第12章整式的乘除知識點總結(jié)

1、第 12 章 整式的乘除§ 12.1 冪的運算一、同底數(shù)冪的乘法1、法則 ：am·an·ap·=am+n+p+（m、n、p均為正整數(shù)）文字：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。2、注意事項：（ 1）a 可以是實數(shù)，也可以是代數(shù)式等。如：2·3·4=2+3+4=9；(-2)2· (-2)3=(-2)2+3=(-2)5=-25；( 2 )3· ( 2 )4=( 2 )3+4=( 2 )7；(a+b)3·(a+b)4·(a+b)= (a+b)3+4+1=(a+b)8（ 2）一定要“同底數(shù)冪” “相乘”時

2、，才能把指數(shù)相加。（ 3）如果是二次根式或者整式作為底數(shù)時，要添加括號。二、冪的乘方1、法則 :(am)n=amn（m、n 均為正整數(shù)）。推廣：(am)nps=amn p s文字：冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘。2、注意事項：（ 1）a 可以是實數(shù)，也可以是代數(shù)式等。如： ( 2)3= 2×3= 6；( 2 )34=( 2 )3×4=( 2 )12； (a-b)24= (a-b)2×4=(a-b)8（ 2）運用時注意符號的變化。（ 3）注意該法則的逆應(yīng)用，即： amn = (am)n，如： a15= (a3)5= (a5)3三、積的乘方1、法則： (ab)n=anb

3、n（n 為正整數(shù)）。推廣： (acde)n=ancndnen文字：積的乘方等于把積的每一個因式都分別乘方，再把所得的冪相乘。2、注意事項：（ 1）a、b 可以是實數(shù)，也可以是代數(shù)式等。如： (2)3=222=4 2；(2 ×3 )2=(2 )2×(3 )2=2×3=6；(-2abc)3=(-2)3a3b3c3=-8a3b3c3；(a+b)(a-b)2=(a+b)2(a-b)2（ 2）運用時注意符號的變化。（ 3）注意該法則的逆應(yīng)用，即： anbn =(ab)n；如： 23×33= (2×3)3=63，(x+y)2(x-y)2=(x+y)(x-y

4、)2四、同底數(shù)冪的除法1、法則： am÷an=am-n （m、n 均為正整數(shù)， mn，a0）文字：同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減。2、注意事項：（ 1）a 可以是實數(shù)，也可以是代數(shù)式等。如：4÷ 3= 4-3= ；(-2)5÷(-2)3=(-2)5-3=(-2)2=4；(2 )6÷ (2 )4=(2 )6-4=( 2 )2=2；(a+b)16÷(a+b)14= (a+b)16-14=(a+b)2=a2+2ab +b2（ 2）注意 a0 這個條件。（ 3）注意該法則的逆應(yīng)用，即： am-n = am÷an；如： a x-y= ax&#

5、247;ay，(x+y)2a-3=(x+y)2a÷(x+y)3§ 12.2 整式的乘法一、單項式與單項式相乘法則：單項式與單項式相乘，只要將它們的系數(shù)與系數(shù)相乘，相同字母的冪相乘，多余的字母照搬到最后結(jié)果中。如： (-5a2b2)·(-4 b2c)·(- 3 ab)2=(-5)×(-4)×(- 3 )·(a2·a)·(b2·b2)·c2=-30a3b4c二、單項式與多項式相乘法則：（乘法分配律） 只要將單項式分別去乘以多項式的每一項，再將所得的積相加。如： ( 3x2 )( x22 x

6、 1)=(-3x2)·(-x2)+(-3x2)·2 x 一(-3x2)· 1=3x46x33x2三、多項式與多項式相乘法則：（1）將一個多項式中的每一項分別乘以另一個多項式的每一項，再將所得的積相加。如： (m + n)(a + b)= ma+mb+na+nb(2)把其中一個多項式看成一個整體（單項式），去乘以另一個多項式的每一項，再按照單項式與多項式相乘的法則繼續(xù)相乘，最后將所得的積相加。如： (m+n)(a+b)= (m+ n)a+( m +n)b= ma+ na+mb+nb§ 12.3 乘法公式一、兩數(shù)和乘以這兩數(shù)的差1、公式： (a+b)(a-b

7、)=a2-b2；名稱：平方差公式。2、注意事項：（1）a、b 可以是實數(shù)，也可以是代數(shù)式等。如： (10+9)(10-9)=102-92=100-81=19；(2xy+a)(2xy-a)=(2xy)2-a2=4 x2y2-a2；(a+b+ )( a+b - )=(2xy)2-a2=4 x2y2-a2；（ 2）注意公式中的第一項、第二項各自相同，中間是“異號”的情況，才能用平方差公式。（ 3）注意公式的來源還是“多項式×多項式” 。二、完全平方公式1、公式： (a±b)2=a2±2a b+b2；名稱：完全平方公式。2、注意事項：（1）a、b 可以是實數(shù)，也可以是代數(shù)

8、式等。如： ( 2 +3)2=( 2 )2+2×2 ×3+32=2+6 2 +9=11+6 2 ；(mn-a) 2=(mn)2-2mn·a+ a2= m2n2-2mna+ a2；( a+b - )2=( a+b)2-2( a+b)+2= a2+2a b+b2-2 a- b + 2；（ 2）注意公式運用時的對位“套用” ；（ 3）注意公式中“中間的乘積項的符號” 。3、補充公式 ：(a+ b+ c)2=a2+c2+b2+2a b+2bc+2ca特別提醒：利用乘法公式進行整式的運算時注意 “思維順序”是：“一看二套三計算” 。§ 12.4 整式的除法一、單項

9、式除以單項式法則：單項式相除，只要將它們的系數(shù)與系數(shù)相除，相同字母的冪相除，只在被除式中出現(xiàn)的字母， 則連同它的指數(shù)一起作為商的一個因式。如： -21a2b3c÷3ab=(-21÷3)·a2-1·b3-1·c=-7ab2c（ 2x2y）3·（-7xy2）÷14x4y3=8x6y3·（-7xy2）÷14x4y3=8×（-7） ·x6+1y3+2÷14x4y3=（-56÷14）·x7-4·y5-3=-4x3y25（2a+b）4÷（2a+b）

10、2=（5÷1）（2a+b）4-2=5（2a+bz2=5（4a2+4ab+b2）=20a2+20ab+5b2二、多項式除以單項式法則：（乘法分配律） 只要將多項式的每一項分別去除以單項式，再將所得的商相加。4332222如： (21x y -35x y +7x y ) ÷ (-7xy)=21x4y3÷(-7x2y)-35x3y2÷(-7x2y)+ 7x2y2÷(-7x2y)=-3x2y2+5xy-y4y(2x-y)-2x(2x-y)÷(2x-y)= 4y(2x-y)÷(2x-y)-2x(2x-y)÷(2x-y)=4y

11、-2x整式的運算順序：先乘方（開方） ，再乘除，最后加減，括號優(yōu)先。§ 12.5 因式分解一、因式分解的定義 ：把一個多項式化為幾個整式的積的形式，叫做因式分解。（分解因式）因式分解與整式乘法互為逆運算二、提取公因式法： 把一個多項式的公因式提取出來， 使多項式化為兩個因式的積，這種分解因式的方法叫做提公因式法。公因式定義：多項式中每一項都含有的相同的因式稱為公因式。具體步驟：（ 1）“看”。觀察各項是否有公因式；（ 2）“隔”。把每項的公因式“隔離”出來；（ 3）“提”。按照乘法分配律的逆運用把公因式提出來，使多項式化為兩個因式的積。 (a-b) 2n=(b-a) 2n(n 為正整

12、數(shù) )；(a-b) 2n+1=-(b-a) 2n+1(n 為正整數(shù) )；如： 8a2b-4ab+2a=2a·4ab-2a·2b+2a·1=2a(4ab-2b+1)；-5 a2+25 a=-5 a·a+5a·5=-5 a(a+5)(注意：凡給出的多項式的“首項為負”時，要連同“-”號與公因式一并提出來。 )三、公式法 ：利用乘法公式進行因式分解的方法，叫做公式法。1、平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)；名稱：平方差公式。注意事項：（1） a、b 可以是實數(shù)，也可以是代數(shù)式等。如： 102-92 =(10+9)(10-9)=19×

13、;1=19；4 x2y2-a2=(2xy)2-a2=(2xy+a)(2xy-a)；2n1 22n1 2(2n12n1)(2n12n1)8n（ 2）注意公式中的第一項、第二項各自相同，中間是“異號”的情況，才能用平方差公式。（ 3）注意公式的結(jié)構(gòu)好形式，運用時一定要判斷準確。2、完全平方公式 ：(a±b)2=a2±2a b+b2；名稱：完全平方公式。注意事項：（ 1）a、b 可以是實數(shù)，也可以是代數(shù)式等。如： m2n2-2mna+ a2=(mn)2-2mn·a+ a2=(mn-a)2；x2+4xy+y2=x2+2·x·2y+(2y)2=( x+2

14、 y)2（ 2）注意公式運用時的對位“套用” ；（ 3）注意公式中“中間的乘積項的符號” 。四、補充分解法 ：1、公式： x2+(a+b)x+ab=(x+a)( x+b)。如： x2+5x+6= x2+(2+3)x+2×3=(x+2)( x+3)； x2+5x-6 =x2+6+(-1)x+6×(-1)=(x+6)( x-1)2、“十字相乘法”如： x29 x 14 =(x+2)( x+7)x22x 8 =(x+2)( x-4)1212171-42+7=92+ (-4)= -2五、綜合1、注意利用乘法公式進行因式分解時注意“思維順序”是：“一看二套三分解”。2、遇到因式分解的題目時，其整體的思維順序是：（ 1）看首項是否為“一” ，若為“一”，就要注意提負號；（ 2）看