線性代數(shù)試題二

1、一、選擇題 （每題3 分，共15 分）1設(shè)A 為 n 階可逆矩陣 , A 的第二行乘以2 為矩陣B ，則A 1 的為 B1 。(A)第二行乘以2 ；(B)第二列乘以2；(C)第二行乘以1 ；2(D)第二列乘以122.設(shè)向量組1 ,2 ,3 線性無關(guān) ,2 ,3 ,4 線性相關(guān), 則以下命題中，不一定成立的是。(A)1 不能被2 ,3 , 4 線性表示； (B)2 不能被1, 3,4 線性表示；(C)4 能被1 ,2 ,3 線性表示；(D)1, 2,3 ,4 線性相關(guān)3. 設(shè)Anai n xn ) 2 的(aij ) nn , 則二次型 f ( x1 , x2 , xn )(ai 1 x1ai

2、2 x2i1矩陣為。(A)A ；(B)A2 ；(C)AT A；(D)AAT4設(shè) A, B 為 4 階方陣 ，且秩 r ( A)4， r ( B)3，A 和 B的伴隨矩陣為 A 和 B則 r ( A B)_ 。(A)1 ；(B) 2；(C) 3；(D) 45.已知 1, 2, 3, 4 是線性空間 V 的一個基，以下也是 V 的基。(A)12， 23， 34， 41 ；(B)1 2， 23，34， 41 ；(C)12， 23， 34， 41 ；(D)12， 23， 34， 4 1。二、填空題（每題 3 分，共 15 分）1設(shè)1 ，2 ， 3 是歐氏空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基，則模2 123 3 _。211

3、32182設(shè)矩陣 Aab4為正交矩陣，則 a， b。1821132183. 若實(shí)二次型 f (x1 , x2 , x3 )x122 x1 x2 2x1 x3 4x224x2 x3 4x32為正定二次型 , 則的取值范圍為。4. 已知 1 , 2 是非齊次線性方程組 Ax b 線性無關(guān)的解， A 為 2 3 矩陣，且秩 r ( A)2。 若k1l2 是方程組 Ax b 的通解，則常數(shù) k ，l 須滿足關(guān)系式。5.設(shè) A 為 n 階實(shí)對稱矩陣，且A22A3E0 ，1是 A 的一重特征值，則行列式 |A2E |。三、計(jì)算題 (每題 9 分,共 54 分)1. 計(jì)算 n 階行列式 D，其中 x i0

4、，i1，2， ，n ；12n1nxn12( n1)xn 1nD12x2n1n1x12n1n2.設(shè) 3 階方陣 A，B 滿足方程A 2 BABE ，試求矩陣 B 以及行列式 B ，101100其中A020 ，E010。2010013.設(shè) A 為三階實(shí)對稱矩陣，且滿足A2A2E0 已知向量0111 ,20,01是 A 對應(yīng)特征值1的特征向量，求 A n ，其中 n 為自然數(shù)。4.已知實(shí)二次型f (x1 , x2 , x3 ) =2x1 x2 2x2 x32x3 x1 ，求正交變換 x Q y ,將二次型f (x1 , x2 , x3 ) 化為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫出正交變換xQ y 。5. 已知線性空間 R

5、3 的基1， 2， 3到基1， 2 ， 3 的過渡矩陣為 P ，且10122110，21， 32 ； P322102430試求出在基1 ,2, 3與1,2 , 3下有相同坐標(biāo)的全體向量。x13 x2x306.設(shè)線性方程組為x14 x2a x3b ，問： a 、 b 取何值時，方程組無解、2 x1x23 x35有唯一解、有無窮多解在有無窮多解時求出其通解。四、證明題 ( 第一題 6 分，第二題 10 分)1設(shè) 為 n 維列向量，且T1，矩陣 A ET ，證明：行列式 | A | 0。2.設(shè) A 是 mn 實(shí)矩陣 ,0 是 m 維實(shí)列向量，證明：（1） 秩r ( A)r ( AT A)（ ）非齊次

6、線性方程組TT；A AxA 有解。2線性代數(shù)試卷參考答案一、選擇題1.(D) 2.(B) 3.(C) 4.(A) 5.(C)二、填空題1.14；2.a1/ 3, b0 ；3.21；4.k 1l , l 為任意常數(shù)；5.| AE |(1) n 1 3 .三、計(jì)算題n(n1)nn )n1.D (1)2(1xii 1xni 12.( A2E) BAE001101/ 20B (A2E) 1(A E) (A E) 1010010200100|B| 1/23. (A E)(A 2E)0 ，特征值1、1、 2，2 ，特征向量(1,1,1)T ，所以0111000111An10001010001100( 2)

7、 n011011100020An1 1000101012011 00( 2) n10111(2) n01(2) n02021(2)n01(2) n0114.f 的矩陣 A 101 ，有特征值121, 32110對應(yīng)的線性無關(guān)的和單位正交的特征向量11111111111 ， 20， 31 ；11 ， 21 ， 31263011021x11 y11 y21 y3263于是正交變換 xQ y ，x211y21y16y323x32y21 y363化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形fy12y222 y325設(shè) A ( 1, 2, 3), B ( 1, 2, 3),則B AP。設(shè)所求向量的坐標(biāo)為 x，則 AxAPx ，即

8、A(PE) x0 ，因?yàn)?A 為可逆矩陣，得 ( PE)x0，由121101( PE)312011431000得 xT，k(1，1，1）故k ( 1T23 )k( 2，1，3）131013106.A 14ab0111213500a 2b 1當(dāng) a2 時，方程組有唯一解當(dāng) a2， b1時，方程組無解當(dāng) a2， b2時， r ( A)r ( A) 2 < 3 ，方程組有無窮多組解 ,其通解為(3,1,0)Tk ( 2,1,1)T ， k 為任意常數(shù)。四、證明題1證：因?yàn)?A 2A ，特征值的可能取值為0，1。A 的對角線元素之和為nTn 1n ，(或 TATTTTT0,0,A非正定 )所以 0 是 A 的一個特征值，故行列式 | A | 02. 證: （1）因?yàn)槿?A0，則 ATAA00；而當(dāng) ATA0 時，由|A |2( A)TATATAT0 0，得 A0 。因此齊次線性方程組 Ax0 與 AT Ax0 ，同解，故秩