勾股定理培優(yōu)

1、考點·方法·破譯1會用勾股定理解決簡單問題.2會用勾股定理的逆定理判定直角三角形.3勾股定理提示了直角三角形三邊的關(guān)系，對于線段的計算，?？捎晒垂啥ɡ砹蟹匠踢M(jìn)行求解；對于涉及平方關(guān)系的等式證明，可根據(jù)勾股定理進(jìn)行論證.經(jīng)典·考題·賞析A、B、C、D的邊長分別是3，5，2，3，則最大正方形E的面積是()A13 B26 C47 D94【解法指導(dǎo)】 觀察勾股樹，發(fā)現(xiàn)正方形A、B的邊長恰好是一直角三角形相鄰的兩直角邊.此時直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，即兩個較小正方形面積之和等于較大正方形的面積，從而正方形E的面積等于正方形A、B、C、D四個面積之和

2、，故選C【變式題組】第3題圖ACBl1l2l3第2題圖lA1DCB2第1題圖01(安徽)如圖，直線l過正方形ABCD的頂點B，點A，C到直線l的距離分別是1和2，則正方形的邊長是_.02(浙江省溫州)在直線l上的依次擺放著七個正方形(如圖所示)，己知斜放置的三個正方形的面積分別是1，2，3，正放置的四個正方形的面積依次是S1，S2，S3，S4，則S1S2S3S4_.BA3cm1cm6cm03(浙江省麗江)如圖，已知ABC中，ABC90°，ABBC，三角形的頂點在相互平行的三條直線l1、l2、l3上，且l1、l2之間的距離為2，l2、l3之間的距離為3，則AC的長是( )ABCD7 【

3、例2】(青島)如圖，長方體的底面邊長分別為1cm和3cm，高為6cm.如果用一根細(xì)線從點A開始經(jīng)過4個側(cè)面纏繞一圈到達(dá)點B，那么所用細(xì)線最短需要_cm；如果從點A開始經(jīng)過4個側(cè)面纏繞n圈到達(dá)點B，那么所用細(xì)線最短需要_cm.【解法指導(dǎo)】細(xì)線纏繞時繞過幾個面，則將這幾個面展開后在同一平面內(nèi)利用線段的公理：兩點之間線段最短.畫出線路，然后利用勾股定理解決，應(yīng)填10，.【變式題組】01(恩施)如圖，長方體的長為15，寬為10，高為20，點B離點C的距離為5，一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點A爬到點B，需要爬行的最短距離是( )第2題圖AB吸管1065AB25CD35B 51015A20C第1題圖A

4、 DB E CF MN02(荊州)如圖所示的長方體是某種飲料的紙質(zhì)包裝盒，規(guī)格為5×6×10(單位:cm)，在上蓋中開有一孔便于插吸管，吸管長為13cm，小孔到圖中邊AB距離為1cm，到上蓋中與AB相鄰的兩邊距離相等，設(shè)插入吸管后露在盒外面的長為hcm，則h的最小值大約為_cm.(精確到個位，參考數(shù)據(jù):14，17:22)03(荊州)若一邊長為40cm的等邊三角形硬紙板剛好能不受損地從用鐵絲圍成的圓形鐵圈中穿過，則鐵圈直徑最小值為_cm.(鐵絲粗細(xì)忽略不計)【例3】(荊州)如圖，將邊長為8cm的正方形ABCD折疊，使點D落在BC邊的中點E處，點A落在F處，折痕為NM，則線段C

5、N的長是( )A3cmB4cmC5cmD6cm【解法指導(dǎo)】對折問題即對稱問題，設(shè)CNx，DNNE8x.在RtCEN中，(8x)242x2 xC【變式題組】ABCD01在四邊形ABCD中，B90°，AB4，BC3，CD13，AD12求S四邊形ABCD02如圖，ABC中，AB13，AD6，AC5 ，D為BCSABC03如圖，ABC中，ACB90°，AD平分CAB，BC4，CD.求AC【例4 】（四川省初二數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)如圖，直線OB是一次函數(shù)y2x的圖象，點A的坐標(biāo)為(0，2)，在直線OB上找點C，使得ACO為等腰三角形，求點C坐標(biāo).AOByxy2x【解法指導(dǎo)】求C點坐標(biāo)需分類

6、討論.(1) 若以O(shè)為頂點，OA為腰，則C在以O(shè)為圓心，OA的長為半徑的圓與y2x的交點處.(2) 若以A為頂點，AO為腰，則C在以A為圓心， AO的長為半徑的圓與y2x的交點處.(3) 若以C為頂點，則C在OA的中垂線與y2x的交點處.AyxDOC【解】若以O(shè)為頂點，OA為腰，如圖設(shè)C(t，2t)，則在RtCOD中，OC2OD2CD2 4t2(2t)2 5t24tOCyxEC1(，），C2(，）若以A為頂點，AO為腰，如圖，設(shè)C(t，2t)，在RtACE中AAC2CE2AE2 22t2(2t2)2t0（舍去），tC3(，) 若C為頂點，C在OA的中垂線上.C4(，1)【變式題組】01若A（3

7、，2），B為x軸上一點，OAOBB點坐標(biāo).A(4,0)y2xxyO02如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A(4，0)，B為y2x上一點，若AOBB點坐標(biāo).Ay2xxyO03如圖.在平面直角坐標(biāo)系中，A(0，4)，B為y2x上一點，若AOBB點坐標(biāo).【例5】(福建省漳州)幾何模型：條件：如下左圖，A、B是直線l同旁的兩個定點.問題：在直線l上確定一點P，使PAPB的值最小.方法：作點A關(guān)于直線l的對稱點A'，連接A'B交l于點P，則PAPBA'B的值最小(不必證明).模型應(yīng)用：如圖1，正方形ABCD的邊長為2，E為AB的中點，P是ACBD，由正方形對稱性可知，B與D關(guān)于直線ACE

8、D交AC于P，則PBPE的最小值是_；OAQPBRP1P2OAQPBR圖2BDCAPE圖1AAPBl(2) 如圖2，AOB45°，P是AOB內(nèi)一點，PO10，Q、R分別是OA、OB上的動點，求PQR周長的最小值.【解】(1)(2) 如圖2，作P關(guān)于OB的對稱點P1，關(guān)于OA的對稱點P2，連接P1P2，交OB于R，交OA于Q，則PRQ的周長最小，且此時PRQ的周長為PRRQQPP1P2連接OP1，OP2，12，34，2345°P1OP290°，OP1OPOP2，在RtOP1P2中，P1P22OP12OP22，P1P2【變式題組】01(荊門)一次函數(shù)ykxb的圖象與x

9、、y軸分別交于點A（2，0），B（0，4）.求該函數(shù)的解析式；O C A xyBDPO為坐標(biāo)原點，設(shè)OA 、AB的中點分別為C、D，P為OB上一動點，求PCPD的最小值，并求取得最小值時P點坐標(biāo).CABDMN02（四川聯(lián)賽試題)已知矩形ABCD的AB12，AD3，E、F分別是AB，DC上的點，則折線AFEC長的最小值為_.03(陜西)如圖，在銳角ABC中，AB，BAC45°，BAC的平分線交BC于點D，M、N分別是AD和AB上的動點，則BMMN的最小值是_.【例6】求的最小值.【解法指導(dǎo)】所求的兩個根式之和的最小值，因被開方數(shù)不是完全平方式而無法化AC2FB4Dx H 8x E簡，用

10、代數(shù)方法求解困難，但被開方數(shù)的特點x24x222，(8x)216(8x)242均為平方和結(jié)構(gòu)，由此聯(lián)想到勾股定理，題目就是求以，為斜邊的兩邊之和的最小值，于是根據(jù)數(shù)形結(jié)合的思想轉(zhuǎn)化為構(gòu)造圖形問題來解決.【解】如圖，作AB8，ACAB，BDAB，AC2，BD4.E是ABAEx.則BE8x.CE，DE.所以求代數(shù)式最小值問題轉(zhuǎn)化為在AB上求一點E，使CEDE值最小.根據(jù)線段公理，連接CD交AB于H，則CDCFDB交DB延長線于F.在RtCDF中，CD10.所求最小值為10.【變式題組】01.（恩施自治州）如圖，C為線段BD上一動點，分別過點B、D作ABBD，EDBD，連接AC、EC已知AB5，DE

11、1，BD8，設(shè)CDx.用含x的代數(shù)式表示ACCE的長；請問點C滿足什么條件時，ACCE的值最小?ABCDE根據(jù)中的規(guī)律和結(jié)論，請構(gòu)圖求出代數(shù)式的最小值02(咸寧)問題背景:在ABC中，AB、BC、AC三邊的長分別為、，求這個三角形的面積.小輝同學(xué)在解答這道題時，先建立一個正方形網(wǎng)絡(luò)(每個小正方形的邊長為1)，再在網(wǎng)格中畫出格點ABC(即ABCABC的高，而借用網(wǎng)格就能計算出它的面積.請你將ABC的面積直接填寫在橫線上_；思維拓展:我們把上述求ABC面積的方法叫做構(gòu)圖法.若ABC三邊的長分別為a、a、a(a0)，請利用圖2的正方形網(wǎng)格(每個小正方形的邊長為a)畫出相應(yīng)的ABC，并求出它的面積；探

12、索創(chuàng)新:若ABC三邊的長分別為、（m0，n0，且mn），試運(yùn)用構(gòu)圖法求出這三角形的面積.【例7】.(天津)已知RtABC中，ACB90°，CACB，有一個圓心角為45°，半徑的長等于CA的扇形CEF繞點C旋轉(zhuǎn)，且直線CE、CF分別與直線AB交于點M、N.當(dāng)扇形CEF繞點C在ACB的內(nèi)部旋轉(zhuǎn)時，如圖1，求證：MN2 AM2BN2；【思路點撥】考慮MN2AM2BN2ACM沿直線CE對折，得DCM，連接DN，只需證DNBN，MDN90°就可以了.請你完成證明過程:當(dāng)扇形GEF繞點C旋轉(zhuǎn)至圖2的位置時，關(guān)系式MN2AM2BN2是否仍然成立?若成立，請證明；若不成立，請說明

13、理由.【解法指導(dǎo)】觀察求證的結(jié)論容易發(fā)現(xiàn)MN2AM2BN2MN為斜邊的直角三角形.【解】(l)證明:將ABM沿直線CM對折，得DCM，連DN.ACMDCM12，ACCD，AMDCACBCCDBCMCN45°，142334在DCN和BCN中，CDCB34 CDNCBN，CDNB45°，BNDNCNCNMDN90°在RtDMN中，MN2DM2DN2NM2AM2BN2將ACM沿直線CM對折，得GCM，連接GN.GCMACM，CGMCAM135°，12，AMGMBCN90°390°(45°1)45°145°2CG

14、N13245°2BCNCGN在BCN和GCN中CNCNBCNCGNBCNGCN，CGNB45°， GNBNCBCGMGN135°45°90°，在RtMGN中，MN2MG2GN2，MN2AM2BN2【變式題組】01在RtABC中，C90°，D為AB邊的中點，DEDF.求證：EF2AE2BF202我們給出如下定義:若一個四邊形中存在相鄰兩邊的平方和等于一條對角線的平方，則稱這個四邊形為勾股四邊形，這兩條相鄰的邊稱為這個四邊形的勾股邊.寫出你所學(xué)過的特殊四邊形中是勾股四邊形的一種圖形的名稱_；如圖1，請你在圖中畫出以格點為頂點，OA、OB為

15、勾股邊且對角線相等的勾股四邊形OAMB；如圖2，將ABC繞頂點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°，得到DBE，連接AD、DC，DCB30°.求證：四邊形ABCD是勾股四邊形.03(臺州)如圖1，RtABCRtEDF，ACBF90°，AE30°.EDF繞著邊AB的中點D旋轉(zhuǎn)，DE、DF分別交線段AC于點M、K.觀察:如圖2、圖3，當(dāng)CDF0°或60°時，AMCK_MK(填“”、“”或“”).如圖4，當(dāng)CDF30°時，AMCK_MK（只填“”或“”).猜想:如圖1，當(dāng)0°CDF60°時，AMCK_MK，證明你所得到的結(jié)

16、論.如果MK2CK2AM2，請直接寫出CDF的度數(shù)和的值.演練鞏固·反饋提高ABC01如圖，小正方形邊長為1，連接小正方形的三個頂點，可得ABC，則AC邊上的高為（ ）ABCDABCDEF02(哈爾濱)如圖，長方形紙片ABCD中，AB8cm，把長方形紙片沿直線AC折疊，點B落在點E處，AE交DC于點F，若AFcm，則AD的長為( )A4cmB5cmC6cmD7cm03(濱州)已知ABC中，AB17，AC10，BC邊上的高AD為8，則邊BC的長為( )A21B15C6D21或904在同一平面內(nèi)把邊BC3，AC4，AB5的三角形沿最長邊AB翻折后得到ABC'，則CC'的長

17、等于( )ABCD05一個三角形三邊長度之比為3:4:5，則這個三角形的三邊上高的之比為( )A3:4:5B5:4:3C20:15:12D9:16:2506(山西)如圖，在RtABC中，ACB90°，BC3，AC4，AB的垂直平分線DE交BC的延長線于點E，則CE的長為( )ABCD207(湖州)如圖，在正三角形ABC中，AB1，D、E、F分別是BC、AC、AB上的點，DEAC，EFAB，F(xiàn)DBC，則DEF面積為_.08(安順)如圖是我國古代著名的“趙爽弦圖”AC6，BC5，將四個直角三角形中邊長為6的直角邊分別向外延長一倍，得到如圖所示的“數(shù)學(xué)風(fēng)車”，則這個風(fēng)車的外圍周長是_.09

18、(安徽)長為4m的梯子搭在墻上與地面成45°角，作業(yè)時調(diào)整為60°角(如圖所示)，則梯子的頂端沿墻面升高了_m.10(濱州)某樓梯的側(cè)面視圖如圖所示，其中AB4米，BAC30°，C90°，因某種活動要求鋪設(shè)紅色地毯，則在AB段樓梯所鋪地毯的長度應(yīng)為_.11(湖州)如圖，已知在RtABC中，ACB90°，AB4，分別以AC、BC為直徑作半圓，面積分別記為S1、S2則S1S2的值等于_.12(呼和浩特)如圖，四邊形ABDC中，ABD120°，ABAC，BDCD，AB4，CD，則該四邊形的面積是_.13已知等腰三角形ABC的底邊AB20cm

19、，P是腰AC上一點，且AP12cm，BP16cm，則腰長是_.14(滬州)如圖，ABC中，ABBC2，ABC90°，D是BC的中點，且它關(guān)于AC的對稱點為D，則BD_.yx15如圖，點A在反比例函數(shù)的圖象上，OA4，ACx軸，OA的中垂線交x軸于B求ABC的周長.16有一人字形屋架(等腰三角形)，其頂角為120°，兩腰長均為4米，現(xiàn)擬定以其中一腰和底重新組成一個三角架，試問將屋架的第三邊改為多少時，新的三角架為直角三角形?17(牡丹江)有一塊直角三角形的綠地，量得兩直角邊分別為6m，8m.現(xiàn)在要將綠地擴(kuò)充成等腰三角形，且擴(kuò)充部分是以原來綠地8m長的邊為直角邊的直角三角形，求

20、擴(kuò)充后等腰三角形綠地的周長.A(3,4)B(a,1)xyO18如圖A(3，4)，B(a，1)，AB5，C、D分別為x軸、yABCD周長的最小值.19如圖，在正ABC中，DC4，DB3，DA5，求CDB20如圖，在RtABC中，ACB90°，ACBC，D為三角形內(nèi)一點，DC2，DB1，DA3求CDB培優(yōu)升級奧賽檢測01如圖，在RtABC中，ABAC，D、E在斜邊BC上且DAE45°，將ADC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，使AC與AB重合，得到AFB，連接EF，則下列結(jié)論:AEDAEF；ABEACD；BEDCDE；BE2DC2DE2其中正確的是( )ABCD02(四川聯(lián)賽試題)BD是ABC

21、的中線，AC6且ADB45°，C30°，則AB( )ABCD603（江西競賽）若將三條高線長度分別為x、y、z的三角形記為(x，y，z)，現(xiàn)在以下四個三角形(6，8，10)，(8，15，17)，(12，15，20)，(20，21，29)中，直角三角形的個數(shù)為( )A1個B2個C3個D4個04(北京競賽)如圖，ABCD是一張長方形紙片，將AD，BC折起、使A、B兩點重合于CD邊上的P點，然后壓平得折痕EF與GH.若PE8cm，PG6cm，EG10cm，則長方形紙片ABCD的面積為（）cm2A105.6B110.4CD124.805如圖，在由單位正方形組成的網(wǎng)格圖中標(biāo)出了AB、CD、EF、GH四條線段，其中能構(gòu)成一個直角三角形三邊的線段是( )ACD、EF、GHBAB、CD、EFCAB、CD、GHDAB、EF、GH06(四川省初二數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)如圖，等邊三角形ABC內(nèi)有一點P，過點P向三邊作垂線，垂足分別為S、Q、R，且PQ6，PRS，PS10，則ABC的面積等于( )ABCD07(四川省初二數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)如圖所示，在ABC中，BAC120°，ABACcm，一動點P從B向C以每秒2cm的速度移動，當(dāng)P點移動_秒時，PA與腰垂直. 08如圖，在ABC中，D是BC邊上一點，ABAD2，AC4，且BD:DC2:3則BC_.09(黑龍江競賽)小宇同學(xué)