專題四綜合與探究類型三類比探究題

1、例12021成都問題背景:如圖，等腰 ABC中，AB二AC，/ BAC二120°作AD丄BC于點D,貝U D為BC的中點，/ BAD 二 1/ BAC 二 60。于是 ABC 二 2BD = ?遷移應(yīng)用：如圖，4 ABC和八ADE都是等腰三角形，/ BAC二/ DAE二120 °, D , E, C三點在同 一條直線上， 連接BD. 求證： ADB AEC ； 請直接寫出線段AD , BD , CD之間的等量關(guān)系式；拓展延伸：2如圖，在菱形 ABCD中，/ ABC二120。，在/ ABC內(nèi)作射線BM，作點C關(guān)于BM的對稱點 E,連接AE并延長交BM于點F,連接CE, CF.

2、證明 CEF是等邊三角形；假設(shè)AE二5, CE二2,求BF的長.Rf)冬【思路點撥】1易得/ DAB二/ EAC ,再由三角形全等定理證明；由此題告訴的性質(zhì)可得DE =3AD,再由線段和差得 DE二DC EC進而得DC - ECVSAD再將EC換成相等的 線段DB便 可得結(jié)論；由 C與E關(guān)于BF對稱，那么BF是CE的垂直平分線，進而得 BE二BC, CF二 EF, / 3二/ 4, / EFB = / CFB,進而證明 AB二BC二BE ,得/ 1二/ 2,再進一步得/ 2 +/3二60。得/EFC二60。最后便可得 結(jié)論；先由條件求出 GE、EF進而得GF，再在RtA BGF中通 過解直角三

3、角形得結(jié)果.1解：由題意可知：AD二AE , AB二AC , ?/ DAE 二/ BAC ,?/ DAB 二/ EAC , ? ADB BA AEC( SAS); CD 二 >/3AD + BD ;【解法提示】？/ AD 二 AE , / DAE 二 120° ? DE >/3AD , ?/ DE 二 DC EC , ? DC C =V3AD，由知，4 ADB ? AAEC , ? EC二 DB , DC DB =V3AD ,即 CD = V3AD + BD ;證明：如解圖，連接 BE,作BG丄AE于點G ,C、E關(guān)于BM對稱，? BE二 BC , CF二 EF, / 3

4、 二 /4, / EFB 二 / CFB,在菱形 ABCD 中，?/ ABC 二 120° AB 二 BC ,AB 二 BC 二 BE ,又? BG 丄 AE , ?/ 1 二 / 2,?/ FEN 二 60 °/ GEN 二 360。一 / EGB / ENB / GBN 二 120 ° 又EF 二 FC, ?/ ECF二 60? EFC為等邊三角形；ABCD是邊長為4的正方形，點 E在邊AD? BFGP-所在直線!)才、X/JFjKi F/ r / f，圖/J)匕，備用圖BF二4筋；示， 過點F作FH丄AD交AD的延長線于點1題解圖M丄AB交AB的延長線于點M

5、 ,如解圖所貝 U FM 二 AH , AM 二 FH ,題圖 ? ? AD二 4, AE 二 1,DE 二 3,同(1)得： EFH ? A CED (AAS),FH 二 DE 二 3, EH 二 CD 二 4,即點F到AD的距離為3; 二 AB + AM 二 4+ 3 二 7, FM 二 AE + EH 二 5,BF = p BM2 + FM2 =p72 + 52 二"74;3分兩種情況：當點E在邊AD的左側(cè)時，過F作FH丄AD于點H ,交BC于點K,如解圖所示，同1得： EFH? 4CED ,FH 二 DE 二 4+ AE , EH 二 CD 二 4, FK 二 8+ 在 Rt

6、A BFK 屮，BK 二 AH 二 EH AE AE 二 4- AE ,AE'解得：AE 二 1 或 AE 二一 5 舍 去，示 當點E在邊AD的右側(cè)時，過F作尸H丄AD交AD的延長線于點H,交BC的延長 線于點K,如解 圖所示,【靈活應(yīng)用】B二如理得：有一塊2缺角矩形面積最大的矩形 AE的長為1或2+回伯為所剪出矩形的內(nèi)角，求該矩形的面積；2.【實際應(yīng)用鹽城【探索發(fā)現(xiàn)】 如圖，是一張襄角邊角形紙板余料最大的矩形，經(jīng)過屢次操作發(fā)現(xiàn)，ABCDE , AB二 32, BC 二 40, AE 二 20, CD 二 16,小明從 中剪出 了一個ABCD,經(jīng)測量AB 二50 cm, BC 二10

7、8 cm, CD60 cm,且 tanB 二 tanC= 3,木匠徐師傅從這塊余料中裁出了頂點 矩形的面積.M、N在邊BC上且面積最大的矩形 PQMN ,求該第1題解圖AE二 1當沿隨后，他通過證明驗證了其正確性【拓展應(yīng)用】如圖,在ABC中,BC =，并得出：矩形的最大面積與原三角形面積的比值為a, BC 邊上的由勾股定理得：(4AE) ' + (8 + 二 (3 屮 0) 2;【靈活應(yīng)用】點為I, FG中占I 八、為K,? ?5'補全解：如解圖，延長 BA與DE交于點F延長BC與ED交于點G延長AE與CD交于點H, FB屮EH 二 20, HD 二 16,? AE二 EH ,

8、 CD二 DH , ? 在 AEF 與八 HED 中,r / FAE 二 / DHE ,/ 力廳二 HE ,? AEF ? A HED(ASA),(/ AEF 二 / HED，同理：4 CGD HED ,第2題解圖AF 二 DH 二 16, CG二 EH 二 20,? .B > BA土 AE 二 24 ,2?/ 16<Blv32 ,?中位線IK在八FBG中，? S矩形 IBLK S 堆形 IBLK 1 ?$FBG1BG - BF1勺? S矩形 IBLK = x 60 X 48 二 720.4【實際應(yīng)用】解：如解圖，延長 BA、CD相交于點E,過點E作EH垂直BC交BC于點H,tanB 二 tanC= 3, ?/ B 二/ C,?- EB 二 EC,BC 二-108 cm, ?- BH2BC 二 54t anB一 EH,4? EH二 BH-tanB 一-X 54= 723?在RtA BHE 屮，/EHB 二 90°? BE=Aj B+ EH2 二90 cm, AB 二