202X屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第七章不等式7.3基本不等式及不等式的應(yīng)用課件

1、7.3基本不等式及不等式的應(yīng)用高考數(shù)學(xué)高考數(shù)學(xué) (浙江專用)(2016浙江文,20,15分)設(shè)函數(shù)f(x)=x3+,x0,1.證明:(1)f(x)1-x+x2;(2),所以f(x).綜上,得f(x),從而問題得證.11x 23(1)(1)1xxxxx411xx11x11x 11x 11x 11x 3232(1)(21)2(1)xxx32321219243434考點(diǎn)一基本不等式考點(diǎn)一基本不等式B B組統(tǒng)一命題、省（區(qū)、市）卷題組組統(tǒng)一命題、?。▍^(qū)、市）卷題組1.(2019天津理,13,5分)設(shè)x0,y0,x+2y=5,則的最小值為 .(1)(21)xyxy答案答案4 3解析解析本題主要考查利用基

2、本不等式求最值;通過不等式的應(yīng)用考查學(xué)生推理論證能力及運(yùn)算求解能力;體現(xiàn)了邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).x+2y=5,x0,y0,=2+2=4,當(dāng)且僅當(dāng)即或時(shí),原式取得最小值4.(1)(21)xyxy221xyxyxy26xyxyxy6xy62 xyxy325,62,xyxyxy3,1xy2,32xy32.(2019江蘇,10,5分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,P是曲線y=x+(x0)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則點(diǎn)P到直線x+y=0的距離的最小值是 .4x答案答案4解析解析本題通過曲線y=x+(x0)上的動(dòng)點(diǎn)到直線的最小距離考查點(diǎn)到直線的距離公式、基本不等式等有關(guān)知識(shí),利用點(diǎn)到直線的距離公式變形考查學(xué)生的運(yùn)

3、算求解能力,體現(xiàn)了從幾何關(guān)系到代數(shù)關(guān)系的直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).設(shè)P,x00,則點(diǎn)P到直線x+y=0的距離d=4,當(dāng)且僅當(dāng)x0=,即x0=時(shí)取“=”.故點(diǎn)P到直線x+y=0的距離的最小值是4.4x0004,x xx00042xxx2002xx02x2一題多解一題多解 當(dāng)點(diǎn)P到直線x+y=0的距離最小時(shí),在點(diǎn)P處的切線與直線x+y=0平行.設(shè)P,x00,易知y=1-,令1-=-1,得=2.x00,x0=,P(,3).此時(shí)點(diǎn)P到直線x+y=0的距離為=4.故點(diǎn)P到直線x+y=0的距離的最小值是4.0004,x xx24x204x20 x222|23 2 |23.(2019上海,7,5分)若x

4、,yR+,且+2y=3,則的最大值為 .1xyx答案答案 98解析解析本題主要考查函數(shù)的最值,考查學(xué)生的邏輯推理能力及運(yùn)算求解能力.x0,=3-2y,3-2y0,y0,0y0,b0)過點(diǎn)(1,2),則2a+b的最小值為 .xayb答案答案8解析解析本題考查基本不等式及其應(yīng)用.由題設(shè)可得+=1,a0,b0,2a+b=(2a+b)=2+24+2=8.故2a+b的最小值為8.1a2b12abba4ab4baab4,2,babaab當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí) 等號(hào)成立7.(2017天津文,13,5分)若a,bR,ab0,則的最小值為 .4441abab答案答案4解析解析本題考查基本不等式的應(yīng)用.a4+4b42a22

5、b2=4a2b2(當(dāng)且僅當(dāng)a2=2b2時(shí)“=”成立),=4ab+,由于ab0,4ab+2=4當(dāng)且僅當(dāng)4ab=時(shí)“=”成立,故當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),的最小值為4.4441abab2241a bab1ab1ab14abab1ab222,14ababab4441abab規(guī)律方法規(guī)律方法 利用基本不等式求最值,若需多次應(yīng)用基本不等式,則要注意等號(hào)成立的條件必須一致.8.(2016江蘇,14,5分)在銳角三角形ABC中,若sin A=2sin Bsin C,則tan Atan Btan C的最小值是 .答案答案8解析解析sin A=2sin Bsin C,sin(B+C)=2sin Bsin C,即sin Bco

6、s C+cos Bsin C=2sin Bsin C,亦即tan B+tan C=2tan Btan C,tan A=tan-(B+C)=-tan(B+C)=-=,又ABC為銳角三角形,tan A=0,tan B+tan C0,tan Btan C1,tan Atan Btan C=tan Btan Ctantan1tantanBCBCtantantantan1BCBCtantantantan1BCBCtantantantan1BCBC=,令tan Btan C-1=t,則t0,tan Atan Btan C=22(2+2)=8,當(dāng)且僅當(dāng)t=,即tan Btan C=2時(shí),取“=”.tan A

7、tan Btan C的最小值為8.22(tantan)tantan1BCBC 22(1)tt12tt1t考點(diǎn)二不等式的綜合應(yīng)用考點(diǎn)二不等式的綜合應(yīng)用1.(2019課標(biāo)全國(guó)理,6,5分)若ab,則()A.ln(a-b)0 B.3a0 D.|a|b|答案答案C本題考查不等式的性質(zhì)及指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性;通過特值法和綜合法考查了推理論證能力;考查的核心素養(yǎng)為邏輯推理.ab,a-b0,取a-b=1,則ln(a-b)=0.故A錯(cuò)誤.由y=3x在R上單調(diào)遞增可知3a3b,故B錯(cuò)誤.由y=x3在R上是增函數(shù)可知a3b3,故C正確.取a=0,b=-1,則|a|b直接得|a|b|而致錯(cuò).2.(2019天津

8、理,8,5分)已知aR.設(shè)函數(shù)f(x)=若關(guān)于x的不等式f(x)0在R上恒成立,則a的取值范圍為()A.0,1 B.0,2 C.0,e D.1,e222 ,1,ln ,1.xaxa xxax x答案答案C本題主要考查分段函數(shù)及不等式恒成立問題,考查學(xué)生推理論證能力及運(yùn)算求解能力,將恒成立問題轉(zhuǎn)化為求最值問題,考查了學(xué)生化歸與轉(zhuǎn)化思想及分類討論思想.(1)當(dāng)x1時(shí), f(x)=x2-2ax+2a=(x-a)2+2a-a2,若a1,則f(x)在(-,1上是減函數(shù),所以f(x)f(1)=10恒成立;若a1,則f(x)f(a)=2a-a2,要使f(x)0在(-,1上恒成立,只需2a-a20,得0a2,

9、0a1,綜合可知,a0時(shí), f(x)0在(-,1上恒成立.(2)當(dāng)x1時(shí),ln x0, f(x)=x-aln x0恒成立,即a恒成立.令g(x)=,g(x)=,令g(x)=0,得x=e,當(dāng)x(1,e)時(shí),g(x)0,g(x)為增函數(shù),g(x)min=g(e)=e,ae.綜合(1)(2)可知,a的取值范圍是0ae,故選C.lnxxlnxx2ln1(ln )xx解后反思解后反思 求不等式恒成立時(shí)的參數(shù)取值范圍的方法:一是分離參數(shù)法,不等式f(x)a在R上恒成立f(x)mina, f(x)a在R上恒成立f(x)maxa;二是討論分析法,根據(jù)參數(shù)取值情況進(jìn)行分類討論,從而確定參數(shù)的取值范圍.3.(20

10、17天津理,8,5分)已知函數(shù)f(x)=設(shè)aR,若關(guān)于x的不等式f(x)在R上恒成立,則a的取值范圍是()A. B.C.-2,2 D. 23,1,2,1.xxxxxx2xa47,21647 39,16 163392 3,16答案答案A本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用及不等式恒成立問題.當(dāng)x1時(shí),關(guān)于x的不等式f(x)在R上恒成立等價(jià)于-x2+x-3+ax2-x+3在R上恒成立,即有-x2+x-3ax2-x+3在R上恒成立.由y=-x2+x-3圖象的對(duì)稱軸為x=,可得在x=處取得最大值-;由y=x2-x+3圖象的對(duì)稱軸為x=,可得在x=處取得最小值,則-a.當(dāng)x1時(shí),關(guān)于x的不等式f(x)在R上恒成立等價(jià)

11、于-+ax+在R上恒成立,即有-a+在R上恒成立,因?yàn)閤1,所以-2=-2,當(dāng)且僅當(dāng)x=時(shí)取得最大值-2;因?yàn)閤1,所以x+2=2,當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)取得最小值2,則-2a2.由可得-a2,故選A.2xa2x123212141141447163234314343916471639162xa2xx2x2x322xx2x2x322xx322xx3233122x122xx34716思路分析思路分析 討論當(dāng)x1時(shí),運(yùn)用絕對(duì)值不等式的解法和分離參數(shù),可得-x2+x-3ax2-x+3,再由二次函數(shù)的最值求法,可得a的取值范圍;討論當(dāng)x1時(shí),同樣可得-a+,再利用基本不等式可得最值,從而可得a的取值范圍,求交

12、集即可得到所求范圍.1232322xx2x2x4.(2015課標(biāo),24,10分)設(shè)a,b,c,d均為正數(shù),且a+b=c+d,證明:(1)若abcd,則+ +;(2)+ +是|a-b|cd得(+)2(+)2.因此+ +.(2)(i)若|a-b|c-d|,則(a-b)2(c-d)2,即(a+b)2-4abcd.由(1)得+ +.(ii)若+ +,則(+)2(+)2,即a+b+2c+d+2.因?yàn)閍+b=c+d,所以abcd.于是(a-b)2=(a+b)2-4ab(c+d)2-4cd=(c-d)2.因此|a-b|+是|a-b|0,b0,且a+b=+.證明:(1)a+b2;(2)a2+a2與b2+b0,

13、b0,得ab=1.(1)由基本不等式及ab=1,有a+b2=2,即a+b2.(2)假設(shè)a2+a2與b2+b2同時(shí)成立,則由a2+a0得0a1;同理,0b1,從而ab1,這與ab=1矛盾.故a2+a2與b2+b0,b0),則+的最小值等于()A.4 B.2+2 C. D.2+12ba1b2522答案答案B +=+=+-1=(a+2b)-1=+22+2,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取到最小值.2ba1b1aa1b1a1b11abab2ba22一題多解 +=+=+22+2,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取到最小值.2ba1b2ba2abb2baab223.(2019浙江高考信息優(yōu)化卷(二),7)設(shè)a是實(shí)數(shù)2x,2y的等差中項(xiàng)

14、,是x,y的等比中項(xiàng),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.0,4 B.(-,0)4,+)C.-4,0)(0,4 D.(-,-44,+)|a答案答案D由已知得a=x+y,|a|=xy,因?yàn)?x+y)24xy,所以a24|a|(a0),即|a|4,故選D.4.(2018浙江新高考調(diào)研卷五(紹興一中),15)已知a0,b0,ab+2a+b-3=0,則+的最小值為 .11a 12b答案答案 2 55解析解析由ab+2a+b-3=0得(a+1)(b+2)=5,所以+2=,當(dāng)且僅當(dāng)=時(shí)取等號(hào).11a 12b1112ab2 5511a 12b5.(2019浙江金麗衢第一次聯(lián)考,13)若實(shí)數(shù)x,y滿足xy0,且log

15、2x+log2y=1,則+的最小值是 ,的最大值為 .2x1y22xyxy答案答案2; 14解析解析由已知可得log2xy=1,所以xy=2,則+2=2,當(dāng)且僅當(dāng)x=2,y=1時(shí)取等號(hào).令x-y=t0,則=,當(dāng)且僅當(dāng)t=2時(shí)取等號(hào).2x1y2 1x y22xyxy24tt 14tt142 tt146.(2019浙江學(xué)軍中學(xué)高三上期中,17)實(shí)數(shù)x、y、z滿足x2+y2+z2=1,則xy+yz的最大值為 .2答案答案 32解析解析由于1=x2+y2+z2=+2xy+2yz=(xy+yz),xy+yz=,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),故xy+yz的最大值為.2223xy2213yz23132 332212 3

16、3322,313xyzy2321.(2019浙江高考數(shù)學(xué)仿真卷(三),8)已知x,y,z為正實(shí)數(shù),且xy=2x+y=xyz+z,則z的最小值為( )A. B. C.1 D. 9108998考點(diǎn)二不等式的綜合應(yīng)用考點(diǎn)二不等式的綜合應(yīng)用答案答案B由xy=2x+y2可得xy8(當(dāng)且僅當(dāng)x=2,y=4時(shí)取等號(hào)).而由xy=xyz+z=(xy+1)z可知=1+.所以z,即z的最小值為.故選B.2xy1z1xyxy1xy9889892.(2018浙江寧波模擬(5月),10)已知x,y均為非負(fù)實(shí)數(shù),且x+y1,則4x2+4y2+(1-x-y)2的取值范圍為()A. B.1,4C.2,4 D.2,92,43答

17、案答案A解法一:令=z,則x+y+2z=1,滿足x,y,z0,問題轉(zhuǎn)化為求4(x2+y2+z2)的取值范圍.設(shè)點(diǎn)A,B(1,0,0),C(0,1,0),點(diǎn)P(x,y,z)可視為長(zhǎng)方體的一個(gè)三角截面ABC上的一個(gè)點(diǎn),則|OP|2=x2+y2+z2,于是問題轉(zhuǎn)化為求|OP|的取值范圍.顯然|OP|1,|OP|的最小值為O到平面ABC的距離,可以利用等積法計(jì)算.因?yàn)閂O-ABC=VA-OBC,于是可以得到|OP|,所以|OP|2,即4(x2+y2+z2).1 ()2xy10,0,2161,162,43解法二:因?yàn)閤,y0,所以x2+y2(x+y)2,令t=x+y,則0t1.4x2+4y2+(1-x-

18、y)24t2+(1-t)2=5t2-2t+14.當(dāng)xy=0且t=1,即x=0,y=1或x=1,y=0時(shí)取等號(hào).另一方面,4x2+4y2+(1-x-y)22t2+(1-t)2=3t2-2t+1.當(dāng)且僅當(dāng)x=y=時(shí)取等號(hào).所以4x2+4y2+(1-x-y)2.2()2xy23162,433.(2017浙江金華十校聯(lián)考(4月),17)已知實(shí)數(shù)x,y,z滿足則xyz的最小值為 .22221,5,xyzxyz答案答案9-3211解析解析將變形為由|xy|知,|1-2z|,即-1-2z,解得2-z-2.所以xyz=(1-2z)z=-2z2+z在2-,-2上的最小值為9-32.22221,5xyzxyz22

19、212 ,5,xyzxyz 222xy252z252z252z71171111B B組組2017201920172019年高考模擬年高考模擬專題綜合題組專題綜合題組時(shí)間:15分鐘分值:28分一、選擇題(每小題4分,共8分)1.(2018浙江嘉興高三期末,8)若f(x)=x2+bx+c在(m-1,m+1)內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn),則f(m-1)和f(m+1)()A.都大于1 B.都小于1C.至少有一個(gè)大于1 D.至少有一個(gè)小于1答案答案D若f(x)在(m-1,m+1)內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn),則設(shè)f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)分別為x1,x2,不妨設(shè)x1x2,則m-1x1x2m+1,且f(x)=(x-x1)(x-x2)

20、.因?yàn)閒(m-1)=(m-1-x1)(m-1-x2)=(x1-m+1)(x2-m+1),f(m+1)=(m+1-x1)(m+1-x2),所以f(m-1)f(m+1)=(x1-m+1)(x2-m+1)(m+1-x1)(m+1-x2)=1,故f(m-1)和f(m+1)中至少有一個(gè)小于1,故選D.211112xmmx 222112xmmx 2.(2019浙江高考“超級(jí)全能生”聯(lián)考(2月),7)已知正數(shù)x,y滿足x+y=1,則+的最小值是()A. B. C. D. 11x112y33287632 2565答案答案Cx+y=1,2x+2+2y+1=5,+=(2x+2+2y+1)=,當(dāng)且僅當(dāng)2x2-4y2

21、+4x-4y+1=0時(shí)等號(hào)成立,故選C.11x112y15212212xxxy32 253.(2019浙江臺(tái)州一中、天臺(tái)一中高三上期中,17)已知實(shí)數(shù) x, y 滿足x2-y2-x+3y-2=0,則x2+y2的最小值為 .二、填空題(共20分)答案答案 12解析解析對(duì)x2-y2-x+3y-2=0配方得=,則(x+y-2)(x-y+1)=0(其幾何圖形為兩條互相垂直的直線).由幾何意義可知x2+y2的值為原點(diǎn)到兩直線上點(diǎn)的距離的平方,其最小值為原點(diǎn)到直線x-y+1=0的距離的平方,所以=.212x232y22min()xy200 12 124.(2019浙江金華十校高三上期末,16)已知x2+2y2-xy=1(x、yR),則x2+y2的最小值為 .3答案答案 25解析解析解法一:設(shè)x2+y2=t,則x2+y2=t(x2+2y2-xy),整理可知,關(guān)于x的方程(1-t)x2+tyx+(1-2t)y2=0有解,所以=3t2y2-4(