征值為,. 解齊次線性方程組 與 ,即 與 得與二重特征值0對(duì)應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量為;與特征值9對(duì)應(yīng)的特征向量為. 將正交化、單位化.因?qū)崒?duì)稱矩陣不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量必相互正交,所以與必相互正交,取,;取,;取,. 作矩陣 ,為正交矩陣,有 正交變換 使 =.八.(本題12分)設(shè)線性空間, (1)求在基底: ,下的坐標(biāo)向量; (2)

24、驗(yàn)證:主對(duì)角線上的元素之和等于0的階矩陣的全體是線性空間的一個(gè)子空間,并寫出它的一個(gè)基.解 (1)設(shè),即 ,所以有方程組: .解得 .則 .(2)由于矩陣的主對(duì)角線上元素之和為零,所以,非空集. 下面再證對(duì)于矩陣的加法和數(shù)乘運(yùn)算封閉.設(shè),且有,.對(duì)于因,所以.對(duì)于因所以. 故是子空間.可選:作為的一個(gè)基.九.(本題6分)設(shè)為階可逆方陣,且.證明:的伴隨矩陣. 證 因?yàn)榭赡娣疥?可得.又已知,即有 ,故得 .又因?yàn)?,由此可得.線性代數(shù)(工科)模擬試卷(二)參考答案一.是非題(每小題2分,共16分)1.()設(shè)為實(shí)對(duì)稱矩陣,若則.2.(×)若矩陣的秩為,則的所有階子式全不為零. 3.(×)若向量組任兩個(gè)都線性無關(guān),則也線性無關(guān). 4.()若為正交矩陣,則伴隨矩陣也是正交矩陣.5.()