全等三角形證明中考題精選有答案

1、新人教版八年級上學期全等三角形證明題一.解答題（共10小題）1.（泉州）如圖，已知AD是ABC的中線，分別過點B、C作BEXAD于點E,CF，AD交AD的延長線于點F,求證：BE=CF.2.（河南）如圖1,將兩個完全相同的三角形紙片ABC和DEC重合放置，其中/C=90-E=30°.（1）操作發(fā)現(xiàn)如圖2,固定ABC,使DECg點C旋轉(zhuǎn)，當點D恰好落在AB邊上時，填空：線段DE與AC的位置關系是;設BDC的面積為S1，AEC的面積為S2,則S1與S2的數(shù)量關系是.（2）猜想論證當DEC繞點C旋轉(zhuǎn)到如圖3所示的位置時，小明猜想（1）中S1與S2的數(shù)量關系仍然成立，并嘗試分別作出了BDCI

2、AEC中BC、CE邊上的高，請你證明小明的猜想.（3）拓展探究已知/ABC=60。，點D是角平分線上一點，BD=CD=4,DE/AB交BC于點E（如圖4）.若在射線BA上存在點F,使S/DCF=S/BDE,請直接寫出相應的BF的長.3.（大慶）如圖，把一個直角三角形ACB（/ACB=90°）繞著頂點B順時針旋轉(zhuǎn)60°,使得點C旋轉(zhuǎn)到AB邊上的一點D,點A旋轉(zhuǎn)到點E的位置.F,G分別是BD,BE上的點，BF=BG,延長CF與DG交于點H.（1）求證：CF=DG;（2）求出/FHG勺度數(shù).4.（阜新）（1）如圖，在ABCAADE中，AB=AC,AD=AE,/BAC=/DAE=9

3、0°.當點D在AC上時，如圖1,線段BD、CE有怎樣的數(shù)量關系和位置關系？直接寫出你猜想的結(jié)論；將圖1中的ADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)a角（0°VaV90；如圖2,線段BD、CE有怎樣的數(shù)量關系和位置關系？請說明理由.BD、CE在（1 ）中的位置關系（2）當ABCAADE滿足下面甲、乙、丙中的哪個條件時，使線段仍然成立？不必說明理由.AB :AC=ADAB :AB :AC=ADAC=ADAE=1 , / BAC=Z DAEw 90 AEW 1 , / BAC=Z DAE=90 AEw 1 , / BAC=ZOODB(2)5.（仙桃）如圖所示，在 ABC D、E分別是AB、AC上的

4、點，繞A點順時針旋轉(zhuǎn)一定角度，得到圖，然后將 BD、CE分別延長至 到圖，請解答下列問題：DE/ BC,如圖，然后將ADEM、N,使 DM=BD , EN=CE ,得(1)若AB=AC,請?zhí)骄肯铝袛?shù)量關系：在圖中，BD與CE的數(shù)量關系是;在圖中，猜想AM與AN的數(shù)量關系、/MAN/BAC的數(shù)量關系，并證明你的猜想；MAN(2)若AB=k?AC(k>1),按上述操作方法，得到圖，請繼續(xù)探究：AM與AN的數(shù)量關系、/與/BAC的數(shù)量關系，直接寫出你的猜想，不必證明.6 .(四川)CD經(jīng)過/B(A頂點C的一條直線，CA=CB.E,F分別是直線CD上兩點，且/BEC=ZCFA=Za.（1）若直線

5、CD經(jīng)過/BCA的內(nèi)部，且E,F在射線CD上，請解決下面兩個問題：如圖1,若/BCA=90。，/a=90°,則BECF：EF|BE-AF|（填，"V”或“尸”）如圖2,若0°<ZBCAv180。，請?zhí)砑右粋€關于/a與/BCA關系的條件,使中的兩個結(jié)論仍然成立，并證明兩個結(jié)論成立.（2）如圖3,若直線CD經(jīng)過/BCA的外部，=/BCA,請?zhí)岢鯢,BE,AF三條線段數(shù)量關系的合理猜想（不要求證明）7 .（紹興）課外興趣小組活動時，許老師出示了如下問題：如圖1,己知四邊形ABCD中，AC平分/DAB,/DAB=60°,ZB與/D互補，求證：AB+AD=A

6、C.小敏反復探索，不得其解.她想，若將四邊形ABCD特殊化，看如何解決該問題.（1）特殊情況入手添加條件："/B=ZD"，加解證AB+AD=AC;（請你完成此證明）（2）解決原來問題受到（1）的啟發(fā)，在原問題中，添加輔助線：如圖3,過C點分別作AB、AD的垂線，垂足分別為E、F.（請你補全證明）8 .（常德）如圖，已知AB=AC,（1）若CE=BD,求證：GE=GD;（2）若CE=m?BD（m為正數(shù)），試猜想GE與GD有何關系.（只寫結(jié)論，不證明）9 .(泰安)(1)已知：如圖，在AOBCOD中，OA=OB,OC=OD,/AOB=ZCOD=60°,求證：AC=BD

7、;/APB=60度；(2)如圖，在ACffiACOD中，若OA=OB,OC=OD,/AOB=ZCOD=a,則AC與BD間的等量關系式為;/APB的大小為;(3)如圖，在ACOBACOD中，若OA=k?OB,OC=k?OD(k>1),/AOB=ZCOD=a,貝UAC與BD間的等量關系式為;/APB的大小為星Dm理酩10 .（南寧）（A類）如圖，DEAB、DF±AC.垂足分別為E、F.請你從下面三個條件中，再選出兩個作為已知條件，另一個為結(jié)論，推出一個正確的命題（只需寫出一種情況）AB=AC;BD=CD;BE=CF已知：DE±AB>DF±AC,垂足分別為E

8、、F,AB=AC,BD=CD求證：BE=CF已知：DELAB、DF±AC,垂足分別為E、F,AB=AC,BE=CF求證：BD=CD已知：DELAB、DF±AC,垂足分別為E、F,BD=CD,BE=CF求證：AB=AC（B類）如圖，EG/AF,請你從下面三個條件中，再選兩個作為已知條件，另一個為結(jié)論，推出一個正確的命題（只需寫出一種情況）.AB=AC;DE=DF;BE=CF已知：EG/AF,AB=AC,DE=DF求證：BE=CF新人教版八年級上學期全等三角形證明題參考答案與試題解析一.解答題(共10小題)1.(泉州)如圖，已知AD是ABC的中線，分別過點B、C作BEXAD于點

9、E,CF，AD交AD的延長線于點F,求證：BE=CF.考點：全等三角形的判定與性質(zhì).專題：證明題.分析：根據(jù)中線的定義可得BD=CD,然后利用“角角邊”證明E和DCDF全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等即可得證.解答：證明：.A虛ABC的中線，BD=CD,BEXAD,CF±AD,./BED=ZCFD=90°,在8口£和4CDF中，.BDEACDF(AAS),BE=CF.點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，利用三角形全等證明邊相等是常用的方法之一，要熟練掌握并靈活運用.2.(河南)如圖1，將兩個完全相同的三角形紙片ABC和DEC重合放置，其中/C=90°，

10、/B=ZE=30°(1)操作發(fā)現(xiàn)如圖2,固定AC,使DEC繞點C旋轉(zhuǎn)，當點D恰好落在AB邊上時，填空：線段DE與AC的位置關系是DE/AC;設BDC的面積為S1，AEC的面積為S2,則S1與S2的數(shù)量關系是S1=Sj.(2)猜想論證當DEC繞點C旋轉(zhuǎn)到如圖3所示的位置時，小明猜想(1)中S1與S2的數(shù)量關系仍然成立，并嘗試分別作出了BDCIAEC中BC、CE邊上的高，請你證明小明的猜想.(3)拓展探究DE/ AB交BC于點E (如圖4).若在射線已知/ABC=60。，點D是角平分線上一點，BD=CD=4BA上存在點F,使S/xdcf=S/bde,請直接寫出相應的BF的長.考點： 專題

11、： 分析：全等三角形的判定與性質(zhì).幾何綜合題；壓軸題.|(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AC=CD,然后求出ACD等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得/ACD=60。，然后根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行解答；根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AC=AD,再根據(jù)直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出AC=AB,然后求出AC=BE,再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出點C至UAB的距離等于點D至UAC的距離，然后根據(jù)等底等高的三角形的面積相等解答；(2)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得BC=CE,AC=CD,再求出/ACN=/DCM,然后利用“角角邊”證明ACN和DCM全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得AN=DM，然后利用

12、等底等高的三角形的面積相等證明；(3)過點D作DFi/BE,求出四邊形BEDFi是菱形，根據(jù)菱形的對邊相等可得BE=DF1,然后根據(jù)等底等高的三角形的面積相等可知點Fi為所求的點，過點D作DF2±BD,求出/FiDF2=60°,從而得到DFF2是等邊三角形，然后求出DF產(chǎn)DF2,再求出/CDF=ZCDF2,利用“邊角邊”證明CgCDF2全等，根據(jù)全等三角形的面積相等可得點F2也是所求的點，然后在等腰BDE3求出BE的長，即可得解.解答:解：(1).一DECg點C旋轉(zhuǎn)點D恰好落在AB邊上，AC=CD, /BAC=90°/B=90°-30°=60&

13、#176;, .ACD是等邊三角形，/ACD=60°,又./CDE=ZBAC=60°, ./ACD=ZCDE,DE/AC;./B=30°,/C=90°,CD=AC=AB,BD=AD=AC,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，ACDAC、AD上的高相等， .BDC的面積和AEC勺面積相等(等底等高的三角形的面積相等)即Sl=S2；故答案為：DE/AC;Si=S2；(2)如圖，DECb由ABC繞點C旋轉(zhuǎn)得到，BC=CE,AC=CD, ./ACN+ZBCN=90°,/DCM+ZBCN=180°-90°=90°, ./ACN=ZDCM,

14、 在AC用DADCM中， .ACNDCM(AAS),AN=DM, .BDC的面積和AEC勺面積相等(等底等高的三角形的面積相等)即Sl=S2；(3)如圖，過點D作DF1/BE,易求四邊形BEDF1是菱形，所以BE=DFi,且BE、DFi上的高相等，此時SDCF=SBDE,過點D作DF2,BD, /ABC=60°, ZFiDF2=ZABC=60°, .DF1F2是等邊三角形，DF1=DF2,BD=CD,/ABC=60。，點D是角平分線上一點，./DBC=ZDCB=X60°=30°, /CDF1=180°-30°=150°,/C

15、DF2=360°-150°-60°=150°, /CDF1=ZCDF2, 在CDF1和CDF2中， .CDFiACDF2(SAS), 點F2也是所求的點， /ABC=60°,點D是角平分線上一點，DE/AB,DBC=ZBDE=ZABD=X60°=30°,又BD=4,BE=X4+cos30°=2+=, BF產(chǎn)，BF2=BFi+FiF2=+=,故BF的長為或.點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積，等邊三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，熟練掌握等底等高的三角

16、形的面積相等，以及全等三角形的面積相等是解題的關鍵，(3)要注意符合條件的點F有兩個.3 .(大慶)如圖，把一個直角三角形ACB(/ACB=90°)繞著頂點B順時針旋轉(zhuǎn)60°,使得點C旋轉(zhuǎn)到AB邊上的一點D,點A旋轉(zhuǎn)到點E的位置.F,G分別是BD,BE上的點，BF=BG,延長CF與DG交于點H.(1)求證：CF=DG;(2)求出/FHG勺度數(shù).考點：全等三角形的判定與性質(zhì).分析：(1)在CBF和DBG中，利用SAS即可證得兩個三角形全等，利用全等三角形的對應邊相等即可證得；(2)根據(jù)全等三角形的對應角相等，即可證得/DHF=ZCBF=60°,從而求解.解答：(1)

17、證明：二.在CEffiADBG中， .CBFADBG(SAS),CF=DG;(2)解：.CBFADBG, ./BCF=ZBDG,又./CFB=ZDFH, ./DHF=ZCBF=60°, ./FHG=180°-ZDHF=180°-60°=120°.點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，正確證明三角形全等是關鍵.4 .(阜新)(1)如圖，在ABCAADE中，AB=AC,AD=AE,/BAC=ZDAE=90°.當點D在AC上時，如圖1,線段BD、CE有怎樣的數(shù)量關系和位置關系？直接寫出你猜想的結(jié)論；將圖1中的ADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)a角(0

18、°VaV90；如圖2,線段BD、CE有怎樣的數(shù)量關系和位置關系？請說明理由.(2)當ABCAADE滿足下面甲、乙、丙中的哪個條件時，使線段BD、CE在(1)中的位置關系仍然成立？不必說明理由.甲：AB:AC=AD:AE=1,/BAC=ZDAEw90°乙：AB:AC=AD:AEw1,/BAC=ZDAE=90°丙：AB:AC=AD:AEw1,/BAC=ZDAEw90考點：全等三角形的判定與性質(zhì).專題：幾何綜合題；壓軸題.分析：（1）BD=CE,BD±CE.根據(jù)全等三角形的判定定理SAS推知ABDACE,然后由全等三角形的對應邊相等證得BD=CE、對應角相等/

19、ABF=ZECA;然后在AMCDF中，由三角形內(nèi)角和定理可以求得/CFD=90°BDTCF;BD=CE,BD±CE.根據(jù)全等三角形的判定定理SAS推知ABDAACE,然后由全等三角形的對應邊相等證得BD=CE、對應角相等/ABF=ZECA;作輔助線（延長BD交AC于F,交CE于H）BH構(gòu)建對頂角/ABF=ZHCF,再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理證得/BHC=90°（2）根據(jù)結(jié)論、的證明過程知，/BAC=ZDFC（或/FHC=90°）時，該結(jié)論成立了以本條件中的/BAC=ZDAEw90°不合適.解答：解：（1）結(jié)論：BD=CE,BD±CE;結(jié)論

20、：BD=CE,BD±CE1分理由如下：BAC=ZDAE=90° ./BAC-ZDAC=/DAE-/DAC,即/BAD=ZCAE-1分在ABD與ACE中， .ABDAACE（SAS）BD=CE-1分延長BD交AC于F,交CE于H.在ABFAHCF中， ./ABF=ZHCF,/AFB=ZHFC./CHF=ZBAF=90°BD±CE-3分 2）結(jié)論：乙.AB:AC=AD:AE,/BAC=ZDAE=90°2分點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì).SSS,SAS,ASA,AAS,HL均可作為判定三角形全等的定理.注意：在全等的判定中，沒有AAA（角角角

21、）和SSA（邊邊角）（特例：直角三角形為HL,因為勾股定理，只要確定了斜邊和一條直角邊，另一直角邊也確定，屬于SSS),因為這兩種情況都不能唯一確定三角形的形狀；另外三條中線(或高、角平分線)分別對應相等的兩個三角形也全5.(仙桃)如圖所示，在ABCD、E分別是AB、AC上的點，DE/BC,如圖，然后將ADE繞A點順時針旋轉(zhuǎn)一定角度，得到圖，然后將BD、CE分別延長至M、N,使DM=BD,EN=CE,得到圖，請解答下列問題：(1)若AB=AC,請?zhí)骄肯铝袛?shù)量關系：在圖中，BD與CE的數(shù)量關系是;在圖中，猜想AM與AN的數(shù)量關系、/MAN/BAC的數(shù)量關系，并證明你的猜想；(2)若AB=k?AC

22、(k>1),按上述操作方法，得到圖，請繼續(xù)探究：AM與AN的數(shù)量關系、/MAN與/BAC的數(shù)量關系，直接寫出你的猜想，不必證明.考點：全等三角形的判定.專題：壓軸題；探究型.分析：(1)根據(jù)題意和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知4AECA ADB, BD=CE ;根據(jù)題意可知/CAE=BADAB=AC,AD=AE，所以得至1BAD仁CAE在ABM中，DM=BD,EN=CE,可證AB廬ACN,所以AM=AN,即/MAN=ZBAC.(2)直接類比(1)中結(jié)果可知AM=k?AN,/MAN=ZBAC.解答:解：BD=CE;AM=AN,/MAN=ZBAC,DAE=ZBACCAE=ZBADBAD和CAE中.'

23、.ACAEABAD(SAS),ACE=ZABD,DM=BD,EN=CE,BM=CN,在ABM和ACN中,.AB盾ACN(SAS),AM=AN,BAM=ZCAN,即/MAN=ZBAC;(2)AM=k?AN,/MAN=ZBAC.卻點評：本題考查三角形全等的判定方法和性質(zhì).判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.判定兩個三角形全等，先根據(jù)已知條件或求證的結(jié)論確定三角形，然后再根據(jù)三角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件.本題還要會根據(jù)所求的結(jié)論運用類比的方法求得同類題目.6.（臺州）CD經(jīng)過/BCA頂點C的一條直線，CA=CB.E,F分別是直線CD上兩點，且/

24、BEC=ZCFA=Za.（1）若直線CD經(jīng)過/BCA的內(nèi)部，且E,F在射線CD上，請解決下面兩個問題：如圖1,若/BCA=90。，/a=90°,則BE=CF:EF=IBE-AF|（填，"V”或“尸”）如圖2,若0°</BCAV180。，請?zhí)砑右粋€關于/a與/BCA關系的條件/a+/BCA=180°使中的兩個結(jié)論仍然成立，并證明兩個結(jié)論成立.（2）如圖3,若直線CD經(jīng)過/BCA的外部，=/BCA,請?zhí)岢鯢,BE,AF三條線段數(shù)量關系的合理猜想（不要求證明）.考點：直角三角形全等的判定；三角形內(nèi)角和定理.專題：幾何綜合題；壓軸題.分析：由題意推出/CB

25、E=ZACF,再由AAS定理證BCEACAF,繼而得答案.解答：解：（1）BCA=90。，/a=90°,./BCE+ZCBE=90°,/BCE+ZACF=90°,./CBE=ZACF,CA=CB,/BEC=ZCFA;.BCEACAF,.BE=CF;EF=|BE-AF|.所填的條件是：+/BCA=180°.證明：在BCE,/CBE+ZBCE=180°-乙BEC=180°-/a./BCA=180°-Za,./CBE+ZBCE=ZBCA.又/ACF+ZBCE=ZBCA,./CBE=ZACF,又BC=CA,/BEC=ZCFA,.BC

26、EACAF（AAS）BE=CF,CE=AF,又EF=CF-CE,EF=|BEAF|.（2）EF=BE+AF.點評：本題綜合考查全等三角形、等邊三角形和四邊形的有關知識.注意對三角形全等，相似的綜合應用.7.（紹興）課外興趣小組活動時，許老師出示了如下問題：如圖1,己知四邊形ABCD中，AC平分/DAB,/DAB=60°,ZB與/D互補，求證：AB+AD=AC.小敏反復探索，不得其解.她想，若將四邊形ABCD特殊化，看如何解決該問題.（1）特殊情況入手添加條件："/B=ZD"，加解證AB+AD=AC;（請你完成此證明）（2）解決原來問題受到（1）的啟發(fā)，在原問題中，

27、添加輔助線：如圖3,過C點分別作AB、AD的垂線，垂足分別為E、F.（請你補全證明）考點：直角三角形全等的判定.專題：證明題；壓軸題；開放型.分析：（1）如果："/B=ZD"，根據(jù)/B與/D互補，那么/B=ZD=90°,又因為/DAC=ZBAC=30°,因此我們可在直角三角形ADC和ABC中得出AD=AB=AC,那么AD+AB=AC.（2）按（1）的思路，作好輔助線后，我們只要證明三角形CFD和BCD全等即可得到（1）的條件.根據(jù)AAS可證兩三角形全等，DF=BE.然后按照（1）的解法進行計算即可.解答：證明：（1）-.-ZB與/D互補，/B=/D, .

28、/B=ZD=90°,/CAD=ZCAB=ZDAB=30°, .在ADC中，cos30°=,在ABC中,cos30°=,AB=AC,AD=.AB+AD=.(2)由(1)知，AE+AF=AC, AC為角平分線，CF±CD,CE±AB,CE=CF.而/ABC與/D互補，/ABC與/CBE也互補， ./D=ZCBE. .在RtCDF與RtCBE中，RtCDFZRtCBE.DF=BE.AB+AD=AB+(AF+FD)=(AB+BE)+AF=AE+AF=AC.點評：本題考查了直角三角形全等的判定及性質(zhì)；通過輔助線來構(gòu)建全等三角形是解題的常用方法，

29、也是解決本題的關鍵.8.(常德)如圖，已知AB=AC,(1)若CE=BD,求證：GE=GD;(2)若CE=m?BD(m為正數(shù))，試猜想GE與GD有何關系.(只寫結(jié)論，不證明)考點：全等三角形的判定與性質(zhì).專題：證明題；壓軸題；探究型.分析：(1)要證GE=GD,需證GDFGEC,由已知條件可根據(jù)AAS判定.(2)若CE=m?BD(m為正數(shù))，那么GE=m?GD.解答：證明：(1)過D作DF/CE,交BC于F,則/E=ZGDF.AB=AC,./ACB=ZABCDF/CE,./DFB=ZACB,./DFB=ZACB=ZABC.DF=DB.CE=BD,DF=CE,在6口5和4GEC中，.GDFGEC

30、(AAS).GE=GD.(2) GE=m?GD.點評：本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.本題的輔助線是解決題目的關鍵.9.(泰安)(1)已知：如圖，在AOBCOD中，OA=OB,OC=OD,/AOB=ZCOD=60°,求證：AC=BD;/APB=60度；(2)如圖，在ACffiACOD中，若OA=OB,OC=OD,/AOB=ZCOD=a,則AC與BD間的等量關系式為AC=BD;/APB的大小為_一(3)如圖，在A(BACOD中，若OA=k?OB,OC=k?OD(k>1),/AOB=ZCOD=a,貝UAC與BD間的等量關系式為AC=k?BD;/APB的大小為180°-圖B圈圖考點：全等三角形的判定；三角形內(nèi)角和定理.專題：探究型.分析：(1)分析結(jié)論AC=BD可知，需要證明AO8BOD,圍繞這個目標找全等的條件；(2)與圖比較，圖形條件發(fā)生了變化，仍然可以證明AO8BOD,方法類似；(3)轉(zhuǎn)化為證明AO8BOD.解答：解：(1)AOB=/COD=60°,./AO