高中數(shù)學(xué)必修一至必修五知識(shí)點(diǎn)總結(jié)完整版

1、高中數(shù)學(xué)必修1知識(shí)點(diǎn)總結(jié)第一章 集合與函數(shù)概念一、集合有關(guān)概念1、集合的含義：某些指定的對(duì)象集在一起就成為一個(gè)集合，其中每一個(gè)對(duì)象叫元素。2、集合的中元素的三個(gè)特性：1.元素的確定性； 2.元素的互異性； 3.元素的無(wú)序性說(shuō)明：(1)對(duì)于一個(gè)給定的集合，集合中的元素是確定的，任何一個(gè)對(duì)象或者是或者不是這個(gè)給定的集合的元素。 (2)任何一個(gè)給定的集合中，任何兩個(gè)元素都是不同的對(duì)象，相同的對(duì)象歸入一個(gè)集合時(shí)，僅算一個(gè)元素。 (3)集合中的元素是平等的，沒(méi)有先后順序，因此判定兩個(gè)集合是否一樣，僅需比較它們的元素是否一樣，不需考查排列順序是否一樣。 (4)集合元素的三個(gè)特性使集合本身具有了確定性和整體

2、性。3、集合的表示： 如我校的籃球隊(duì)員，太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋1. 用拉丁字母表示集合：A=我校的籃球隊(duì)員,B=1,2,3,4,52集合的表示方法：列舉法與描述法。非負(fù)整數(shù)集（即自然數(shù)集）記作：N正整數(shù)集 N*或 N+ 整數(shù)集Z 有理數(shù)集Q 實(shí)數(shù)集R關(guān)于“屬于”的概念集合的元素通常用小寫(xiě)的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就說(shuō)a屬于集合A 記作 aA ，相反，a不屬于集合A 記作 aA列舉法：把集合中的元素一一列舉出來(lái)，然后用一個(gè)大括號(hào)括上。描述法：將集合中的元素的公共屬性描述出來(lái)，寫(xiě)在大括號(hào)內(nèi)表示集合的方法。用確定的條件表示某些對(duì)象是否屬于這個(gè)集合的方法。語(yǔ)言描述法：例：不是直角三

3、角形的三角形數(shù)學(xué)式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是x?R| x-3>2或x| x-3>24、集合的分類(lèi)：（1）有限集 含有有限個(gè)元素的集合（2）無(wú)限集 含有無(wú)限個(gè)元素的集合（3）空集 不含任何元素的集合 例：x|x2=5二、集合間的基本關(guān)系1.“包含”關(guān)系子集注意： 有兩種可能（1）A是B的一部分，；（2）A與B是同一集合。反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,記作A B或B A2“相等”關(guān)系(55，且55，則5=5)實(shí)例：設(shè) A=x|x2-1=0 B=-1,1 “元素相同”結(jié)論：對(duì)于兩個(gè)集合A與B，如果集合A的任何一個(gè)元素都是集合B的元素，同時(shí),集合B的

4、任何一個(gè)元素都是集合A的元素，我們就說(shuō)集合A等于集合B，即：A=B任何一個(gè)集合是它本身的子集。AA真子集:如果AB,且B A那就說(shuō)集合A是集合B的真子集，記作A B(或B A)如果 AB, BC ,那么 AC如果AB 同時(shí) BA 那么A=B3. 不含任何元素的集合叫做空集，記為規(guī)定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。三、集合的運(yùn)算1交集的定義：一般地，由所有屬于A且屬于B的元素所組成的集合,叫做A,B的交集記作AB(讀作”A交B”)，即AB=x|xA，且xB2、并集的定義：一般地，由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合，叫做A,B的并集。記作：AB(讀作”A并B”)

5、，即AB=x|xA，或xB3、交集與并集的性質(zhì)：AA = A, A= , AB = BA，AA = A,A= A ,AB = BA.4、全集與補(bǔ)集（1）補(bǔ)集：設(shè)S是一個(gè)集合，A是S的一個(gè)子集（即 ），由S中所有不屬于A的元素組成的集合，叫做S中子集A的補(bǔ)集（或余集）（2）全集：如果集合S含有我們所要研究的各個(gè)集合的全部元素，這個(gè)集合就可以看作一個(gè)全集。通常用U來(lái)表示。四、函數(shù)的有關(guān)概念1函數(shù)的概念：設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對(duì)應(yīng)，那么就稱(chēng)f：AB為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)記作： y=f(x)，xA其

6、中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合f(x)| xA 叫做函數(shù)的值域注意：如果只給出解析式y(tǒng)=f(x)，而沒(méi)有指明它的定義域，則函數(shù)的定義域即是指能使這個(gè)式子有意義的實(shí)數(shù)的集合；函數(shù)的定義域、值域要寫(xiě)成集合或區(qū)間的形式定義域補(bǔ)充能使函數(shù)式有意義的實(shí)數(shù)x的集合稱(chēng)為函數(shù)的定義域，求函數(shù)的定義域時(shí)列不等式組的主要依據(jù)是：(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被開(kāi)方數(shù)不小于零； (3)對(duì)數(shù)式的真數(shù)必須大于零；(4)指數(shù)、對(duì)數(shù)式的底必須大于零且不等于1. (5)如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過(guò)四則運(yùn)算結(jié)合而成的.那么，它的定義域是使各部分都有意

7、義的x的值組成的集合.（6）指數(shù)為零底不可以等于零 (6)實(shí)際問(wèn)題中的函數(shù)的定義域還要保證實(shí)際問(wèn)題有意義. (又注意：求出不等式組的解集即為函數(shù)的定義域。)構(gòu)成函數(shù)的三要素：定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域注意：（1）構(gòu)成函數(shù)三個(gè)要素是定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域由于值域是由定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系決定的，所以，如果兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致，即稱(chēng)這兩個(gè)函數(shù)相等（或?yàn)橥缓瘮?shù)）（2）兩個(gè)函數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致，而與表示自變量和函數(shù)值的字母無(wú)關(guān)。相同函數(shù)的判斷方法：表達(dá)式相同；定義域一致 (兩點(diǎn)必須同時(shí)具備) (見(jiàn)課本21頁(yè)相關(guān)例2)值域補(bǔ)充 (1)、函數(shù)的值域取決于定義域和對(duì)應(yīng)法則，不

8、論采取什么方法求函數(shù)的值域都應(yīng)先考慮其定義域. (2).應(yīng)熟悉掌握一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)及各三角函數(shù)的值域，它是求解復(fù)雜函數(shù)值域的基礎(chǔ)。3. 函數(shù)圖象知識(shí)歸納 (1)定義：在平面直角坐標(biāo)系中，以函數(shù) y=f(x) , (xA)中的x為橫坐標(biāo)，函數(shù)值y為縱坐標(biāo)的點(diǎn)P(x，y)的集合C，叫做函數(shù) y=f(x),(x A)的圖象集合C上每一點(diǎn)的坐標(biāo)(x，y)均滿(mǎn)足函數(shù)關(guān)系y=f(x)，反過(guò)來(lái)，以滿(mǎn)足y=f(x)的每一組有序?qū)崝?shù)對(duì)x、y為坐標(biāo)的點(diǎn)(x，y)，均在C上 . 即記為C= P(x,y) | y= f(x) , xA ,圖象C一般的是一條光滑的連續(xù)曲線(xiàn)(或直線(xiàn)),也可能是由與任意平

9、行與Y軸的直線(xiàn)最多只有一個(gè)交點(diǎn)的若干條曲線(xiàn)或離散點(diǎn)組成。 (2) 畫(huà)法A、描點(diǎn)法：根據(jù)函數(shù)解析式和定義域，求出x,y的一些對(duì)應(yīng)值并列表，以(x,y)為坐標(biāo)在坐標(biāo)系內(nèi)描出相應(yīng)的點(diǎn)P(x, y)，最后用平滑的曲線(xiàn)將這些點(diǎn)連接起來(lái).B、圖象變換法（請(qǐng)參考必修4三角函數(shù)）常用變換方法有三種，即平移變換、伸縮變換和對(duì)稱(chēng)變換 (3)作用：1、直觀的看出函數(shù)的性質(zhì)；2、利用數(shù)形結(jié)合的方法分析解題的思路。提高解題的速度。發(fā)現(xiàn)解題中的錯(cuò)誤。4了解區(qū)間的概念（1）區(qū)間的分類(lèi)：開(kāi)區(qū)間、閉區(qū)間、半開(kāi)半閉區(qū)間；（2）無(wú)窮區(qū)間；（3）區(qū)間的數(shù)軸表示5什么叫做映射一般地，設(shè)A、B是兩個(gè)非空的集合，如果按某一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)法則

10、f，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對(duì)應(yīng)， 那么就稱(chēng)對(duì)應(yīng)f：A B為從集合A到集合B的一個(gè)映射。記作“f：A B”給定一個(gè)集合A到B的映射，如果aA,bB.且元素a和元素b對(duì)應(yīng)，那么，我們把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象說(shuō)明：函數(shù)是一種特殊的映射，映射是一種特殊的對(duì)應(yīng)，集合A、B及對(duì)應(yīng)法則f是確定的；對(duì)應(yīng)法則有“方向性”，即強(qiáng)調(diào)從集合A到集合B的對(duì)應(yīng)，它與從B到A的對(duì)應(yīng)關(guān)系一般是不同的；對(duì)于映射f：AB來(lái)說(shuō)，則應(yīng)滿(mǎn)足：（）集合A中的每一個(gè)元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；（）集合A中不同的元素，在集合B中對(duì)應(yīng)的象可以是同一個(gè)；（）不要求集合

11、B中的每一個(gè)元素在集合A中都有原象。常用的函數(shù)表示法及各自的優(yōu)點(diǎn)：1 函數(shù)圖象既可以是連續(xù)的曲線(xiàn)，也可以是直線(xiàn)、折線(xiàn)、離散的點(diǎn)等等，注意判斷一個(gè)圖形是否是函數(shù)圖象的依據(jù)；2 解析法：必須注明函數(shù)的定義域；3 圖象法：描點(diǎn)法作圖要注意：確定函數(shù)的定義域；化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式；觀察函數(shù)的特征；4 列表法：選取的自變量要有代表性，應(yīng)能反映定義域的特征解析法：便于算出函數(shù)值。列表法：便于查出函數(shù)值。圖象法：便于量出函數(shù)值.補(bǔ)充一：分段函數(shù) （參見(jiàn)課本P24-25）在定義域的不同部分上有不同的解析表達(dá)式的函數(shù)。在不同的范圍里求函數(shù)值時(shí)必須把自變量代入相應(yīng)的表達(dá)式。分段函數(shù)的解析式不能寫(xiě)成幾個(gè)不同的方程，而就

12、寫(xiě)函數(shù)值幾種不同的表達(dá)式并用一個(gè)左大括號(hào)括起來(lái)，并分別注明各部分的自變量的取值情況（1）分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)，不要把它誤認(rèn)為是幾個(gè)函數(shù)；（2）分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集，值域是各段值域的并集補(bǔ)充二：復(fù)合函數(shù)如果y=f(u),(uM),u=g(x),(xA),則 y=fg(x)=F(x)，(xA) 稱(chēng)為f、g 的復(fù)合函數(shù)。例如: y=2sinx y=2cos(2x+1)7函數(shù)單調(diào)性（1）增函數(shù)設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果對(duì)于定義域I內(nèi)的某個(gè)區(qū)間D內(nèi)的任意兩個(gè)自變量a，b，當(dāng)a<b時(shí)，都有f(a)<f(b)，那么就說(shuō)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)。區(qū)間D稱(chēng)為y=f(x)的單調(diào)

13、增區(qū)間（睇清楚課本單調(diào)區(qū)間的概念）如果對(duì)于區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值a，b，當(dāng)a<b 時(shí)，都有f(a)f(b)，那么就說(shuō)f(x)在這個(gè)區(qū)間上是減函數(shù).區(qū)間D稱(chēng)為y=f(x)的單調(diào)減區(qū)間.注意：1 函數(shù)的單調(diào)性是在定義域內(nèi)的某個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)，是函數(shù)的局部性質(zhì)；2 必須是對(duì)于區(qū)間D內(nèi)的任意兩個(gè)自變量a，b；當(dāng)a<b時(shí)，總有f(a)<f(b) 。（2） 圖象的特點(diǎn)如果函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，那么說(shuō)函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間上具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左到右是上升的，減 函數(shù)的圖象從左到右是下降的.(3).函數(shù)單調(diào)區(qū)間與單調(diào)性的判定方法(A

14、) 定義法：任取a，bD，且a<b；2 作差f(a)f(b)；3 變形（通常是因式分解和配方）；4 定號(hào)（即判斷差f(a)f(b)的正負(fù)）；5 下結(jié)論（指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性） (B)圖象法(從圖象上看升降)_ (C)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性復(fù)合函數(shù)fg(x)的單調(diào)性與構(gòu)成它的函數(shù)u=g(x)，y=f(u)的單調(diào)性密切相關(guān) 注意：1、函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間 ,不能把單調(diào)性相同的區(qū)間和在一起寫(xiě)成其并集. 2、還記得我們?cè)谶x修里學(xué)習(xí)簡(jiǎn)單易行的導(dǎo)數(shù)法判定單調(diào)性嗎？8函數(shù)的奇偶性（1）偶函數(shù)一般地，對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，都有f(x)=f(x)，那么f(x

15、)就叫做偶函數(shù)（2）奇函數(shù)一般地，對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，都有f(x)=f(x)，那么f(x)就叫做奇函數(shù)注意：1、 函數(shù)是奇函數(shù)或是偶函數(shù)稱(chēng)為函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)；函數(shù)可能沒(méi)有奇偶性,也可能既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)。2、 由函數(shù)的奇偶性定義可知，函數(shù)具有奇偶性的一個(gè)必要條件是，對(duì)于定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，則x也一定是定義域內(nèi)的一個(gè)自變量（即定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)）3、具有奇偶性的函數(shù)的圖象的特征偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)；奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)總結(jié)：利用定義判斷函數(shù)奇偶性的格式步驟：1 首先確定函數(shù)的定義域，并判斷其定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；2 確定f(x)與f(x

16、)的關(guān)系；3 作出相應(yīng)結(jié)論：若f(x) = f(x) 或 f(x)f(x) = 0，則f(x)是偶函數(shù)；若f(x) =f(x) 或 f(x)f(x) = 0，則f(x)是奇函數(shù)注意：函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)是函數(shù)具有奇偶性的必要條件首先看函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，若不對(duì)稱(chēng)則函數(shù)是非奇非偶函數(shù).若對(duì)稱(chēng)，(1)再根據(jù)定義判定; (2)有時(shí)判定f(-x)=±f(x)比較困難，可考慮根據(jù)是否有f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1來(lái)判定; (3)利用定理，或借助函數(shù)的圖象判定 .9、函數(shù)的解析表達(dá)式（1）.函數(shù)的解析式是函數(shù)的一種表示方法，要求兩個(gè)變量之間

17、的函數(shù)關(guān)系時(shí)，一是要求出它們之間的對(duì)應(yīng)法則，二是要求出函數(shù)的定義域.（2）.求函數(shù)的解析式的主要方法有：待定系數(shù)法、換元法、消參法等，如果已知函數(shù)解析式的構(gòu)造時(shí)，可用待定系數(shù)法；已知復(fù)合函數(shù)fg(x)的表達(dá)式時(shí)，可用換元法，這時(shí)要注意元的取值范圍；當(dāng)已知表達(dá)式較簡(jiǎn)單時(shí)，也可用湊配法；若已知抽象函數(shù)表達(dá)式，則常用解方程組消參的方法求出f(x)10函數(shù)最大（?。┲担ǘx見(jiàn)課本p36頁(yè)）（1）、 利用二次函數(shù)的性質(zhì)（配方法）求函數(shù)的最大（?。┲? （2）、 利用圖象求函數(shù)的最大（?。┲?（3）、 利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大（小）值：如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a，b上單調(diào)遞增，在區(qū)間b，c上單調(diào)遞

18、減則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最大值f(b)；如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a，b上單調(diào)遞減，在區(qū)間b，c上單調(diào)遞增則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最小值f(b)； 第二章 基本初等函數(shù)一、指數(shù)函數(shù)（一）指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算1根式的概念：一般地，如果，那么叫做的次方根（n th root），其中>1，且*當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，正數(shù)的次方根是一個(gè)正數(shù)，負(fù)數(shù)的次方根是一個(gè)負(fù)數(shù)此時(shí)，的次方根用符號(hào)表示式子叫做根式（radical），這里叫做根指數(shù)（radical exponent），叫做被開(kāi)方數(shù)（radicand）當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，正數(shù)的次方根有兩個(gè)，這兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)此時(shí)，正數(shù)的正的次方根用符號(hào)表示，負(fù)的次方根用

19、符號(hào)表示正的次方根與負(fù)的次方根可以合并成±（>0）由此可得：負(fù)數(shù)沒(méi)有偶次方根；0的任何次方根都是0，記作。注意：當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，2分?jǐn)?shù)指數(shù)冪正數(shù)的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義，規(guī)定：，0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒(méi)有意義指出：規(guī)定了分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義后，指數(shù)的概念就從整數(shù)指數(shù)推廣到了有理數(shù)指數(shù)，那么整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)也同樣可以推廣到有理數(shù)指數(shù)冪3實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)（1）·；（2）；（3）（二）指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)1、指數(shù)函數(shù)的概念：一般地，函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)（exponential function），其中x是自變量，函數(shù)的定義域?yàn)镽注意：指數(shù)函數(shù)的底數(shù)的取值范圍

20、，底數(shù)不能是負(fù)數(shù)、零和12、指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)a>10<a<1圖象特征函數(shù)性質(zhì)向x、y軸正負(fù)方向無(wú)限延伸函數(shù)的定義域?yàn)镽圖象關(guān)于原點(diǎn)和y軸不對(duì)稱(chēng)非奇非偶函數(shù)函數(shù)圖象都在x軸上方函數(shù)的值域?yàn)镽+函數(shù)圖象都過(guò)定點(diǎn)（0，1）自左向右看，圖象逐漸上升自左向右看，圖象逐漸下降增函數(shù)減函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象縱坐標(biāo)都大于1在第一象限內(nèi)的圖象縱坐標(biāo)都小于1在第二象限內(nèi)的圖象縱坐標(biāo)都小于1在第二象限內(nèi)的圖象縱坐標(biāo)都大于1圖象上升趨勢(shì)是越來(lái)越陡圖象上升趨勢(shì)是越來(lái)越緩函數(shù)值開(kāi)始增長(zhǎng)較慢，到了某一值后增長(zhǎng)速度極快；函數(shù)值開(kāi)始減小極快，到了某一值后減小速度較慢；注意：利用函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合圖象還可以

21、看出：（1）在a，b上，值域是或；（2）若，則；取遍所有正數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)；（3）對(duì)于指數(shù)函數(shù)，總有；（4）當(dāng)時(shí)，若，則；二、對(duì)數(shù)函數(shù)（一）對(duì)數(shù)1對(duì)數(shù)的概念：一般地，如果，那么數(shù)叫做以為底的對(duì)數(shù)，記作：（ 底數(shù)， 真數(shù)， 對(duì)數(shù)式）說(shuō)明： 注意底數(shù)的限制，且； ； 注意對(duì)數(shù)的書(shū)寫(xiě)格式兩個(gè)重要對(duì)數(shù)： 常用對(duì)數(shù)：以10為底的對(duì)數(shù)； 自然對(duì)數(shù)：以無(wú)理數(shù)為底的對(duì)數(shù)的對(duì)數(shù)對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化對(duì)數(shù)式 指數(shù)式對(duì)數(shù)底數(shù) 冪底數(shù)對(duì)數(shù) 指數(shù)真數(shù) 冪（二）對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)如果，且，那么：（1）·；（2）；（3） 注意：換底公式（，且；，且；）利用換底公式推導(dǎo)下面的結(jié)論（1）；（2）（二）對(duì)數(shù)函數(shù)1、對(duì)數(shù)函數(shù)的概念：

22、函數(shù)，且叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，其中是自變量，函數(shù)的定義域是（0，+）注意： 對(duì)數(shù)函數(shù)的定義與指數(shù)函數(shù)類(lèi)似，都是形式定義，注意辨別。如：， 都不是對(duì)數(shù)函數(shù)，而只能稱(chēng)其為對(duì)數(shù)型函數(shù) 對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)底數(shù)的限制：，且2、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)：a>10<a<1圖象特征函數(shù)性質(zhì)函數(shù)圖象都在y軸右側(cè)函數(shù)的定義域?yàn)椋?，）圖象關(guān)于原點(diǎn)和y軸不對(duì)稱(chēng)非奇非偶函數(shù)向y軸正負(fù)方向無(wú)限延伸函數(shù)的值域?yàn)镽函數(shù)圖象都過(guò)定點(diǎn)（1，0）自左向右看，圖象逐漸上升自左向右看，圖象逐漸下降增函數(shù)減函數(shù)第一象限的圖象縱坐標(biāo)都大于0第一象限的圖象縱坐標(biāo)都大于0第二象限的圖象縱坐標(biāo)都小于0第二象限的圖象縱坐標(biāo)都小于0三、冪函數(shù)1、冪函數(shù)定

23、義：一般地，形如的函數(shù)稱(chēng)為冪函數(shù)，其中為常數(shù)2、冪函數(shù)性質(zhì)歸納（1）所有的冪函數(shù)在（0，+）都有定義，并且圖象都過(guò)點(diǎn)（1，1）；（2）時(shí)，冪函數(shù)的圖象通過(guò)原點(diǎn)，并且在區(qū)間上是增函數(shù)特別地，當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)的圖象下凸；當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)的圖象上凸；（3）時(shí)，冪函數(shù)的圖象在區(qū)間上是減函數(shù)在第一象限內(nèi)，當(dāng) 從右邊趨向原點(diǎn)時(shí)，圖象在軸右方無(wú)限地逼近軸正半軸，當(dāng)趨于時(shí)， 圖象在軸上方無(wú)限地逼近軸正半軸第三章 函數(shù)的應(yīng)用一、方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)1、函數(shù)零點(diǎn)的概念：對(duì)于函數(shù)，把使成立的實(shí)數(shù) 叫做函數(shù)的零點(diǎn)。2、函數(shù)零點(diǎn)的意義：函數(shù)的零點(diǎn)就是方程實(shí)數(shù)根，亦即函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。即：方程有實(shí)數(shù)根函數(shù)的圖象與軸有交

24、點(diǎn)函數(shù)有零點(diǎn)3、函數(shù)零點(diǎn)的求法：求函數(shù)的零點(diǎn)： （代數(shù)法）求方程的實(shí)數(shù)根； （幾何法）對(duì)于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)的圖象聯(lián)系起來(lái)，并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點(diǎn)4、二次函數(shù)的零點(diǎn)：二次函數(shù)），方程有兩不等實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，二次函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)），方程有兩相等實(shí)根（二重根），二次函數(shù)的圖象與軸有一個(gè)交點(diǎn)，二次函數(shù)有一個(gè)二重零點(diǎn)或二階零點(diǎn)），方程無(wú)實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與軸無(wú)交點(diǎn)，二次函數(shù)無(wú)零點(diǎn)高中數(shù)學(xué)必修二知識(shí)點(diǎn)一、直線(xiàn)與方程（1）直線(xiàn)的傾斜角定義：x軸正向與直線(xiàn)向上方向之間所成的角叫直線(xiàn)的傾斜角。特別地，當(dāng)直線(xiàn)與x軸平行或重合時(shí),我們規(guī)定它的傾斜角為0度。因此，傾斜角的取值

25、范圍是0°180°（2）直線(xiàn)的斜率 定義：傾斜角不是90°的直線(xiàn)，它的傾斜角的正切叫做這條直線(xiàn)的斜率。直線(xiàn)的斜率常用k表示。即。斜率反映直線(xiàn)與軸的傾斜程度。當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，不存在。過(guò)兩點(diǎn)的直線(xiàn)的斜率公式： 注意下面四點(diǎn)：(1)當(dāng)時(shí)，公式右邊無(wú)意義，直線(xiàn)的斜率不存在，傾斜角為90°；(2)k與P1、P2的順序無(wú)關(guān)；(3)以后求斜率可不通過(guò)傾斜角而由直線(xiàn)上兩點(diǎn)的坐標(biāo)直接求得；(4)求直線(xiàn)的傾斜角可由直線(xiàn)上兩點(diǎn)的坐標(biāo)先求斜率得到。（3）直線(xiàn)方程點(diǎn)斜式：直線(xiàn)斜率k，且過(guò)點(diǎn)注意：當(dāng)直線(xiàn)的斜率為0°時(shí)，k=0，直線(xiàn)的方程是y=y1。 當(dāng)直線(xiàn)的斜率

26、為90°時(shí)，直線(xiàn)的斜率不存在，它的方程不能用點(diǎn)斜式表示但因l上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)都等于x1，所以它的方程是x=x1。斜截式：，直線(xiàn)斜率為k，直線(xiàn)在y軸上的截距為b兩點(diǎn)式：（）直線(xiàn)兩點(diǎn)， 截矩式： 其中直線(xiàn)與軸交于點(diǎn),與軸交于點(diǎn),即與軸、軸的截距分別為。一般式：（A，B不全為0）注意：各式的適用范圍 特殊的方程如： 平行于x軸的直線(xiàn)：（b為常數(shù)）； 平行于y軸的直線(xiàn)：（a為常數(shù)）； （5）直線(xiàn)系方程：即具有某一共同性質(zhì)的直線(xiàn)（一）平行直線(xiàn)系平行于已知直線(xiàn)（是不全為0的常數(shù)）的直線(xiàn)系：（C為常數(shù)）（二）垂直直線(xiàn)系 垂直于已知直線(xiàn)（是不全為0的常數(shù)）的直線(xiàn)系：（C為常數(shù)）（三）過(guò)定點(diǎn)的直線(xiàn)系（

27、）斜率為k的直線(xiàn)系：，直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)；（）過(guò)兩條直線(xiàn)，的交點(diǎn)的直線(xiàn)系方程為（為參數(shù)），其中直線(xiàn)不在直線(xiàn)系中。（6）兩直線(xiàn)平行與垂直 當(dāng)，時(shí)， ；注意：利用斜率判斷直線(xiàn)的平行與垂直時(shí)，要注意斜率的存在與否。（7）兩條直線(xiàn)的交點(diǎn) 相交 交點(diǎn)坐標(biāo)即方程組的一組解。 方程組無(wú)解 ； 方程組有無(wú)數(shù)解與重合（8）兩點(diǎn)間距離公式：設(shè)是平面直角坐標(biāo)系中的兩個(gè)點(diǎn)， 則 （9）點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式：一點(diǎn)到直線(xiàn)的距離（10）兩平行直線(xiàn)距離公式 在任一直線(xiàn)上任取一點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線(xiàn)的距離進(jìn)行求解。二、圓的方程 1、圓的定義：平面內(nèi)到一定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合叫圓，定點(diǎn)為圓心，定長(zhǎng)為圓的半徑。2、圓的方程（1）標(biāo)準(zhǔn)方程，

28、圓心，半徑為r；（2）一般方程當(dāng)時(shí)，方程表示圓，此時(shí)圓心為，半徑為當(dāng)時(shí)，表示一個(gè)點(diǎn)； 當(dāng)時(shí)，方程不表示任何圖形。（3）求圓方程的方法： 一般都采用待定系數(shù)法：先設(shè)后求。確定一個(gè)圓需要三個(gè)獨(dú)立條件，若利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程， 需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F(xiàn)；另外要注意多利用圓的幾何性質(zhì)：如弦的中垂線(xiàn)必經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，以此來(lái)確定圓心的位置。3、直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系：直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系有相離，相切，相交三種情況：（1）設(shè)直線(xiàn)，圓，圓心到l的距離為，則有；（2）過(guò)圓外一點(diǎn)的切線(xiàn)：k不存在，驗(yàn)證是否成立k存在，設(shè)點(diǎn)斜式方程，用圓心到該直線(xiàn)距離=半徑，求解k，得到方程【一定兩解】 (3)過(guò)圓上一點(diǎn)

29、的切線(xiàn)方程：圓(x-a)2+(y-b)2=r2，圓上一點(diǎn)為(x0，y0)，則過(guò)此點(diǎn)的切線(xiàn)方程為(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2 4、圓與圓的位置關(guān)系：通過(guò)兩圓半徑的和（差），與圓心距（d）之間的大小比較來(lái)確定。設(shè)圓，兩圓的位置關(guān)系常通過(guò)兩圓半徑的和（差），與圓心距（d）之間的大小比較來(lái)確定。當(dāng)時(shí)兩圓外離，此時(shí)有公切線(xiàn)四條；當(dāng)時(shí)兩圓外切，連心線(xiàn)過(guò)切點(diǎn)，有外公切線(xiàn)兩條，內(nèi)公切線(xiàn)一條；當(dāng)時(shí)兩圓相交，連心線(xiàn)垂直平分公共弦，有兩條外公切線(xiàn)；當(dāng)時(shí)，兩圓內(nèi)切，連心線(xiàn)經(jīng)過(guò)切點(diǎn)，只有一條公切線(xiàn)；當(dāng)時(shí)，兩圓內(nèi)含； 當(dāng)時(shí)，為同心圓。注意：已知圓上兩點(diǎn)，圓心必在中垂線(xiàn)上；已知兩圓相切，兩圓心與切

30、點(diǎn)共線(xiàn) 圓的輔助線(xiàn)一般為連圓心與切線(xiàn)或者連圓心與弦中點(diǎn)三、立體幾何初步1、柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征（1）棱柱：幾何特征：兩底面是對(duì)應(yīng)邊平行的全等多邊形；側(cè)面、對(duì)角面都是平行四邊形；側(cè)棱平行且相等；平行于底面的截面是與底面全等的多邊形。（2）棱錐 幾何特征：側(cè)面、對(duì)角面都是三角形；平行于底面的截面與底面相似，其相似比等于頂點(diǎn)到截面距離與高的比的平方。（3）棱臺(tái)： 幾何特征：上下底面是相似的平行多邊形 側(cè)面是梯形 側(cè)棱交于原棱錐的頂點(diǎn)（4）圓柱：定義：以矩形的一邊所在的直線(xiàn)為軸旋轉(zhuǎn),其余三邊旋轉(zhuǎn)所成 幾何特征：底面是全等的圓；母線(xiàn)與軸平行；軸與底面圓的半徑垂直；側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)矩形。 （5）圓錐：

31、定義：以直角三角形的一條直角邊為旋轉(zhuǎn)軸,旋轉(zhuǎn)一周所成幾何特征：底面是一個(gè)圓；母線(xiàn)交于圓錐的頂點(diǎn)；側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)扇形。 （6）圓臺(tái)：定義：以直角梯形的垂直與底邊的腰為旋轉(zhuǎn)軸,旋轉(zhuǎn)一周所成 幾何特征：上下底面是兩個(gè)圓；側(cè)面母線(xiàn)交于原圓錐的頂點(diǎn)；側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)弓形。 （7）球體：定義：以半圓的直徑所在直線(xiàn)為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體幾何特征：球的截面是圓；球面上任意一點(diǎn)到球心的距離等于半徑。2、空間幾何體的三視圖 定義三視圖：正視圖（光線(xiàn)從幾何體的前面向后面正投影）；側(cè)視圖（從左向右）、 俯視圖（從上向下）注：正視圖反映了物體的高度和長(zhǎng)度；俯視圖反映了物體的長(zhǎng)度和寬度；側(cè)視圖反映了物體的

32、高度和寬度。3、空間幾何體的直觀圖斜二測(cè)畫(huà)法斜二測(cè)畫(huà)法特點(diǎn)：原來(lái)與x軸平行的線(xiàn)段仍然與x平行且長(zhǎng)度不變； 原來(lái)與y軸平行的線(xiàn)段仍然與y平行，長(zhǎng)度為原來(lái)的一半。4、柱體、錐體、臺(tái)體的表面積與體積（1）幾何體的表面積為幾何體各個(gè)面的面積的和。（2）特殊幾何體表面積公式（c為底面周長(zhǎng)，h為高，為斜高，l為母線(xiàn)） （3）柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式 （4）球體的表面積和體積公式：V= ； S=4、空間點(diǎn)、直線(xiàn)、平面的位置關(guān)系公理1：如果一條直線(xiàn)的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線(xiàn)是所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)。 應(yīng)用： 判斷直線(xiàn)是否在平面內(nèi) 用符號(hào)語(yǔ)言表示公理1：公理2：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn),那么它們

33、有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線(xiàn) 符號(hào)：平面和相交，交線(xiàn)是a，記作a。 符號(hào)語(yǔ)言：公理2的作用： 它是判定兩個(gè)平面相交的方法。 它說(shuō)明兩個(gè)平面的交線(xiàn)與兩個(gè)平面公共點(diǎn)之間的關(guān)系：交線(xiàn)必過(guò)公共點(diǎn)。 它可以判斷點(diǎn)在直線(xiàn)上，即證若干個(gè)點(diǎn)共線(xiàn)的重要依據(jù)。公理3：經(jīng)過(guò)不在同一條直線(xiàn)上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。 推論：一直線(xiàn)和直線(xiàn)外一點(diǎn)確定一平面；兩相交直線(xiàn)確定一平面；兩平行直線(xiàn)確定一平面。公理3及其推論作用：它是空間內(nèi)確定平面的依據(jù) 它是證明平面重合的依據(jù)公理4：平行于同一條直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)互相平行 空間直線(xiàn)與直線(xiàn)之間的位置關(guān)系 異面直線(xiàn)定義：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線(xiàn) 異面直線(xiàn)性質(zhì)：既不平行，又不相交。

34、異面直線(xiàn)判定：過(guò)平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線(xiàn)與平面內(nèi)不過(guò)該店的直線(xiàn)是異面直線(xiàn) 異面直線(xiàn)所成角：作平行，令兩線(xiàn)相交，所得銳角或直角，即所成角。兩條異面直線(xiàn)所成角的范圍是（0°，90°，若兩條異面直線(xiàn)所成的角是直角，我們就說(shuō)這兩條異面直線(xiàn)互相垂直。求異面直線(xiàn)所成角步驟： A、利用定義構(gòu)造角，可固定一條，平移另一條，或兩條同時(shí)平移到某個(gè)特殊的位置，頂點(diǎn)選在特殊的位置上。 B、證明作出的角即為所求角 C、利用三角形來(lái)求角 （7）等角定理：如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩角相等或互補(bǔ)。 （8）空間直線(xiàn)與平面之間的位置關(guān)系 直線(xiàn)在平面內(nèi)有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn) 三種位置關(guān)系的符

35、號(hào)表示：a aA a （9）平面與平面之間的位置關(guān)系：平行沒(méi)有公共點(diǎn)； 相交有一條公共直線(xiàn)。b5、空間中的平行問(wèn)題（1）直線(xiàn)與平面平行的判定及其性質(zhì)線(xiàn)面平行的判定定理：平面外一條直線(xiàn)與此平面內(nèi)一條直線(xiàn)平行,則該直線(xiàn)與此平面平行。 線(xiàn)線(xiàn)平行線(xiàn)面平行線(xiàn)面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線(xiàn)和一個(gè)平面平行，經(jīng)過(guò)這條直線(xiàn)的平面和這個(gè)平面相交， 那么這條直線(xiàn)和交線(xiàn)平行。線(xiàn)面平行線(xiàn)線(xiàn)平行（2）平面與平面平行的判定及其性質(zhì)兩個(gè)平面平行的判定定理（1）如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行 （線(xiàn)面平行面面平行），（2）如果在兩個(gè)平面內(nèi)，各有兩組相交直線(xiàn)對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)平面平行。 （線(xiàn)線(xiàn)

36、平行面面平行），（3）垂直于同一條直線(xiàn)的兩個(gè)平面平行，兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理（1）如果兩個(gè)平面平行，那么某一個(gè)平面內(nèi)的直線(xiàn)與另一個(gè)平面平行。（面面平行線(xiàn)面平行）（2）如果兩個(gè)平行平面都和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線(xiàn)平行。（面面平行線(xiàn)線(xiàn)平行）7、空間中的垂直問(wèn)題（1）線(xiàn)線(xiàn)、面面、線(xiàn)面垂直的定義兩條異面直線(xiàn)的垂直：如果兩條異面直線(xiàn)所成的角是直角，就說(shuō)這兩條異面直線(xiàn)互相垂直。線(xiàn)面垂直：如果一條直線(xiàn)和一個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線(xiàn)垂直，就說(shuō)這條直線(xiàn)和這個(gè)平面垂直。平面和平面垂直：如果兩個(gè)平面相交，所成的二面角（從一條直線(xiàn)出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形）是直二面角（平面角是直角），就說(shuō)這兩個(gè)平面垂直。（2）垂

37、直關(guān)系的判定和性質(zhì)定理線(xiàn)面垂直判定定理和性質(zhì)定理判定定理：如果一條直線(xiàn)和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)都垂直，那么這條直線(xiàn)垂直這個(gè)平面。性質(zhì)定理：如果兩條直線(xiàn)同垂直于一個(gè)平面，那么這兩條直線(xiàn)平行。面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理判定定理：如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線(xiàn)，那么這兩個(gè)平面互相垂直。性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于他們的交線(xiàn)的直線(xiàn)垂直于另一個(gè)平面。9、空間角問(wèn)題（1）直線(xiàn)與直線(xiàn)所成的角兩平行直線(xiàn)所成的角：規(guī)定為。 兩條相交直線(xiàn)所成的角：兩條直線(xiàn)相交其中不大于直角的角，叫這兩條直線(xiàn)所成的角。兩條異面直線(xiàn)所成的角：過(guò)空間任意一點(diǎn)O，分別作與兩條異面直線(xiàn)a，b平行的直線(xiàn)，

38、形成兩條相交直線(xiàn)，這兩條相交直線(xiàn)所成的不大于直角的角叫做兩條異面直線(xiàn)所成的角。（2）直線(xiàn)和平面所成的角平面的平行線(xiàn)與平面所成的角：規(guī)定為。 平面的垂線(xiàn)與平面所成的角：規(guī)定為。 平面的斜線(xiàn)與平面所成的角：平面的一條斜線(xiàn)和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫做這條直線(xiàn)和這個(gè)平面所成的角。求斜線(xiàn)與平面所成角的思路類(lèi)似于求異面直線(xiàn)所成角：“一作，二證，三計(jì)算”。在“作角”時(shí)依定義關(guān)鍵作射影，由射影定義知關(guān)鍵在于斜線(xiàn)上一點(diǎn)到面的垂線(xiàn)，在解題時(shí)，注意挖掘題設(shè)中兩個(gè)主要信息：（1）斜線(xiàn)上一點(diǎn)到面的垂線(xiàn)；（2）過(guò)斜線(xiàn)上的一點(diǎn)或過(guò)斜線(xiàn)的平面與已知面垂直，由面面垂直性質(zhì)易得垂線(xiàn)。（3）二面角和二面角的平面角 二面角的定

39、義：從一條直線(xiàn)出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線(xiàn)叫做二面角的棱，這兩個(gè)半平面叫做二面角的面。二面角的平面角：以二面角的棱上任意一點(diǎn)為頂點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線(xiàn)，這兩條射線(xiàn)所成的角叫二面角的平面角。直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。 兩相交平面如果所組成的二面角是直二面角，那么這兩個(gè)平面垂直；反過(guò)來(lái)，如果兩個(gè)平面垂直，那么所成的二面角為直二面角求二面角的方法 定義法：在棱上選擇有關(guān)點(diǎn)，過(guò)這個(gè)點(diǎn)分別在兩個(gè)面內(nèi)作垂直于棱的射線(xiàn)得到平面角 垂面法：已知二面角內(nèi)一點(diǎn)到兩個(gè)面的垂線(xiàn)時(shí)，過(guò)兩垂線(xiàn)作平面與兩個(gè)面的交線(xiàn)所成的角為二面角的平面角高中數(shù)學(xué)必修三知識(shí)點(diǎn)第1章 算法初

40、步 1.1.1 算法的概念 1、算法概念： 在數(shù)學(xué)上， 現(xiàn)代意義上的 “算法” 通常是指可以用計(jì)算機(jī)來(lái)解決的某一類(lèi)問(wèn)題是程序或步驟， 這些程序或步驟必須是明確和有效的，而且能夠在有限步之內(nèi)完成. 2. 算法的特點(diǎn): (1)有限性：一個(gè)算法的步驟序列是有限的，必須在有限操作之后停止，不能是無(wú)限的. (2)確定性：算法中的每一步應(yīng)該是確定的并且能有效地執(zhí)行且得到確定的結(jié)果，而不應(yīng)當(dāng) 是模棱兩可. (3)順序性與正確性：算法從初始步驟開(kāi)始，分為若干明確的步驟，每一個(gè)步驟只能有一個(gè) 確定的后繼步驟，前一步是后一步的前提，只有執(zhí)行完前一步才能進(jìn)行下一步，并且每一步 都準(zhǔn)確無(wú)誤，才能完成問(wèn)題. (4)不唯

41、一性：求解某一個(gè)問(wèn)題的解法不一定是唯一的，對(duì)于一個(gè)問(wèn)題可以有不同的算法. (5)普遍性：很多具體的問(wèn)題，都可以設(shè)計(jì)合理的算法去解決，如心算、計(jì)算器計(jì)算都要經(jīng) 過(guò)有限、事先設(shè)計(jì)好的步驟加以解決. 1.1.2 程序框圖 1、程序框圖基本概念： （一）程序構(gòu)圖的概念：程序框圖又稱(chēng)流程圖，是一種用規(guī)定的圖形、指向線(xiàn)及文字說(shuō)明來(lái) 準(zhǔn)確、直觀地表示算法的圖形。 一個(gè)程序框圖包括以下幾部分：表示相應(yīng)操作的程序框；帶箭頭的流程線(xiàn)；程序框外必要文 字說(shuō)明。 （二）構(gòu)成程序框的圖形符號(hào)及其作用 程序框 名稱(chēng) 起止框 不可少的。 表示一個(gè)算法輸入和輸出的信息， 可用在算 輸入、輸出框 法中任何需要輸入、輸出的位置。

42、 賦值、計(jì)算，算法中處理數(shù)據(jù)需要的算式、 處理框 公式等分別寫(xiě)在不同的用以處理數(shù)據(jù)的處 理框內(nèi)。 判斷某一條件是否成立， 成立時(shí)在出口處標(biāo) 判斷框 明“是”或“Y” ；不成立時(shí)標(biāo)明“否”或 “N” 。 學(xué)習(xí)這部分知識(shí)的時(shí)候， 要掌握各個(gè)圖形的形狀、 作用及使用規(guī)則， 畫(huà)程序框圖的規(guī)則如下： 1、使用標(biāo)準(zhǔn)的圖形符號(hào)。2、框圖一般按從上到下、從左到右的方向畫(huà)。3、除判斷框外， 大多數(shù)流程圖符號(hào)只有一個(gè)進(jìn)入點(diǎn)和一個(gè)退出點(diǎn)。判斷框具有超過(guò)一個(gè)退出點(diǎn)的唯一符號(hào)。 4、判斷框分兩大類(lèi)，一類(lèi)判斷框“是”與“否”兩分支的判斷，而且有且僅有兩個(gè)結(jié)果； 另一類(lèi)是多分支判斷，有幾種不同的結(jié)果。5、在圖形符號(hào)內(nèi)描述的

43、語(yǔ)言要非常簡(jiǎn)練清楚。 、算法的三種基本邏輯結(jié)構(gòu)：順序結(jié)構(gòu)、條件結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)。 （三） 1、順序結(jié)構(gòu)：順序結(jié)構(gòu)是最簡(jiǎn)單的算法結(jié)構(gòu)，語(yǔ)句與語(yǔ)句之間，框與框之間是按從上到下 的順序進(jìn)行的， 它是由若干個(gè)依次執(zhí)行的處理步驟組成的， 它是任何一個(gè)算法都離不開(kāi)的一 種基本算法結(jié)構(gòu)。 順序結(jié)構(gòu)在程序框圖中的體現(xiàn)就是用流程線(xiàn)將程序框自上而 下地連接起來(lái)，按順序執(zhí)行算法步驟。如在示意圖中，A 框和 B 框是依次執(zhí)行的，只有在執(zhí)行完 A 框指定的操作后，才能接著執(zhí) 行 B 框所指定的操作。 2、條件結(jié)構(gòu)： 、條件結(jié)構(gòu)： 功能 表示一個(gè)算法的起始和結(jié)束， 是任何流程圖 A B 條件結(jié)構(gòu)是指在算法中通過(guò)對(duì)條件的判斷

44、 根據(jù)條件是否成立而選擇不同流向的算法結(jié)構(gòu)。 條件 P 是否成立而選擇執(zhí)行 A 框或 B 框。無(wú)論 P 條件是否成立，只能執(zhí)行 A 框或 B 框之一， 不可能同時(shí)執(zhí)行 A 框和 B 框，也不可能 A 框、B 框都不執(zhí)行。一個(gè)判斷結(jié)構(gòu)可以有多個(gè)判斷 框。 3、循環(huán)結(jié)構(gòu)：在一些算法中，經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)從某處開(kāi)始，按照一定條件，反復(fù)執(zhí)行某一處理 、循環(huán)結(jié)構(gòu)： 步驟的情況，這就是循環(huán)結(jié)構(gòu)，反復(fù)執(zhí)行的處理步驟為循環(huán)體，顯然，循環(huán)結(jié)構(gòu)中一定包含 條件結(jié)構(gòu)。循環(huán)結(jié)構(gòu)又稱(chēng)重復(fù)結(jié)構(gòu)，循環(huán)結(jié)構(gòu)可細(xì)分為兩類(lèi)： （1） 、一類(lèi)是當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)，如下左圖所示，它的功能是當(dāng)給定的條件 P 成立時(shí)，執(zhí)行 A 框，A 框執(zhí)行完畢后，

45、再判斷條件 P 是否成立，如果仍然成立，再執(zhí)行 A 框，如此反復(fù)執(zhí) 行 A 框，直到某一次條件 P 不成立為止，此時(shí)不再執(zhí)行 A 框，離開(kāi)循環(huán)結(jié)構(gòu)。 （2） 、另一類(lèi)是直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)，如下右圖所示，它的功能是先執(zhí)行，然后判斷給定的條 件 P 是否成立，如果 P 仍然不成立，則繼續(xù)執(zhí)行 A 框，直到某一次給定的條件 P 成立為止， 此時(shí)不再執(zhí)行 A 框，離開(kāi)循環(huán)結(jié)構(gòu)。 A P 不成立p P 成立 成立 A 不成立 當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu) 直到型循環(huán)結(jié)構(gòu) 注意： 注意：1 循環(huán)結(jié)構(gòu)要在某個(gè)條件下終止循環(huán)，這就需要條件結(jié)構(gòu)來(lái)判斷。因此，循環(huán)結(jié) 構(gòu)中一定包含條件結(jié)構(gòu)，但不允許“死循環(huán)” 在循環(huán)結(jié)構(gòu)中都有一個(gè)計(jì)數(shù)

46、變量和累加變 。2 量。計(jì)數(shù)變量用于記錄循環(huán)次數(shù)，累加變量用于輸出結(jié)果。計(jì)數(shù)變量和累加變量一般是同步 執(zhí)行的，累加一次，計(jì)數(shù)一次。 1.2.1 輸入、輸出語(yǔ)句和賦值語(yǔ)句 輸入、 1、輸入語(yǔ)句 、 （1）輸入語(yǔ)句的一般格式 圖形計(jì)算器 格式 INPUT“提示內(nèi)容” ；變量 INPUT “提示內(nèi)容” ，變量 （2）輸入語(yǔ)句的作用是實(shí)現(xiàn)算法的輸入信息功能； “提示內(nèi)容”提示用戶(hù)輸入什么樣的 （3） 信息，變量是指程序在運(yùn)行時(shí)其值是可以變化的量； （4）輸入語(yǔ)句要求輸入的值只能是具體 的常數(shù)，不能是函數(shù)、變量或表達(dá)式； （5）提示內(nèi)容與變量之間用分號(hào)“； ”隔開(kāi)，若輸入 多個(gè)變量，變量與變量之間用逗號(hào)

47、“， ”隔開(kāi)。 2、輸出語(yǔ)句 、 （1）輸出語(yǔ)句的一般格式 圖形計(jì)算器 格式 PRINT“提示內(nèi)容” ；表達(dá)式 Disp “提示內(nèi)容” ，變量 （2）輸出語(yǔ)句的作用是實(shí)現(xiàn)算法的輸出結(jié)果功能； “提示內(nèi)容”提示用戶(hù)輸入什么樣的 （3） 信息，表達(dá)式是指程序要輸出的數(shù)據(jù)； （4）輸出語(yǔ)句可以輸出常量、變量或表達(dá)式的值以及 字符。 3、賦值語(yǔ)句 、 （1）賦值語(yǔ)句的一般格式 圖形計(jì)算器 格式 變量表達(dá)式 表達(dá)式 變量 （2）賦值語(yǔ)句的作用是將表達(dá)式所代表的值賦給變量； （3）賦值語(yǔ)句中的“”稱(chēng)作賦值 號(hào)，與數(shù)學(xué)中的等號(hào)的意義是不同的。賦值號(hào)的左右兩邊不能對(duì)換，它將賦值號(hào)右邊的表達(dá) 式的值賦給賦值號(hào)左

48、邊的變量； （4）賦值語(yǔ)句左邊只能是變量名字，而不是表達(dá)式，右邊表 達(dá)式可以是一個(gè)數(shù)據(jù)、常量或算式； （5）對(duì)于一個(gè)變量可以多次賦值。 注意： 注意：賦值號(hào)左邊只能是變量名字，而不能是表達(dá)式。如：2=X 是錯(cuò)誤的。賦值號(hào)左 右不能對(duì)換。如“A=B” “B=A”的含義運(yùn)行結(jié)果是不同的。不能利用賦值語(yǔ)句進(jìn)行代數(shù) 式的演算。 （如化簡(jiǎn)、因式分解、解方程等）賦值號(hào)“=”與數(shù)學(xué)中的等號(hào)意義不同。 122 條件語(yǔ)句 1、條件語(yǔ)句的一般格式有兩種： 、 （1）IFTHENELSE 語(yǔ)句； （2）IFTHEN 語(yǔ)句。2、IF 、 THENELSE 語(yǔ)句 IFTHENELSE 語(yǔ)句的一般格式為圖 1，對(duì)應(yīng)的程序

49、框圖為圖 2。 IF 條件 語(yǔ)句 1 ELSE 語(yǔ)句 2 END IF THEN 滿(mǎn)足條件？ 是 語(yǔ)句 1 否 語(yǔ)句 2 圖1 圖2 分析：在 IFTHENELSE 語(yǔ)句中， “條件”表示判斷的條件， “語(yǔ)句 1”表示滿(mǎn)足條件時(shí) 執(zhí)行的操作內(nèi)容； “語(yǔ)句 2”表示不滿(mǎn)足條件時(shí)執(zhí)行的操作內(nèi)容；END IF 表示條件語(yǔ)句的 結(jié)束。計(jì)算機(jī)在執(zhí)行時(shí)，首先對(duì) IF 后的條件進(jìn)行判斷，如果條件符合，則執(zhí)行 THEN 后面 的語(yǔ)句 1；若條件不符合，則執(zhí)行 ELSE 后面的語(yǔ)句 2。 3、IFTHEN 語(yǔ)句 、 IFTHEN 語(yǔ)句的一般格式為圖 3，對(duì)應(yīng)的程序框圖為圖 4。 IF 條件 THEN 語(yǔ)句 EN

50、D IF （圖 3） （圖 4） 滿(mǎn)足條件？ 否 是 語(yǔ)句 注意： “條件”表示判斷的條件； “語(yǔ)句”表示滿(mǎn)足條件時(shí) 執(zhí)行的操 注意： 作內(nèi)容，條件不滿(mǎn)足時(shí)，結(jié)束程序；END IF 表示條件語(yǔ)句的結(jié)束。計(jì)算機(jī)在執(zhí)行時(shí)首先 對(duì) IF 后的條件進(jìn)行判斷，如果條件符合就執(zhí)行 THEN 后邊的語(yǔ)句，若條件不符合則直接結(jié) 束該條件語(yǔ)句，轉(zhuǎn)而執(zhí)行其它語(yǔ)句。 123 循環(huán)語(yǔ)句 循環(huán)結(jié)構(gòu)是由循環(huán)語(yǔ)句來(lái)實(shí)現(xiàn)的。 對(duì)應(yīng)于程序框圖中的兩種循環(huán)結(jié)構(gòu)， 一般程序設(shè)計(jì)語(yǔ) 言中也有當(dāng)型（WHILE 型）和直到型（UNTIL 型）兩種語(yǔ)句結(jié)構(gòu)。即 WHILE 語(yǔ)句和 UNTIL 語(yǔ) 句。 1、WHILE 語(yǔ)句 、 （1）WH

51、ILE 語(yǔ)句的一般格式是 對(duì)應(yīng)的程序框圖是 循環(huán)體 WHILE 條件 循環(huán)體 WEND 滿(mǎn)足條件？ 否（2）當(dāng)計(jì)算機(jī)遇到 WHILE 語(yǔ)句時(shí)，先判斷條件的真假，如果條件符合，就執(zhí)行 WHILE 與 WEND 之間的循環(huán)體；然后再檢查上述條件，如果條件仍符合，再次執(zhí)行循環(huán)體，這個(gè) 過(guò)程反復(fù)進(jìn)行， 直到某一次條件不符合為止。 這時(shí)， 計(jì)算機(jī)將不執(zhí)行循環(huán)體， 直接跳到 WEND 語(yǔ)句后，接著執(zhí)行 WEND 之后的語(yǔ)句。因此，當(dāng)型循環(huán)有時(shí)也稱(chēng)為“前測(cè)試型”循環(huán)。 是 2、UNTIL 語(yǔ)句 、 （1）UNTIL 語(yǔ)句的一般格式是 對(duì)應(yīng)的程序框圖是 DO 循環(huán)體 LOOP UNTIL 條件 循環(huán)體 滿(mǎn)足條

52、件？ 是 否 （2）直到型循環(huán)又稱(chēng)為“后測(cè)試型”循環(huán)，從 UNTIL 型循環(huán)結(jié)構(gòu)分析，計(jì)算機(jī)執(zhí)行該語(yǔ)句 時(shí)，先執(zhí)行一次循環(huán)體，然后進(jìn)行條件的判斷，如果條件不滿(mǎn)足，繼續(xù)返回執(zhí)行循環(huán)體，然 后再進(jìn)行條件的判斷，這個(gè)過(guò)程反復(fù)進(jìn)行，直到某一次條件滿(mǎn)足時(shí)，不再執(zhí)行循環(huán)體，跳到 LOOP UNTIL 語(yǔ)句后執(zhí)行其他語(yǔ)句，是先執(zhí)行循環(huán)體后進(jìn)行條件判斷的循環(huán)語(yǔ)句。 分析： （先由學(xué)生討論再歸納） 分析：當(dāng)型循環(huán)與直到型循環(huán)的區(qū)別： （1） 當(dāng)型循環(huán)先判斷后執(zhí)行，直到型循環(huán)先執(zhí)行后判斷； 在 WHILE 語(yǔ)句中，是當(dāng)條件滿(mǎn)足時(shí)執(zhí)行循環(huán)體，在 UNTIL 語(yǔ)句中，是當(dāng)條件不滿(mǎn)足時(shí)執(zhí)行循 環(huán) 1.3.1 輾轉(zhuǎn)相除法

53、與更相減損術(shù) 1、輾轉(zhuǎn)相除法。也叫歐幾里德算法，用輾轉(zhuǎn)相除法求最大公約數(shù)的步驟如下： （1） ：用較大的數(shù) m 除以較小的數(shù) n 得到一個(gè)商 為 m，n 的最大公約數(shù)；若 （3） ：若 商 S0 和一個(gè)余數(shù) R0 ； ：若 R0 0，則 n （2） R0 0，則用除數(shù) n 除以余數(shù) R0 得到一個(gè)商 S1 和一個(gè)余數(shù) R1 ； R1 0，則 R1 為 m，n 的最大公約數(shù)；若 R1 0，則用除數(shù) R0 除以余數(shù) R1 得到一個(gè)依次計(jì)算直至 S2 和一個(gè)余數(shù) R2 ； Rn 0，此時(shí)所得到的 Rn ?1 即為所求的最 大公約數(shù)。 2、更相減損術(shù) 我國(guó)早期也有求最大公約數(shù)問(wèn)題的算法，就是更相減損術(shù)

54、。在九章算術(shù)中有更相減損術(shù) 求最大公約數(shù)的步驟：可半者半之，不可半者，副置分母?子之?dāng)?shù)，以少減多，更相減損， 求其等也，以等數(shù)約之。 翻譯為： ：任意給出兩個(gè)正數(shù)；判斷它們是否都是偶數(shù)。若是，用 2 約簡(jiǎn)；若不是，執(zhí) （1） 行第二步。 ：以較大的數(shù)減去較小的數(shù)，接著把較小的數(shù)與所得的差比較，并以大數(shù)減 （2） 小數(shù)。繼續(xù)這個(gè)操作，直到所得的數(shù)相等為止，則這個(gè)數(shù)（等數(shù)）就是所求的最大公約數(shù)。 例 2 用更相減損術(shù)求 98 與 63 的最大公約數(shù). 分析： （略） 3、輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)的區(qū)別： （1）都是求最大公約數(shù)的方法，計(jì)算上輾轉(zhuǎn)相除法以除法為主，更相減損術(shù)以減法為主， 計(jì)算次數(shù)上輾轉(zhuǎn)

55、相除法計(jì)算次數(shù)相對(duì)較少， 特別當(dāng)兩個(gè)數(shù)字大小區(qū)別較大時(shí)計(jì)算次數(shù)的區(qū)別 較明顯。 （2）從結(jié)果體現(xiàn)形式來(lái)看，輾轉(zhuǎn)相除法體現(xiàn)結(jié)果是以相除余數(shù)為 0 則得到，而更相減損術(shù) 則以減數(shù)與差相等而得到 1.3.2 秦九韶算法與排序 1、秦九韶算法概念： f(x)=anxn+an-1xn-1+.+a1x+a0 求值問(wèn)題 f(x)=anxn+an-1xn-1+.+a1x+a0=( anxn-1+an-1xn-2+.+a1)x+a0 =( anxn-2+an-1xn-3+.+a2)x+a1)x+a0 =.=(.( anx+an-1)x+an-2)x+.+a1)x+a0 求多項(xiàng)式的值時(shí)，首先計(jì)算最內(nèi)層括號(hào)內(nèi)依次多項(xiàng)式的值，即 v1=anx+an-1 然后由內(nèi)向外逐層計(jì)算一次多項(xiàng)式的值，即 v2=v1x+an-2 v3=v2x+an-3 . vn=vn-1x+a0、 這樣，把 n 次多項(xiàng)式的求值問(wèn)題轉(zhuǎn)化成求 n 個(gè)一次多項(xiàng)式的值的問(wèn)題。 2、兩種排序方法 、兩種排序方法：直接插入排序和冒泡排序 1、直接插入排序 基本思想：插入排序的思想就是讀一個(gè)，排一個(gè)。將第個(gè)數(shù)放入數(shù)組的第個(gè)元素中，以 后讀入的數(shù)與已存入數(shù)組的數(shù)進(jìn)行比較， 確定它在從大到小的排列中應(yīng)處的位置 將該位置 以及以后的元素向后推