函數的單調性與極值理（Word）

1、33 函數的單調性與極值一、學習要求1掌握用一階導數的符號判別函數的單調性2會求函數的單調區(qū)間3理解函數的極值與極值點的概念4熟練掌握求函數極值的方法，了解極值存在的必要條件5 知道極值點和駐點的區(qū)別和聯(lián)系6初步掌握實際問題中最大值和最小值的求法7理解邊際與彈性的概念，會利用導數討論一些簡單的經濟問題8了解極值和最值的區(qū)別和聯(lián)系二、疑難解析（一）基本概念1函數單調性的判定定理：設函數在內可導 如果在內，則函數在內單調增加， 如果在內，則函數在內單調減少定理中的開區(qū)間換成其他區(qū)間（包括無窮區(qū)間），結論仍然成立 在利用定理解題時，需注意： 考慮函數的定義域； 在解題過程中，列成表格更能清楚地說明問

2、題 與換成與（等號只在個別點成立），上述定理的結論是否仍然成立。 一般地，確定函數單調區(qū)間的步驟是： 求函數的定義域；1 / 11 求導數，并進一步求出的不可導點與駐點； 用中的點對定義域進行劃分； 在每個開區(qū)間內判定的符號，由上述定理得出相應的結果。2極值的概念設函數在的某鄰域內有定義，如果在該鄰域內任取一點（），均有，則稱是函數的一個極大值，稱為的極大值點；同樣，如果在該鄰域內任取一點（），均有，則稱是函數的一個極小值，稱為的極小值點函數的極大值與極小值統(tǒng)稱為極值，極大值點與極小值點統(tǒng)稱為極值點要注意函數的極值與最值的區(qū)別：這是兩個不同的概念。極值是一種局部性的概念，它只限于與的某鄰域的函

3、數值比較；而最大值、最小值是一個整體概念，它是就整個區(qū)間的函數值比較來說的函數的極大值不一定是函數的最大值，函數的極小值也不一定就是函數的最小值；一個函數在某個區(qū)間上可能有若干個極值點，在這些點上，有些極小值可能要大于極大值。3極值點與駐點的區(qū)別與聯(lián)系如果函數在點可導，且在點處取得極值，則必有可導函數的極值點一定是函數的駐點，但駐點不一定是函數的極值點連續(xù)而不可導的點也可能是極值點4函數極值的判定（極值的第一充分條件） 設函數在點的某個鄰域內可導，且（1）如果當時，；當時， ，則函數在處取得極大值；（2）如果當時，；當時， ，則函數在處取得極小值；（3）如果在的兩側，具有相同的符號，則函數在處

4、不取得極值（極值的第二充分條件） 設函數在點處具有二階導數，且，則（1）當時，函數在點處取得極大值；（2）當時，函數在點處取得極小值看起來，第二充分條件比第一充分條件要簡單。在利用第二充分條件解題時，需注意：當時，第二充分條件定理失效，在這種情況下，要利用第一充分條件來判斷函數的極值。對于不可導點是否為極值點，只能用第一充分條件定理來判斷。一般地，求函數的極值點和極值的一般步驟為：(1)確定函數的定義域；(2)求，解方程，求出駐點，找出使不存在的點；(3)用上述諸點按從小到大的順序將定義區(qū)間分為若干子區(qū)間；列表考察在各個子區(qū)間內的符號，判定出函數在子區(qū)間上的單調性，也就得到了極值點；(4)求出

5、各極值點處的函數值，就得到函數的全部極值（二）基本運算1判斷函數的單調性或單調區(qū)間例1 判斷函數的單調性解：在定義域上連續(xù)，且只有在處等于0，故在上單調增加。例2 討論函數的單調區(qū)間解：函數的定義域為 令，得，將定義域分成三個區(qū)間，可列表討論如下：12+0-0+增加減少增加即函數的單調增區(qū)間為：，；單調減區(qū)間為：2利用函數的單調性證明不等式例3 證明當時，證明：令，則又（），所以函數在區(qū)間上單調增加因此，當時，即 3求函數的極值 例4 求的極值解：函數的定義域為 令，得，列表討論如下：-13+0-0+增加極大值10減少極小值-22增加即函數在處取得極大值，在處取得極小值例5 求函數在區(qū)間上的極

6、值解：函數的定義域為 令，得，又因為，故，所以在處有極大值，在處有極小值三、自測題自測題（一）、填空題1可導函數的極值點一定是函數的_2 設函數在（a，b）內可導，如果，則函數在（a，b）內單調_;如果，則函數在（a，b）內單調_;如果，則函數在內是_;3 函數的單調增區(qū)間是_，單調減區(qū)間是_4函數在內單調增加，則a_5 函數的極小值點是_6 函數在_處取得極大值_, 在_處取得極小值_、單項選擇題1下列說法正確的是（ ）A函數的駐點一定是極值點 B 函數的極值點一定是駐點C函數的極大值必大于極小值 D 極值點只能在定義區(qū)間內部取得2點是函數的（ ）A駐點但非極值點 B 極值點但非駐點C駐點且

7、是極值點 D 非駐點也非極值點3設，則（ ）A在內單調減少 B 在內單調增加C在內單調減少 D 在內單調增加4的單調區(qū)間是（ ）A， B C D 5 函數在區(qū)間上的極小值點為（ ）A B C D 不存在、計算解答題1設函數，求函數的單調區(qū)間2 設函數，求函數的單調區(qū)間和極值3 設函數，求函數的單調區(qū)間和極值、證明題1 利用函數的單調性證明自測題（二）、填空題1函數的極值點可能是函數的_或_2 函數的單調增區(qū)間是_;單調減區(qū)間是_;極值點是_,它是極_值點3 函數在區(qū)間_上單調減少，在區(qū)間_上單調增加4如果函數在處取得極小值，則=_,b=_5 函數的極小值點為_6 函數在_處取得極大值_、單項選

8、擇題1如果函數在點處取得極大值，則必有（ ）A B C且 D 或不存在2點是函數的（ ）A駐點但非極值點 B 極值點但非駐點C駐點且是極值點 D 非駐點也非極值點3滿足方程的點是函數的（ ）A極值點 B 駐點 C間斷點 D 不可導點4下列函數中，（ ）在指定區(qū)間內是單調減少的函數A B C D 5 設函數，則下列正確的是（ ）A極小值 B 極大值 C 極小值 D 極大值、計算解答題1設函數，求函數的單調區(qū)間和極值2 設函數，求函數的單調區(qū)間和極值3 設函數，求函數的單調區(qū)間和極值、證明題1 利用函數的單調性證明四、自測題答案自測題（一）、填空題1駐點 2 增加、減少、常數 3 、 4 大于0 5 6 ，；， 、選擇題1D 2 A 3 A 4 B 5 B、計算題解答題1單調減區(qū)間： ；單調增區(qū)間： 2 單調減區(qū)間： ；單調增區(qū)間：， ；在處取得極大值；在處取得極小值3 單調減區(qū)間： ；單調增區(qū)間： ；在處取得極小值、證明題略自測題（二）、填空題1駐點、不可導點 2 ，小 3 ， 4 ，0 5 6 ，3 、選擇題1D 2 C 3B 4 A 5 C、計算解答題1單調減區(qū)間：