工程數(shù)學(xué)主要內(nèi)容與方法

1、工程數(shù)學(xué)主要內(nèi)容與方法問(wèn)答題集錦遼寧工學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)教研室 編二五年四月前 言為幫助學(xué)生更好地掌握工程數(shù)學(xué)（包括線性代數(shù)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)）的主要內(nèi)容與方法，根據(jù)我們多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，總結(jié)編寫(xiě)了這本工程數(shù)學(xué)主要內(nèi)容與方法問(wèn)答題集錦，希望它能在學(xué)生的學(xué)習(xí)中起到答疑解惑的作用。本書(shū)線性代數(shù)部分是按照同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系編寫(xiě)的線性代數(shù)（第四版）的章節(jié)順序編寫(xiě)；概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)部分是按照浙江大學(xué)盛驟等編寫(xiě)的概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（第三版）的章節(jié)順序編寫(xiě)。編者按篇章次序分別為：線性代數(shù)部分，第一、二章由闞永志編寫(xiě)，第三、四章由王賀元編寫(xiě)，第五章由石月巖編寫(xiě)；概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)部分，第一章由朱振廣編寫(xiě)，第二、三章由徐洪

2、香編寫(xiě)，第四、五章由劉秀娟編寫(xiě)，第六、七、八章由徐美進(jìn)編寫(xiě)；全書(shū)由石月巖統(tǒng)稿，佟紹成教授主審。 在本書(shū)的編寫(xiě)中得到遼寧工學(xué)院數(shù)理科學(xué)系的領(lǐng)導(dǎo)和老師的大力支持與幫助，在此表示衷心的感謝。 限于編者水平，加之編寫(xiě)時(shí)間倉(cāng)促，書(shū)中不妥和疏漏之處在所難免，敬請(qǐng)讀者批評(píng)指正。 編 者 2005年4月于遼寧工學(xué)院目 錄線性代數(shù)部分線性代數(shù)的研究對(duì)象是什么？ LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL（1）線性代數(shù)的主要內(nèi)容有哪些？ LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL（1）第一章 行列式 LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL（1） 1余子式與代數(shù)余子式有什么特點(diǎn)？它們之間有

3、什么了解？LLLLLLLLLL（1） 2行列式有哪些性質(zhì)？LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL（1） 3對(duì)角線法則對(duì)四階以上的行列式是否成立？LLLLLLLLLLLLLLLL（1） 4計(jì)算行列式通常采用的方法是什么？LLLLLLLLLLLLLLLLLLL（2） 5克萊姆法則的適用條件是什么？LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL（2）第二章 矩陣及其運(yùn)算 LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL（2） 1為什么要學(xué)習(xí)矩陣？LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL（2） 2什么是矩陣的代數(shù)運(yùn)算？什么是矩陣的運(yùn)算系統(tǒng)？LLLLLLLLLLLLL（2）

4、3為什么矩陣乘法不滿(mǎn)足交換律？LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL（3） 4矩陣運(yùn)算系統(tǒng)與我們熟悉的實(shí)數(shù)運(yùn)算系統(tǒng)的本質(zhì)區(qū)別是什么？LLLLLLLL（3） 5矩陣與行列式有什么區(qū)別與了解？LLLLLLLLLLLLLLLLLLLL（3） 6判斷矩陣可逆的常用方法有哪些？LLLLLLLLLLLLLLLLLLLL（4） 7什么是伴隨矩陣？它有哪些主要性質(zhì)？LLLLLLLLLLLLLLLLLL（4） 8求方陣的高次冪有哪些常用的方法？LLLLLLLLLLLLLLLLLL（4） 9怎樣解矩陣方程？LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL（5） 10什么是分塊矩陣，為什么要對(duì)矩陣進(jìn)行分塊

5、？LLLLLLLLLLLLLLL（5）第三章 矩陣的初等變換與線性方程組 LLLLLLLLLLLLLLLLLLLL（5） 1一個(gè)非零矩陣的行最簡(jiǎn)形與行階梯形有什么區(qū)別和了解？LLLLLLLLLL（5） 2在求解有關(guān)矩陣的問(wèn)題時(shí)，何時(shí)只須化為階梯形，何時(shí)宜化為行最簡(jiǎn)形？或者， 它們?cè)诠δ苌嫌惺裁床煌?？LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL（6） 3矩陣的初等變換與初等矩陣有什么關(guān)系？引入初等矩陣有什么意義？LLLLL（6） 4初等變換有哪些應(yīng)用？LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL（7） 5求一個(gè)可逆矩陣的逆矩陣有哪些常用的方法？LLLLLLLLLLLLLLL（7） 6階矩

6、陣是可逆矩陣的特征刻畫(huà)有哪些？LLLLLLLLLLLLLLLL（7） 7用初等行變換法求解線性方程組的主要步驟是什么？LLLLLLLLLLLL（8） 8在求解帶參數(shù)的線性方程組時(shí)，對(duì)系數(shù)矩陣或增廣矩陣作初等行變換應(yīng)注意些 什么？LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL（8） 9在求解線性方程組的通解時(shí)，常與教材中給出的答案不一致，這是否可以？LL（8）第四章 向量組的線性相關(guān)性 LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL（9） 1線性相關(guān)與線性表示這兩個(gè)概念有什么區(qū)別和了解？LLLLLLLLLLLL（9） 2對(duì)于向量組的線性相關(guān)、線性無(wú)關(guān)的概念，能否給出一些幾何上

7、的解釋?zhuān)縇LL（9） 3兩個(gè)矩陣的等價(jià)與兩個(gè)向量組的等價(jià)有什么區(qū)別和了解？ LLLLLLLLL（10） 4矩陣的初等行（列）變換有哪些？它有什么重要應(yīng)用？ LLLLLLLLLL（10） 5向量組的最大無(wú)關(guān)組有什么重要意義？ LLLLLLLLLLLLLLLLL（10） 6求向量組的最大無(wú)關(guān)組有哪些方法？ LLLLLLLLLLLLLLLLLL（11） 7證明或判斷一個(gè)向量組線性相關(guān)或線性無(wú)關(guān)的常用方法有哪些？LLLLLLL（11） 8求矩陣的秩有幾種方法？LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL（11） 9矩陣的秩有哪些重要性質(zhì)？ LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL（12） 10

8、矩陣的秩有哪些主要應(yīng)用？ LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL（12） 11如何求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系？LLLLLLLLLLLLLLLLLL（12） 12齊次線性方程組的通解結(jié)構(gòu)是什么？LLLLLLLLLLLLLLL（13） 13非齊次線性方程組的通解結(jié)構(gòu)是什么？LLLLLLLLLLLLLL（14）第五章 相似矩陣及二次型LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL（15） 1向量正交變換的幾何意義是什么？ LLLLLLLLLLLLLLLLLLL（15） 2矩陣的特征值有哪些主要性質(zhì)？ LLLLLLLLLLLLLLLLLLLL（15） 3如何求方陣的特征值與特征向量？ LLL

9、LLLLLLLLLLLLLLL（15） 4相似矩陣有哪些主要性質(zhì)？LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL（15） 5階矩陣可相似對(duì)角化的充分必要條件是什么？ LLLLLLLLLLLL（16） 6判斷矩陣是否可對(duì)角化的基本方法有哪些？ LLLLLLLLLLLLLL（16） 7方陣可相似對(duì)角化有什么意義？ LLLLLLLLLLLLLLLLLLLL（16） 8實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的特征值與特征向量有哪些性質(zhì)？LLLLLLLLLLLLLLL（16） 9已知階方陣可對(duì)角化, 如何求可逆矩陣, 使得? LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL（17） 10實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣正交相似對(duì)角化

10、的步驟是什么？LLLLLLLLLLLLLLL（17） 11化實(shí)二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的常用方法有哪些？ LLLLLLLLLLL（17） 12用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的主要步驟是什么？ LLLLLLL（17） 13如何判別二次型的正定性？ LLLLLLLLLLLLLLLLL（18）概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)部分概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)研究的對(duì)象是什么？LLLLLLLLLLLLLLLLLL（19）概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)研究的主要內(nèi)容是什么？ LLLLLLLLLLLLLLLL（19）概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的主要任務(wù)是什么？LLLLLLLLLLLLLLLLLL（19）第一章 概率論的基本概念LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL

11、LL（19） 1隨機(jī)事件的本質(zhì)是什么？ LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL（19） 2為什么把隨機(jī)事件定義成樣本空間的子集？LLLLLLLLLLLLLLLL（19） 3事件之間有幾種關(guān)系？ LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL（19） 4事件間有幾種運(yùn)算？ LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL（19） 5概率是什么？ LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL（20） 6概率的古典定義、幾何定義、統(tǒng)計(jì)定義和公理化定義有什么了解？ LLLLL（20） 7隨機(jī)事件有兩次抽象，指的是什么？其意義何在？ LLLLLLLLLLLL（20） 8什么是古典

12、概型？如何計(jì)算古典概型中事件的概率？ LLLLLLLLLLL（21） 9計(jì)算概率的常用公式有哪些？ LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL（21） 10什么是重貝努利試驗(yàn)，計(jì)算有關(guān)事件概率的方法是什么？LLLLLLLLL（22） 11如何使用全概率公式和貝葉斯公式？ LLLLLLLLLLLLLLLLLL（22） 12對(duì)立事件與互斥事件有何了解與區(qū)別？LLLLLLLLLLLLLLLLL（23） 13在實(shí)際應(yīng)用中，如何判斷兩事件的獨(dú)立性？LLLLLLLLLLLLLLLL（23） 14兩事件相互獨(dú)立與互不相容（互斥）這兩個(gè)概念有何關(guān)系？LLL（23） 15概率為的事件與“不可能事件”有何區(qū)別？有

13、何關(guān)系？LLLLLLLLL（24） 16什么是“概事件”？ “概事件”與“必然事件”的關(guān)系如何？ LLLLL（24） 17什么是“實(shí)際推斷原理”？它有什么作用？它與小概率事件有什么關(guān)系？LLL（24）第二章 隨機(jī)變量及其分布LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL（24） 1為什么要引入隨機(jī)變量？ LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL（24） 2引入隨機(jī)變量的分布函數(shù)有哪些作用？LLLLLLLLLLLLLLLLLL（25） 3概率密度函數(shù)有哪些性質(zhì)？LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL（25） 4對(duì)于概率密度的不連續(xù)點(diǎn)，如何從分布函數(shù)求得？ LLLLL（25） 5

14、為什么說(shuō)正態(tài)分布是概率論中最重要的分布？LLLLLLLLLLLLLLL（26） 6常見(jiàn)隨機(jī)變量的概率分布有哪些？LLLLLLLLLLLLLLLLLLLL（26）第三章 多維隨機(jī)變量及其分布LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL（28） 1如何判定一個(gè)二元函數(shù)是某個(gè)隨機(jī)變量的概率密度？LLLLLLLL（28） 2邊緣分布與聯(lián)合分布的關(guān)系如何？LLLLLLLLLLLLLLLLLLLL（28） 3由相互獨(dú)立的隨機(jī)變量構(gòu)成的多維隨機(jī)變量，它們的聯(lián)合分布與邊緣分布有何 關(guān)系？ LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL（28） 4如何由聯(lián)合分布確定兩個(gè)邊緣分布？LLLLLLL

15、LLLLLLLLLLLL（29） 5怎樣判別隨機(jī)變量與相互獨(dú)立？LLLLLLLLLLLLLLLLLL（29） 6相互獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)變量的線性組合是否仍為正態(tài)隨機(jī)變量？LLLLLLLL（29）第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL（30） 1隨機(jī)變量的數(shù)字特征有哪些？LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL（30） 2隨機(jī)變量的分布與數(shù)字特征有何關(guān)系？LLLLLLLLLLLLLLLLLL（30） 3隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差，在隨機(jī)變量的研究和實(shí)際應(yīng)用中，有何重要意義？（30） 4數(shù)學(xué)期望有哪些性質(zhì)？ LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL（30）

16、 5方差有哪些性質(zhì)？ LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL（31） 6常用分布的期望、方差是什么？LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL（31） 7相關(guān)系數(shù)反映隨機(jī)變量和的什么特性？ LLLLLLLLLLLLL（31） 8獨(dú)立性與不相關(guān)有何關(guān)系？LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL（32）第五章 大數(shù)定律及中心極限定理LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL（32） 1大數(shù)定律說(shuō)明什么問(wèn)題？LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL（32） 2中心極限定理的意義是什么？LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL（32）第六章 樣本及抽樣分布LLLLLL

17、LLLLLLLLLLLLLLLLLLLL（33） 1什么是統(tǒng)計(jì)量？為什么要引進(jìn)統(tǒng)計(jì)量？LLLLLLLLLLLLLLLLLL（33） 2常用的統(tǒng)計(jì)量有哪些？LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL（33） 3正態(tài)總體的某些常用抽樣分布有哪些？LLLLLLLLLLLLLLLLLL（33） 4分布、分布、分布及正態(tài)分布之間有哪些常見(jiàn)的關(guān)系？LLLLLLLL（34）第七章 參數(shù)估計(jì)LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL（34） 1常用的點(diǎn)估計(jì)方法有哪幾種？LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL（34） 2矩估計(jì)法的步驟是什么？LLLLLLLLLLLLLLLLLLLL

18、LLLL（35） 3極大似然估計(jì)法的步驟是什么？LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL（35） 4未知參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)有何異同？LLLLLLLLLLLLLLLLL（35） 5用矩估計(jì)法和極大似然估計(jì)法所得的估計(jì)是否是一樣的？LLLLLLLLLL（35） 6評(píng)價(jià)估計(jì)量好壞的常用標(biāo)準(zhǔn)是什么？LLLLLLLLLLLLLLLLLLL（36）第八章 假設(shè)檢驗(yàn)LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL（36） 1假設(shè)檢驗(yàn)的依據(jù)是什么？LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL（36） 2假設(shè)檢驗(yàn)可能產(chǎn)生的兩類(lèi)錯(cuò)誤是什么？LLLLLLLLLLLLLLLLLL（36） 3假設(shè)檢

19、驗(yàn)的一般步驟是什么？LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL（36）線性代數(shù)主要內(nèi)容與方法問(wèn)答題集錦（部分內(nèi)容）線性代數(shù)研究的對(duì)象是什么？ 答：線性代數(shù)是數(shù)學(xué)的一門(mén)重要課程，它主要討論矩陣?yán)碚?，并以矩陣?yán)碚摓楣ぞ哐芯坑邢蘧S向量空間和線性變換理論。線性代數(shù)的主要內(nèi)容有哪些？答：主要內(nèi)容包括：行列式，矩陣及其運(yùn)算，矩陣的初等變換與線性方程組，向量組的線性相關(guān)性，相似矩陣及二次型，線性空間與線性變換。第一章 行列式1余子式與代數(shù)余子式有什么特點(diǎn)？它們之間有什么了解？ 答：在階行列式中，元素的余子式是把中第行和第列劃去后留下來(lái)的階行列式，實(shí)質(zhì)上它還是表示一個(gè)數(shù)，并且元素的余子式和代數(shù)余子式僅與位置

20、有關(guān)，而與元素的數(shù)值大小和正負(fù)無(wú)關(guān)。它們之間的了解是. 因此，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，.2行列式有哪些性質(zhì)？ 答：行列式的性質(zhì)有： 行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等。 互換行列式的兩行（列），行列式變號(hào)。 如果行列式有兩行（列）完全相同，則此行列式等于零。 行列式的某一行（列）中所有元素都乘以同一數(shù)，等于用數(shù)乘此行列式；或者，行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式記號(hào)的外面。 行列式中如果有兩行（列）的元素成比例，則此行列式等于零。 若行列式的某一行（列）的元素都是兩數(shù)之和，則此行列式可拆成兩個(gè)行列式的和，這兩個(gè)行列式分別以這兩組數(shù)作為行（列），其余各行（列）與原行列式相同。 把行列式的某一行

21、（列）的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一行（列）對(duì)應(yīng)的元素上去，行列式不變。 行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和。4計(jì)算行列式通常采用的方法是什么？ 答：計(jì)算行列式通常采用的方法有 對(duì)于二階與三階行列式可以用對(duì)角線法則； 對(duì)于特殊的行列式可采用行列式的定義去求； 利用行列式的性質(zhì)將行列式化為三角形行列式去計(jì)算； 利用行列式按行（列）展開(kāi)法則計(jì)算行列式； 利用數(shù)學(xué)歸納法計(jì)算階行列式； 利用范德蒙行列式的結(jié)論計(jì)算特殊的行列式； 利用升階法（或加邊法）計(jì)算行列式。第二章 矩陣及其運(yùn)算1為什么要學(xué)習(xí)矩陣？ 答：矩陣是線性代數(shù)最重要的概念之一，由于對(duì)矩陣可以進(jìn)行運(yùn)算和變換，所以它

22、成為線性代數(shù)的有力工具，是線性代數(shù)全部?jī)?nèi)容的紐帶和橋梁。它在數(shù)學(xué)與其他自然科學(xué)、工程技術(shù)、社會(huì)科學(xué)特別是經(jīng)濟(jì)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用。例如，一般線性方程組有解的充要條件和作為解線性方程組基礎(chǔ)的克萊姆定理都可以用矩陣運(yùn)算導(dǎo)出；二次型的研究可以轉(zhuǎn)化為對(duì)稱(chēng)矩陣的研究；由于線性變換與矩陣存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，從而可以利用矩陣來(lái)研究線性變換；向量組的線性相關(guān)性討論也可以利用矩陣來(lái)研究。3為什么矩陣乘法不滿(mǎn)足交換律？ 答：因?yàn)榘凑站仃嚦朔ǖ囊?guī)定，只有當(dāng)?shù)谝粋€(gè)矩陣（左矩陣）的列數(shù)與第二個(gè)矩陣（右矩陣）的行數(shù)相等時(shí)，兩個(gè)矩陣相乘才有意義。否則無(wú)意義。另一方面，即使與都有意義，與仍然可以不相等?？傊仃嚨某朔ú粷M(mǎn)足交換

23、律。即在一般情況下，. 但是對(duì)于同階方陣，是一定成立的，這是因?yàn)? 又對(duì)于數(shù)的運(yùn)算，交換律成立，即，故.6判斷矩陣可逆的常用方法有哪些？答：判斷矩陣可逆的常用方法有（1）若有方陣，使或，則可逆，且. （2）計(jì)算方陣（如）的行列式是否不為零，若，則為可逆矩陣。 （3）若的伴隨矩陣可逆，或，則可逆。 （4）以后還會(huì)學(xué)到如下判別方法： 若階矩陣的秩，則可逆。同理，若，則可逆。 若方程組有唯一解或只有零解，則可逆。 若階矩陣的行（列）向量組線性無(wú)關(guān)，或?yàn)榈幕A(chǔ)解系，則可逆。 若階矩陣的行向量組或列向量組兩兩正交，則可逆。 若方陣的特征值全不為，則可逆。7什么是伴隨矩陣？它有哪些主要性質(zhì)？ 答：方陣的行

24、列式的各列（行）的各個(gè)元素的代數(shù)余子式寫(xiě)在同序數(shù)的行（列）上所構(gòu)成的矩陣，稱(chēng)為矩陣的伴隨矩陣，簡(jiǎn)稱(chēng)伴隨陣。記為. 即若，則.的主要性質(zhì)有： ； 若，則，. 若，則，. . . .8求方陣的高次冪有哪些常用的方法？答：求方陣的高次冪的常用方法有 利用數(shù)學(xué)歸納法（找“規(guī)律”法）； “二項(xiàng)展開(kāi)式”法：分解，且，利用二項(xiàng)展開(kāi)公式. 當(dāng)時(shí)，其中均為矩陣，利用矩陣乘法的結(jié)合律 . “方陣的對(duì)角化”法：利用相似對(duì)角化，即求可逆矩陣，使得，則. 可將大矩陣的運(yùn)算化為小矩陣的運(yùn)算，從而使運(yùn)算條理化； 可為某些命題的證明提供方法。第三章 矩陣的初等變換與線性方程組4初等變換有哪些應(yīng)用？ 答： 求矩陣的秩； 求逆矩

25、陣； 解線性方程組。5求一個(gè)可逆矩陣的逆矩陣有哪些常用的方法？ 答：求一個(gè)可逆矩陣的逆矩陣的常用方法有 利用定義求逆矩陣，即若（或），則. 利用伴隨矩陣求逆矩陣，即. 利用分塊對(duì)角矩陣求逆矩陣。即；. 其中均可逆。 利用初等行變換求逆矩陣，即.這是求逆矩陣最常用的方法。7用初等行變換法求解線性方程組的主要步驟是什么？ 答： 對(duì)于非齊次線性方程組，將增廣矩陣用初等行變換化為行階梯形；從的行階梯形可同時(shí)看出和. 若，則方程組無(wú)解。 若，則進(jìn)一步把化成行最簡(jiǎn)形。而對(duì)于齊次線性方程組，則把系數(shù)矩陣化成行最簡(jiǎn)形。 設(shè)，把行最簡(jiǎn)形中個(gè)非零行的非零首元所對(duì)應(yīng)的未知數(shù)取作非自由未知數(shù)，其余個(gè)未知數(shù)取作自由未知

26、數(shù)，并令自由未知數(shù)分別等于，由（或）的行最簡(jiǎn)形，即可寫(xiě)出含個(gè)參數(shù)的通解。注 只能用初等行變換對(duì)增廣矩陣（或系數(shù)矩陣）進(jìn)行化簡(jiǎn)，如果用初等列變換化簡(jiǎn)，則不能保證變換前后的兩個(gè)方程組同解。第四章 向量組的線性相關(guān)性4矩陣的初等行（列）變換有哪些，它有什么重要應(yīng)用？ 答：矩陣的初等行（列）變換有 對(duì)調(diào)兩行（列）； 用非零數(shù)乘矩陣的某一行（列）的所有元素； 把某行（列）的倍數(shù)加到另一行（列）對(duì)應(yīng)的元素上去。 矩陣的初等行（列）變換可用于： 求逆矩陣； 化矩陣為行階梯形、行最簡(jiǎn)形； 求矩陣的秩； 解線性方程組。5向量組的最大無(wú)關(guān)組有什么重要意義？ 答：設(shè)是維向量組的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組，那么與生俱來(lái)的良好性質(zhì)

27、是： ，且所含向量個(gè)數(shù)； 組與組等價(jià)，從而有； 在所有與組等價(jià)的向量組中，組所含向量個(gè)數(shù)最少。 這樣用組來(lái)“代表”組是最佳不過(guò)了。特別，當(dāng)組為無(wú)限向量組時(shí)，就能用有限向量組來(lái)“代表”；凡是對(duì)有限向量組成立的結(jié)論，用最大無(wú)關(guān)組作過(guò)渡，立即可推廣到無(wú)限向量組的情形中去。6求向量組的最大無(wú)關(guān)組有哪些方法？ 答：通常有如下方法 根據(jù)定義求； 初等行變換法，即以所給向量組為列向量構(gòu)成矩陣，對(duì)矩陣進(jìn)行初等行變換，直到能看看出變換矩陣中列向量組的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組為止。此最大無(wú)關(guān)組所對(duì)應(yīng)的原向量組的列向量組就是所求的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組； 最高階非零子式法 以所給向量組為列向量構(gòu)成矩陣，若的最高階非零子式為，則所在的

28、列（行）即為的列（行）向量組的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組。7證明或判斷一個(gè)向量組線性相關(guān)或線性無(wú)關(guān)的常用方法有哪些？ 答：以下均是判別線性相關(guān)的充要條件 定義 線性相關(guān)可以找到不全為的數(shù)，使得. 否則, 是線性無(wú)關(guān)的。 齊次線性方程組法 向量組線性相（無(wú)）關(guān)齊次線性方程組有非零解（只有零解）. 矩陣秩法 向量組線性無(wú)（相）關(guān). 最大無(wú)關(guān)組法 線性無(wú)關(guān)的最大無(wú)關(guān)組為其自身. 表出法 線性相關(guān)中至少有一個(gè)向量可由其余向量線性表示。線性無(wú)關(guān)中任一向量都不能由其余的向量線性表示。 反證法 線性相關(guān)不線性無(wú)關(guān)8求矩陣的秩有幾種方法？答：求矩陣的秩有以下幾種方法 定義法：求矩陣非零子式的最高階數(shù)就得到矩陣的秩。 初等

29、行變換法：利用初等行變換，將矩陣化為行階梯形矩陣，其非零行的行數(shù)即為該矩陣的秩。 利用矩陣的秩與向量組的秩的關(guān)系：矩陣的秩矩陣列向量組的秩矩陣行向量組的秩。9矩陣的秩有哪些重要性質(zhì)？答：矩陣秩的重要性質(zhì)有 ； ； 若，則； 若可逆，則； ；特別地，當(dāng)為列向量時(shí)，有； ； ； 若，則. 設(shè)是階矩陣的伴隨矩陣，則.10矩陣的秩有哪些主要應(yīng)用？答：矩陣的秩有以下幾個(gè)方面的應(yīng)用 判斷方陣是否可逆； 判斷向量組的線性相關(guān)性； 討論線性方程組解的情況及解的結(jié)構(gòu)。12齊次線性方程組的通解結(jié)構(gòu)是什么？答：齊次線性方程組解的性質(zhì)、通解如下 （1）解的性質(zhì) 如果是的解，則也是的解。 如果是的解，則也是的解。 根據(jù)

30、上述性質(zhì)及向量空間定義可知，齊次線性方程組的全部解向量集合構(gòu)成一個(gè)向量空間，稱(chēng)之為解空間，基礎(chǔ)解系即為解空間的基。 （2）解的存在性及通解 易知一定有零解。因此，在任何情況下一定有解。 當(dāng)（未知量的個(gè)數(shù)）時(shí)，方程組只有零解（或有唯一解）。 當(dāng)時(shí)，方程組有無(wú)窮解（或有非零解）。此時(shí)，方程組有個(gè)自由未知量，基礎(chǔ)解系包含個(gè)解向量，其通解為：。其中為任意實(shí)數(shù)，為基礎(chǔ)解系。 特別地，當(dāng)為方陣時(shí)，方程組有非零解的充要條件是.13非齊次線性方程組的通解結(jié)構(gòu)是什么？ 答：非齊次線性方程組解的性質(zhì)、通解如下 （1）解的性質(zhì) 如果是的解，則是對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的解； 如果是的解，是對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的解，則是

31、的解。 根據(jù)以上兩個(gè)性質(zhì)可知，非齊次線性方程組全部解的集合不構(gòu)成一個(gè)向量空間，因此，非齊次線性方程組不存在基礎(chǔ)解系。 （2）解的存在性及通解 非齊次線性方程組不是在任何情況下都有解，方程組有解的充要條件是系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩，即，. 在方程組有解時(shí)，稱(chēng)方程組是相容的，否則稱(chēng)為不相容。 當(dāng)（為未知量的個(gè)數(shù)）時(shí)，方程組有唯一解，其解可由克萊姆法則求出。 當(dāng)時(shí)，方程組有無(wú)窮多組解。其通解形式為.其中是方程組的一個(gè)特解，是對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系，為任意實(shí)數(shù)。 當(dāng)為方陣時(shí)，方程組有唯一解的充要條件是.第五章 相似矩陣及二次型2矩陣的特征值有哪些主要性質(zhì)？答：矩陣的特征值有以下性質(zhì) 矩陣的

32、跡； 階矩陣的行列式； 設(shè)為方陣的特征值，則分別為的特征值（其中均為常數(shù)，）. 一般地，若是的特征值，則是的特征值. （其中，）.3如何求方陣的特征值與特征向量？ 答：1）如果方陣是“數(shù)值型”矩陣，即矩陣中元素全為常量的矩陣，則求此類(lèi)型矩陣的特征值、特征向量的基本方法是： 求特征方程的全部根，即的全部特征值。 對(duì)于的每一個(gè)特征值，求齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，那么該基礎(chǔ)解系的所有非零線性組合就是對(duì)應(yīng)于的全部特征向量。 2）如果方陣是“抽象型”矩陣，即矩陣的元素沒(méi)有具體給出的矩陣。求此類(lèi)型矩陣的特征值、特征向量的基本方法是： 利用定義式，滿(mǎn)足關(guān)系式的為的特征值，為對(duì)應(yīng)于的一個(gè)特征向量。 利用特

33、征方程求，進(jìn)而求對(duì)應(yīng)的特征向量。5階矩陣可相似對(duì)角化的充分必要條件是什么？ 答：階矩陣可相似對(duì)角化的充分必要條件是有個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量。6判斷矩陣是否可對(duì)角化的基本方法有哪些？ 答：常有如下四種方法 判斷是否為實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，若是則一定可對(duì)角化。 求的特征值，若個(gè)特征值互異，則一定可對(duì)角化。 求的特征向量, 若有個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量, 則可對(duì)角化,否則不可對(duì)角化. 方陣可對(duì)角化的充分必要條件是的每個(gè)重特征值對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)等于該特征值的重?cái)?shù)。 注 一般來(lái)說(shuō)，方法、常用，且中的條件僅僅是充分的。9已知階方陣可對(duì)角化，如何求可逆矩陣，使得？ 答：當(dāng)階方陣可對(duì)角化時(shí)，求可逆矩陣的具體步驟

34、是 求出的全部特征值； 對(duì)每個(gè)，求齊次方程組的基礎(chǔ)解系，得個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量； 令, 則,其中為對(duì)應(yīng)的特征值。10實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣正交相似對(duì)角化的步驟是什么？ 答：若為階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，則一定存在正交矩陣，使為對(duì)角矩陣。并可按以下步驟求出正交矩陣 求出方陣的全部特征值，其中重?cái)?shù)分別為； 對(duì)每一個(gè)，求出齊次方程組的基礎(chǔ)解系； 將正交單位化（若，則只須單位化）得正交單位特征向量組； 令, 則,其中是特征向量所對(duì)應(yīng)的特征值。11化實(shí)二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的常用方法有哪些？ 答： 配方法； 正交變換法。12用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的主要步驟是什么？答：用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的主要步驟是 寫(xiě)出二次型的矩陣. 注意

35、對(duì)非平方項(xiàng)的系數(shù)應(yīng)取其一半作為； 求出的全部特征值； 解方程組，求出個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量； 將先正交化再單位化，便得到個(gè)兩兩正交的單位向量； 以為列向量構(gòu)成正交矩陣, 則二次型通過(guò)正交變換可化為標(biāo)準(zhǔn)形.13如何判別二次型的正定性？答：判別二次型正定性的方法通常有 用定義； 的標(biāo)準(zhǔn)形中的個(gè)系數(shù)全為正； 對(duì)稱(chēng)矩陣的特征值全大于零； 對(duì)稱(chēng)矩陣的各階順序主子式全大于零； 正慣性指標(biāo)； ，其中是可逆矩陣。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)主要內(nèi)容與方法問(wèn)答題集錦概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)研究的對(duì)象是什么？ 答：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)研究的對(duì)象是隨機(jī)問(wèn)題。概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)研究的主要內(nèi)容是什么？ 答：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)研究的主要內(nèi)容是隨機(jī)變量理

36、論。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的主要任務(wù)是什么？ 答：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的主要任務(wù)是從數(shù)量側(cè)面研究和揭示隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。第一章 概率論的基本概念3事件之間有幾種關(guān)系？ 答：事件之間有四種關(guān)系包含，相等，互斥（或互不相容）和對(duì)立（或互為逆事件）.4事件間有幾種運(yùn)算？ 答：事件間有三種運(yùn)算和（或并），積（或交），差。8什么是古典概型？如何計(jì)算古典概型中事件的概率？答：具有以下兩個(gè)特點(diǎn)的試驗(yàn)，稱(chēng)為古典概型（或等可能概型） 試驗(yàn)的樣本空間只包含有限個(gè)元素，即； 每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相同，即.若要計(jì)算古典概型中事件的發(fā)生的概率，須先確定試驗(yàn)的樣本空間中基本事件總數(shù)，再計(jì)算導(dǎo)致事件發(fā)生的基本事件個(gè)數(shù)（即包含

37、的基本事件個(gè)數(shù)），從而在古典概型中事件發(fā)生的概率為.9計(jì)算概率的常用公式有哪些？答：計(jì)算概率的常用公式有（1）古典概型中事件概率的計(jì)算公式 .（2）幾何概型中事件概率的計(jì)算公式 .（3）若是兩兩互斥的事件，則.（4）逆事件的概率計(jì)算公式 .（5）加法公式 對(duì)于任意事件和，有. 推廣 . .（6）條件概率計(jì)算公式 ，.（7）乘法公式 設(shè)，則. 設(shè)為事件，且，則. 設(shè)為個(gè)事件，且，則.（8）全概率公式 .（9）貝葉斯（Bayes）公式 ，.（10）若獨(dú)立，則.（11）相互獨(dú)立事件至少發(fā)生一個(gè)的概率計(jì)算公式.（12）二項(xiàng)概率公式 .11如何使用全概率公式和貝葉斯公式? 答: 關(guān)于全概率公式應(yīng)注意以下

38、幾點(diǎn) 全概率公式形式上是概率加法公式和乘法公式的綜合; 全概率公式中體現(xiàn)的思想是分解，即把復(fù)雜事件分解成簡(jiǎn)單事件之和的形式： . 上面所述是復(fù)雜事件，主要指求的概率比較困難；而稱(chēng)是簡(jiǎn)單事件，是指的概率容易求，即常常是容易求得的。 使用全概率公式的問(wèn)題，一般都有二個(gè)層次：第一個(gè)層次是原因事件，第二個(gè)層次是結(jié)果事件，在全概率公式中，諸便是原因事件，是結(jié)果事件。全概率公式處理的問(wèn)題一般都是“由原因索結(jié)果”的問(wèn)題。貝葉斯公式有時(shí)稱(chēng)為后驗(yàn)概率公式，它實(shí)際上是條件概率。是在已知結(jié)果發(fā)生的情況下，求導(dǎo)致結(jié)果的某種原因的可能性大小。比如求，當(dāng)（常用全概率公式計(jì)算），較易求得時(shí)，就要用貝葉斯公式，處理的問(wèn)題恰好

39、是“由結(jié)果追原因的”。明白了這一點(diǎn)使用全概率公式和貝葉斯公式就容易多了。第二章 隨機(jī)變量及其分布3概率密度函數(shù)有哪些性質(zhì)？答：概率密度函數(shù)有以下性質(zhì) ； ； 對(duì)于任意實(shí)數(shù)，有； 若在點(diǎn)處連續(xù)，則有； 連續(xù)型隨機(jī)變量取某一數(shù)值的概率為，即. 其中性質(zhì)與是概率密度函數(shù)的特征性質(zhì)。若某函數(shù)滿(mǎn)足這兩條特征性質(zhì)，則一定是某個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度。5 為什么說(shuō)正態(tài)分布是概率論中最重要的分布？ 答：主要表現(xiàn)在三個(gè)方面 正態(tài)分布有極其廣泛的實(shí)際背景。在客觀實(shí)際中有許多隨機(jī)變量，它是由大量的相互獨(dú)立的隨機(jī)因素的綜合影響所形成的，而其中每一個(gè)個(gè)別因素在總的影響中所起的作用都是微小的，如:在任一指定時(shí)刻，一個(gè)城

40、市的耗油量是大量用戶(hù)耗油量的總和；一個(gè)實(shí)驗(yàn)的測(cè)量誤差是許多觀察不到的、可加的微小誤差所合成的，它們都服從或近似服從正態(tài)分布。 有些分布（如二項(xiàng)分布）的極限分布是正態(tài)分布。 有些分布（如分布、分布）又可以通過(guò)正態(tài)分布導(dǎo)出。所以，無(wú)論在實(shí)際中，還是在理論上，正態(tài)分布是概率論中最重要的一種分布。6常見(jiàn)隨機(jī)變量的概率分布有哪些？ 答：常見(jiàn)的離散型隨機(jī)變量的概率分布主要有 分布 設(shè)隨機(jī)變量只可能取與兩個(gè)值，它的分布律是，. 二項(xiàng)分布 設(shè)表示重伯努利試驗(yàn)中事件發(fā)生的次數(shù)，. 隨機(jī)變量的分布律為,.記作. 泊松分布 設(shè)隨機(jī)變量的所有可能取值為，它的分布律是 ，.其中是常數(shù)，記為（或）.其中，二項(xiàng)分布是非常重

41、要的一種分布，特別當(dāng)時(shí)二項(xiàng)分布化成分布；當(dāng)時(shí)，二項(xiàng)分布以泊松分布為極限分布。 常見(jiàn)的連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布主要有 均勻分布 隨機(jī)變量概率密度函數(shù)為：，記為. 其分布函數(shù)為 指數(shù)分布 隨機(jī)變量概率密度函數(shù)為：.其分布函數(shù)為 . 正態(tài)分布 隨機(jī)變量具有概率密度：，.記為. 其分布函數(shù)為，.特別，當(dāng)時(shí)，稱(chēng)服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，即.第三章 多維隨機(jī)變量及其分布1如何判定一個(gè)二元函數(shù)是某個(gè)隨機(jī)變量的概率密度？答：若二元函數(shù)具有以下兩條特征性質(zhì)； .則二元函數(shù)一定是某個(gè)二維隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)。3如何由聯(lián)合分布確定兩個(gè)邊緣分布？ 答：二維隨機(jī)變量作為一個(gè)整體，具有分布函數(shù)，而和都是隨機(jī)變量，設(shè)它們的分布函

42、數(shù)分別為，則有，. 對(duì)于離散型隨機(jī)變量，設(shè)的分布律為，則關(guān)于和關(guān)于的邊緣分布律分別為，.，. 對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量，設(shè)它的概率密度為，則關(guān)于，關(guān)于的邊緣概率密度分別為，.5怎樣判別隨機(jī)變量與相互獨(dú)立？ 答：設(shè)及，分別是二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)及邊緣分布函數(shù)，若對(duì)于所有的有，即，則隨機(jī)變量和是相互獨(dú)立的。 當(dāng)是離散型隨機(jī)變量時(shí)，和是相互獨(dú)立的條件可化為：對(duì)于的所有可能取的值，有； 當(dāng)是連續(xù)型隨機(jī)變量時(shí), ，分別的概率密度和邊緣概率密度，則和是相互獨(dú)立的條件可化為：對(duì)一切的，總有.第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征1隨機(jī)變量的數(shù)字特征有哪些？ 答：隨機(jī)變量數(shù)字特征有：數(shù)學(xué)期望、方差、矩、協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)。2隨機(jī)變量的分布與數(shù)字特征有何關(guān)系？ 答：隨機(jī)變量的分布完全確定數(shù)字特征，反之則不然。4數(shù)學(xué)期望有哪些性質(zhì)？ 答：數(shù)學(xué)期望具有幾個(gè)重要性質(zhì)（以下設(shè)所遇到的隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望存在）. 設(shè)是常數(shù)，則有. 設(shè)是一個(gè)隨機(jī)變量，是常數(shù)，則有. 設(shè)是兩個(gè)隨機(jī)變量，則有. 推廣 設(shè)是個(gè)隨機(jī)變量，是常數(shù)，則有. 設(shè)是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則有. 推廣 設(shè)是個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則有.5方差有哪些性質(zhì)？ 答：方差具有以下重要性質(zhì)（設(shè)所遇到的隨機(jī)變量其方差存在）. 設(shè)是常數(shù)，則有.