電磁波的輻射

1、第五章電磁波的輻射本章重點與難點本章重點與難點 本章難點： 矢勢的展開和偶極輻射公式的導出； 電磁場動量密度張量的引入和意義。 電磁場的矢勢和標勢的引入、規(guī)范不變性； 達朗伯方程及推遲勢的物理意義； 矢勢的多極展開和電四極以及磁偶輻射； 電磁場的動量，動量流密度等概念。 本章重點第一節(jié)第一節(jié) 電磁場的矢勢和標勢電磁場的矢勢和標勢 不穩(wěn)定的電荷、電流激發(fā)的電磁場隨時間變化。有一部分電磁場以不穩(wěn)定的電荷、電流激發(fā)的電磁場隨時間變化。有一部分電磁場以波的形式脫離場源向外運動，這被稱為電磁波的輻射。例如：無線電波波的形式脫離場源向外運動，這被稱為電磁波的輻射。例如：無線電波是由發(fā)射天線上的高頻交變電流

2、輻射出來的。是由發(fā)射天線上的高頻交變電流輻射出來的。 本章主要研究給定高頻交變電流產(chǎn)生的電磁輻射，并簡要討論電磁本章主要研究給定高頻交變電流產(chǎn)生的電磁輻射，并簡要討論電磁場的動量和動量流密度張量。場的動量和動量流密度張量。 嚴格來說，天線上的電流和它激發(fā)的電磁場是相互作嚴格來說，天線上的電流和它激發(fā)的電磁場是相互作用的。天線電流激發(fā)電磁場，而電磁場又反過來作用到天用的。天線電流激發(fā)電磁場，而電磁場又反過來作用到天線電流上，影響著天線電流的分布。所以輻射問題本質(zhì)上線電流上，影響著天線電流的分布。所以輻射問題本質(zhì)上也是一個邊值問題。也是一個邊值問題。引言引言一、電磁輻射一、電磁輻射 與靜電場引入電

3、勢、靜磁場引入標勢相與靜電場引入電勢、靜磁場引入標勢相似，為了便于求解普適的場方程，在變化似，為了便于求解普適的場方程，在變化情況下仍然可以引入勢的概念。但是，由情況下仍然可以引入勢的概念。但是，由于電場的旋度不為零，這里引入的矢勢、于電場的旋度不為零，這里引入的矢勢、標勢與靜電場情況有很大的不同。標勢與靜電場情況有很大的不同。二、矢勢和標勢的引入二、矢勢和標勢的引入一、用勢描述電磁場一、用勢描述電磁場 本節(jié)使用最普遍的電磁場方程引入矢勢然后討論本節(jié)使用最普遍的電磁場方程引入矢勢然后討論電磁輻射問題（僅討論均勻介質(zhì)）。電磁輻射問題（僅討論均勻介質(zhì)）。 由于由于 ，與靜電場相同，可以引入矢量，與

4、靜電場相同，可以引入矢量勢函數(shù)（矢勢）勢函數(shù)（矢勢） ，使得，使得0 BAAB（1 1）矢勢的引入）矢勢的引入5.1 5.1 電磁場的矢勢和標勢電磁場的矢勢和標勢 在變化電磁場情況，在變化電磁場情況， ，不能象靜，不能象靜電場那樣直接引入標量勢函數(shù)。電場那樣直接引入標量勢函數(shù)。0tBE（2 2）標勢的引入）標勢的引入ABtAAtE0)(tAEtAE引入標量勢函數(shù)引入標量勢函數(shù)tAE 同靜電場相同，這里引入的失勢和標勢也不唯同靜電場相同，這里引入的失勢和標勢也不唯一，但是矢勢和標勢在變化電磁場情況相互間有一，但是矢勢和標勢在變化電磁場情況相互間有一定的關系。一定的關系。1矢勢和標勢的不唯一性矢勢

5、和標勢的不唯一性l 規(guī)范：給定一組規(guī)范：給定一組 稱為一種規(guī)范；稱為一種規(guī)范；),(A2規(guī)范變換規(guī)范變換l 兩種規(guī)范間變換關系兩種規(guī)范間變換關系：AAtl 規(guī)范變換：不同規(guī)范之間滿足的變換關系稱為規(guī)范變換：不同規(guī)范之間滿足的變換關系稱為 規(guī)范變換。規(guī)范變換。 二、規(guī)范變換和規(guī)范不變性二、規(guī)范變換和規(guī)范不變性證明：由于證明：由于 和和 ， 和和 不能改變電場和磁場不能改變電場和磁場強度，所以強度，所以AABAAA AAtAtttAtAE)(At t l ：在規(guī)范變換下物理規(guī)律滿足的動力學方程保在規(guī)范變換下物理規(guī)律滿足的動力學方程保持不變的性質(zhì)（在微觀世界是一條物理學基本原理）。持不變的性質(zhì)（在微

6、觀世界是一條物理學基本原理）。l 規(guī)范場規(guī)范場：具有規(guī)范不變性的場稱為規(guī)范場。具有規(guī)范不變性的場稱為規(guī)范場。 要使勢函數(shù)減少任意性，必須給出要使勢函數(shù)減少任意性，必須給出 ，它的，它的值被稱為規(guī)范的條件。值被稱為規(guī)范的條件。 值選擇是任意的，但若值選擇是任意的，但若選擇的好，可使電磁場的解簡單，基本方程對稱選擇的好，可使電磁場的解簡單，基本方程對稱或物理意義明顯?；蛭锢硪饬x明顯。AAl 規(guī)范條件：規(guī)范條件：0 A3 3兩種規(guī)范兩種規(guī)范 在庫侖規(guī)范下，在庫侖規(guī)范下， 為橫場，為橫場， 縱場。因此，電縱場。因此，電場的橫場部分完全由場的橫場部分完全由 決定，而縱場部分完全由決定，而縱場部分完全由決

7、定。在這種情況下，決定。在這種情況下， 由電荷、電流的瞬時分布由電荷、電流的瞬時分布求解，與靜電場的電勢類似，因此稱為庫侖場。求解，與靜電場的電勢類似，因此稱為庫侖場。AA02庫侖規(guī)范下庫侖規(guī)范下 滿足的方程滿足的方程：l 洛侖茲規(guī)范洛侖茲規(guī)范規(guī)范條件：規(guī)范條件：012tcA后面將看到洛侖茲規(guī)范下，后面將看到洛侖茲規(guī)范下， 所滿足的方程具所滿足的方程具有高度的對稱性，這種對稱性將滿足相對論的協(xié)有高度的對稱性，這種對稱性將滿足相對論的協(xié)變性，有很重要的理論意義。變性，有很重要的理論意義。,A洛侖茲規(guī)范下洛侖茲規(guī)范下 滿足的方程滿足的方程：012222tc0)1()1(22222tctcA0AA0

8、2證明：證明：012222tc22222111tctcAtcA證明：證明：證明2202222011()()AAAJtctcAt 證明：將證明：將 ， 代入麥克代入麥克斯韋方程：斯韋方程：并利用：并利用： 得到達朗貝爾得到達朗貝爾方程。方程。ABtAE0000,EJtEBAAA2)()(1 真空中的真空中的達朗貝爾方程達朗貝爾方程三、達朗貝爾方程三、達朗貝爾方程2202222011AAJtctc 可見可見 滿足泊松方程，與靜電情況類似，即空間某處的滿足泊松方程，與靜電情況類似，即空間某處的 在時刻在時刻 的值由電荷在時刻的值由電荷在時刻 的分布給出，不能直觀的反的分布給出，不能直觀的反映電磁相互

9、作用傳播是非超距的特性。映電磁相互作用傳播是非超距的特性。tt2 庫侖規(guī)范下庫侖規(guī)范下的達朗貝爾方程的達朗貝爾方程3洛侖茲規(guī)范下的達朗貝爾方程洛侖茲規(guī)范下的達朗貝爾方程222202222011AAJctct兩種規(guī)范兩種規(guī)范洛侖茲規(guī)范下的達朗貝爾方程是兩個波動方程，因此由它洛侖茲規(guī)范下的達朗貝爾方程是兩個波動方程，因此由它們求出的們求出的 及及 均為波動形式，反映了電均為波動形式，反映了電磁場的波動性。磁場的波動性。),(A),(BEl 反映了電磁場的波動性反映了電磁場的波動性l 兩個方程具有高度的對稱性且相互獨立兩個方程具有高度的對稱性且相互獨立求出一個解，另一個解就迎任而解。在下一節(jié)我們將看

10、到，求出一個解，另一個解就迎任而解。在下一節(jié)我們將看到，洛侖茲條件下達朗貝爾方程的解直接反映出電磁相互作用需洛侖茲條件下達朗貝爾方程的解直接反映出電磁相互作用需要時間?；谶@些考慮，在研究輻射問題時，一般都是采用要時間?；谶@些考慮，在研究輻射問題時，一般都是采用洛侖茲條件下的達朗貝爾方程。洛侖茲條件下的達朗貝爾方程。兩種規(guī)范兩種規(guī)范第二節(jié)第二節(jié)推遲勢推遲勢),( tx),(tx5.25.2推遲勢推遲勢一、標勢和矢勢的達朗伯方程的解)()(),(xtQtx),(tr,0r222211()0rrrrct1. 1. 點電荷在空間激發(fā)的標勢點電荷在空間激發(fā)的標勢22222011( ) ( )()Q

11、trrrrrct rtrutr),(),(2222210uurctrcrtf)( rcrtg)( )()(),(crtgcrtftrurcrtgrcrtftr)()(),()0( r與點電荷電勢類比有：與點電荷電勢類比有：rcrtQtr04)(),(0)(crtg若點電荷不在原點而在空間若點電荷不在原點而在空間 點：點：xrcrtxQtx04),(),(可以證明上述解的形式滿足（可以證明上述解的形式滿足（）式式點電荷在空間激發(fā)的標勢點電荷在空間激發(fā)的標勢2.2.連續(xù)電荷分布在空間產(chǎn)生的電勢連續(xù)電荷分布在空間產(chǎn)生的電勢0( ,)( , )4Vrx tcx tdVr 3. 矢勢矢勢 的解的解AVd

12、rcrtxJtxAV),(4),(0 由于由于 滿足的方程形式上與滿足的方程形式上與 滿足的方程一樣，滿足的方程一樣，類比得到類比得到 的解：的解：AA證：令證：令( , , )rttt t x xc AVdrtxJV),(40011( , )( , )4J x tJ x tdVrr (, )1(, )1(, )(, )J x tJ x tJ x tJ x ttrrtctct rr (, )(, )(, )1(, )(, )tctcJ x tJ x tJ x tttJ x tJ x trct ),(),(),(txJtxJtxJct二、證明二、證明、滿足落侖茲條件滿足落侖茲條件 AVdtxJr

13、ct),(140VdrtxJtxJr1),(),(101( , )4t cJ x tdVr ( , )J x tdVr ( , )0SJ x tdSr220111(,)4Vxttd Vtrttcc 01(,)4Vxtd VrttcA2101( , )( , )04t cx tJ x tdVrt 0電荷守恒定律電荷守恒定律A證明證明 、 滿足洛侖茲條件滿足洛侖茲條件A1 勢函數(shù)在空間勢函數(shù)在空間 點，點， 時刻的值依賴于時刻的值依賴于 時刻時刻的電荷、電流分布，即空間勢的建立與場源相比的電荷、電流分布，即空間勢的建立與場源相比推遲了推遲了 。具有這樣特性的勢稱為推遲勢。具有這樣特性的勢稱為推遲勢

14、。xtcrtcr 空間點空間點 ， 時刻的電磁場由時刻的電磁場由 時刻的電時刻的電荷、電流分布決定。也就是說電荷、電流產(chǎn)生的荷、電流分布決定。也就是說電荷、電流產(chǎn)生的物理作用在經(jīng)歷了時間物理作用在經(jīng)歷了時間 后才到達觀察點，后才到達觀察點，即場的建立需要時間，而相互作用的傳播速度在即場的建立需要時間，而相互作用的傳播速度在真空中為真空中為C C。 crt xtcrt 2三、推遲勢及其物理意義三、推遲勢及其物理意義第三節(jié)第三節(jié)電偶極輻射電偶極輻射l 5.3 5.3 電偶極輻射電偶極輻射l 將此式代入推遲勢的公式后得到（將此式代入推遲勢的公式后得到（ ）ck00( ,/ )( )( , )44ik

15、ritJ x tr cJ x eA x tdVdV err令令 ，則，則0( )( )4ikrJ x eA xdVr( , )( )itA x tA x e上式表示一種時諧波，這是計算輻射場矢勢的一上式表示一種時諧波，這是計算輻射場矢勢的一般公式。與穩(wěn)恒電流磁場相比這里般公式。與穩(wěn)恒電流磁場相比這里 附加了一個附加了一個因子因子 ，稱為推遲相因子。，稱為推遲相因子。Aikre( , )( )( , )( )i ti tJ x tJ x ex tx e一、計算輻射場的一般公式一、計算輻射場的一般公式0( )( , )4ikri tx ex tdV er000EBJt )()(2xAicx根據(jù)洛侖

16、茲條件根據(jù)洛侖茲條件可以得到矢勢與可以得到矢勢與標勢的關系：標勢的關系：因此只要求因此只要求出矢勢即可出矢勢即可得到標勢得到標勢此情況下電磁場也是時諧電磁場：此情況下電磁場也是時諧電磁場：tiexBtxAtxB)(),(),(),(),(txBkictxE（在（在 的區(qū)域成立）的區(qū)域成立）0J( , )( )i tx tx e1 在小電荷、電流區(qū)域的級數(shù)展開在小電荷、電流區(qū)域的級數(shù)展開Axlr rRRxxr110 x.1.1.11123RxnRRxRRxRRr其中其中 為為 方向單位矢量。因為方向單位矢量。因為 ，所以僅，所以僅取前兩項而舍去高次項得到。取前兩項而舍去高次項得到。nRRx二、矢

17、勢的展開二、矢勢的展開xnRRxnRRxnRxnRRr)1 ()/11(2VdxnRexJxAxnRik)(0)(4)(0( )( )4ikrJ x eA xdVr2 2求解求解 的公式的公式)(xA2 n x 因為因為 ，所以分母中的，所以分母中的 可以舍可以舍去。但是要注意，相因子中的去。但是要注意，相因子中的 不能輕易舍去。不能輕易舍去。Rxn x xnxn原因：原因：相對相對不一定是小量。不一定是小量。2.12xxex利用利用得到：得到：VdxnikxJRexAikR.)1)(4)(0 xl22n xkn x 當當時時( , )( )( , )( )i ti tJ x tJ x ex

18、tx e 條件下輻射場的近似公式條件下輻射場的近似公式近似公式可以僅取積分中的第一項，有：近似公式可以僅取積分中的第一項，有：VdxJRexAikR)(4)(0偶極輻射公式偶極輻射公式偶極輻射偶極輻射在滿足在滿足 ， 的前提下，按的前提下，按 與與3 3 與與 的關系的關系RRl l的關系還可分為三種情況：的關系還可分為三種情況：R（1 1） （近區(qū)）（近區(qū)）R2,1ikRRek RtTc傳播時間傳播時間這一區(qū)域內(nèi)變化電磁場與靜場性質(zhì)類似。這一區(qū)域內(nèi)變化電磁場與靜場性質(zhì)類似。（3 3） （遠區(qū)，即輻射區(qū)）（遠區(qū)，即輻射區(qū)）R電磁波在脫離了場源后的傳播區(qū)域，也是電磁波在脫離了場源后的傳播區(qū)域，也

19、是本課程主要討論的內(nèi)容。本課程主要討論的內(nèi)容。R（2 2） （感應區(qū)）（感應區(qū)）過度區(qū)，電磁場的行為很復雜，一般不詳過度區(qū)，電磁場的行為很復雜，一般不詳細研究這一區(qū)域。細研究這一區(qū)域。偶極輻射偶極輻射0( , )4ikReA x tpR1 1用用 表示偶極輻射矢勢表示偶極輻射矢勢p0( )()4ikReA xJ x dVRVdtxxp),( , )pJx t dV 2 2偶極輻射的電場強度和磁感應強度偶極輻射的電場強度和磁感應強度.00()()44ikReikReikReBApppRRR 031111()()ikReRnikRikRikRikRikReeeikeik eRRRRRRR k in

20、kk用到用到 三、偶極輻射三、偶極輻射Rk1R11RnRikeReikRikR考慮遠區(qū)條件考慮遠區(qū)條件 ， ，即，即 ， 所以有：所以有：0( , )4ikRikeB x tnpR( , )pJ x t dV.pip ./pip在在 條件條件下偶極輻射的磁感下偶極輻射的磁感應強度為：應強度為：Rl30( , )4ikReB x tpnc R/ ,kc0 01/c 偶極輻射偶極輻射30201( , )sin41( , )sin4ikRikRB x tpeec RE x tpeec R選球坐標，讓選球坐標，讓 沿沿 軸，則：軸，則：pz),(),(txBkictxE20( , )()4ikReE

21、x tp nnc R利用利用偶極輻射偶極輻射（1）電場沿經(jīng)線振蕩，磁場沿緯線振蕩，傳播方向、電）電場沿經(jīng)線振蕩，磁場沿緯線振蕩，傳播方向、電場方向、磁場方向相互正交構(gòu)成右手螺旋關系；場方向、磁場方向相互正交構(gòu)成右手螺旋關系；（2）電場、磁場正比于）電場、磁場正比于 ，因此它是空間傳播的球，因此它是空間傳播的球面波，且為橫電磁波（面波，且為橫電磁波（TEM波），在波），在 時可以近時可以近似為平面波；似為平面波； （3）注意如果）注意如果 （ ）不能被滿足，可）不能被滿足，可以證明電場不再與傳播方向垂直，即電力線不再閉合，但以證明電場不再與傳播方向垂直，即電力線不再閉合，但是磁力線仍閉合。這時傳

22、播的是橫磁波（是磁力線仍閉合。這時傳播的是橫磁波（TM波）波）R/1RRR11討論討論22403012pPSR dc 平均功率：平均功率：與電磁波的頻率與電磁波的頻率4次方成正比。次方成正比。*2023201Re()sin232pSEHnc R 平均能流密度矢量：平均能流密度矢量：角分布角分布四、輻射能流、角分布和輻射功率四、輻射能流、角分布和輻射功率電磁場的動量電磁場的動量第七節(jié)第七節(jié)電磁場的動量電磁場的動量1.1.帶電物體受到的電磁力帶電物體受到的電磁力BJEf洛侖茲力密度洛侖茲力密度dVBJdVEF帶電物體受到力帶電物體受到力md Gfd Vd t用用 代表帶電物體的動代表帶電物體的動量

23、，根據(jù)牛頓第二定律有量，根據(jù)牛頓第二定律有mG電磁場的動量電磁場的動量 電磁場與帶電物質(zhì)之間存在相互作用，帶電物質(zhì)在受到電磁場與帶電物質(zhì)之間存在相互作用，帶電物質(zhì)在受到電磁場作用時動量會發(fā)生變化。由于動量守恒，電磁場必然電磁場作用時動量會發(fā)生變化。由于動量守恒，電磁場必然也具有動量。也具有動量。一、電磁場的動量密度和動量流密度矢量一、電磁場的動量密度和動量流密度矢量2.2.電磁場的動量守恒定律電磁場的動量守恒定律medGd Gdtdt 全空間動量守恒要求全空間動量守恒要求 若對有限區(qū)域若對有限區(qū)域V，考慮電磁場通過界面發(fā)生動量轉(zhuǎn)移，則，考慮電磁場通過界面發(fā)生動量轉(zhuǎn)移，則單位時間流入界面的動量等于區(qū)域內(nèi)總動量的變化率。單位時間流入界面的動量等于區(qū)域內(nèi)總動量的變化率。med Gd Gd td t即單位時間流入即單位時間流入V V內(nèi)的動量內(nèi)的動量電磁場動量電磁場動量3.3. 用場量表示洛侖茲力公式用場量