數(shù)學(xué)歸納法教學(xué)設(shè)計

1、數(shù) 學(xué) 歸 納 法 教 學(xué) 設(shè) 計一、課標要求： 1借助具體實例歸納出數(shù)學(xué)歸納法的基本原理、步驟；2了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的命題二、教材分析：數(shù)學(xué)歸納法的理論依據(jù)是皮亞諾公理，皮亞諾公理中的第五條，“數(shù)學(xué)歸納法”是人教A版普通高中課程標準實驗教科書 數(shù)學(xué)（選修2-2）中的第2章推理與證明中的第三單元，數(shù)學(xué)歸納法的學(xué)習(xí)，計劃利用2個課時學(xué)習(xí)，本節(jié)課是數(shù)學(xué)歸納法的起始課，主要是理解數(shù)學(xué)歸納法，并初步利用數(shù)歸解決簡單的數(shù)學(xué)問題，數(shù)學(xué)歸納法屬于直接證明，它可以完成通過有限個步驟的推理，證明取所有正整數(shù)都成立的命題的證明在等差數(shù)列和等比數(shù)列知識的學(xué)習(xí)過程中，我們用不完全歸納法推

2、出了它們的通項公式，其中正確性的嚴格證明需要用數(shù)學(xué)歸納法進行.因此，數(shù)學(xué)歸納法的學(xué)習(xí)是學(xué)習(xí)數(shù)列知識的深化和拓展，也是歸納推理的具體應(yīng)用， 應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法(證明某些與正整數(shù)有關(guān)的命題時常常采用的方法)證明命題的步驟：（1）（歸納奠基）證明當取第一個值時命題成立；（2）（歸納遞推）假設(shè)當時命題成立，證明當時命題也成立；根據(jù)（1）和（2），可知命題對于從開始的所有正整數(shù)都成立三、學(xué)生分析：學(xué)生已經(jīng)在必修5中學(xué)習(xí)了不完全歸納法(推導(dǎo)等差、等比數(shù)列的通項公式)；在本章的合情推理中已經(jīng)學(xué)習(xí)了歸納推理，在演繹推理中學(xué)習(xí)了“三段論”這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)是學(xué)生理解推理思想和證明方法的重要基礎(chǔ)因此，教學(xué)中通過類比的方法

3、，引導(dǎo)學(xué)生理解數(shù)學(xué)歸納法的本質(zhì)四、教學(xué)目標：1、知識與技能：借助具體實例歸納出數(shù)學(xué)歸納法的定義和步驟；了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的命題2、過程與方法: 觀察多米諾骨牌試驗，體驗數(shù)學(xué)歸納法的發(fā)現(xiàn)過程;借助例2嘗試利用數(shù)學(xué)歸納法解決數(shù)學(xué)問題3、情感態(tài)度與價值觀：通過對數(shù)學(xué)歸納法原理的探究，養(yǎng)成嚴謹?shù)目茖W(xué)態(tài)度和勇于探索的精神；通過置疑與探究，體驗類比的思想，逐步形成獨立的人格與敢于創(chuàng)新的精神， 五、教學(xué)重點和難點：重點： 數(shù)學(xué)歸納法教學(xué)的重點是借助具體實例了解數(shù)學(xué)歸納法的基本思想，掌握它的基本步驟，運用它證明一些與正整數(shù)（取無限多個值）有關(guān)的數(shù)學(xué)命題難點：學(xué)生不易理解數(shù)學(xué)歸納法

4、的思想實質(zhì)，具體表現(xiàn)在不了解第二個步驟的作用，不易根據(jù)歸納假設(shè)作出證明；六、教學(xué)方法：講授法  討論法 七、學(xué)習(xí)方法： 自主、合作、 探究八、教學(xué)資源：電腦  多媒體投影儀等  九、教學(xué)設(shè)計 1.從思考題中引入課題（1）、已知數(shù)列 的通項公式為（1）求出其前四項，（2）你能得到什么樣的猜想？ 猜想一定正確嗎？（2）、已知數(shù)列， （1）求出其前四項，（2）你能得到什么樣的猜想？猜想一定正確嗎？ 分析：逐一驗證是不可能的那么，我們應(yīng)該思考“怎樣通過有限個步驟的推理，證明取所有正整數(shù)都成立”的問題引出課題“這就是我們今天要研究的直

5、接證明數(shù)學(xué)問題的一種方法數(shù)學(xué)歸納法”【設(shè)計意圖】 應(yīng)用歸納推理，發(fā)現(xiàn)新事實，獲得新結(jié)論，這是數(shù)學(xué)歸納法的先行組織者；該思考題出現(xiàn)在本章第一節(jié)的合情推理中，是課標教材“螺旋式”上升的具體體現(xiàn)，其思維模式就是“觀察歸納猜想證明”2.體會多米諾骨牌游戲中蘊含的數(shù)學(xué)思想利用多媒體，動態(tài)地演示多米諾骨牌游戲【設(shè)計意圖】 通過對多米諾骨牌游戲的分析，讓學(xué)生經(jīng)歷從具體到抽象的歸納和概括過程，從而理解數(shù)學(xué)歸納法的本質(zhì).在多米諾骨牌游戲過程中，體會所有骨牌都倒下，第1塊骨牌必須倒下，這是基礎(chǔ)，也是前提條件，同時第塊骨牌倒下，必然導(dǎo)致第骨牌倒下，這是所有骨牌都倒下的保證，也就是多米諾骨牌游戲的連續(xù)性設(shè)問問題： 多

6、米諾骨牌游戲與前面所提到的要解決的問題有相似性嗎？能否類比多米若骨牌游戲來解決你的猜想是正確的？【設(shè)計意圖】 在類比的過程中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法.分析1：根據(jù)“第一塊骨牌倒下”抽象出數(shù)學(xué)歸納法的第一步，即（1）（歸納奠基）證明當取第一個值(,例如=1或)時,命題成立.分析2：根據(jù)“任意相鄰的兩塊骨牌，前一塊倒下一定導(dǎo)致后一塊倒下”，抽象出數(shù)學(xué)歸納法的第二步，即（2）（歸納遞推）假設(shè)時命題成立,證明當時命題也成立.分析3：從完成“多米諾骨牌游戲”中，抽象出數(shù)學(xué)歸納法證明命題的結(jié)論，即由（1），（2）可知，命題對于從開始的所有正整數(shù)都成立.【設(shè)計意圖】 抽象出“多米諾骨牌游戲”的本質(zhì).3.數(shù)學(xué)歸納法概念

7、的形成數(shù)學(xué)歸納法: 對于由不完全歸納法得到的某些與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題,我們常采用下面的方法來證明它們的正確性：（1）（歸納奠基）證明當取第一個值(,例如=1或)時,命題成立；（2）（歸納遞推）假設(shè)時命題成立,證明當時命題也成立；根據(jù)（1）和（2），可知命題對于從開始的所有正整數(shù)都成立.4、數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用例1.用數(shù)學(xué)歸納法證明“,對于的正整數(shù)n都成立”時，第一步證明的起始值n應(yīng)?。?）A.2 B.3 C.5 D.6【變式1】若，則時（ ） 【設(shè)計意圖】數(shù)學(xué)歸納法第一步中的“第一個數(shù)”不一定就是“1”， 也可能是“2”或其它數(shù)，要根據(jù)題意準確選擇當取第一個值時，左邊的式子要認識到位例2.用數(shù)學(xué)

8、歸納法證明： 【變式2】 例2的如下證明對嗎？ 證明：（1）當時，左邊=1，右邊=，等式成立（2）假設(shè)n=k時命題成立，即 那么 即當n=k+1時等式也成立根據(jù)（1）和（2），可知等式對都成立【變式3】 試判斷下列用數(shù)學(xué)歸納法證明過程是否正確？ 證明：假設(shè)n=k時命題成立，即 那么 即當n=k+1時等式也成立可知等式對任何都成立.【想一想】(1) 第一步，是否可省略？ (2) 第二步，是否可省略？ (3) 第三步，是否可省略？ 【小結(jié)2】【變式4】用數(shù)學(xué)歸納法證明【設(shè)計意圖】 例2是教材中的一道習(xí)題，變式2是對例2證明方式的變化，變式3是對例2結(jié)論的變化，通過反問，讓學(xué)生真正意識到在證明命題時

9、“兩個步驟和一個結(jié)論”缺一不可， 缺了第（1）步，就沒有了歸納奠基；缺了第（2）步，就喪失了歸納遞推的過程；缺了結(jié)論，整個數(shù)學(xué)歸納法的過程就不能順利完成. “兩個步驟和一個結(jié)論”缺一不可；變式4是數(shù)歸的應(yīng)用?？傊?，由于本節(jié)課教學(xué)的難點是：學(xué)生不易理解數(shù)學(xué)歸納法的思想實質(zhì)，具體表現(xiàn)在不了解第二個步驟的作用，不易根據(jù)歸納假設(shè)作出證明，因此，用數(shù)學(xué)歸納法證明命題的關(guān)鍵在第二步，而第二步的關(guān)鍵在于合理利用歸納假設(shè)，如果不會運用“假設(shè)當時，命題成立”這一條件，直接將代入命題，便說命題成立，實質(zhì)上是沒有證明因為從“n=k到n=k+1”的一般性遞推，可以看成一個獨立的命題，這樣有利于突破數(shù)學(xué)歸納法第二步中證明命題的難點關(guān)于這個難點，下節(jié)課還要重點的研究，在本節(jié)課中，為突破以上教學(xué)難點，課堂教學(xué)中兩條線索交替進行一條是主線：“提出問題分析問題解決問題”；另一條是暗線：“課堂提問的規(guī)則根據(jù)學(xué)號提問，并依次從小號到大號”在這個過程中，讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)歸納法證明命題的第一步的第一個值不一定是1，就如同第一個被提問到的學(xué)生不一定是1號的學(xué)生一樣若是2號，則下一個被提問的學(xué)生一定是3號利用flash軟件，動態(tài)地演示多米諾骨牌游戲，從中體會并理解“歸納奠基”和“歸納遞推”，知道只有把“歸納奠基”與“歸納遞推”結(jié)合起來，才能完成數(shù)學(xué)歸納法的證明過程，理解數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟另外，在課堂練習(xí)時，選擇學(xué)生中