雙曲線的性質(zhì)A知識講解

1、編稿：張希勇審稿：李霞【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解雙曲線的對稱性、范圍、定點(diǎn)、離心率、漸近線等簡單性質(zhì).2.能利用雙曲線的簡單性質(zhì)求雙曲線的方程.3.能用雙曲線的簡單性質(zhì)分析解決一些簡單的問題.【要點(diǎn)梳理】【高清課堂：雙曲線的性質(zhì)356749 知識要點(diǎn)二】要點(diǎn)一、雙曲線的簡單幾何性質(zhì)雙曲線（a0，b0）的簡單幾何性質(zhì)范圍雙曲線上所有的點(diǎn)都在兩條平行直線x=-a和x=a的兩側(cè)，是無限延伸的。因此雙曲線上點(diǎn)的橫坐標(biāo)滿足x-a或xa.對稱性對于雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程（a0，b0），把x換成-x，或把y換成-y，或把x、y同時換成-x、-y，方程都不變，所以雙曲線（a0，b0）是以x軸、y軸為對稱軸的軸對稱圖形，且是

2、以原點(diǎn)為對稱中心的中心對稱圖形，這個對稱中心稱為雙曲線的中心。頂點(diǎn)雙曲線與它的對稱軸的交點(diǎn)稱為雙曲線的頂點(diǎn)。雙曲線（a0，b0）與坐標(biāo)軸的兩個交點(diǎn)即為雙曲線的兩個頂點(diǎn)，坐標(biāo)分別為A1（-a，0），A2（a，0），頂點(diǎn)是雙曲線兩支上的點(diǎn)中距離最近的點(diǎn)。兩個頂點(diǎn)間的線段A1A2叫作雙曲線的實(shí)軸；設(shè)B1（0，-b），B2（0，b）為y軸上的兩個點(diǎn)，則線段B1B2叫做雙曲線的虛軸。實(shí)軸和虛軸的長度分別為|A1A2|=2a，|B1B2|=2b。a叫做雙曲線的實(shí)半軸長，b叫做雙曲線的虛半軸長。雙曲線只有兩個頂點(diǎn)，而橢圓有四個頂點(diǎn)，不能把雙曲線的虛軸與橢圓的短軸混淆。雙曲線的焦點(diǎn)總在實(shí)軸上。實(shí)軸和虛軸等長的

3、雙曲線稱為等軸雙曲線。離心率雙曲線的焦距與實(shí)軸長的比叫做雙曲線的離心率，用e表示，記作。因?yàn)閏a0，所以雙曲線的離心率。由c2=a2+b2，可得，所以決定雙曲線的開口大小，越大，e也越大，雙曲線開口就越開闊。所以離心率可以用來表示雙曲線開口的大小程度。等軸雙曲線，所以離心率。漸近線經(jīng)過點(diǎn)A2、A1作y軸的平行線x=±a，經(jīng)過點(diǎn)B1、B2作x軸的平行線y=±b，四條直線圍成一個矩形（如圖），矩形的兩條對角線所在直線的方程是。我們把直線叫做雙曲線的漸近線；雙曲線與它的漸近線無限接近，但永不相交。【高清課堂：雙曲線的性質(zhì)356749知識要點(diǎn)一、3】要點(diǎn)二、雙曲線兩個標(biāo)準(zhǔn)方程幾何性

4、質(zhì)的比較標(biāo)準(zhǔn)方程圖形性質(zhì)焦點(diǎn)，焦距范圍，對稱性關(guān)于x軸、y軸和原點(diǎn)對稱頂點(diǎn)軸實(shí)軸長=，虛軸長=離心率漸近線方程要點(diǎn)詮釋：雙曲線的焦點(diǎn)總在實(shí)軸上，因此已知標(biāo)準(zhǔn)方程，判斷焦點(diǎn)位置的方法是：看x2、y2的系數(shù)，如果x2項(xiàng)的系數(shù)是正的，那么焦點(diǎn)在x軸上；如果y2項(xiàng)的系數(shù)是正的，那么焦點(diǎn)在y軸上。對于雙曲線，a不一定大于b，因此不能像橢圓那樣通過比較分母的大小來判定焦點(diǎn)在哪一條坐標(biāo)軸上。要點(diǎn)三、雙曲線的漸近線（1）已知雙曲線方程求漸近線方程：若雙曲線方程為，則其漸近線方程為已知雙曲線方程，將雙曲線方程中的“常數(shù)”換成“0”，然后因式分解即得漸近線方程。（2）已知漸近線方程求雙曲線方程：若雙曲線漸近線方程

5、為，則可設(shè)雙曲線方程為，根據(jù)已知條件，求出即可。（3）與雙曲線有公共漸近線的雙曲線與雙曲線有公共漸近線的雙曲線方程可設(shè)為（，焦點(diǎn)在軸上，焦點(diǎn)在y軸上）（4）等軸雙曲線的漸近線等軸雙曲線的兩條漸近線互相垂直，為，因此等軸雙曲線可設(shè)為.要點(diǎn)四、雙曲線中a,b,c的幾何意義及有關(guān)線段的幾何特征：雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中，a、b、c三個量的大小與坐標(biāo)系無關(guān)，是由雙曲線本身的形狀大小所確定的，分別表示雙曲線的實(shí)半軸長、虛半軸長和半焦距長，均為正數(shù)，且三個量的大小關(guān)系為：cb0，ca0，且c2=b2+a2。雙曲線，如圖：（1）實(shí)軸長，虛軸長,焦距，（2）離心率：；（3）頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離：，；（4）中結(jié)合定義與余弦

6、定理，將有關(guān)線段、和角結(jié)合起來.（5）與焦點(diǎn)三角形有關(guān)的計(jì)算問題時，?？紤]到用雙曲線的定義及余弦定理（或勾股定理）、三角形面積公式相結(jié)合的方法進(jìn)行計(jì)算與解題，將有關(guān)線段、，有關(guān)角結(jié)合起來，建立、之間的關(guān)系.【典型例題】類型一：雙曲線的簡單幾何性質(zhì)【高清課堂：雙曲線的性質(zhì)356749例1】例1求雙曲線的實(shí)軸長和虛軸長、頂點(diǎn)坐標(biāo)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、漸近線方程與離心率.【解析】把方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，由此可知實(shí)半軸長，虛半軸長，雙曲線的實(shí)軸長，虛軸長，頂點(diǎn)坐標(biāo)，焦點(diǎn)坐標(biāo)，離心率，漸近線方程為【總結(jié)升華】在幾何性質(zhì)的討論中要注意a和2a，b和2b的區(qū)別，另外也要注意焦點(diǎn)所在軸的不同，幾何量也有不同的表示.舉一反三

7、：【變式1】雙曲線mx2y21的虛軸長是實(shí)軸長的2倍，則m等于()A B4 C4 D.【答案】A【變式2】已知雙曲線8kx2ky2=2的一個焦點(diǎn)為，則k的值等于（）A2 B1 C1 D【答案】C類型二：雙曲線的漸近線例2.已知雙曲線方程，求漸近線方程。（1）；（2）【解析】（1）雙曲線的漸近線方程為：即（2）雙曲線的漸近線方程為：即【總結(jié)升華】雙曲線的漸近線方程為，雙曲線的漸近線方程為，即；若雙曲線的方程為（，焦點(diǎn)在軸上，焦點(diǎn)在y軸上），則其漸近線方程為.舉一反三：【變式1】求下列雙曲線方程的漸近線方程（1）；（2）；（3）【答案】（1）；（2）；（3）【變式2】中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率為的圓錐

8、曲線的焦點(diǎn)在y軸上，則它的漸近線方程為（）A B C D【答案】D例3.根據(jù)下列條件，求雙曲線方程。（1)與雙曲線有共同的漸近線，且過點(diǎn)；（2）一漸近線方程為，且雙曲線過點(diǎn)【解析】（1）解法一：當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時，設(shè)雙曲線的方程為由題意，得，解得，所以雙曲線的方程為當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時，設(shè)雙曲線的方程為由題意，得，解得，（舍去）綜上所得，雙曲線的方程為解法二：設(shè)所求雙曲線方程為（），將點(diǎn)代入得，所以雙曲線方程為即（2）依題意知雙曲線兩漸近線的方程是.故設(shè)雙曲線方程為，點(diǎn)在雙曲線上，解得，所求雙曲線方程為.【總結(jié)升華】求雙曲線的方程，關(guān)鍵是求、，在解題過程中應(yīng)熟悉各元素（、及準(zhǔn)線）之間的關(guān)系，并注意方

9、程思想的應(yīng)用。若已知雙曲線的漸近線方程，可設(shè)雙曲線方程為（）.舉一反三：【變式1】中心在原點(diǎn)，一個焦點(diǎn)在(0,3)，一條漸近線為的雙曲線方程是（）A. B.C. D.【答案】D【變式2】過點(diǎn)(2，-2)且與雙曲線有公共漸近線的雙曲線是 ( ) A. B. C. D.【答案】A【變式3】設(shè)雙曲線的漸近線方程為，則的值為A4 B3 C2 D1【答案】C【變式4】雙曲線與有相同的（）A實(shí)軸 B焦點(diǎn) C漸近線 D以上都不對【答案】C類型三：求雙曲線的離心率或離心率的取值范圍例4.已知是雙曲線的左、右焦點(diǎn),過且垂直于軸的直線與雙曲線的左支交于A、B兩點(diǎn),若是正三角形,求雙曲線的離心率?！窘馕觥?，是正三角

10、形，【總結(jié)升華】雙曲線的離心率是雙曲線幾何性質(zhì)的一個重要參數(shù)，求雙曲線離心率的關(guān)鍵是由條件尋求a、c滿足的關(guān)系式，從而求出舉一反三：【高清課堂：雙曲線的性質(zhì)356749例2】【變式1】(1) 已知雙曲線的離心率，過點(diǎn)A(0,-b)和B(a,0)的直線與原點(diǎn)間的距離為，求雙曲線的方程.(2) 求過點(diǎn)(-1,3)，且和雙曲線有共同漸近線的雙曲線方程.【答案】（1）（2）【變式2】等軸雙曲線的離心率為_【答案】【變式3】已知a、b、c分別為雙曲線的實(shí)半軸長、虛半軸長、半焦距，且方程ax2bxc0無實(shí)根，則雙曲線離心率的取值范圍是()A1<e<2 B1<e<2C1<e<3 D1<e<2【答案】D類型五：雙曲線的焦點(diǎn)三角形例5已知雙曲線實(shí)軸長6，過左焦點(diǎn)的弦交左半支于、兩點(diǎn)，且，設(shè)右焦點(diǎn)，求的周長.【解析】由雙曲線的定義有:，.即.故的周長.【總結(jié)升華】雙曲線的焦點(diǎn)三角形中涉及了雙曲線的特征幾何量，在雙曲線的焦點(diǎn)三角形中，經(jīng)常運(yùn)用正弦定理、余弦定理、雙