高中數(shù)學(xué)231圓的標(biāo)準(zhǔn)方程教案新人教B版必修2

1、2019年高中數(shù)學(xué) 2.3.1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程教案 新人教B版必修2教學(xué)目標(biāo)（1）認(rèn)識圓的標(biāo)準(zhǔn)方程并掌握推導(dǎo)圓的方程的思想方法；（2）掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，并能根據(jù)方程寫出圓心的坐標(biāo)和圓的半徑；（3）能根據(jù)所給條件，通過求半徑和圓心的方法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程教學(xué)重點(diǎn)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其運(yùn)用教學(xué)難點(diǎn)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)和運(yùn)用教學(xué)過程一、問題情境1情境： 河北趙州橋是世界上歷史最悠久的石拱橋，其圓拱所在的曲線是圓，我們能否表示出該圓弧所在圓的方程呢？2問題：在表示方程以前我們應(yīng)該先考察有沒有坐標(biāo)系？如果沒有坐標(biāo)系，我們應(yīng)該怎樣建立坐標(biāo)系？如何找到表示方程的等式？二、學(xué)生活動回憶初中有關(guān)圓的定義，怎樣用方程將圓表示出來

2、？三、建構(gòu)數(shù)學(xué)1由引例趙州橋圓弧所在圓的方程的求解過程推導(dǎo)一般圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：一般地，設(shè)點(diǎn)是以為圓心，為半徑的圓上的任意一點(diǎn)，則，由兩點(diǎn)間距離公式，得到：即（）；反過來，若點(diǎn)的坐標(biāo)是方程的解，則，即，這說明點(diǎn)到點(diǎn)的距離為即點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上；2方程叫做以為圓心，為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；3當(dāng)圓心在原點(diǎn)時(shí)，圓的方程則為；特別地，圓心在原點(diǎn)且半徑為的圓通常稱為單位圓；其方程為四、數(shù)學(xué)運(yùn)用1例題：例1分別說出下列圓方程所表示圓的圓心與半徑：； 解：（如下表）方程圓心半徑例2（）寫出圓心為，半徑長為的圓的方程，并判斷點(diǎn)，是否在這個(gè)圓上；（）求圓心是，且經(jīng)過原點(diǎn)的圓的方程。解：（）圓心為，半徑長為該圓

3、的標(biāo)準(zhǔn)方程為把點(diǎn)代入方程的左邊右邊即點(diǎn)的坐標(biāo)適合方程，點(diǎn)是這個(gè)圓上的點(diǎn)；把點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程的左邊即點(diǎn)坐標(biāo)不適合圓的方程，點(diǎn)不在這個(gè)圓上；（）法一：圓的經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，圓的半徑為因此所求的圓的方程為即；法二：圓心為設(shè)圓的方程為原點(diǎn)在圓上即原點(diǎn)的坐標(biāo)滿足圓方程即即所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：例3（）求以點(diǎn)為圓心，并且和軸相切的的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）已知兩點(diǎn)，求以線段為直徑的圓的方程解：（）圓與軸相切該圓的半徑即為圓心到軸的距離；因此圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（）為直徑的中點(diǎn)為該圓的圓心即又圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為例4已知隧道的截面是半徑為的圓的半圓，車輛只能在道路中心線的一側(cè)行駛，車輛寬度為，高為的貨車能不能駛?cè)脒@個(gè)隧道？解：以

4、某一截面半圓的圓心為原點(diǎn)，半圓的直徑所在的直線為軸，建立直角坐標(biāo)系，如圖所示，那么半圓的方程為：將代入得即離中心線處，隧道的高度低于貨車的高度因此，該貨車不能駛?cè)脒@個(gè)隧道；思考：假設(shè)貨車的最大的寬度為，那么貨車要駛?cè)敫咚淼?，限高為多少？略解：將代入得即限高為五、回顧小結(jié)：1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其表示的圓心和半徑；2建系思想和方程思想；2019年高中數(shù)學(xué) 2.3.2 等比數(shù)列的通項(xiàng)公式教案 蘇教版必修5三維目標(biāo)1.知識與技能(1)類比等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，探索發(fā)現(xiàn)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，掌握求等比數(shù)列通項(xiàng)公式的方法，并能用公式解決一些簡單的實(shí)際問題；(2)掌握等比數(shù)列的常用簡單性質(zhì)，并能應(yīng)用于解題；(3)正

5、確認(rèn)識使用等比數(shù)列的多種表達(dá)形式，能靈活運(yùn)用通項(xiàng)公式求等比數(shù)列的首項(xiàng)、公比、項(xiàng)數(shù)、指定的項(xiàng)，能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等比關(guān)系并能用有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題；(4)能通過通項(xiàng)公式與圖象認(rèn)識等比數(shù)列的性質(zhì)，體會等比數(shù)列是用來刻畫一類離散現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)模型，體會等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，能用圖象與通項(xiàng)公式的關(guān)系解決某些問題2.過程與方法(1)進(jìn)行等比數(shù)列通項(xiàng)公式應(yīng)用的實(shí)踐操作，并在操作過程中通過類比等差數(shù)列得到對等比數(shù)列相應(yīng)問題的研究；(2)探索并掌握等比數(shù)列的性質(zhì)，能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等比關(guān)系，提高數(shù)學(xué)建模能力，體會等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系；(3)通過等比數(shù)列的圖象的應(yīng)用，進(jìn)一步

6、滲透數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)思想；通過等比數(shù)列通項(xiàng)公式的運(yùn)用，滲透方程思想3情感、態(tài)度與價(jià)值觀(1)通過對等比數(shù)列的研究，使學(xué)生明確等比數(shù)列與一般數(shù)列的內(nèi)在聯(lián)系，從而滲透特殊與一般的辯證唯物主義觀點(diǎn)；(2)培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納的能力，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識；(3)體會數(shù)學(xué)源于現(xiàn)實(shí)生活，并應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)生活的道理，提高學(xué)習(xí)的興趣重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn)：類比等差數(shù)列探索等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，并且會用公式解決一些簡單的問題，體會等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)之間的聯(lián)系難點(diǎn)：概括通項(xiàng)公式推導(dǎo)過程中體現(xiàn)出的數(shù)學(xué)思想方法，體會等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系在探索發(fā)現(xiàn)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí)，可以讓學(xué)生類比等差數(shù)列通項(xiàng)公式的探索過程，先經(jīng)歷對幾個(gè)特殊的等

7、比數(shù)列通項(xiàng)公式的觀察、歸納、猜想過程，然后逐步遷移過渡到一般等比數(shù)列通項(xiàng)公式的探究發(fā)現(xiàn)，關(guān)鍵是體會等比數(shù)列定義及其遞推公式的作用(教師用書獨(dú)具)教學(xué)建議 1在回顧上節(jié)所學(xué)等比數(shù)列概念的基礎(chǔ)上，首先引導(dǎo)學(xué)生自己去探尋上節(jié)所提出的三個(gè)實(shí)例(元素半衰期問題、汽車折舊問題、投資復(fù)利問題)的通項(xiàng)公式，為接下來求一般等差數(shù)列通項(xiàng)公式作鋪墊，從而完成從研究具體的等比數(shù)列通項(xiàng)公式到一般等比數(shù)列通項(xiàng)公式的過渡；然后引導(dǎo)學(xué)生用“疊乘法”探求一般的等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；最后從函數(shù)的角度，思考等比數(shù)列通項(xiàng)公式與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系2在完成等比數(shù)列通項(xiàng)公式的教學(xué)后，結(jié)合具體數(shù)列，引導(dǎo)學(xué)生思考等比數(shù)列滿足的性質(zhì)，提高學(xué)生探究興趣

8、；最后通過例題和練習(xí)鞏固學(xué)生對知識的掌握3等比數(shù)列與等差數(shù)列之間存在著很多類似的地方，但也有本質(zhì)的不同，學(xué)生容易把二者混淆因此，一方面，建議在本節(jié)的教學(xué)中始終強(qiáng)調(diào)等比數(shù)列的定義和體現(xiàn)等比數(shù)列本質(zhì)的公比q；另一方面，本節(jié)有利于培養(yǎng)學(xué)生的類比推理能力，如等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式等都可以讓學(xué)生類比等差數(shù)列自己給出，還可以讓學(xué)生自己列表從定義、通項(xiàng)公式、與函數(shù)的關(guān)系等角度類比兩類數(shù)列的有關(guān)知識教學(xué)流程(對應(yīng)學(xué)生用書第31頁)課標(biāo)解讀1.掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，能運(yùn)用公式解決一些簡單問題(重點(diǎn))2.掌握等比數(shù)列的性質(zhì)及簡單應(yīng)用(難點(diǎn))3.了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式【問題導(dǎo)思】若數(shù)列

9、an為等比數(shù)列，公比為q，則：a2a1q，a3a2qa1q2，a4a3qa1q3，由此你可以歸納出an的表達(dá)式嗎？(用a1和q表示)【提示】ana1qn1.如果數(shù)列an是等比數(shù)列，首項(xiàng)為a1，公比為q，那么它的通項(xiàng)公式為ana1qn1(a10，q0)等比數(shù)列項(xiàng)的性質(zhì)【問題導(dǎo)思】1在等比數(shù)列an中，如果mn2k(m，n，kN*)那么am·ana是否成立？反之呢？【提示】若mn2k，則am·ana一定成立，但反過來，若am·ana不一定有mn2k.例如，數(shù)列an是一個(gè)非零常數(shù)列時(shí)2an是等比數(shù)列，等式a10a3·a7成立嗎？【提示】不一定設(shè)an的公比為q，a

10、10a1q9，而a3·a7a·q8.只有當(dāng)a1q時(shí)才成立，當(dāng)a1q時(shí)，不成立這說明了在等比數(shù)列的性質(zhì)“若mnpq2k，則am·anap·aqa”中，左、右兩邊一定是兩項(xiàng)積的形式當(dāng)m、n、p、qN*時(shí)，若mnpq，對于等比數(shù)列an，則有amanapaq.特別地，若mn2p，則amana.(對應(yīng)學(xué)生用書第32頁)等比數(shù)列通項(xiàng)公式的應(yīng)用在等比數(shù)列an中，(1)若a427，q3，求a7；(2)若a218，a48，求a1與q；(3)若a5a115，a4a26，求a3.【思路探究】本題可根據(jù)通項(xiàng)公式，列方程或方程組，求出基本量a1和q，再求其他量【自主解答】(1)由

11、a4a1·q3得a1·(3)327，a11.a7a1·q6(1)·(3)6729.(2)由已知得解得或(3)由已知得由得，q或q2.當(dāng)q時(shí)，a116，a3a1q24；當(dāng)q2時(shí)，a11，a3a1q24.a1，q是等比數(shù)列的基本量，只要求出這兩個(gè)基本量，其他量便可迎刃而解求a1，q除上述方法外，也可以充分利用各項(xiàng)之間的關(guān)系，先求各項(xiàng)，然后再求q與a1.在等比數(shù)列an中，已知a3a636，a4a718，am，求m.【解】法一因?yàn)閍3a636，a4a718，所以有方程組：解得而ana1qn1(nN*)，所以128×()m1，所以m9.法二因?yàn)閍4a7a

12、3qa6q(a3a6)q，所以q，而a3a6a3(1q3)，所以a332.又因?yàn)閍na3qn3(nN*)，所以32×()m3，所以m9.等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用已知數(shù)列an為等比數(shù)列，且a1a964，a3a720，求a11.【思路探究】利用等比數(shù)列的性質(zhì)a1a9a3a7，先求a3，a7的值，再求a1和q即可【自主解答】an為等比數(shù)列，a1·a9a3·a764，又a3a720，a3，a7是方程t220t640的兩個(gè)根解方程得t14，t216，a34，a716或a316，a74.當(dāng)a34時(shí)，a3a7a3a3q420，1q45，q44，a11a1q10a3q864；當(dāng)a316

13、時(shí)，a3a7a3(1q4)20，1q4，q4，a11a1q10a3q81.a1164或a111.1本題利用了等比數(shù)列的性質(zhì)，若mnpq，m，n，p，qN*，則am·anap·aq，從而有a1a9a3a764，再由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系構(gòu)造方程求a3與a7.2等比數(shù)列中的項(xiàng)的序號若成等差數(shù)列，則對應(yīng)的項(xiàng)依次成等比數(shù)列有關(guān)等比數(shù)列的計(jì)算問題，應(yīng)充分發(fā)揮項(xiàng)的“下標(biāo)”的“指引”作用，以使運(yùn)算簡便若在本例中去掉“a3a720”的條件，其它條件不變，如何求a3·a4·a5·a6·a7的值呢？【解】a3·a7a4·a6aa1

14、·a964，a5±8，a3·a4·a5·a6·a7a±32768等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用在利用電子郵件傳播病毒的例子中，如果第一輪感染的計(jì)算機(jī)數(shù)是80臺，并且從第一輪起，以后各輪的每一臺計(jì)算機(jī)都可以感染下一輪的20臺計(jì)算機(jī)，那么第5輪可以感染多少臺計(jì)算機(jī)？【思路探究】由題意，顯然每一輪被感染的計(jì)算機(jī)臺數(shù)成等比數(shù)列，其中首項(xiàng)為80，公比為20.【自主解答】由題意可知，每一輪被感染的計(jì)算機(jī)臺數(shù)構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為a180，公比為q20的等比數(shù)列，則第5輪被感染的計(jì)算機(jī)臺數(shù)為a5a1q480×2041.28×107，所以第

15、5輪可以感染1.28×107臺計(jì)算機(jī)1本題是等比數(shù)列模型的實(shí)際應(yīng)用題，其解題的關(guān)鍵是看透問題的實(shí)質(zhì)，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列問題2實(shí)際生活中常會涉及一些增長問題，如果增長量是個(gè)常量，則與等差數(shù)列有關(guān)；如果增長率是個(gè)常量，則與等比數(shù)列有關(guān)，利用等比數(shù)列可以解決有關(guān)增長率問題某工廠xx年生產(chǎn)某種機(jī)器零件100萬件，計(jì)劃到xx年把產(chǎn)量提高到每年生產(chǎn)121萬件如果每一年比上一年增長的百分率相同，這個(gè)百分率是多少？xx年生產(chǎn)這種零件多少萬件？【解】設(shè)每一年比上一年增長的百分率為x，則從xx年起，連續(xù)3年的產(chǎn)量依次為：a1100，a2a1(1x)，a3a2(1x)a1(1x)2，即a1100，a2100(

16、1x)，a3100(1x)2成等比數(shù)列由100(1x)2121得(1x)21.21.x0.1或x2.1(舍)a2100(1x)110，即每年增長的百分率為10%,xx年生產(chǎn)這種零件110萬件.(對應(yīng)學(xué)生用書第33頁)等比數(shù)列中照搬等差數(shù)列設(shè)法致錯已知四個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，且這四個(gè)數(shù)的積為，第二、三個(gè)數(shù)的和為，求由這四個(gè)數(shù)組成的等比數(shù)列的公比【錯解】依題意，設(shè)這四個(gè)數(shù)分別為，aq，aq3，a0，q0，則解得q±，代入aq并整理，得q22q10，解得q±1或q±1，因此由這四個(gè)數(shù)組成的等比數(shù)列的公比為q223或q232.【錯因分析】表面上看，錯解正確無誤，但認(rèn)真審查整個(gè)解

17、題過程，由于設(shè)這四個(gè)數(shù)為，aq，aq3，a0，q0，公比為q2，就等于規(guī)定了這個(gè)等比數(shù)列各項(xiàng)同為正或同為負(fù)，從而出現(xiàn)錯誤【防范措施】當(dāng)四個(gè)數(shù)成等差數(shù)列時(shí)，可將這四個(gè)數(shù)對稱設(shè)為a3d，ad，ad，a3d，而當(dāng)四個(gè)數(shù)成等比數(shù)列時(shí)，只能由通項(xiàng)公式將這四個(gè)數(shù)設(shè)為a，aq，aq2，aq3.【正解】依題意，設(shè)這四個(gè)數(shù)分別為a，aq，aq2，aq3，a0，q0，則解得q3±2或q5±2.1基礎(chǔ)知識：(1)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)等比數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系；(3)等比數(shù)列項(xiàng)的性質(zhì)2基本技能：(1)等比數(shù)列通項(xiàng)公式的應(yīng)用；(2)等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用；(3)等比數(shù)列在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用3思想方法：

18、(1)方程思想；(2)分類討論思想；(3)轉(zhuǎn)化思想(對應(yīng)學(xué)生用書第34頁)1在等比數(shù)列an中，若a53，則a2·a8_.【解析】由等比數(shù)列的性質(zhì)a2·a8a9.【答案】92在等比數(shù)列an中，若a1a534，a5a130，則a3_.【解析】由解得a5a1q42·q432，q24，a3a1q22×48.【答案】83在等比數(shù)列an中，a11，a103，則a2a3a4a5a6a7a8a9_.【解析】由等比數(shù)列的性質(zhì)知：a1·a10a2·a9a3·a8a4·a7a5·a6.又a1·a101×33

19、，a2·a3·a4·a5·a6·a7·a8·a93481.【答案】814在等比數(shù)列an中，a11，|q|1，如果ama1a2a10，求m的值【解】因a1a2a10a1·a1q·a1q2··a1q9aq129q45，ama1qm1qm1，qm1q45.又|q|1，m46.(對應(yīng)學(xué)生用書第89頁)一、填空題1(xx·如皋檢測)在等比數(shù)列an中，a54，a76，則a9_.【解析】由等比數(shù)列的性質(zhì)a5·a9a，a99.【答案】92(xx·無錫檢測)等比數(shù)列an中，

20、a13，a481，則an的通項(xiàng)公式為_【解析】q327，q3，ana1qn13×3n13n.【答案】3n3已知a，b，c，d成等比數(shù)列，且拋物線yx22x3的頂點(diǎn)為(b，c)，則ad_.【解析】易知拋物線yx22x3的頂點(diǎn)為(1,2)，b1，c2，由等比數(shù)列的性質(zhì)adbc2.【答案】24(xx·泗陽檢測)已知數(shù)列1，a1，a2，4成等差數(shù)列，1，b1，b2，b3，4成等比數(shù)列，則的值為_【解析】由1，a1，a2，4成等差數(shù)列，設(shè)公差為d，則3d4(1)3，d1，a2a1d1.又1，b1，b2，b3，4成等比數(shù)列，b(1)×(4)4.又易知b20，b22，.【答案】

21、5(xx·無錫檢測)等比數(shù)列an中，a1a2a31，a3a4a564，則a2a4a6_.【解析】由等比數(shù)列的性質(zhì)a1·a3a，a3·a5a，a1，a64，a21，a44.又a2·a6a，a616，a2a4a6141621.【答案】216若等比數(shù)列的首項(xiàng)為，末項(xiàng)為，公比為，則這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為_【解析】由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可知ana1qn1(nN*)，·()n1，即()n1()3，n13.n4.【答案】47公差不為0的等差數(shù)列第二、三、五項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列，則公比為_【解析】設(shè)等差數(shù)列公差為d，則其第二、三、五項(xiàng)分別為a3d，a3，a32d.a(a3d

22、)(a32d)，a3d2d2.又d0，a32d，公比q2.【答案】28在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若b7·b83，則log3b1log3b2log3b14等于_【解析】log3b1log3b2log3b14log3(b1b2b14)log3(b7b8)77log337.【答案】7二、解答題9在等比數(shù)列an中，a3a831，a4a732，公比q是整數(shù)，求an的通項(xiàng)公式【解】由等比數(shù)列的性質(zhì)可知a3a8a4a732，又a3a831，公比q是整數(shù)，可以解得a31，a832，所以a1，q2，故an·(2)n1.10(xx·煙臺高二檢測)在數(shù)列an中，已知a11，an1an

23、1.(1)求證an3是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)【解】(1)證明：an1an1，an13an13(an3)a11，a132，an30，(nN*)an3是以2為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列(2)由(1)知an3(2)×()n1，an32()n1.11(xx·杭州高二檢測)設(shè)an是公差大于0的等差數(shù)列，bn()an，已知b1b2b3，b1b2b3，(1)求證：數(shù)列bn是等比數(shù)列；(2)求等差數(shù)列an的通項(xiàng)an.【解】(1)證明：設(shè)an的公差為d(d0)，()an1an()d為常數(shù)，且b1()a10，bn為以()a1為首項(xiàng)，公比為()d的等比數(shù)列(2)b1b2b3，b，b2，或

24、q()d(0,1)，b1b3，bn()2n3，an2n3，(nN*).(教師用書獨(dú)具)已知a0，a1，數(shù)列an是首項(xiàng)為a，公比也為a的等比數(shù)列令bnanlg an(nN*)，問是否存在a，對任意nN*，數(shù)列bn中每一項(xiàng)總小于它后面的一項(xiàng)？若存在，求出a的范圍【思路探究】本題可以從bnbn1對一切nN*恒成立入手若對任意的a上式不恒成立，則這樣的a不存在；若上式對某些a恒成立，則這些a的范圍就是所求【自主解答】設(shè)存在實(shí)數(shù)a使bnbn1對一切nN*成立，由題意，得ana·an1an，bnanlgananlg annanlg a.有nanlg a(n1)an1lg a對一切nN*成立當(dāng)a1時(shí)，由lg a0，得n(n1)a對一切nN*成立，即a.nN*，恒有1a成立，即a1時(shí)，恒有bnbn1(nN*)成立當(dāng)0a1時(shí)，由lg a0，得n(n1)a對一切nN*成立，即a.1隨n增大而增大，n1時(shí)，的最小值為，即恒有(nN*)成立故當(dāng)0a時(shí)，恒有a(nN*)成立，即bnbn1(nN*)恒成立由可得這樣的a存在，其范圍為a|0a或a1本題是開放探究性命題，應(yīng)從假設(shè)開始入手，按a1,0a1分類討論，轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題來解決已知xn為各項(xiàng)不為1的