電磁場(chǎng)與電磁波課件之有限差分法

1、1.1. 二維泊松方程的差分格式二維泊松方程的差分格式 有限差分法（有限差分法（Finite Differential MethodFinite Differential Method）是基于差分原理的一）是基于差分原理的一種數(shù)值計(jì)算法。其基本思想：將場(chǎng)域離散為許多小網(wǎng)格，應(yīng)用差分原理，種數(shù)值計(jì)算法。其基本思想：將場(chǎng)域離散為許多小網(wǎng)格，應(yīng)用差分原理，將求解連續(xù)函數(shù)將求解連續(xù)函數(shù) 的泊松方程的問(wèn)題轉(zhuǎn)換為求解網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上的泊松方程的問(wèn)題轉(zhuǎn)換為求解網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上 的差分方程的差分方程組的問(wèn)題。組的問(wèn)題。 通常將場(chǎng)域分成足夠小的正方形網(wǎng)格，通常將場(chǎng)域分成足夠小的正方形網(wǎng)格，網(wǎng)格線之間的距離為網(wǎng)格線之間的距離

2、為h h，節(jié)點(diǎn)，節(jié)點(diǎn)0,1,2,3,40,1,2,3,4上上的電位分別用的電位分別用 和和 表示。表示。 3210,4處的泰勒公式展開(kāi)為方向在則沿處可微在設(shè)函數(shù)00 xxx,)3()(0)(!000)(nnKKKxxxxxK)2()() 1 (2222sfFyxL二維靜電場(chǎng)邊值問(wèn)題：二維靜電場(chǎng)邊值問(wèn)題：3.7 3.7 有有 限限 差差 分分 法法 0333022200303330222001xh31xh21xhxh31xh21xh)(!)(!)()(!)(!)(h2x31xx0)(（8）（4）將將 和和 分別代入式分別代入式(3),(3),得得1xx 3x2301yy22h2y0)(同理同理（

3、5） 由（由（4 4）（5 5）由（由（4 4）+ +（5 5）2301xx22h2x0)(（6）（7）（9）h2y31yy0)(將式（將式（7 7）、（）、（9 9）代入式（）代入式（1 1），得到泊松方程的五點(diǎn)差分格式），得到泊松方程的五點(diǎn)差分格式2043214Fh)(41243210Fh當(dāng)場(chǎng)域中當(dāng)場(chǎng)域中 ，得到拉普拉斯方程的五點(diǎn)差分格式，得到拉普拉斯方程的五點(diǎn)差分格式00404321)(41432102.2. 邊界條件的離散化處理邊界條件的離散化處理第二類邊界條件第二類邊界條件 邊界線與網(wǎng)格線相重合的差分格式：邊界線與網(wǎng)格線相重合的差分格式：hffhn2102010,)(對(duì)稱邊界條件對(duì)稱

4、邊界條件)(Fh24124210若場(chǎng)域離散為矩形網(wǎng)格，若場(chǎng)域離散為矩形網(wǎng)格，F(xiàn)2h1h1h1h10222142222121)()()(差分格式為：差分格式為：第一類邊界條件第一類邊界條件 給邊界離散節(jié)點(diǎn)直接賦已知電位值。給邊界離散節(jié)點(diǎn)直接賦已知電位值。介質(zhì)分界面銜接條件的差分格式介質(zhì)分界面銜接條件的差分格式合理減小計(jì)算場(chǎng)域，差分格式為合理減小計(jì)算場(chǎng)域，差分格式為 , )(43210K1K2K1241baK 其中其中 1 12 2邊界條件的離散化處理邊界條件的離散化處理3.3. 差分方程組的求解方法差分方程組的求解方法高斯高斯賽德?tīng)柕ㄙ惖聽(tīng)柕?(,)(,)(,)(,)(,2k1jikj1

5、i1k1ji1kj1i1kjiFh41式中：式中： ,210k21ji， 迭代順序可按先行后列，或先列后行進(jìn)行。迭代順序可按先行后列，或先列后行進(jìn)行。 迭代過(guò)程遇到邊界節(jié)點(diǎn)時(shí)，代入邊界值或邊界差分格式，直到所有節(jié)迭代過(guò)程遇到邊界節(jié)點(diǎn)時(shí)，代入邊界值或邊界差分格式，直到所有節(jié)點(diǎn)電位滿足點(diǎn)電位滿足 為止。為止。)(,)(,kji1kji超松弛迭代法超松弛迭代法)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,kji2k1jikj1i1k1ji1kj1ikji1kji4Fh4式中：式中：加速收斂因子加速收斂因子)(21高斯高斯賽德?tīng)柕ㄙ惖聽(tīng)柕?迭代收斂的速度與迭代收斂的速度與 有明顯關(guān)系：有明顯關(guān)系：

6、 收斂因子（收斂因子（ ） 1.0 1.7 1.8 1.83 1.85 1.87 1.9 2.01.0 1.7 1.8 1.83 1.85 1.87 1.9 2.0 迭代次數(shù)（迭代次數(shù)（ N N） 1000 269 174 143 122 133 171 1000 269 174 143 122 133 171 發(fā)散發(fā)散最佳收斂因子的經(jīng)驗(yàn)公式：最佳收斂因子的經(jīng)驗(yàn)公式：)sin(p120（正方形場(chǎng)域、正方形網(wǎng)格）（正方形場(chǎng)域、正方形網(wǎng)格）220q1p122（矩形場(chǎng)域、正方形網(wǎng)格）（矩形場(chǎng)域、正方形網(wǎng)格） 迭代收斂的速度與電位初始值的給定及網(wǎng)格剖分精細(xì)有關(guān)；迭代收斂的速度與電位初始值的給定及網(wǎng)格剖分精細(xì)有關(guān)； 迭代收斂的速度與工程精度要求有迭代收斂的速度與工程精度要求有 。)(,)(,Nji1Nji啟動(dòng)啟動(dòng)賦邊界節(jié)點(diǎn)已知電位值賦邊界節(jié)點(diǎn)已知電位值賦予場(chǎng)域內(nèi)各節(jié)點(diǎn)電位初始值賦予場(chǎng)域內(nèi)各節(jié)點(diǎn)電位初始值累計(jì)迭代次數(shù)累計(jì)迭代次數(shù)N=0N=N+1按超松弛法進(jìn)行一按超松弛法進(jìn)行一次迭代，求次迭代，求 所有