用函數(shù)模型解決實際問題

1、用函數(shù)模型解決實際問題西飛一中數(shù)學組西飛一中數(shù)學組 李晉李晉 例1 設(shè)在海拔 x cm處的大氣壓強是 y Pa , y 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式是,kxecy 其中 c 、 k 為常量。 已知某地某天在海平面的大氣壓為1.01105 Pa , 1000 m 高空的大氣壓為0.90105 Pa , 求 600 m 高空的大氣壓強 (結(jié)果保留 3 個有效數(shù)字). 分析: 這個問題的函數(shù)關(guān)系式是已知的 (由于其中 c、k 尚未確定，所以嚴格地說是已知函數(shù)的模型) , 但需確定其中常數(shù) c 和 k ，如何確定？kkecec10005051090. 01001. 1解:依題意有kkecec1000505

2、1090. 01001. 1kecc1000551090. 01001. 1ke1000551001. 11090. 0401. 190. 0100011015. 1lnkxey41015. 151001. 1得代入上式將,600 x).(1093. 01001. 156001015. 154Paey.10943. 0600:5Pam高空地大氣壓約為在答小 結(jié):實際問題待定系數(shù)法服務(wù)函數(shù)模型函數(shù)模型的結(jié)果推理運算 例例2 以下是某地區(qū)不同身高的未成年人男性以下是某地區(qū)不同身高的未成年人男性的體重平均值表：的體重平均值表： 據(jù)醫(yī)學測定，如果體重超過相同身高男性平均值的 1.2 倍為偏胖，低于 0

3、.8 倍為偏瘦，那么該地區(qū)某中學一男子身高為 175 cm , 體重為 78 kg , 他的體重是否正常？身高(cm) 60708090100110體重(kg)6.137.909.9912.15 15.0217.50身高(cm) 120130140150160170體重(kg)20.92 26.86 31.1138.85 47.2555.05 分析1、表中身高欄中沒有 175 cm 這個數(shù)值，因為身高為 175 cm 對應(yīng)的體重平均值只有靠推測，而推測的依據(jù)只能是上述統(tǒng)計表，換句話說, 必須將表中蘊含的規(guī)律，即身高與體重的關(guān)系找到。 分析2、假設(shè)身高用 x 表示，體重用 y 來表示，那么 x

4、與 y 之間的關(guān)系怎樣去找呢？前面學習過的確定函數(shù)的方法顯然不適用。身高(cm) 60708090100110體重(kg)6.137.909.9912.15 15.0217.50身高(cm) 120130140150160170體重(kg)20.92 26.86 31.1138.85 47.2555.05 例例 2 以下是某地區(qū)不同身高的未成年人男以下是某地區(qū)不同身高的未成年人男性的體重平均值表：性的體重平均值表：身高(cm) 60708090100110體重(kg)6.137.909.9912.15 15.0217.50身高(cm) 120130140150160170體重(kg)20.92

5、 26.86 31.1138.85 47.2555.05 （2）據(jù)醫(yī)學測定，如果體重超過相同身高男性平均值的 1.2 倍為偏胖，低于 0.8 倍為偏瘦，那么該地區(qū)某中學一男子身高為 175 cm , 體重為 78 kg , 他的體重是否正常？ （1）根據(jù)表中提供的數(shù)據(jù)，能否從我們已經(jīng)學過的函數(shù)xbaybxaybaxy,ln,中選擇一種函數(shù)，使它比較近似地反映出該地區(qū)未成年男性體重 y 關(guān)于身高 x 的函數(shù)關(guān)系？試求出這個函數(shù)解析式。分析： 可以先根據(jù)表中的數(shù)據(jù)描點畫出圖象（這個圖稱為散點圖）， 再根據(jù)散點圖的形狀判斷應(yīng)當選擇哪種函數(shù)關(guān)系，然后根據(jù)已知數(shù)據(jù)求出所選式子的待定常數(shù)，最后將表中的身高

6、數(shù)據(jù)代入求得的解析式，看所得函數(shù)值是否與已知體重數(shù)據(jù)基本吻合。 解：(1)以身高為橫坐標，體重為縱坐標，在直角坐標系中畫出散點圖（1）。根據(jù)圖（1），可考慮用函數(shù)y=abx 反映上述數(shù)據(jù)之間的對應(yīng)關(guān)系。將x=70, y=7.90 和x=160, y=47.25 兩組數(shù)據(jù)代入y=abx，.25.47,90. 716070baba可得利用計算器得 a=2, b=1.02. 所以，該地區(qū)未成年男性體重關(guān)于身高的近似函數(shù)關(guān)系式可選為y=21.02x. 將已知數(shù)據(jù)代入所得函數(shù)解析式，或作出所得函數(shù)的圖象 (2), 可知所求函數(shù)能較好地反映該地區(qū)未成年男性體重與身高的關(guān)系。 (2)把 x=175 代入y=

7、21.02x,得y=21.02175,由計算器算得y=63.98.由于7863.981.221.2,因此，這名男生體型偏胖。 點評：本例題是實際應(yīng)用問題，解題過程是從實際問題出發(fā)，引進數(shù)學符號，通過函數(shù)擬合的方法獲得函數(shù)模型，并用這個函數(shù)模型來解決相應(yīng)的實際問題。這個過程反映了應(yīng)用數(shù)學知識解決實際問題的常規(guī)步驟。 說明：由于本題數(shù)字計算較繁，并且選擇不同的數(shù)據(jù)所求出的常量值也不同，這樣做會給我們帶來不少麻煩。如果我們先用信息技術(shù)工具收集數(shù)據(jù)、描點畫圖，然后選擇函數(shù)關(guān)系式，再用計算器計算、檢驗，那就方便多了。有條件的地方在解決本例題時可以使用信息技術(shù)。 1、利用函數(shù)擬合法確定函數(shù)的過程：實際問題畫散點圖觀察判斷函數(shù)類型待定系數(shù)法確定函數(shù)表達式 驗證 擬合程度不好好小 結(jié) 二是函數(shù)已知的問題，如物理應(yīng)用題，事先知道公式或模型，這時只要用待定系數(shù)法即可確定公式中待定的常數(shù)，即可確定函數(shù)關(guān)系。2、函數(shù)應(yīng)用題主要有兩種類型： 一是函數(shù)未知的問題，像幾何應(yīng)