線性代數(shù)A考卷

1、考生姓名:考所屬學(xué)院:生所屬專業(yè):填考生寫須知欄考生 承諾南昌大學(xué)考試試卷一【適用時間：20132014學(xué)年第 一學(xué)期試卷類型：A 卷課程編號：J5501Z004試卷編號：教29教師課程名稱：線性代數(shù)開課學(xué)院：理學(xué)院考試形式：閉卷填適用班級：理工類（本科）考試時間：120分鐘寫欄1、本試卷共_7頁。試卷說明：2、考試結(jié)束后，考生不得將試卷、答題紙和草稿紙帶出考場。題號一二三四五六七八九十總分累分人 簽名題分15151414141414100得分考生學(xué)號: 所屬班級: 考試日期： 2014年1月8日1、請考生務(wù)必查看試卷中是否有缺頁或破損。如有立即舉手報告以便更換。2、嚴(yán)禁代考，違者雙方均開除學(xué)

2、籍；嚴(yán)禁舞弊，違者取消學(xué)位授予資格；嚴(yán)禁帶手機(jī)等有儲存或傳遞信息功能的電子設(shè)備等入場（包括開卷考試），違者按舞弊處理；不得自備草稿紙。本人知道考試違紀(jì)、作弊的嚴(yán)重性，將嚴(yán)格遵守考場紀(jì)律，如若違反則愿意 接受學(xué)校按有關(guān)規(guī)定處分！考生簽名：、填空題:（每空3分，共15分）1、A是A的伴隨矩陣，則2、設(shè)三階矩陣A22 ,三維列向量41 .已知A與線性相關(guān)，則13、是關(guān)于x的一次多項式，該式中x的系數(shù)是4、若方程組X X 3x1又22x2 1有解，則常數(shù)X25、已知四階矩陣A相似于B, A的特征值為2,3, 4, 5,E為四階單位矩陣,、單項選擇題：（每小題 3分，共15分）得分評閱人11、設(shè)A ,

3、B均為n階方陣，則必有（(A) |a b| |a| |b|；(B) AB BA;(C)ab| I bA ;(D) A BA 1 B 1.2、設(shè)A為二階矩陣，若3A| 3,則 12 A1（A）;23、設(shè)向量組(B) 1;(C)4；(D) 2.,s線性相關(guān)，且該向量組的秩為(A) r s；(B) r s;(C) s(D) r s.4、設(shè)A為n階方陣，且A2 E （其中E為n階單位矩陣），（A） |a| 1;（B） A的特征值都是1;（C） A的秩為n；（D） A一定是對稱矩陣.5、設(shè)A為三階矩陣，且憶A 3E| 0（其中E為三階單位矩陣），則A必有一個特征值為（A）I；(B)親2(C) 一；3三、

4、計算題：（每小題7分,共14分）得分評閱人x1、計算四階行列式D41111122.2534_2、求矩陣A的秩R A .0 3 23 2 2 17四、計算題：（本題滿分14分）評閱人設(shè)矩陣A, B滿足A BA2BA 8E,其中 A2 0 , E為單位矩陣，A為A的伴隨矩陣，求：矩陣B.五、解答題：（本題滿分14分）得分評閱人對于線性方程組XiXiXiX2X3X2X3X2X332 討論2取何值時，方程組無解、有唯一解和無窮多組解。在方程組有無窮多組解時，試用其導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示全部解。六、計算題：（本題滿分14分）得分評閱人2 0 0求矩陣A032的特征值和特征向量。0 2 3七、解答和證明題:

5、（每小題 7分，共14分）評閱人1、已知矩陣A00與矩陣B300相似，求x的值x2、設(shè)都是n維向量,線性表示，但不能由r 1線性表示，試證：向量可由1,2 ,線性表示。、填空題:1、設(shè)A為4階方陣且|丹=2,則|A*|二 2、設(shè)A是4階方陣，其元素全為1,則A的特征值之積為3、二次型 f =x；+4x22+4x32+2tx iX2 2X1X3+4X2X3 正定的充要條件是 4、設(shè) 3 階方陣 A滿足|E A=。，|2E A=0 , |3E A=0 ,則|Al=5、四元線性方程組Xi+X2+X3+X4=0的基礎(chǔ)解系含有個線性無關(guān)的解向量6、設(shè)n階矩陣A的各行元素之和均為0,且RA)=n 1,則線

6、性方程組 AX=0的通解為7、向量組 i=(1,2,3) T,2=(2,3,4) T,3=(3,4,5) T 的秩為8、兩向量=(1,1,2) ,與=(1, 2, 1)丁的夾角為xxxaa x xx a x、計算n階行列式的值：D=x x aXXXx1 x2 kx3 4三、設(shè)有線性方程組X1kX2X3k2,問k取何值時，方程組(1)有唯一解；(2)x1 x2 2x34無解;(3)有無窮多個解？并在有無窮多解時求其通解02四、設(shè)A= 2 42 44 ,求一可逆矩陣，使pAp為對角矩陣3101五、求下面矩陣的逆矩陣：A= 2 1 03 25六、已知A為n階正交矩陣，問伴隨矩陣A是否為正交矩陣，為什

7、么？一、1. 82. 03.2<t<16. k(1,1,1) T, k 為任意實數(shù) 7. 24. 1/65. 3a(n1) XXX二、D=a(n1) XaXa(n1) XXaa(n1) XXX=a+(n 1)x( a x)x ax =xa8. arccos(n 1) x x0 a x00當(dāng)或6x0a x5 arccos 一6x001、B=(A b)114k2411k02 k 20 0(k 1)(4 k)(1)當(dāng)k 1且k 4時,2R(A)R(B)3,故方程組有唯一解;48k(k 4) 當(dāng)k= 1時，R(A)=2<RB)=3,故方程組無解;當(dāng)k=4時,r(A)=R(B)=2&l

8、t;3,故方程組有無窮多解：同解方程組:XiX23x34 X3通解為:四、A的特征方程為:I E A=(0X 401)(+kk R)對于 尸1,對應(yīng)的齊次線性方程組為:其基礎(chǔ)解系為:1236)0A的特征值為:1(E A)X02220對應(yīng)于特征值1 1的特征向量為111 1 ,26,3 624 X 04201類似可求得：對應(yīng)于特征值126的特征向量為2 552對應(yīng)于特征值3 6的特征向量為32令 P=( 1 12,3)01五、|A|二2 A可逆 An 5, A210, A137,為對角矩陣A1- A - 1|A| |A|A1A1A1212223A12,313233A22 2,5257 2A>

9、;32, A3112112A322, A331六、(A*)TA=(| A|A1)T| A| A1I A2(A) 1A1| A|2(AAT) 由于 aAe | aA| E| | A| 21 故(A)tAe 1E* . . .因此，A是正交矩陣6,1),若=2 i2 3 3,則0 1 0一、1、D=0 2 23 3 00 4 02、設(shè) i=(2,3,5),56 _782=(3,7,8),3=(1,1 233、設(shè)A為三階可逆矩陣，且 A1= 0 12 ,則A=4、若n階方陣A有一個特征值2,則|2 E A=則t的取值5、如果二次型 f(X1, X2, X3)=x；+X22+5x32+2tx 1X2

10、2X1X3+4X2X3 是正定的,范圍是二、1、若齊次線性方程組kX1 x2x3X1kx2x300僅有零解，則()2x1 x2 x30(A)卜=4或卜=1 (B) k= 4 或 k=1 (C) k 4 且 k 1 (D) k 4 且 k 12、 1, 2, s ( sA2)線性無關(guān)的充分必要條件是() (A)都不是零向量(B)任意兩個向量的分量不成比例(C)至少有一個向量不可由其余向量線性表示(D)每一個向量均不由其余向量線性表示3、A B均為n階方陣，下列各式中成立的是()(A) ( A+B) 2=A+2AE+B2(B) (AE) =AB(C)設(shè) AB=0,則 A=0 或 B=0(D) 若|

11、A+AB=0,則 |丹=0 或 |E+目=04、設(shè)n階方陣A的秩r<n,則在A的n個行向量中()(A)必有r個行向量線性無關(guān)(B)任意r個行向量均可構(gòu)成最大無關(guān)組(C)任意r個行向量均線性無關(guān)(D)任一行向量士可由其它r個行向量線性表示5、n階方陣A可與對角矩陣 相似的充分必要條件是()(A)A有n個線性無關(guān)的特征向量(B)A有n個不同的特征值(C)三、A的n個列向量線性無關(guān)1、設(shè)A為4階方陣,(D)1 ,求 13 AA有n個非零的特征值4A1|2、計算n階行列式上103、已知向量組1=(1,1,1,1),112=(1,111,1,1), 3=(1,3,1,3),4=(1, 1, 1,1

12、)(1)求1, 2, 3, 4的一個最大無關(guān)組(2)將其余向量用此最大無關(guān)組線性表示04、設(shè) AXnB=X,其中 A= 115、線性方程組2x1 X1 7x17x1X2X2 2x2X2X3X3X4X4011122x3 4X4X3 5X4,當(dāng)a, b為何值時有解？在有解的情況下, a求其解16、已知矩陣A= 100 與 B= 000相似x求x (2)求可逆矩陣P,使 P1AP=B7、化二次型f(X1, X2, X3)=X12+2X1X2+2X1X3+2X22+4X2X3為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫出對應(yīng)的可逆 線性變換.aia12a13四、已知實矩陣A= aa212223滿足條件:313233a。=A ( i

13、 ,j =1,2,3)其中A是aj的代數(shù)余子式；(2) an 0證明：|A=1、1.72 2. (2,17, 1) 3234. 05.二、1. C 2. D 3. D 4. A 5. A三、1.原式二|3| A A1 4A1|=|33a1 4A11=13A1|=3)41 1 =243|A|2. D=(n 1)=(n 1)=(n1)3.令A(yù)由于=(n1)1)(n 1) (n2)0(n 1)n1) 2 (n 11) =( 1)(n 1)(n 2)2(n1)0,=0,二0,=40,而 | A二0故 RA)=31,24的一個最大無關(guān)組令3=k11+k22+卜3 4k1k1k1k1k2 k2 k2k24

14、. AX+B=X(E A)X=BX=(E Ak3 k3 k3 k3 1Bk1k2k323231313131325. B= i77ii2iii2iii45i2 a bi000i300i300ii0023a 5b 8i0000i000i002 3I 300ii58a=5 且 b=8 時,RA)=RB)=2,方程組有解Xi此時，同解方程組為:X223X4i x 1xIx3"3 X4i通解為：X= i00ki0ii0k223 i3 0i(ki, k2 R)6,由于A與B相似,因此，矩陣A的特征值為E=|i=0,E B| 2=3,x=2 3=2對于1=0,對應(yīng)的特征向量為i=對于2=3,對應(yīng)的特征向量為02= 0 ；對1于3 = 2,對應(yīng)的特征向量為i3= i0i令 P=( i,2,3)= i則 PiAP=B27,對二次型f進(jìn)行配方得:2,、2f (Xi,X2,X3)= ( Xi +X2+X3) +(X2+X3)2X32yi Xi X2 X3令 y2x2 x3y3X3于是通過可逆變