第3講多邊形及其內(nèi)角和知識(shí)點(diǎn)

1、v1.0可編輯可修改第 3 講 多邊形及其內(nèi)角和（）一、知識(shí)點(diǎn)總結(jié)定義：由三條或三條以上的線段首位順次連接所組成的封閉圖形叫做多邊形。凸多邊形分類 1：凹多邊形正多邊形：各邊相等，各角也相等的多邊形叫做正多邊形。分類 2：多邊形非正多邊形：1、 n 邊形的內(nèi)角和等于180°（ n-2 ）。多邊形的定理2、任意凸形多邊形的外角和等于360°。3、 n 邊形的對(duì)角線條數(shù)等于1/2 ·n（ n-3 ）只用一種正多邊形：3、 4、6/ 。鑲嵌拼成 360 度的角只用一種非正多邊形（全等）：3、4。知識(shí)點(diǎn)一：多邊形及有關(guān)概念1、 多邊形的定義：在平面內(nèi)，由一些線段首尾順次相

2、接組成的圖形叫做多邊形.（ 1）多邊形的一些要素：邊：組成多邊形的各條線段叫做多邊形的邊頂點(diǎn)：每相鄰兩條邊的公共端點(diǎn)叫做多邊形的頂點(diǎn)內(nèi)角：多邊形相鄰兩邊組成的角叫多邊形的內(nèi)角，一個(gè)n 邊形有 n 個(gè)內(nèi)角。外角：多邊形的邊與它的鄰邊的延長線組成的角叫做多邊形的外角。（ 2）在定義中應(yīng)注意：一些線段（多邊形的邊數(shù)是大于等于3 的正整數(shù)）；首尾順次相連，二者缺一不可;理解時(shí)要特別注意“在同一平面內(nèi)”這個(gè)條件, 其目的是為了排除幾個(gè)點(diǎn)不共面的情況, 即空間多邊形 .11v1.0可編輯可修改2、多邊形的分類:(1) 多邊形可分為凸多邊形和凹多邊形，畫出多邊形的任何一條邊所在的直線，如果整個(gè)多邊形都在這條

3、直線的同一側(cè)，則此多邊形為凸多邊形，反之為凹多邊形（見圖1） . 本章所講的多邊形都是指凸多邊形 .凸多邊形凹多邊形圖 1(2) 多邊形通常還以邊數(shù)命名，多邊形有 n 條邊就叫做 n 邊形三角形、四邊形都屬于多邊形，其中三角形是邊數(shù)最少的多邊形知識(shí)點(diǎn)二：正多邊形各個(gè)角都相等、各個(gè)邊都相等的多邊形叫做正多邊形。如正三角形、正方形、正五邊形等。正三角形正方形正五邊形正六邊形正十二邊形要點(diǎn)詮釋：各角相等、各邊也相等是正多邊形的必備條件，二者缺一不可.如四條邊都相等的四邊形不一定是正方形，四個(gè)角都相等的四邊形也不一定是正方形，只有滿足四邊都相等且四個(gè)角也都相等的四邊形才是正方形知識(shí)點(diǎn)三：多邊形的對(duì)角線

4、多邊形的對(duì)角線：連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段，叫做多邊形的對(duì)角線.如圖 2， BD 為四邊形ABCD的一條對(duì)角線。要點(diǎn)詮釋：(1) 從 n 邊形一個(gè)頂點(diǎn)可以引(n 3) 條對(duì)角線，將多邊形分成(n 2) 個(gè)三角形。(2)n 邊形共有條對(duì)角線。證明 ：過一個(gè)頂點(diǎn)有n 3 條對(duì)角線 (n 3 的正整數(shù) ) ，又共有n 個(gè)頂點(diǎn)，共有 n(n-3)22v1.0可編輯可修改條對(duì)角線，但過兩個(gè)不相鄰頂點(diǎn)的對(duì)角線重復(fù)了一次，凸n 邊形，共有條對(duì)角線。知識(shí)點(diǎn)四：多邊形的內(nèi)角和公式1. 公式：邊形的內(nèi)角和為.2. 公式的證明：證法1：在邊形內(nèi)任取一點(diǎn)，并把這點(diǎn)與各個(gè)頂點(diǎn)連接起來，共構(gòu)成個(gè)三角形，這個(gè)三角形的

5、內(nèi)角和為，再減去一個(gè)周角，即得到邊形的內(nèi)角和為.證法 2：從邊形一個(gè)頂點(diǎn)作對(duì)角線，可以作條對(duì)角線， 并且邊形被分成個(gè)三角形， 這個(gè)三角形內(nèi)角和恰好是邊形的內(nèi)角和，等于.證法 3：在邊形的一邊上取一點(diǎn)與各個(gè)頂點(diǎn)相連，得個(gè)三角形，邊形內(nèi)角和等于這個(gè)三角形的內(nèi)角和減去所取的一點(diǎn)處的一個(gè)平角的度數(shù)，即.要點(diǎn)詮釋：(1) 注意：以上各推導(dǎo)方法體現(xiàn)出將多邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題來解決的基礎(chǔ)思想。(2) 內(nèi)角和定理的應(yīng)用：已知多邊形的邊數(shù)，求其內(nèi)角和；已知多邊形內(nèi)角和，求其邊數(shù)。知識(shí)點(diǎn)五：多邊形的外角和公式1. 公式： 多邊形的外角和等于 360° .2. 多邊形外角和公式的證明：多邊形的每個(gè)內(nèi)角

6、和與它相鄰的外角都是鄰補(bǔ)角，所以邊形的內(nèi)角和加外角和為，外角和等于. 注意： n 邊形的外角和恒等于360°，它與邊數(shù)的多少無關(guān)。要點(diǎn)詮釋：(1) 外角和公式的應(yīng)用：已知外角度數(shù)，求正多邊形邊數(shù)；已知正多邊形邊數(shù)，求外角度數(shù) .(2) 多邊形的邊數(shù)與內(nèi)角和、外角和的關(guān)系：33v1.0可編輯可修改n 邊形的內(nèi)角和等于(n 2) · 180° (n 3， n 是正整數(shù) ) ，可見多邊形內(nèi)角和與邊數(shù)n 有關(guān)，每增加1 條邊，內(nèi)角和增加180°。多邊形的外角和等于360°，與邊數(shù)的多少無關(guān)。知識(shí)點(diǎn)六：鑲嵌的概念和特征1、定義： 用一些不重疊擺放的多邊形

7、把平面的一部分完全覆蓋，通常把這類問題叫做用多邊形覆蓋平面( 或平面鑲嵌 ) 。這里的多邊形可以形狀相同，也可以形狀不相同。2、實(shí)現(xiàn)鑲嵌的條件：拼接在同一點(diǎn)的各個(gè)角的和恰好等于360°；相鄰的多邊形有公共邊。3、常見的一些正多邊形的鑲嵌問題：(1) 用正多邊形實(shí)現(xiàn)鑲嵌的條件：邊長相等；頂點(diǎn)公用；在一個(gè)頂點(diǎn)處各正多邊形的內(nèi)角之和為360°。(2) 只用一種正多邊形鑲嵌地面對(duì)于給定的某種正多邊形，怎樣判斷它能否拼成一個(gè)平面圖形，且不留一點(diǎn)空隙解決問題的關(guān)鍵在于正多邊形的內(nèi)角特點(diǎn)。 當(dāng)圍繞一點(diǎn)拼在一起的幾個(gè)正多邊形的內(nèi)角加在一起恰好組成一個(gè)周角360°時(shí)， 就能鋪成一個(gè)

8、平面圖形。事實(shí)上，正n 邊形的每一個(gè)內(nèi)角為，要求k 個(gè)正 n 邊形各有一個(gè)內(nèi)角拼于一點(diǎn)，恰好覆蓋地面，這樣360°，由此導(dǎo)出k2，而 k 是正整數(shù)，所以n 只能取 3,4 ，6。因而，用相同的正多邊形地磚鋪地面，只有正三角形、正方形、正六邊形的地磚可以用。注意： 任意四邊形的內(nèi)角和都等于360°。所以用一批形狀、大小完全相同但不規(guī)則的四邊形地磚也可以鋪成無空隙的地板，用任意相同的三角形也可以鋪滿地面。(3) 用兩種或兩種以上的正多邊形鑲嵌地面用兩種或兩種以上邊長相等的正多邊形組合成平面圖形，關(guān)鍵是相關(guān)正多邊形“交接處各角之和能否拼成一個(gè)周角”的問題。例如，用正三角形與正方形

9、、正三角形與正六邊形、正三角形與正十二邊形、正四邊形與正八邊形都可以作平面鑲嵌，見下圖：又如，用一個(gè)正三角形、兩個(gè)正方形、一個(gè)正六邊形結(jié)合在一起恰好能夠鋪滿地面，因?yàn)樗鼈兊慕唤犹幐鹘侵颓『脼橐粋€(gè)周角360°。規(guī)律方法指導(dǎo)1內(nèi)角和與邊數(shù)成正比：邊數(shù)增加，內(nèi)角和增加；44v1.0可編輯可修改邊數(shù)減少，內(nèi)角和減少.每增加一條邊，內(nèi)角的和就增加 180°（反過來也成立） ，且多邊形的內(nèi)角和必須是180°的整數(shù)倍 .2多邊形外角和恒等于360°，與邊數(shù)的多少無關(guān).3多邊形最多有三個(gè)內(nèi)角為銳角，最少?zèng)]有銳角（如矩形）；多邊形的外角中最多有三個(gè)鈍角，最少?zèng)]有鈍角 .

10、4在運(yùn)用多邊形的內(nèi)角和公式與外角的性質(zhì)求值時(shí)，常與方程思想相結(jié)合，運(yùn)用方程思想是解決本節(jié)問題的常用方法.5在解決多邊形的內(nèi)角和問題時(shí)，通常轉(zhuǎn)化為與三角形相關(guān)的角來解決.三角形是一種基本圖形，是研究復(fù)雜圖形的基礎(chǔ)，同時(shí)注意轉(zhuǎn)化思想在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用.二、經(jīng)典例題透析類型一：多邊形內(nèi)角和及外角和定理應(yīng)用1一個(gè)多邊形的內(nèi)角和等于它的外角和的5 倍，它是幾邊形？總結(jié)升華： 本題是多邊形的內(nèi)角和定理和外角和定理的綜合運(yùn)用.只要設(shè)出邊數(shù)，根據(jù)條件列出關(guān)于的方程，求出的值即可，這是一種常用的解題思路.舉一反三：【變式 1】若一個(gè)多邊形的內(nèi)角和與外角和的總度數(shù)為1800°，求這個(gè)多邊形的邊數(shù).【變式 2

11、】一個(gè)多邊形除了一個(gè)內(nèi)角外，其余各內(nèi)角和為2750°，求這個(gè)多邊形的內(nèi)角和是多少【答案】 設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為，這個(gè)內(nèi)角為，.【變式 3】一個(gè)多邊形的內(nèi)角和與某一個(gè)外角的度數(shù)總和為1350°，求這個(gè)多邊形的邊數(shù)。類型二：多邊形對(duì)角線公式的運(yùn)用【變式 1】一個(gè)多邊形共有20 條對(duì)角線，則多邊形的邊數(shù)是（） .A6B7C 8D9【變式 2】一個(gè)十二邊形有幾條對(duì)角線。總結(jié)升華 ：對(duì)于一個(gè)n 邊形的對(duì)角線的條數(shù)，我們可以總結(jié)出規(guī)律條，牢記這個(gè)公式，以后只要用相應(yīng)55v1.0可編輯可修改的 n 的值代入即可求出對(duì)角線的條數(shù)，要記住這個(gè)公式只有在理解的基礎(chǔ)之上才能記得牢。類型三：可轉(zhuǎn)化

12、為多邊形內(nèi)角和問題【 變式 1】如圖所示， 1+ 2+ 3+ 4+ 5+ 6=_.【變式 2】如圖所示，求A B C D E F 的度數(shù)。類型四：實(shí)際應(yīng)用題4如圖，一輛小汽車從P 市出發(fā)，先到B 市，再到C 市，再到A 市，最后返回P 市，這輛小汽車共轉(zhuǎn)了多少度角？思路點(diǎn)撥： 根據(jù)多邊形的外角和定理解決.舉一反三：【變式 1】如圖所示，小亮從A 點(diǎn)出發(fā)前進(jìn)10m，向右轉(zhuǎn)15°，再前進(jìn)10m，又向右轉(zhuǎn)15°，這樣一直走下去，當(dāng)他第一次回到出發(fā)點(diǎn)時(shí)，一共走了_m.【變式 2】小華從點(diǎn)A 出發(fā)向前走10 米，向右轉(zhuǎn)36°，然后繼續(xù)向前走10 米，再向右轉(zhuǎn)36°

13、，他以同樣的方法繼續(xù)走下去，他能回到點(diǎn)A 嗎若能，當(dāng)他走回點(diǎn)A 時(shí)共走了多少米若不能，寫出理由?！咀兪?3】如圖所示是某廠生產(chǎn)的一塊模板，已知該模板的邊AB CF， CD AE. 按規(guī)定 AB、 CD的延長線相66v1.0可編輯可修改交成 80°角，因交點(diǎn)不在模板上，不便測(cè)量.這時(shí)師傅告訴徒弟只需測(cè)一個(gè)角，便知道AB、 CD的延長線的夾角是否合乎規(guī)定，你知道需測(cè)哪一個(gè)角嗎說明理由.思路點(diǎn)撥： 本題中將AB、 CD延長后會(huì)得到一個(gè)五邊形，根據(jù)五邊形內(nèi)角和為540°，又由AB CF，CD AE，可知 BAE+AEF+ EFC=360°，從 540°中減去80

14、°再減去360°，剩下 C 的度數(shù)為100°，所以只需測(cè)C 的度數(shù)即可，同理還可直接測(cè)A的度數(shù) .總結(jié)升華： 本題實(shí)際上是多邊形內(nèi)角和的逆運(yùn)算，關(guān)鍵在于正確添加輔助線.類型五：鑲嵌問題5分別畫出用相同邊長的下列正多邊形組合鋪滿地面的設(shè)計(jì)圖。(1) 正方形和正八邊形；(2) 正三角形和正十二邊形；(3) 正三角形、正方形和正六邊形。思路點(diǎn)撥： 只要在拼接處各多邊形的內(nèi)角的和能構(gòu)成一個(gè)周角，那么這些多邊形就能作平面鑲嵌。解析： 正三角形、正方形、正六邊形、正八邊形、正十二邊形的每一個(gè)內(nèi)角分別是60°、 90°、 120°、 135

15、6;、 150°。(1) 因?yàn)?90 2× 135 360，所以一個(gè)頂點(diǎn)處有 1 個(gè)正方形、 2 個(gè)正八邊形，如圖 (1)所示。(2) 因?yàn)?60 2× 150 360，所以一個(gè)頂點(diǎn)處有1 個(gè)正三角形、2 個(gè)正十二邊形，如圖(2) 所示。(3) 因?yàn)?60 2× 90 120 360，所以一個(gè)頂點(diǎn)處有 1 個(gè)正三角形、 1 個(gè)正六邊形和 2 個(gè)正方形，如圖 (3)所示?？偨Y(jié)升華： 用兩種以上邊長相等的正多邊形組合成平面圖形，實(shí)質(zhì)上是相關(guān)正多邊形“交接處各角之和能否拼成一個(gè)周角”的問題。舉一反三：【變式 1】分別用形狀、大小完全相同的三角形木板；四邊形木板

16、；正五邊形木板；正六邊形木板作平77v1.0可編輯可修改面鑲嵌，其中不能鑲嵌成地板的是( )A 、B、C、D、解析： 用同一種多邊形木板鋪地面，只有正三角形、四邊形、正六邊形的木板可以用，不能用正五邊形木板，故【變式 2】用三塊正多邊形的木板鋪地，拼在一起并相交于一點(diǎn)的各邊完全吻合，其中兩塊木板的邊數(shù)都是8，則第三塊木板的邊數(shù)應(yīng)是( )A、4B、5C、6D、8【答案】 A（提示：先算出正八邊形一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，再乘以2，然后用360°減去剛才得到的積，便得到第三塊木板一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，進(jìn)而得到第三塊木板的邊數(shù)）三、綜合練習(xí)一、選擇題：1. 一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是 720°, 則這

17、個(gè)多邊形是 ( )A.四邊形B.五邊形C.六邊形D.七邊形2. 一個(gè)多邊形的內(nèi)角和比它的外角和的3 倍少 180°, 這個(gè)多邊形的邊數(shù)是()3. 若正 n 邊形的一個(gè)外角為60°, 則 n 的值是 ()4. 下列角度中 , 不能成為多邊形內(nèi)角和的是 ( )°°°°5.若一個(gè)多邊形的內(nèi)角和與外角和之和是1800°, 則此多邊形是 ()A.八邊形B.十邊形C. 十二邊形D. 十四邊形6.下列命題： 多邊形的外角和小于內(nèi)角和 , 三角形的內(nèi)角和等于外角和, 多邊形的外角和是指這個(gè)多邊形所有外角之和, 四邊形的內(nèi)角和等于它的外角和.

18、 其中正確的有 ()個(gè)個(gè)個(gè)個(gè)7.一個(gè)多邊形的邊數(shù)增加2 條，則它的內(nèi)角和增加( )°°C.360°°8.過多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可以作7 條對(duì)角線，則此多邊形的內(nèi)角和是外角和的()倍倍倍倍9. 在四邊形ABCD 中，A 、B 、C 、D 的度數(shù)之比為2343，則D 的外角等于 ()°°°°88v1.0可編輯可修改10. 在各個(gè)內(nèi)角都相等的多邊形中，一個(gè)內(nèi)角是與它相鄰的一個(gè)外角的3 倍，那么這個(gè)多邊形的邊數(shù)是()A.4B.6C.8D.1011. 如圖， AB CD EF, 則下列各式中正確的是()A. 1 2 3180&#

19、176;B.1 2 390°C. 1 2 390°D.2 3 1180°12. 在下列條件中：ABC A: B:C 1:2:3A90B ABC 中，能確定ABC 是直角三角形的條件有 (). . . 二、填空題1. 五邊形的內(nèi)角和等于 _度 .2. 若一凸多邊形的內(nèi)角和等于它的外角和, 則它的邊數(shù)是 _.3. 正十五邊形的每一個(gè)內(nèi)角等于 _度 .4. 十邊形的對(duì)角線有 _條.5. 內(nèi)角和是 1620°的多邊形的邊數(shù)是 _.6.一個(gè)多邊形的每一個(gè)外角都等于36°，那么這個(gè)多邊形的內(nèi)角和是°.7.一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是外角和的4 倍，則這個(gè)

20、多邊形是邊形 .8.已知等腰梯形 ABCD中， AD BC,若 B=1 D，則 A 的外角是°.9題圖39. 如圖在 ABC中， D 是 ACB與 ABC的角平分線的交點(diǎn)， BD的延長線交 AC于 E，且 EDC=50°，則 A 的度數(shù)為.10. 如圖，在六邊形ABCDEF中， AF CD， AB DE，且 A =120 °， B=80°，則 C 的度數(shù)是， D的度數(shù)是10題圖三、計(jì)算題1. 一個(gè)多邊形的每一個(gè)外角都等于45°, 求這個(gè)多邊形的內(nèi)角和.2. 一個(gè)多邊形的每一個(gè)內(nèi)角都等于144°，求它的邊數(shù) .3. 如果四邊形有一個(gè)角是

21、直角，另外三個(gè)角的度數(shù)之比為2 3 4，那么這三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別是多少99v1.0可編輯可修改4. 一個(gè)正多邊形的一個(gè)內(nèi)角比相鄰?fù)饨谴?6°，求這個(gè)正多邊形的邊數(shù).5.已知多邊形的內(nèi)角和等于1440°，求 (1) 這個(gè)多邊形的邊數(shù)，(2) 過一個(gè)頂點(diǎn)有幾條對(duì)角線，(3) 總對(duì)角線條數(shù) .26. 一個(gè)多邊形的外角和是內(nèi)角和的，求這個(gè)多邊形的邊數(shù)；727. 已知一多邊形的每一個(gè)內(nèi)角都相等，它的外角等于內(nèi)角的，求這個(gè)多邊形的邊數(shù)；38. 一多邊形內(nèi)角和為2340°，若每一個(gè)內(nèi)角都相等，求每個(gè)外角的度數(shù).9. 已知四邊形ABCD中, A: B=7:5, A - C=B, C=D- 40°,求各內(nèi)角的度數(shù).10. 一個(gè)多邊形 , 除一個(gè)內(nèi)角外 , 其余各內(nèi)角之和等于 1000°, 求這個(gè)內(nèi)角及多邊形的邊數(shù) .11. 如圖 , 一個(gè)六邊形的六個(gè)內(nèi)角都是120°,AB=1,BC=CD=3,DE=2,求該六邊形的周長.AF1010v1.0可編輯可修改四、拓展練習(xí)1.探究：（1）如圖12與BC 有什么關(guān)系為什么（ 2）把圖ABC 沿 DE 折疊，得到圖，填空：1 2_BC ( 填“”“”“”) ，當(dāng)A40時(shí)，BC +12 =_.（ 3）如圖，是由圖的ABC 沿 DE 折疊得到的，如果A30 ，則 xy360（BC +12 ）360,