第3課高等數(shù)學(xué)建模案例

1、2021/2/111 “物理學(xué)在二十世紀(jì)取得了令人驚訝的成功物理學(xué)在二十世紀(jì)取得了令人驚訝的成功, ,它改變了我們對空間和時間、存在和認(rèn)識的看它改變了我們對空間和時間、存在和認(rèn)識的看法法, ,也改變了我們描述自然的基本語言。在本也改變了我們描述自然的基本語言。在本世紀(jì)行將結(jié)束之際世紀(jì)行將結(jié)束之際, ,我們已擁有一個對宇宙的我們已擁有一個對宇宙的嶄新看法嶄新看法, ,在這個新的宇宙觀中物質(zhì)已失去了在這個新的宇宙觀中物質(zhì)已失去了它原來的中心地位它原來的中心地位, ,取而代之的是自然界的對取而代之的是自然界的對稱性。稱性?！?斯蒂芬斯蒂芬. .溫伯格溫伯格2021/2/112 日常生活中常說的對稱性

2、日常生活中常說的對稱性, ,是指物體或一是指物體或一個系統(tǒng)各部分之間的適當(dāng)比例、平衡、協(xié)調(diào)個系統(tǒng)各部分之間的適當(dāng)比例、平衡、協(xié)調(diào)一致一致, ,從而產(chǎn)生一種簡單性和美感。從而產(chǎn)生一種簡單性和美感。這種美來這種美來源于幾何確定性源于幾何確定性, ,來源于群體與個體的有機結(jié)來源于群體與個體的有機結(jié)合合。 2021/2/113人體、動植物結(jié)構(gòu)對稱人體、動植物結(jié)構(gòu)對稱天竺葵 長春草 2021/2/114建筑物建筑物(宮殿宮殿,寺廟寺廟,陵墓陵墓,教堂教堂)左右對稱左右對稱 2021/2/115 硬幣游戲中的數(shù)學(xué)對稱硬幣游戲中的數(shù)學(xué)對稱 如果你和你的對手準(zhǔn)備依次輪流將硬幣放在一個長方形桌如果你和你的對手準(zhǔn)

3、備依次輪流將硬幣放在一個長方形桌子上子上,使得硬幣不重疊使得硬幣不重疊,最后放上去的人為勝最后放上去的人為勝,開始時你有權(quán)決定開始時你有權(quán)決定先放還是后放先放還是后放,為了贏得比賽為了贏得比賽,應(yīng)該采取什么樣的策略應(yīng)該采取什么樣的策略?如圖如圖,先放在中心位置先放在中心位置肯定能贏肯定能贏,策略如下策略如下:先先放在中心位置一個放在中心位置一個,然然后根據(jù)對手所放硬幣后根據(jù)對手所放硬幣情況在中心對稱位置情況在中心對稱位置放自己的硬幣放自己的硬幣,先在中先在中心位置放的肯定能贏。心位置放的肯定能贏。2021/2/116介值定理介值定理定義定義: :.)(, 0)(000的的零零點點稱稱為為函函數(shù)

4、數(shù)則則使使如如果果xfxxfx .),(0)(內(nèi)內(nèi)至至少少存存在在一一個個實實根根在在即即方方程程baxf 2021/2/117推論推論 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值值 與最小值與最小值 之間的任何值之間的任何值. .例例1 1.)1 , 0(01423至至少少有有一一根根內(nèi)內(nèi)在在區(qū)區(qū)間間證證明明方方程程 xx證證, 14)(23 xxxf令令,1 , 0)(上上連連續(xù)續(xù)在在則則xf, 01)0( f又又, 02)1( f由零點定理由零點定理,使使),(ba , 0)( f, 01423 即即.)1 , 0(01423 內(nèi)至少有一根內(nèi)至少有一根在在方程

5、方程 xxMm2021/2/118例例2 2.)(),(.)(,)(,)( fbabbfaafbaxf使得使得證明證明且且上連續(xù)上連續(xù)在區(qū)間在區(qū)間設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)證證,)()(xxfxF 令令,)(上連續(xù)上連續(xù)在在則則baxFaafaF )()(而而, 0 由零點定理由零點定理,使使),(ba , 0)()( fFbbfbF )()(, 0 .)( f即即2021/2/119椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎問題分析問題分析:模模型型假假設(shè)設(shè)通常通常 三只腳著地三只腳著地放穩(wěn)放穩(wěn) 四只腳著地四只腳著地1. 四條腿一樣長四條腿一樣長,椅腳與地面點椅腳與地面點接觸接觸,四腳連線呈正方

6、形四腳連線呈正方形;2. 地面高度連續(xù)變化地面高度連續(xù)變化,可視為可視為數(shù)學(xué)上的連續(xù)曲面數(shù)學(xué)上的連續(xù)曲面;3. 地面相對平坦地面相對平坦,使椅子在任使椅子在任意位置至少三只腳同時著地意位置至少三只腳同時著地.問題問題:把椅子往不平的地面上一放把椅子往不平的地面上一放,通常只有通常只有三只腳著地放不穩(wěn)三只腳著地放不穩(wěn),然而只需稍挪動幾次就可以使四然而只需稍挪動幾次就可以使四腳同時著地腳同時著地,試用數(shù)學(xué)語言來解釋該現(xiàn)象。試用數(shù)學(xué)語言來解釋該現(xiàn)象。2021/2/1110模型構(gòu)成模型構(gòu)成先用數(shù)學(xué)語言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來先用數(shù)學(xué)語言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來 椅子位置椅子位置

7、利用正方形利用正方形(椅腳連線椅腳連線)的對稱性的對稱性xBADCOD C B A 用用 (對角線與對角線與x軸的夾角軸的夾角)表示椅子位置表示椅子位置 四只腳著地四只腳著地距離是距離是 的函數(shù)的函數(shù)四個距離四個距離(四只腳四只腳)A,C 兩腳與地面距離之和兩腳與地面距離之和 f( )B,D 兩腳與地面距離之和兩腳與地面距離之和 g( )兩個距離兩個距離 椅腳與地面距離為零椅腳與地面距離為零正方形正方形ABCD繞繞O點旋轉(zhuǎn)點旋轉(zhuǎn)正方形正方形對稱性對稱性2021/2/1111用數(shù)學(xué)語言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來用數(shù)學(xué)語言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來f( ) , g( )是是連續(xù)

8、函連續(xù)函數(shù)數(shù)對任意對任意 , f( ), g( )至少一個為至少一個為0數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)問題問題已知已知: f( ) , g( )是是連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù) ; 對任意對任意 , f( ) g( )=0 ; 且且 g(0)=0, f(0) 0. 證明證明:存在存在 0,使使f( 0) = g( 0) = 0.模型構(gòu)成模型構(gòu)成地面為連續(xù)曲面地面為連續(xù)曲面椅子在任意位置椅子在任意位置至少三只腳著地至少三只腳著地2021/2/1112模型求解模型求解下面給出一種簡單的證明方法下面給出一種簡單的證明方法將椅子旋轉(zhuǎn)將椅子旋轉(zhuǎn)900,對角線對角線AC和和BD互換?；Q。由由g(0)=0, f(0) 0 ,知知f( /2

9、)=0 , g( /2)0.令令h( )= f( )g( ), 則則h(0)0和和h( /2) 1800秒秒 duutdt)18001 . 02 . 0(01. 04 . 1)(1800）（853 . 1)36001 . 02 . 0(01. 02tt3 . 1)360036001 . 036002 . 0(01. 0)3600(2d這說明在雪停以前除雪機已經(jīng)停止工作。這說明在雪停以前除雪機已經(jīng)停止工作。 那么除雪機是否中途被迫中斷工作那么除雪機是否中途被迫中斷工作?能工能工3 . 2作多長時間作多長時間?已清掃了多長路程已清掃了多長路程?2021/2/1138由由(5-7)式和式和(5-8)

10、式式,積雪的厚度函數(shù)為積雪的厚度函數(shù)為 ）（秒秒秒秒9518003 . 1)36001 . 02 . 0(01. 018003600001. 05 . 0)(22ttttttd因為除雪速度與雪的厚度的關(guān)系為因為除雪速度與雪的厚度的關(guān)系為:)105()(321 (10)(tdtV將將(5-9)代入代入(5-10)得得秒秒1800)3600002. 0004. 06 . 5(3101800)3600001. 01 (320)(22ttttttV2021/2/1139易知當(dāng)易知當(dāng)t1800 時時, 0)3600001. 013202t（令令V(t)0 0)3600002. 0004. 06 . 5(3102tt所所以以01008000072002tt由此得由此得 t。1903秒秒 （秒秒）52971t（舍去）（舍去） 因此除雪機工作因此除雪機工作1903秒（秒（31.7分鐘）將無法分鐘）將無法工作。工作。 2021/2/1140除雪機工作的距離除雪機工作的距離:190301800019031800)()()(dttVdttVdttVSdtttdtt)3600002. 00