全面《高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)》

1、教師版高中數(shù)學(xué)必修 + 選修知識(shí)點(diǎn)歸納引言1.課程內(nèi)容： 必修課程由5個(gè)模塊組成： 必修1 :集合、函數(shù)概念與根本初等函數(shù)指、 對、幕函數(shù)必修2 :立體幾何初步、平面解析幾何初步。 必修3 :算法初步、統(tǒng)計(jì)、概率。必修4 :根本初等函數(shù)三角函數(shù)、平面向量、 三角恒等變換。必修5 :解三角形、數(shù)列、不等式。以上是每一個(gè)高中學(xué)生所必須學(xué)習(xí)的。上述內(nèi)容覆蓋了高中階段傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)根底 知識(shí)和根本技能的主要局部，其中包括集合、 函數(shù)、數(shù)列、不等式、解三角形、立體幾何初 步、平面解析幾何初步等。不同的是在保證打 好根底的同時(shí)，進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)了這些知識(shí)的發(fā)生、 開展過程和實(shí)際應(yīng)用，而不在技巧與難度上做 過高的要求

2、。此外，根底內(nèi)容還增加了向量、算法、概 率、統(tǒng)計(jì)等內(nèi)容。選修課程有4個(gè)系列： 系列1 :由2個(gè)模塊組成。 選修1 1 :常用邏輯用語、圓錐曲線與方程、 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用。選修1 2 :統(tǒng)計(jì)案例、推理與證明、數(shù)系的擴(kuò) 充與復(fù)數(shù)、框圖系列2 :由3個(gè)模塊組成。 選修21 :常用邏輯用語、圓錐曲線與方程、 空間向量與立體幾何。選修2 2 :導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用，推理與證明、數(shù)系 的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)選修2 3 :計(jì)數(shù)原理、隨機(jī)變量及其分布列， 統(tǒng)計(jì)案例。系列3 :由6個(gè)專題組成。 選修3 1 :數(shù)學(xué)史選講。 選修3 2 :信息平安與密碼。選修3 3 :球面上的幾何。選修34 :對稱與群。選修35 :歐拉公式與閉曲面分類

3、。選修36 :三等分角與數(shù)域擴(kuò)充。系列4 :由10個(gè)專題組成。選修4 1 :幾何證明選講。選修4 2:矩陣與變換。選修4 3:數(shù)列與差分。選修4 4 :坐標(biāo)系與參數(shù)方程。選修4 5 :不等式選講。選修4 6 :初等數(shù)論初步。選修4 7 :優(yōu)選法與試驗(yàn)設(shè)計(jì)初步。選修4 8:統(tǒng)籌法與圖論初步。選修4 9:風(fēng)險(xiǎn)與決策。選修4 10 :開關(guān)電路與布爾代數(shù)。2.重難點(diǎn)及考點(diǎn)：重點(diǎn)：函數(shù)，數(shù)列，三角函數(shù)，平面向量，圓錐曲線，立體幾何，導(dǎo)數(shù)難點(diǎn)：函數(shù)、圓錐曲線高考相關(guān)考點(diǎn)：集合與簡易邏輯：集合的概念與運(yùn)算、簡易邏輯、充要條件函數(shù)：映射與函數(shù)、函數(shù)解析式與定義域、值域與最值、反函數(shù)、三大性質(zhì)、函數(shù)圖象、指數(shù)與

4、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)與對 數(shù)函數(shù)、函數(shù)的應(yīng)用數(shù)列：數(shù)列的有關(guān)概念、等差數(shù)列、等比數(shù) 列、數(shù)列求和、數(shù)列的應(yīng)用三角函數(shù)：有關(guān)概念、同角關(guān)系與誘導(dǎo)公式、 和、差、倍、半公式、求值、化 簡、證明、三角函數(shù)的圖象與性 質(zhì)、三角函數(shù)的應(yīng)用平面向量：有關(guān)概念與初等運(yùn)算、坐標(biāo)運(yùn)算、 數(shù)量積及其應(yīng)用不等式：概念與性質(zhì)、均值不等式、不等式 的證明、不等式的解法、絕對值不 等式、不等式的應(yīng)用直線和圓的方程：直線的方程、兩直線的位 置關(guān)系、線性規(guī)劃、圓、 直線與圓的位置關(guān)系圓錐曲線方程：橢圓、雙曲線、拋物線、直 線與圓錐曲線的位置關(guān)系、 軌跡問題、圓錐曲線的應(yīng)用直線、平面、簡單幾何體：空間直線、直線 與平面、平面與平面、

5、棱柱、 棱錐、球、空間向量排列、組合和概率：排列、組合應(yīng)用題、二 項(xiàng)式定理及其應(yīng)用(11) 概率與統(tǒng)計(jì)：概率、分布列、期望、方差、抽樣、正態(tài)分布(12) 導(dǎo)數(shù)：導(dǎo)數(shù)的概念、求導(dǎo)、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(13) 復(fù)數(shù)：復(fù)數(shù)的概念與運(yùn)算必修1數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)第一章：集合與函數(shù)概念§1、把研究的對象統(tǒng)稱為元素，把一些元素組成的總體叫做 集合。集合三要素:確定性、互異性、無序性。2、只要構(gòu)成兩個(gè)集合的元素是一樣的，就稱這兩個(gè)集合相等。3、常見集合：正整數(shù)集合：N*或N，整數(shù)集合:Z ,有理數(shù)集合：Q ,實(shí)數(shù)集合: R.4、集合的表示方法： 列舉法、描述法.§1、一般地，對于兩個(gè)集合 A、B,如果集合

6、A中任意一個(gè)元素都是集合B中的元素，那么稱集合A是集合B的子集。記作A B.2、 如果集合 A B，但存在元素x B，且x A，那么稱集合A是集合B的真子集.記作：AB.3、把不含任何元素的集合叫做 空集 .記作：.并規(guī)定：空集合是任何集合的子集4、如果集合A中含有n個(gè)元素，那么集合A有2n個(gè)子集，2n 1個(gè)真子集§1、一般地，由所有屬于集合 A或集合B的元素組成的集合，稱為集合A與B的并集.記作：A B.2、一般地，由屬于集合 A且屬于集合B的所有元素組成的集合，稱為A與B的交集.記作：A B.3、全集、補(bǔ)集？ CuA x|x U，且x U§1、設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果

7、按照某種 確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的 任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有惟一確 定的數(shù)f x和它對應(yīng)，那么就稱 f : A B為集合A到集合B的一個(gè)函 數(shù)，記作：y f x ,x A.2、一個(gè)函數(shù)的構(gòu)成要素為：定義域、對應(yīng)關(guān)系、值域.如果兩個(gè)函數(shù)的定義域相同，并且對應(yīng)關(guān)系完全一致，那么稱 這兩個(gè)函數(shù)相等.§1、函數(shù)的三種表示方法：解析法、圖象法、列表法.§1、注意函數(shù)單調(diào)性的證明方法： 定義法：設(shè)x2 a,b, x-i x2那么f(xi) f(X2)0f (x)在a,b上 是增函數(shù)；f(x-) f (X2) 0f (x)在a,b上是減函數(shù).步驟：取值一作差一變形一定號(hào)一判

8、斷格式：解：設(shè)x1, x2 a, b且x-i x2，貝9：f捲 f x2二(2)導(dǎo)數(shù)法：設(shè)函數(shù)y f(x)在某個(gè)區(qū)間 內(nèi)可導(dǎo)，假設(shè)f (x) 0，那么f (x)為增函數(shù)；假設(shè)f (x) 0，那么f (x)為減函數(shù).§1、一般地，如果對于函數(shù)f X的定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有fX f X，那么就稱函數(shù)f x為偶函數(shù).偶函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱.2、一般地，如果對于函數(shù)f X的定義域內(nèi)任意一個(gè)X，都有fXf X，那么就稱函數(shù)f x為奇函數(shù).奇函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱.知識(shí)鏈接：函數(shù)與導(dǎo)數(shù)1、函數(shù)y f (x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)y f (x)在點(diǎn)X。處的導(dǎo)數(shù)是曲線 y f (x)在P(

9、x°, f (滄)處的切線的斜率 f (x°)，相應(yīng)的切線方程是y y° f (xo)(x xo).2、幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù) C'0 ;(Xn)'nxn 1 ；(sin x)'cosx ;(cosx)'sin x ；(ax)'axln a ；(ex)' ex(log a x)1 .(ln x)x In ax3、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法那么(1)1 1 1(u v) u v .(2)1 1 1(uv) u v uv .(3)zu ' uv uv /c、() 2 (v 0)vv4、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法那么復(fù)合函數(shù)y f(g(x)的導(dǎo)

10、數(shù)和函數(shù)y f(u),u g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為 yxyu ux，即y對x的導(dǎo)數(shù)等于y對u的導(dǎo)數(shù)與u對x的導(dǎo)數(shù)的乘積.解題步驟:分層一層層求導(dǎo)一作積復(fù)原.5、函數(shù)的極值(1) 極值定義：極值是在X0附近所有的點(diǎn)，都有f(x) Vf(x0)，那么f(X0)是函數(shù)f(x)的極大值；極值是在X0附近所有的點(diǎn)，都有f(x) >f(X0)，那么f(X0)是函數(shù)f(x)的極小值. 判別方法： 如果在x0附近的左側(cè)f(X)> 0,右側(cè)f'(x) V 0,那么f(Xo)是極大值； 如果在Xo附近的左側(cè)f (x) V 0,右側(cè)f (x) > 0,那么f (xo )是極小值.6、求函數(shù)

11、的最值(1)求y f(X)在(a, b)內(nèi)的極值(極大或者極小值)將y f(x)的各極值點(diǎn)與f(a), f(b)比較，其中最大的一個(gè)為最大值，最小的一個(gè) 為極小值。注：極值是在局部對函數(shù)值進(jìn)行比擬(局 部性質(zhì))；最值是在整體區(qū)間上對函數(shù)值進(jìn) 行比擬(整體性質(zhì))。第二章：根本初等函數(shù)(I)§1、一般地，如果xn a ,那么x叫做a的n次方根。其中n 1,n N . aras ar s a 0,r,s Q ;圖 象性質(zhì)(1)定義域：R(2)值域：(0, +8)(3)過定點(diǎn)(0, 1),即 x=0 時(shí)，y=1(4)在R上是增函數(shù)(4)在R上是減函數(shù)(5) x 0,ax 1;(5) x 0,

12、0ax 1Js arars a 0,r,s Q ； ab r arbr a30,b0, r Q .§1、記住圖象：y ax a 0, a 12、性質(zhì):y=ax0<a<1a>1§21、指數(shù)與對數(shù)互化式:ax Nx loga N ；2、對數(shù)恒等式：alogaN N .3、根本性質(zhì)：logal 0 , log a a 1 .2、當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),n nVa a ；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),n nva <a3、我們規(guī)定：n ammana 0, m, nN *, m 1an na0 ；4、運(yùn)算性質(zhì)： log a MNloga Mlog a N ； log a Ua Nloga

13、 Mlog a N ； log a M nnlog a M.5、換底公式：log a blogc b logc aa 0, a 1,c0, c 1,b0 .6、重要公式：loganbmm.loga b n4、運(yùn)算性質(zhì)：當(dāng)a 0,a1,M0,N0時(shí):7lOgab§ 2.22、對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)1、記住圖象：y log a x a 0,a12、性質(zhì):y=log ax0<a<1o/1a>1*x圖象i性質(zhì)(1)定義域：(0, +x)(2)值域：R(3)過定點(diǎn)(1，0)，即 x=1 時(shí)，y=0(4 )在(0，+比)上是增函數(shù)(4)在(0, +)上是減函數(shù) x 1,lOga x

14、0 ； x 1,lOga x 0 ；§ 2.3、冪函數(shù)1、幾種冪函數(shù)的圖象: 第三章：函數(shù)的應(yīng)用 §1、方程f x 0有實(shí)根函數(shù)y f x的圖象與x軸有交點(diǎn) 函數(shù)y f x有零點(diǎn).2、零點(diǎn)存在性定理：如果函數(shù)y f x在區(qū)間a,b上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f a f b 0， 那么函數(shù)y f x在區(qū)間a,b內(nèi)有零點(diǎn)，即 存在c a,b，使得f c 0，這個(gè)c也就是§1、掌握二分法.§§1、解決問題的常規(guī)方法：先畫散點(diǎn)圖，再 用適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)擬合，最后檢驗(yàn).必修2數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)第一章：空間幾何體1、空間幾何體的結(jié)構(gòu)(常見的多面體有:棱柱、棱錐、

15、棱臺(tái)；常見的旋轉(zhuǎn)體有：圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球。棱柱:有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱。棱臺(tái)：用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面與截面之間的局部，這樣的多面體叫做棱臺(tái)。2、空間幾何體的三視圖和直觀圖把光由一點(diǎn)向外散射形成的投影叫中心投影，中心投影的投影線交于一點(diǎn)；把在一束平行光線照射下的投影叫 平行投影，平行投影的投影線是平行的。3、空間幾何體的外表積與體積圓柱側(cè)面積；S側(cè)面2 r l圓錐側(cè)面積：S側(cè)面r l圓臺(tái)側(cè)面積：S側(cè)面r l R lV柱體S h ； V錐體球的外表積和體積:體積公式:243S 球4 R , V

16、球3 R 第二章：點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系1、公理1 :如果一條直線上兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這 條直線在此平面內(nèi)。2、公理2:過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平 面。3、公理3:如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么 它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線。4、公理4:平行于同一條直線的兩條直線平行.5、定理:空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么 這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)。6、線線位置關(guān)系： 平行、相交、異面。7、線面位置關(guān)系: 直線在平面內(nèi)、直線和平面平行、 直線和平面相交。8、面面位置關(guān)系：平行、相交。9、線面平行:判定：平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行簡稱線

17、線平行，那么線面平行性質(zhì)：一條直線與一個(gè)平面平行，那么過這條直線的任 一平面與此平面的交線與該直線平行簡稱線面平行， 那么線線平行。10、面面平行:判定：一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面平行簡稱線面平行，那么面面平行。性質(zhì)：如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那 么它們的交線平行簡稱面面平行，那么線線平行。11、線面垂直:定義：如果一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直 線，那么就說這條直線和這個(gè)平面垂直。判定：一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么該直線與此平面垂直簡稱線線垂直，那么線面垂直性質(zhì)：垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行。12、面面垂直: 定義：兩個(gè)平面

18、相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個(gè)平面互相垂直。判定：一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面垂直簡稱線面垂直，那么面面垂直性質(zhì)：兩個(gè)平面互相垂直,那么一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個(gè)平面。 直。簡稱面面垂直，那么線面垂第三章：直線與方程1、傾斜角與斜率：ktany 如x2x1h和12相交k1k1b1k2b22、直線方程:點(diǎn)斜式：yy。k xX。斜截式：ykxb兩點(diǎn)式：yy1y2y1xxxX1截距式：xy1ab般式：AxByC03、對于直線：11 : yk1xb1, l2:yk2xb2有 11 12k1k2 ；b1b2 5 ll I2k1k21.d r 相切0；l1

19、 : A1xB1 y C10, 有:l2 : A2xB2 yC20 l1/l2A1B2A2 B1.B1C2B2C1 'l1和l2相交A1 B2A2 B1 ；l1和l2重合A b2a2 B1B-|C2B2C1 11 l 2A1A2B1B20.4、對于直線:d r 相交0.弦長公式:l 2. r* 2 d23、兩圓位置關(guān)系： d IO1O2外離：dRr ；外切：dRr ；相交：Rrd R r ；內(nèi)切：dRr ；內(nèi)含：dRr.5、兩點(diǎn)間距離公式：6、點(diǎn)至U直線距離公式：7、兩平行線間的距離公式：l1 : Ax By C1 0 與 l2 : Ax By C2 0 平 行，那么d f1第四章：圓

20、與方程1、圓的方程：3、空間中兩點(diǎn)間距離公式：必修3數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)第一章：算法1、算法三種語言：自然語言、流程圖、程序語言；2、流程圖中的圖框：起止框、輸入輸出框、處理框、判斷框、流程線等標(biāo)準(zhǔn)表示方法；3、算法的三種根本結(jié)構(gòu)：順序結(jié)構(gòu)、條件結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)順序結(jié)構(gòu)示意圖：(x a)2 (y b)2r2的位置關(guān)系有三種語句n圖1條件結(jié)構(gòu)示意圖： IF-THEN-ELSE 格式：IF 條件THEN循環(huán)語句的一般格式是兩種:END IF圖當(dāng)型循環(huán)WHILE I語句的一般格式:3 IF-THEN 格式 一i芥是"""語句1ii是語句2 ；下結(jié)構(gòu)示意足條

21、件| |i1否循7WHILE條件循環(huán)體圖4WEND直到型循環(huán)UNTIL語句的一般格式:否當(dāng)型WHIL直到型iDO理循環(huán)結(jié)語句意圖:1 :卄圖4UUNTIL循環(huán)體_; 循環(huán)結(jié)構(gòu)示意圖: kP是4、根本算法循環(huán)體否輸入語句的一般格式：滬U“提示內(nèi)容；輸出語句的一般格式:PRINT提示內(nèi)容；表達(dá)式賦值語句的一般格式:變量=表達(dá)式“二有時(shí)也用條件語句的一般格式有兩種:IF THEN- ELSE語句的一般格式為:IF TIF 條件 THEN語句1圖ELSE、HEN語句的一般格式為:END IF循環(huán)體LOOP UNTIL輾轉(zhuǎn)相除法一結(jié)果是以相除余數(shù)為0而得到利用輾轉(zhuǎn)相除法求最大公約數(shù)的步驟如下：i:用較大

22、的數(shù)m除以較小的數(shù)n得到 一個(gè)商S0和一個(gè)余數(shù)R。;ii：假設(shè)Rd = 0,那么n為m, n的最大公約 數(shù)；假設(shè)Ro工0,那么用除數(shù)n除以余數(shù)Ro得到 一個(gè)商S和一個(gè)余數(shù)R ;iii:假設(shè)Ri = 0,那么Ri為m, n的最大公約 數(shù)；假設(shè)R工0,那么用除數(shù)Ro除以余數(shù)R得到 一個(gè)商S2和一個(gè)余數(shù)R2 ；依次計(jì)算直至Rn = 0,此時(shí)所得到的Rn 1 即為所求的最大公約數(shù)。 更相減損術(shù)一結(jié)果是以減數(shù)與差相等而 得到利用更相減損術(shù)求最大公約數(shù)的步驟如下：i:任意給出兩個(gè)正數(shù)；判斷它們是否 都是偶數(shù)。假設(shè)是，用2約簡；假設(shè)不是，執(zhí)行 第二步。ii:以較大的數(shù)減去較小的數(shù)，接著把 較小的數(shù)與所得的差

23、比擬，并以大數(shù)減小 數(shù)。繼續(xù)這個(gè)操作，直到所得的數(shù)相等為止， 那么這個(gè)數(shù)等數(shù)就是所求的最大公約數(shù)。 進(jìn)位制十進(jìn)制數(shù)化為k進(jìn)制數(shù)一除k取余法 k進(jìn)制數(shù)化為十進(jìn)制數(shù)第二章：統(tǒng)計(jì) 簡單隨機(jī)抽樣總體個(gè)數(shù)較少 系統(tǒng)抽樣總體個(gè)數(shù)較多 分層抽樣總體中差異明顯注意：在N個(gè)個(gè)體的總體中抽取出 n個(gè)個(gè)體組成樣本，每個(gè)個(gè)體被抽到的時(shí)機(jī)概率注意：頻率分布表計(jì)算平均數(shù)要取組中值。方差與標(biāo)準(zhǔn)差：一組樣本數(shù)據(jù) Xi,X2方差:標(biāo)準(zhǔn)差:s* 2(Xi2X)；、n(Xii 1X)注：方差與標(biāo)準(zhǔn)差越小，說明樣本數(shù)據(jù)越穩(wěn) 定。2、總體分布的估計(jì)：一表二圖：平均數(shù)反映數(shù)據(jù)總體水平；方差與標(biāo)準(zhǔn)差反映數(shù)據(jù)的穩(wěn)定水平。 頻率分布表數(shù)據(jù)詳實(shí)

24、 頻率分布直方圖 分布直觀 頻率分布折線圖便于觀察總體分布 趨勢注：總體分布的密度曲線與橫軸圍成的面積線性回歸方程 變量之間的兩類關(guān)系：函數(shù)關(guān)系與相關(guān)關(guān) 系； 制作散點(diǎn)圖，判斷線性相關(guān)關(guān)系 線性回歸方程：y bx a 最小二乘法 注意：線性回歸直線經(jīng)過定點(diǎn) &,y0平均數(shù):莖葉圖： 莖葉圖適用于數(shù)據(jù)較少的情況，從中便于 看出數(shù)據(jù)的分布，以及中位數(shù)、眾位數(shù)等。 個(gè)位數(shù)為葉，十位數(shù)為莖，右側(cè)數(shù)據(jù)按照 從小到大書寫，相同的數(shù)據(jù)重復(fù)寫 3、總體特征數(shù)的估計(jì)：XiX2 X3Xn第三章：概率1、隨機(jī)事件及其概率：根本領(lǐng)件：一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的每一個(gè)根本結(jié)果;生，那么稱這兩個(gè)事件為對立事件。古典概型

25、的特點(diǎn)： 所有的根本領(lǐng)件只有有限個(gè)； 每個(gè)根本領(lǐng)件都是等可能發(fā)生。古典概型概率計(jì)算公式：一次試驗(yàn)的等可 能根本領(lǐng)件共有n個(gè)，事件A包含了其中的 m個(gè)根本領(lǐng)件，貝淳件A發(fā)生的概率p(a)巴.n3、幾何概型：幾何概型的特點(diǎn)： 所有的根本領(lǐng)件是無限個(gè)； 每個(gè)根本領(lǐng)件都是等可能發(fā)生。幾何概型概率計(jì)算公式：P(A)竺測度；()D的測度其中測度根據(jù)題目確定，一般為線段、角度、 面積、體積等。4、互斥事件：不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件稱為互斥事件；如果事件A,A2, ,An任意兩個(gè)都是互斥事 件，那么稱事件Ai,A2, , An彼此互斥。如果事件 A, B互斥，那么事件 A+B發(fā)生的概率，等于事件A，B發(fā)生的概

26、率的和，即：P(A B) P(A) P(B)如果事件A!,A2, ,An彼此互斥，那么有：對立事件：兩個(gè)互斥事件中必有一個(gè)要發(fā) 事件A的對立事件記作A 對立事件一定是互斥事件，互斥事件未必 是對立事件。必修4數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)第一章：三角函數(shù)1、正角、負(fù)角、零角、象限角 的概念.2、與角終邊相同的角的集合：2k ,k Z .§1、把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫 做1弧度的角.2、| | 丄.r3、弧長公式：I n R R.1804、扇形面積公式：S丄只.3602§ 1、設(shè) 是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓 交于點(diǎn)P x, y，那么:sin y, cos x, tanx2、設(shè)點(diǎn)A

27、x ,y為角終邊上任意一點(diǎn),那么：設(shè)r廠yx丄ysin ， cos ， tanrrx3、 sin , cos ,tan在四個(gè)象限的符號(hào)和三角函數(shù)線的畫法.正弦線：MP;余弦線：OM;正切線：AT5、 特殊角0°,30 ° ,45 ° ,6090 °,180 °,270等的三角函數(shù)值0§1、平方關(guān)系：sin周期性.3、會(huì)用五點(diǎn)法作圖.y sinx在x 0,2 上的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)為：30,0,二，,0，- ,-1,2 ,0. 22cos12、商數(shù)關(guān)系：tansincos3、倒數(shù)關(guān)系：tancot1概括為“奇變偶不變，符號(hào)看象限 k Z1、誘導(dǎo)

28、公式一：sin2ksin ,cos2kcos ,其中：k Z tan2ktan .cot§ 1.3、三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式2、誘導(dǎo)公式二：3、誘導(dǎo)公式三：4、誘導(dǎo)公式四：5、誘導(dǎo)公式五：6、誘導(dǎo)公式六：§1、記住正弦、余弦函數(shù)圖象:y=s inx2、能夠?qū)φ請D象講講出正弦、3余弦函數(shù)的相-4 -7 -3*丿-2 -3 _至關(guān)性質(zhì)：定義域o J/2 5 3亠八'值域、最大最小值、對稱軸、對稱中心、奇偶性、單調(diào)性、§1、記住正切函數(shù)的圖象:y=ta nxI i/y11 J /l!3一-2/1J/ /Jo2/ 2Jr/x2、記住余切函數(shù)的圖象:3、能夠?qū)φ請D象講出正

29、切函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)：定義域、值域、對稱中心、奇偶性、單調(diào)性、周期性.周期函數(shù)定義：對于函數(shù)f x，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T,使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值 時(shí)，都有f x T f x，那么函數(shù)f x就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期.圖表歸納：正弦、余弦、正切函數(shù)的圖像及其性質(zhì)圖象定義域值域-1,1-1,1最值無周期性奇偶性奇偶奇單調(diào)性在2k-2k -上單調(diào)遞2' 2在2 k,2 k 上單調(diào)遞在(k ,k _)上單調(diào)2 2遞增增在2 k -,2k上單調(diào)2 2增在2k ,2k上單調(diào)遞減遞減對稱對稱軸方程：x k 2對稱軸方程：x k無對稱軸性對稱中心(k ,0)對稱中心(k ,0)2

30、k對稱中心(k ,0)2(左加右減)要根據(jù)周期來求要用圖像的關(guān)鍵點(diǎn)來§ 1.5、函數(shù)y Asin x 的圖象1、對于函數(shù)：y As in x B A 0,0 有：振幅 A,2周期T ，初相，相位x ，頻率f 1 廠.2、能夠講出函數(shù)y sin x的圖象與y As in xB的圖象之間的平移伸縮變換關(guān)系 先平移后伸縮：y sin x平移|個(gè)單位 y sin x(左加右減)橫坐標(biāo)不變yAs in x縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腁倍縱坐標(biāo)不變yAs in x1橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼膢一|倍平移|B|個(gè)單位亍y Asin xB(上加下減) 先伸縮后平移：y sin x 橫坐標(biāo)不變$ y Asin x縱坐標(biāo)變?yōu)?/p>

31、原來的A倍縱坐標(biāo)不變* y Asin xi橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼膢一|倍平移一個(gè)單位 y Asin x平移|B|個(gè)單位* y Asin xB(上加下減)3、三角函數(shù)的周期，對稱軸和對稱中心函數(shù)y sin( x )，x R及函數(shù)y cos( x )， x R(A,為常數(shù)，且 A 半0)的周期T ;函數(shù)y tan( x )，I Ix k , k Z A, 3 ,為常數(shù)，且 Am 02的周期T .對于 y Asin( x )和 y Acos( x )來 說，對稱中心與零點(diǎn)相聯(lián)系， 對稱軸與最值 點(diǎn)聯(lián)系求函數(shù)y Asin( x)圖像的對稱軸與對稱中心，只需令 x k -(k Z)與2x k (k Z)解出x

32、即可.余弦函數(shù)可與正弦函數(shù)類比可 得.4、由圖像確定三角函數(shù)的解析式利用圖像特征：a血沁，2ymaxymin求.§ 1.6、三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用 1、要求熟悉課本例題 第三章、三角恒等變換2、輔助角公式記住15 °的三角函數(shù)值:6、tan升冪公式:1 cos 21 cos2c22cos2sin2§1、sinsincoscossin2、sinsincoscossin3、coscoscossinsin4、coscoscossinsin5、tantan tan 1 tan tantan tan1 tan tan1、 sin22sin cos ,變形匸sin cos|s

33、i n22、 cos 2cos2sin21 2si n2 .變形如下2 1cos十1cos 2降冪公式:2sin2121cos22tan3、 tan2-.1 tan2/si n2 1 cos24、tan1 cos2 sin 2§ 3.2、簡單的三角恒等變換其中輔助角所在象限由點(diǎn)a,b的象限決定,tan b .a第二章：平面向量§1、了解四種常見向量： 力、位移、速度、 加速度.2、既有大小又有方向的量叫做量.§1、帶有方向的線段叫做 有向線段，有向線 段包含三個(gè)要素：起點(diǎn)、方向、長度 .2、向量AB的大小，也就是向量AB的長度或稱模，記作AB ;長度為零的向 量叫

34、做零向量;長度等于1個(gè)單位的向 量叫做單位向量.3、方向相同或相反的非零向量叫做平行向 量或共線向量 .規(guī)定：零向量與任 意向量平行.§1、長度相等且方向相同的向量叫做相等向量.§1、 三角形加法法那么 和 平行四邊形加法法1、注意正切化弦、平方降次2、a b < a .§1、與a長度相等方向相反的向量叫做 a的 相反向量.2、三角形減法法那么 和 平行四邊形減法法那么.§1、規(guī)定：實(shí)數(shù) 與向量a的積是一個(gè)向量， 這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘.記作：a， 它的長度和方向規(guī)定如下： a |a ,當(dāng) 0時(shí)，a的方向與a的方向相 同；當(dāng) 0時(shí)，a的方向與a的方

35、 向相反.2、平面向量共線定理:向量a a 0與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)，使b a.§1、平面向量根本定理：如果e,e2是同一平 面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量， 那么對于這一 平面內(nèi)任一向量a，有且只有一對實(shí)數(shù)Li1, 2，使 a 1 ei 2 e2 .1、xiyjx,y .1、設(shè)aX1,i-y1 ,b X2,y2 ，a-9bX1X2, y1y2，abX1 X2, y1y2 ，aX1，y1，a/bX1 y2X2 y1.2、設(shè)A%, y1,B X2, y2 ，貝y：ABX2X1, y2y1§§那么:1、設(shè) A X1, y1 , B X2, y2線段AB中點(diǎn)坐標(biāo)為厶AB

36、C的重心坐標(biāo)為1、2、3、4、5、a b cos,C X3,y3 ，那么x1 x2 y1 y2 2 'x1 x2 x3y1 y2 y33,3a在b方向上的投影為：|cosia2.a2.1、設(shè) ax1, y1 ,b x2, y2，貝U：yAa b a/b a b為y? x?y1 02、設(shè) A xi, yi , B X2, y2 ,那么:,那么向量n叫做平面 的法向量.AB2 2X2Xiy2yi3、兩向量的夾角公式 4、點(diǎn)的平移公式平移前的點(diǎn)為P(x, y)(原坐標(biāo))，平移后的對應(yīng)點(diǎn)為P (x , y )(新坐標(biāo))，平移向量為.平面的法向量的求法(待定系數(shù)法)： 建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系. 設(shè)平面

37、 的法向量為n (x,y,z). 求出平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量的坐標(biāo)rita (ai,82,03), b (bibb).uuirPP (h,k)，x hy k.根據(jù)法向量定義建立方程組函數(shù)y f (x)的圖像按向量a (h,k)平移解方程組，取其中一組解，即得平面這個(gè)向量垂直于平面，記作n ，如果行，也可以在平面內(nèi)找一個(gè)向量與直線后的圖像的解析式為y k f(x h).§§知識(shí)鏈接：空間向量空間向量的許多知識(shí)可由平面向量的知識(shí)類比而得.下面對空間向量在立體幾何中 證明，求值的應(yīng)用進(jìn)行總結(jié)歸納.1、直線的方向向量和平面的法向量.直線的方向向量：假設(shè)AB是直線I上的任意兩點(diǎn)，那么A

38、B為 直線I的一個(gè)方向向量；與AB平行的任意非 零向量也是直線I的方向向量.平面的法向量：假設(shè)向量n所在直線垂直于平面，那么稱的法向量.a、b，那么要證明ii a 12，只需證明a # b，即a kb(k r).即：兩直線平行或重合 = 兩直線的方向 向量共線。線面平行 (法一)設(shè)直線i的方向向量是a，平面r的法向量是u，那么要證明I /,只需證明r r r r a u，即 a u 0 .即：直線與平面平行 =直線的方向向量與該平面的法向量垂直且直線在平面外 (法二)要證明一條直線和一個(gè)平面平的方向向量是共線向量即可面面平行假設(shè)平面的法向量為u,平面的法向量 為V，要證 /,只需證U / v，

39、即證u v.即：兩平面平行或重合 =:兩平面的法向 量共線。3、用向量方法判定空間的垂直關(guān)系線線垂直設(shè)直線h,i2的方向向量分別是a、b，那么要 證明ii J，只需證明a b，即a b 0.即：兩直線垂直=：兩直線的方向向量垂 直。線面垂直 法一設(shè)直線I的方向向量是a，平面 的法向量是u，那么要證明I ，只需證明r r r ra / u，即 a u . 法二設(shè)直線i的方向向量是a，平面LT iu內(nèi)的兩個(gè)相交向量分別為 m、n，假設(shè)r ura m 0r r,那么 Ian 0即：直線與平面垂直 =直線的方向向量 與平面的法向量共線 =直線的方向向量與 平面內(nèi)兩條不共線直線的方向向量都垂直。 面面垂

40、直假設(shè)平面的法向量為u，平面的法向量 為V，要證，只需證u v，即證u v 0 .即：兩平面垂直 = 兩平面的法向量垂 直。4、利用向量求空間角求異面直線所成的角a,b為兩異面直線，A，C與B，D分別 是a,b上的任意兩點(diǎn)，a,b所成的角為，un uju.AC BD貝寸 COSUULf|UUU .ac|bd求直線和平面所成的角 定義：平面的一條斜線和它在平面上的 射影所成的銳角叫做這條斜線和這個(gè)平面 所成的角 求法：設(shè)直線i的方向向量為a，平面 的法向量為u，直線與平面所成的角為，a 與u的夾角為，貝y 角的余角.即有：求二面角為的余角或的補(bǔ)卩'a/ Y 7 定義：平面內(nèi)的一條直線把平

41、面分為兩 個(gè)局部，其中的每一局部叫做半平面；從一 條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫 做二面角，這條直線叫做二面角的棱，每個(gè)半平面叫做二面角的面+二面角的平面角是指在二面角丨的棱上任取一點(diǎn)0,分別在兩個(gè)半平面內(nèi)作 射線AO l,B0 l，貝y A0B為二面角 l的平面角.-如圖：求法：設(shè)二面角斗J平面的法向量分別為，再設(shè)A n的夾角為,二面角丨的平面角為，那么二面角 為m、n的夾角或其補(bǔ)角根據(jù)具體圖形確定是銳角或是鈍角:如果是銳角，那么cos cosit rm n平面的法向量為n，那么p到平面的距離uuur就等于MP在法向量n方向上的投影的絕對 值.即 d mp c°snuuup|

42、 直線a與平面 之間的距離當(dāng)一條直線和一個(gè)平面平行時(shí)，直線上的 各點(diǎn)到平面的距離相等。由此可知，直線到 平面的距離可轉(zhuǎn)化為求直線上任一點(diǎn)到平 面的距離，即轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離。r uuurn MP即 d -.n 兩平行平面 , 之間的距離arccos ur r利用兩平行平面間的距離處處相等， 可將cos在平面內(nèi)的如果是鈍角，那么ur rm ncosU m1 nurrmnarccos5、利用法向量求空間距離點(diǎn)Q到直線L距離假設(shè)q為直線I外的一點(diǎn)，p在直線I上，a為r uuu直線I的方向向量，b =PQ，那么點(diǎn)Q到直線I 距離為1 / r r 2r h .|a|b| a b|a|點(diǎn)A到平面_的距離假設(shè)點(diǎn)

43、P為平面外一點(diǎn)，點(diǎn)M為平面內(nèi)任一點(diǎn)，兩平行平面間的距離轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)面距離。r uurn MP 即 d -.n異面直線間的距離設(shè)向量n與兩異面直線a,b都垂直，M a,P b,那么兩異面直線a,b間的距離d就 是Mip在向量n方向上投影的絕對值。r uurn MP 即d .n6、三垂線定理及其逆定理 三垂線定理:條直線，如果它和這個(gè)平面的一條斜線的射 影垂直，那么它也和這條斜線垂直 .PO ,0推理模式：PAI Aa PAa , a 0A概括為：垂直于射影就垂直于斜線三垂線定理的逆定理： 在平面內(nèi)的一條直特例.必修5數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)asin Absin B爲(wèi)2R.其中R為ABC外接圓的半徑第一章：解三角

44、形 1、正弦定理:用途：三角形兩角和任一邊， 求其它線，如果和這個(gè)平面的一條斜線垂直，那么兀素;它也和這條斜線的射影垂直三角形兩邊和其中一邊的對為AC所角為S S射，平面 與平面所成的二面角的大(A B)2C 22(A B).sin A sin B A B;B或 A B -特別注2sin A sin B A B 不P0 ,0推理模式：PAI Aa AOa, a AP概括為：垂直于斜線就垂直于射影7、三余弦定理設(shè)AC是平面 內(nèi)的任一條直線，AD是 的一條斜線 AB在 內(nèi)的射影，且BDL AD 垂足為D.設(shè)AB與 AD所成的角為i，AD與AC的角AB與 成的那么cos cos 1COS 2.&am

45、p; 面積射影定理平面 內(nèi)一個(gè)多邊形的面積為 s S原，它在平面內(nèi)的射影圖形的面積為 小為銳二面角，那么9、一個(gè)結(jié)論長度為I的線段在三條兩兩互相垂直的直線上的射影長分別為卜12、l3，夾角分別為1、2、3,那么有I2 Il2 I； I；CoS 1 COS5 2 COS2 3 1sin2 i sin2 2 sin2 3 2.立體幾何中長方體對角線長的公式是其角，求其它元素。2、余弦定理：用途：三角形兩邊及其夾角， 求其它 兀素;三角形三邊，求其它元素 做題中兩個(gè)定理經(jīng)常結(jié)合使用3、三角形面積公式：4、三角形內(nèi)角和定理：在厶ABC中，有ABCCC _ A B2 2 25、一個(gè)常用結(jié)論：在ABC中，

46、a b假設(shè) sin2A sin2B,那么A意，在三角函數(shù)中，成立。第二章：數(shù)列1、數(shù)列中an與Sn之間的關(guān)系：S , (n annSn Sm，(n注意通項(xiàng)能否合并。3、等比數(shù)列2、等差數(shù)列:定義：如果一個(gè)數(shù)列從第 2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，即an an !=d，(n>2，n N )，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列。等差中項(xiàng)：假設(shè)三數(shù)a、A、b成等差數(shù)列A U2通項(xiàng)公式：an ai(n 1)dam (n m)d或anpn q p、q是常數(shù).前n項(xiàng)和公式:常用性質(zhì):假設(shè) m n p q m, n, p,q N，貝Uam an ap aq ; 下標(biāo)為等差數(shù)列的項(xiàng) ak，ak m

47、，a組成等差數(shù)列； 數(shù)列 an b ,b為常數(shù)仍為等差數(shù)列; 假設(shè)an、bn是等差數(shù)列，那么kan、p是非零常數(shù)、，也成等差數(shù)列。的公差為d，那么:為遞增數(shù)列；為遞減數(shù)列； 為常數(shù)列；kan pbn ( k、ap nq( p,q單調(diào)性：k km k 2m1i)ii)ananiii數(shù)列an為等差數(shù)列 是常數(shù)ananpn q(p,q假設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn，那么Sk、S2kSk、S3kS2k是等差數(shù)列。定義：如果一個(gè)數(shù)列從第 2項(xiàng)起，每一項(xiàng) 與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，那 么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列。等比中項(xiàng)：假設(shè)三數(shù)a、Gb成等比數(shù)列G2 ab, ab同號(hào)。反之不一定成立。通項(xiàng)公式：an

48、n 1agann m2前n項(xiàng)和公式：a1 1nq冃anqSn 1q1 q常用性質(zhì)假設(shè)m n p qm, n, p,qN，那么am anap aq ； ak , ak m , ak 2m ,為等比數(shù)列，公比為qk下標(biāo)成等差數(shù)列，那么對應(yīng)的項(xiàng)成等比數(shù)列數(shù)列 an 為不等于零的常數(shù)比為q的等比數(shù)列；正項(xiàng)等比數(shù)列l(wèi)g an是公差為lg q的等差數(shù)列;假設(shè)an是等比數(shù)列，貝y can ，an2anr r Z是等比數(shù)列，公比依次是仍是公an；那么丄an2 1rq，q，一，q .q單調(diào)性：a1 0,q 1或a1 0,0 q 1an為遞增數(shù)列；a1 0,0 q 1 或a1 0,q 1an 為遞減數(shù)列；q 1

49、an為常數(shù)列;將上述n 1個(gè)式子兩邊分別相加，可得:項(xiàng)求和類型W累乘法：q 0 an為擺動(dòng)數(shù)列；既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列的數(shù)列是常數(shù)列。假設(shè)等比數(shù)列 an的前n項(xiàng)和Sn，那么Sk、S2k Sk、S3k S2k是等比數(shù)列4、非等差、等比數(shù)列通項(xiàng)公式的求法類型I |觀察法：數(shù)列前假設(shè)干項(xiàng), 求該數(shù)列的通項(xiàng)時(shí)，一般對所給的項(xiàng)觀察分 析，尋找規(guī)律，從而根據(jù)規(guī)律寫出此數(shù)列的anf (n 1) f(n 2)f(2)f(1) a“(n 2) 假設(shè)f(n)是關(guān)于n的一次函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和； 假設(shè)f(n)是關(guān)于n的指數(shù)函數(shù)，累加后可 轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和； 假設(shè)f(n)是關(guān)于n的二次函數(shù)，累加后可分 組求和； 假設(shè)f(n)是關(guān)于n的分式函數(shù)，累加后可裂一個(gè)通項(xiàng)。形如 an 1 an f(n)an 1公式法：假設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng) 和Sn與an的關(guān)系，求數(shù)列an的通項(xiàng)可用3, (nan& Sn 1, ( nanf(n)型的遞推數(shù)列 (其中f(n)是關(guān)于n