高中數(shù)學(xué)教案-條件概率復(fù)習(xí)過(guò)程

1、高中數(shù)學(xué)教案-條件概率P(A B)=?P(A )=?例如，擲一顆均勻骰子，例如，擲一顆均勻骰子，A=擲出擲出2點(diǎn)點(diǎn)， B=擲出偶數(shù)點(diǎn)擲出偶數(shù)點(diǎn)，P(A|B)=？擲骰子擲骰子已知事件已知事件B發(fā)生，此時(shí)試驗(yàn)所有可能結(jié)果發(fā)生，此時(shí)試驗(yàn)所有可能結(jié)果構(gòu)成的集合就是構(gòu)成的集合就是B，于是于是P(A|B)= 1/3.B中共有中共有3個(gè)元素，它們的出現(xiàn)是等可個(gè)元素，它們的出現(xiàn)是等可能的，其中只有能的，其中只有1個(gè)在集個(gè)在集A中，中，容易看到容易看到)()(636131BPBAPP(A|B)探究問(wèn)題探究問(wèn)題61P(B)=?2161 在解決許多概率問(wèn)題時(shí)，往往需要在有某在解決許多概率問(wèn)題時(shí)，往往需要在有某些附加

2、信息些附加信息(條件條件)下求事件的概率下求事件的概率.如在事件如在事件B發(fā)生的條件下求事件發(fā)生的條件下求事件A發(fā)生發(fā)生的概率，將此概率記作的概率，將此概率記作P(A|B).A,B事件是有聯(lián)系的事件是有聯(lián)系的)()|(APBAPP(A )=3/10， 又如，又如，10件產(chǎn)品中有件產(chǎn)品中有7件正品，件正品，3件次品，件次品，7件正品件正品中有中有3件一等品，件一等品，4件二等品件二等品. 現(xiàn)從這現(xiàn)從這10件中任取一件，件中任取一件，問(wèn)在取到正品的前提下取到一等品的概率是多少？問(wèn)在取到正品的前提下取到一等品的概率是多少？ B=取到正品取到正品記記A=取到一等品取到一等品，P(A|B)=？)()(1

3、0710373BPBAP)()(636131BPBAPP(A|B)P(A B )=3/10，107)(BPP(A )=3/10， B=取到正品取到正品P(A|B)=3/7 本例中，計(jì)算本例中，計(jì)算P(A)時(shí)，依時(shí)，依據(jù)的前提條件是據(jù)的前提條件是10件產(chǎn)品中一件產(chǎn)品中一等品的比例等品的比例. A=取到一等品取到一等品， 計(jì)算計(jì)算P(A|B)時(shí)，這個(gè)前提條件未變，只時(shí)，這個(gè)前提條件未變，只是加上是加上“事件事件B已發(fā)生已發(fā)生”這個(gè)新的條件這個(gè)新的條件. 這好象給了我們一個(gè)這好象給了我們一個(gè)“情報(bào)情報(bào)”，使我們，使我們得以在新增的條件下導(dǎo)致的某個(gè)縮小了的范得以在新增的條件下導(dǎo)致的某個(gè)縮小了的范圍內(nèi)來(lái)

4、考慮問(wèn)題圍內(nèi)來(lái)考慮問(wèn)題.)()|(APBAP數(shù)發(fā)生的條件下基本事件在包含的基本事件數(shù)發(fā)生的條件下在ABAABP)|(中包含的基本事件數(shù)中包含的基本事件數(shù)ABA)()(AcardBAcard/ )(/ )(AcardBAcard)()(APBAP【問(wèn)題】一般【問(wèn)題】一般 情況下，情況下，P(P(| |) P() P() )，那么，那么P(|) ？ BABA二、條件概率的定義（計(jì)算公式）二、條件概率的定義（計(jì)算公式）定義定義 設(shè)設(shè)A、B是兩個(gè)事件，是兩個(gè)事件，且且, 0)( AP則稱(chēng)則稱(chēng))()(APBAPABP）（(1)為在事件為在事件A發(fā)生的條件下，發(fā)生的條件下，事件事件B的的條件概率條件概率.

5、BABA若在事件若在事件A A已發(fā)生的條件下，已發(fā)生的條件下，基本基本事件空間由事件空間由縮小為事件縮小為事件A A，為使，為使 B B 也也發(fā)生發(fā)生 , ,試驗(yàn)結(jié)果必須是既在試驗(yàn)結(jié)果必須是既在 A A 中又在中又在B B中的基本事件中的基本事件, ,即此點(diǎn)必屬即此點(diǎn)必屬于于ABAB. . 深化理解深化理解)()(APBAPABP）（1、準(zhǔn)確把握公式的形式。、準(zhǔn)確把握公式的形式。)()(|BPBAPBAP）（在在A發(fā)生的條件發(fā)生的條件下事件下事件B的概率的概率在在B發(fā)生的條件發(fā)生的條件下事件下事件A的概率的概率2、計(jì)算條件概率的兩種思維。、計(jì)算條件概率的兩種思維。(1) 用上面的公式計(jì)算用上面

6、的公式計(jì)算;(2)根據(jù)加入條件后改變了的情況來(lái)計(jì)算根據(jù)加入條件后改變了的情況來(lái)計(jì)算. 2)從加入條件后改變了的情況去算從加入條件后改變了的情況去算 1) 用定義計(jì)算用定義計(jì)算:316361)()()|(BPBAPBAP 擲骰子擲骰子例：例：A=擲出擲出2點(diǎn)點(diǎn)， B=擲出偶數(shù)點(diǎn)擲出偶數(shù)點(diǎn)P(A|B）=31B發(fā)生后的發(fā)生后的縮減樣本空間縮減樣本空間所含樣本點(diǎn)總數(shù)所含樣本點(diǎn)總數(shù)在縮減樣本空間在縮減樣本空間中中A所含樣本點(diǎn)所含樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)個(gè)數(shù)例例1 擲兩顆均勻骰子擲兩顆均勻骰子,已知第一顆擲出已知第一顆擲出6點(diǎn)點(diǎn),問(wèn)問(wèn)“擲出點(diǎn)數(shù)之和不小于擲出點(diǎn)數(shù)之和不小于10”的概率是多少的概率是多少? 解法解法1:

7、)()()|(BPBAPBAP解法解法2: 2163)|(BAP解解: 設(shè)設(shè)A=擲出點(diǎn)數(shù)之和不小于擲出點(diǎn)數(shù)之和不小于10 B=第一顆擲出第一顆擲出6點(diǎn)點(diǎn)應(yīng)用定義應(yīng)用定義在在B發(fā)生后的發(fā)生后的縮減樣本空間縮減樣本空間中計(jì)算中計(jì)算21366363例例2: 2:甲、乙兩城市都位于長(zhǎng)江下游，根據(jù)一百余年氣象記錄，知甲、乙兩城市都位于長(zhǎng)江下游，根據(jù)一百余年氣象記錄，知道甲、乙兩市一年中雨天占的比例分別為道甲、乙兩市一年中雨天占的比例分別為20%20%和和18%18%，兩地同時(shí)，兩地同時(shí)下雨的比例為下雨的比例為12%12%，求：，求： （1 1）乙市為雨天時(shí)，甲市也為雨天的概率；）乙市為雨天時(shí)，甲市也為雨

8、天的概率； （2 2）甲市為雨天時(shí)，乙市也為雨天的概率）甲市為雨天時(shí)，乙市也為雨天的概率. . 解解 設(shè)設(shè)A A=甲市是雨天甲市是雨天 ，B B=乙市是雨天乙市是雨天 ， P(A)=0.2， P(B)=0.18， P(AB)=0.12， 則則()0.12(|)0.67,( )0.18P ABP A BP B()0.12(|)0.60,( )0.2P ABP B AP A【例題講解】例例 3 某種動(dòng)物出生之后活到某種動(dòng)物出生之后活到20歲的概率為歲的概率為0.7，活到，活到25歲的概率為歲的概率為0.56，求現(xiàn)年為，求現(xiàn)年為20歲的這種動(dòng)物活到歲的這種動(dòng)物活到25歲的概率。歲的概率。解解 設(shè)設(shè)A

9、表示表示“活到活到20歲歲”(即即20)，B表示表示“活到活到25歲歲” (即即25)則則 ( )0.7, ( )0.56P AP B所求概率為所求概率為 ()( )()0.8( )( )P ABP BP B AP AP AAB0.560.560.70.75 5BAABB由于故，例例4在在6道題中有道題中有4道理科題和道理科題和2道文科題，如果不放回道文科題，如果不放回的依次抽取的依次抽取2道題道題（1）第一次抽到理科題的概率）第一次抽到理科題的概率（2）第一次與第二次都抽到理科題的概率）第一次與第二次都抽到理科題的概率（3）第一次抽到理科題的條件下，第二次抽到理科）第一次抽到理科題的條件下，

10、第二次抽到理科題的概率題的概率.)()()|(BPBAPBAP三、三、兩個(gè)事件兩個(gè)事件同時(shí)發(fā)生概率計(jì)算公式同時(shí)發(fā)生概率計(jì)算公式?)(BAP)()(APBAPABP）（)|()()|()()(BAPBPABPAPBAPB)P(A ,52)AP( ,21A)|P(B,BA,求已知為兩個(gè)事件設(shè)例例 5條件概率條件概率P(A|B)與與P(A)的區(qū)別的區(qū)別 每一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)都是在一定條件下進(jìn)行每一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)都是在一定條件下進(jìn)行的，設(shè)的，設(shè)A是隨機(jī)試驗(yàn)的一個(gè)事件，則是隨機(jī)試驗(yàn)的一個(gè)事件，則P(A)是在是在該試驗(yàn)條件下事件該試驗(yàn)條件下事件A發(fā)生的可能性大小發(fā)生的可能性大小.P(A)與與P(A |B)的區(qū)別在于

11、兩者發(fā)生的條件不同的區(qū)別在于兩者發(fā)生的條件不同,它們是兩個(gè)不同的概念它們是兩個(gè)不同的概念,在數(shù)值上一般也不同在數(shù)值上一般也不同. 而條件概率而條件概率P(A|B)是在原條件下又添加是在原條件下又添加“B發(fā)生發(fā)生”這個(gè)條件時(shí)這個(gè)條件時(shí)A發(fā)生的可能性大小，發(fā)生的可能性大小，即即P(A|B)仍是概率仍是概率. 一場(chǎng)精彩的足球賽將要舉行，一場(chǎng)精彩的足球賽將要舉行，5個(gè)球迷好不容易才搞到一張入場(chǎng)券個(gè)球迷好不容易才搞到一張入場(chǎng)券.大家都想去大家都想去,只好用抽簽的方法來(lái)解決只好用抽簽的方法來(lái)解決.入場(chǎng)入場(chǎng)券券5張同樣的卡片，只有一張上寫(xiě)有張同樣的卡片，只有一張上寫(xiě)有“入場(chǎng)券入場(chǎng)券”，其余，其余的什么也沒(méi)寫(xiě)

12、的什么也沒(méi)寫(xiě). 將它們放在一起，洗勻，讓將它們放在一起，洗勻，讓5個(gè)人依個(gè)人依次抽取次抽取.“先抽的人當(dāng)然要比后抽的人抽到的機(jī)會(huì)大先抽的人當(dāng)然要比后抽的人抽到的機(jī)會(huì)大. ” 到底誰(shuí)說(shuō)的對(duì)呢？讓我們用到底誰(shuí)說(shuō)的對(duì)呢？讓我們用概率論的知識(shí)來(lái)計(jì)算一下概率論的知識(shí)來(lái)計(jì)算一下,每個(gè)每個(gè)人抽到人抽到“入場(chǎng)券入場(chǎng)券”的概率到底的概率到底有多大有多大?“大家不必爭(zhēng)先恐后，你們一個(gè)一個(gè)大家不必爭(zhēng)先恐后，你們一個(gè)一個(gè)按次序來(lái)，誰(shuí)抽到按次序來(lái)，誰(shuí)抽到入場(chǎng)券入場(chǎng)券的機(jī)會(huì)都的機(jī)會(huì)都一樣大一樣大.”我們用我們用Ai表示表示“第第i個(gè)人抽到入場(chǎng)券個(gè)人抽到入場(chǎng)券” i1,2,3,4,5.顯然，顯然，P(A1)=1/5，P(

13、)4/51A第第1個(gè)人抽到入場(chǎng)券的概率是個(gè)人抽到入場(chǎng)券的概率是1/5.也就是說(shuō)，也就是說(shuō)，iA則則 表示表示“第第i個(gè)人未抽到入場(chǎng)券個(gè)人未抽到入場(chǎng)券”因?yàn)槿舻谝驗(yàn)槿舻?個(gè)人抽到個(gè)人抽到了入場(chǎng)券，第了入場(chǎng)券，第1個(gè)人個(gè)人肯定沒(méi)抽到肯定沒(méi)抽到.也就是要想第也就是要想第2個(gè)人抽到入場(chǎng)券，必須第個(gè)人抽到入場(chǎng)券，必須第1個(gè)人未抽到，個(gè)人未抽到，)|()()(1212AAPAPAP212AAA 由于由于由乘法公式由乘法公式 計(jì)算得：計(jì)算得： P(A2)= (4/5)(1/4)= 1/5)|()|()()()(2131213213AAAPAAPAPAAAPAP 這就是有關(guān)抽簽順序問(wèn)題的正確解答這就是有關(guān)抽簽順序問(wèn)題的正確解答. 同理，第同理，第3個(gè)人要抽到個(gè)人要抽到“入場(chǎng)券入場(chǎng)券”，必須，必須第第1、第、第2個(gè)人都沒(méi)有抽到個(gè)人都沒(méi)有抽到. 因此因此(4/5)(3/4)(1/3)=1/5 繼續(xù)做下去就會(huì)發(fā)現(xiàn)繼續(xù)做下去就會(huì)發(fā)現(xiàn), 每個(gè)人抽到每個(gè)人抽到“入入場(chǎng)券場(chǎng)券” 的概率都是的概率都是1/5.抽簽不必爭(zhēng)先恐后抽簽不必爭(zhēng)先恐后.也就是說(shuō)，也就是說(shuō)， 我們說(shuō)，在事件我們說(shuō)，在事件B發(fā)生的條件下事件發(fā)生的條件下事件A的條件概率一般地不等于的條件概率一般地不等于A的無(wú)條件概率的無(wú)條件概率. 但是，會(huì)不會(huì)出現(xiàn)但是，會(huì)不會(huì)出現(xiàn)P(A)=P(A |B)的情形呢？的情形