2012年全國(guó)高考理科數(shù)學(xué)試題及答案山東卷

1、理科數(shù)學(xué)本試卷分第I卷和第II卷兩部分，共4頁(yè)。滿分150分。考試用時(shí)120分鐘，考試結(jié)束，務(wù)必將試卷和答題卡一并上交。注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、縣區(qū)和科類(lèi)填寫(xiě)在答題卡上和試卷規(guī)定的位置上。2.第I卷每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)，答案不能答在試卷上。3.第II卷必須用0.5毫米黑色簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)的位置，不能寫(xiě)在試卷上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新的答案；不能使用涂改液、膠帶紙、修正帶。不按以上要求作答的答案無(wú)效。

2、4.填空題請(qǐng)直接填寫(xiě)答案，解答題應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。參考公式：錐體的體積公式：V=Sh，其中S是錐體的底面積，h是錐體的高。如果事件A，B互斥，那么P（A+B）=P（A）+P(B)；如果事件A,B獨(dú)立，那么P（AB）=P（A）·P（B）。第I卷（共60分）一、 選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1 若復(fù)數(shù)x滿足z(2-i)=11+7i(i為虛數(shù)單位)，則z為A 3+5i B 3-5i C -3+5i D -3-5i 解析：.答案選A。另解：設(shè)，則根據(jù)復(fù)數(shù)相等可知，解得，于是。2 已知全集=0,1,2,3

3、,4，集合A=1,2,3,，B=2,4 ，則（CuA）B為A 1,2,4 B 2,3,4C 0,2,4 D 0,2,3,4解析：。答案選C。 3 設(shè)a0 a1 ，則“函數(shù)f(x)= ax在R上是減函數(shù) ”，是“函數(shù)g(x)=(2-a)在R上是增函數(shù)”的A 充分不必要條件 B 必要不充分條件 C 充分必要條件 D 既不充分也不必要條件解析：p：“函數(shù)f(x)= ax在R上是減函數(shù) ”等價(jià)于；q：“函數(shù)g(x)=(2-a)在R上是增函數(shù)”等價(jià)于，即且a1，故p是q成立的充分不必要條件. 答案選A。（4）采用系統(tǒng)抽樣方法從960人中抽取32人做問(wèn)卷調(diào)查，為此將他們隨機(jī)編號(hào)為1,2，960，分組后在第

4、一組采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法抽到的號(hào)碼為9.抽到的32人中，編號(hào)落入?yún)^(qū)間1,450的人做問(wèn)卷A，編號(hào)落入?yún)^(qū)間451,750的人做問(wèn)卷B，其余的人做問(wèn)卷C.則抽到的人中，做問(wèn)卷B的人數(shù)為（A）7 （B） 9 （C） 10 （D）15解析：采用系統(tǒng)抽樣方法從960人中抽取32人，將整體分成32組，每組30人，即，第k組的號(hào)碼為，令，而，解得，則滿足的整數(shù)k有10個(gè)，故答案應(yīng)選C。解析：作出可行域，直線，將直線平移至點(diǎn)處有最大值，點(diǎn)處有最小值，即.答案應(yīng)選A。（6）執(zhí)行下面的程序圖，如果輸入a=4，那么輸出的n的值為（A）2（B）3（C）4（D）5解析：；，。答案應(yīng)選B。(7)若，則sin=（A）（B

5、）（C）（D）解析：由可得，答案應(yīng)選D。另解：由及可得，而當(dāng)時(shí)，結(jié)合選項(xiàng)即可得.答案應(yīng)選D。（8）定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x+6）=f（x），當(dāng)-3x-1時(shí)，f（x）=-（x+2）2，當(dāng)-1x3時(shí)，f（x）=x。則f（1）+f（2）+f（3）+f（2012）=（A）335（B）338（C）1678（D）2012解析：，而函數(shù)的周期為6，.答案應(yīng)選B(9)函數(shù)的圖像大致為解析：函數(shù)，為奇函數(shù)，當(dāng)，且時(shí)；當(dāng)，且時(shí)；當(dāng)，；當(dāng)，.答案應(yīng)選D。（10）已知橢圓C：的離心率為，雙曲線x²-y²1的漸近線與橢圓有四個(gè)交點(diǎn)，以這四個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積為16，則橢圓c的方程為解

6、析：雙曲線x²-y²1的漸近線方程為，代入可得，則，又由可得，則，于是。橢圓方程為，答案應(yīng)選D。（11）現(xiàn)有16張不同的卡片，其中紅色、黃色、藍(lán)色、綠色卡片各4張，從中任取3張，要求這些卡片不能是同一種顏色，且紅色卡片至多1張，不同取法的種數(shù)為（A）232 (B)252 (C)472 (D)484解析：,答案應(yīng)選C。另解：.(12)設(shè)函數(shù)（x）=，g（x）=ax2+bx若y=f(x)的圖像與y=g(x)圖像有且僅有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)A（x1,y1）,B(x2,y2),則下列判斷正確的是A.當(dāng)a<0時(shí)，x1+x2<0,y1+y2>0B. 當(dāng)a<0時(shí), x

7、1+x2>0, y1+y2<0C.當(dāng)a>0時(shí)，x1+x2<0, y1+y2<0D. 當(dāng)a>0時(shí)，x1+x2>0, y1+y2>0解析:令，則，設(shè)，令，則，要使y=f(x)的圖像與y=g(x)圖像有且僅有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)只需，整理得，于是可取來(lái)研究，當(dāng)時(shí)，解得，此時(shí)，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，解得，此時(shí)，此時(shí).答案應(yīng)選B。另解：令可得。設(shè)不妨設(shè)，結(jié)合圖形可知，當(dāng)時(shí)如右圖，此時(shí)，即，此時(shí)，即；同理可由圖形經(jīng)過(guò)推理可得當(dāng)時(shí).答案應(yīng)選B。 第卷（共90分）二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分。（13）若不等式的解集為，則實(shí)數(shù)k=_。解析：由可得，即，而，所

8、以.另解：由題意可知是的兩根，則，解得.（14）如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，E,F分別為線段AA1,B1C上的點(diǎn)，則三棱錐D1-EDF的體積為_(kāi)。解析：.與直線xa，y=0所圍成封閉圖形的面積為a，則a=_。解析：，解得.CD（16）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一單位圓的圓心的初始位置在（0,1），此時(shí)圓上一點(diǎn)P的位置在（0,0），圓在x軸上沿正向滾動(dòng)。當(dāng)圓滾動(dòng)到圓心位于（2,1）時(shí)，的坐標(biāo)為_(kāi)。解析：根據(jù)題意可知圓滾動(dòng)了2單位個(gè)弧長(zhǎng)，點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)了弧度，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為.另解1：根據(jù)題意可知滾動(dòng)制圓心為（2,1）時(shí)的圓的參數(shù)方程為，且，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為，即.三、解答題：本大

9、題共6小題，共74分。（17）（本小題滿分12分）已知向量m=（sinx，1），函數(shù)f（x）=m·n的最大值為6.（）求A；（）將函數(shù)y=f（x）的圖象像左平移個(gè)單位，再將所得圖象各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=g（x）的圖象。求g（x）在上的值域。解析：（），則;（）函數(shù)y=f（x）的圖象像左平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖象，再將所得圖象各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù).當(dāng)時(shí)，.故函數(shù)g（x）在上的值域?yàn)?另解：由可得，令， 則，而，則，于是，故，即函數(shù)g（x）在上的值域?yàn)?（18）（本小題滿分12分）在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是等腰梯形，AB

10、CD，DAB=60°，F(xiàn)C平面ABCD，AEBD，CB=CD=CF。（）求證：BD平面AED；（）求二面角F-BD-C的余弦值。解析：（）在等腰梯形ABCD中，ABCD，DAB=60°，CB=CD,由余弦定理可知,即,在中，DAB=60°，則為直角三角形，且。又AEBD，平面AED，平面AED，且，故BD平面AED；（）由（）可知，設(shè)，則,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，向量為平面的一個(gè)法向量.設(shè)向量為平面的法向量，則,即，取，則，則為平面的一個(gè)法向量.，而二面角F-BD-C的平面角為銳角，則二面角F-BD-C的余弦值為。（19）（本小題滿分12分） 現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)

11、靶。某射手向甲靶射擊一次，命中的概率為，命中得1分，沒(méi)有命中得0分；向乙靶射擊兩次，每次命中的概率為,每命中一次得2分，沒(méi)有命中得0分。該射手每次射擊的結(jié)果相互獨(dú)立。假設(shè)該射手完成以上三次射擊。（）求該射手恰好命中一次得的概率；（）求該射手的總得分X的分布列及數(shù)學(xué)期望EX解析：（）；（）,X012345PEX=0×+1×+2×+3×+4×+5×=.（20）（本小題滿分12分）在等差數(shù)列an中，a3+a4+a5=84，a9=73.（）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（）對(duì)任意mN，將數(shù)列an中落入?yún)^(qū)間（9m，92m）內(nèi)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)記為bm，求數(shù)列b

12、m的前m項(xiàng)和Sm。解析：（）由a3+a4+a5=84，a5=73可得而a9=73，則，于是，即.（）對(duì)任意mN，則，即，而，由題意可知，于是，即.（21）（本小題滿分13分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，F(xiàn)是拋物線C：x2=2py（p0）的焦點(diǎn)，M是拋物線C上位于第一象限內(nèi)的任意一點(diǎn)，過(guò)M，F(xiàn)，O三點(diǎn)的圓的圓心為Q，點(diǎn)Q到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為。（）求拋物線C的方程；（）是否存在點(diǎn)M，使得直線MQ與拋物線C相切于點(diǎn)M？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由；（）若點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為，直線l：y=kx+與拋物線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A，B，l與圓Q有兩個(gè)不同的交點(diǎn)D，E，求當(dāng)k2時(shí)，的最小值。解析：（）F拋物線C：x2=2py（p0）的焦點(diǎn)F，設(shè)M，由題意可知，則點(diǎn)Q到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為，解得，于是拋物線C的方程為.（）假設(shè)存在點(diǎn)M，使得直線MQ與拋物線C相切于點(diǎn)M，而，由可得，則，即，解得，點(diǎn)M的坐標(biāo)為.（）若點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為，則點(diǎn)M，。由可得，設(shè)，圓，于是，令，設(shè)，當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí).故當(dāng)時(shí)，.22(本小題