高中數(shù)學(xué)抽象函數(shù)常見題型及解法

1、抽象函數(shù)常見題型及解法綜述抽象函數(shù)是指沒有給出函數(shù)的具體解析式，只給出了一些體現(xiàn)函數(shù)特征的式子的一類函數(shù)由于抽象函數(shù)表現(xiàn)形式的抽象性，使得這類問題是函數(shù)內(nèi)容的難點(diǎn)之一，其性質(zhì)常常是隱而不漏，但一般情況下大多是以學(xué)過的常見函數(shù)為背景，對函數(shù)性質(zhì)通過代數(shù)表述給出抽象函數(shù)的相關(guān)題目往往是在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的交匯處設(shè)計(jì)，高考對抽象函數(shù)的要求是考查函數(shù)的概念和知識(shí)的內(nèi)涵及外延的掌握情況、邏輯推理能力、抽象思維能力和數(shù)學(xué)后繼學(xué)習(xí)的潛能為了擴(kuò)大讀者的視野，特就抽象函數(shù)常見題型及解法評(píng)析如下一、 函數(shù)的基本概念問題1抽象函數(shù)的定義域問題例1 已知函數(shù)的定義域是1，2，求的定義域解：由的定義域是1，2，是指1x2，所以

2、1x4，即函數(shù)的定義域是1，4評(píng)析：一般地，已知函數(shù)的定義域是A，求的定義域問題，相當(dāng)于已知中x的取值范圍為A，據(jù)此求的值域問題例2 已知函數(shù)的定義域是1，2，求函數(shù)的定義域解：由的定義域是1，2，意思是凡被作用的對象都在1，2中，由此易得 1log(3x)2 ()3x()1x函數(shù)的定義域是1，評(píng)析：這類問題的一般形式是：已知函數(shù)的定義域是A，求函數(shù)的定義域正確理解函數(shù)符號(hào)及其定義域的含義是求解此類問題的關(guān)鍵一般地，若函數(shù)的定義域是A，則x必須是A中的元素，而不能是A以外的元素，否則，無意義因此，如果有意義，則必有xA所以，這類問題實(shí)質(zhì)上相當(dāng)于已知的值域是A，據(jù)此求x的取值范圍，即由A建立不等

3、式，解出x的范圍例2和例1形式上正相反2抽象函數(shù)的值域問題例4 設(shè)函數(shù)(x) 定義于實(shí)數(shù)集上，對于任意實(shí)數(shù)x、y，(x + y) =(x)(y)總成立，且存在xx，使得(x)( x)，求函數(shù)(x)的值域解：令x = y = 0，得(0) =(0)，即有(0) = 0或(0) = 1若(0) = 0，則(x) =(x + 0) =(x)(0) = 0，對任意xR均成立，這與存在實(shí)數(shù)xx，使得(x)( x)成立矛盾故(0)0，即(0) = 1由于(x + y) =(x)(y) 對任意x、yR均成立，因此，對任意xR，有(x) =(+) =()() = ()0下面只需證明，對任意xR，(0)0即可設(shè)

4、存在xR，使得( x) = 0，則(0) =( xx) =( x)(x) = 0，這與(0)0矛盾，因此，對任意xR，(x)0所以(x)0 評(píng)析：在處理抽象函數(shù)的問題時(shí)，往往需要對某些變量進(jìn)行適當(dāng)?shù)馁x值，這是一般向特殊轉(zhuǎn)化的必要手段3抽象函數(shù)的解析式問題例5 設(shè)對滿足 x0，x1的所有實(shí)數(shù) x ，函數(shù)(x) 滿足(x) +() = 1 + x，求(x) 的解析式解：在(x) +() = 1 + x ， (1) 中以代換其中 x，得：() +() = ， 再在(1)中以代換x，得 ：() +(x) =， (1)(2) + 化簡得：(x) =評(píng)析：如果把x和分別看作兩個(gè)變量，怎樣實(shí)現(xiàn)由兩個(gè)變量向一

5、個(gè)變量的轉(zhuǎn)化是解題關(guān)鍵通常情況下，給某些變量適當(dāng)賦值，使之在關(guān)系中“消失”，進(jìn)而保留一個(gè)變量，是實(shí)現(xiàn)這種轉(zhuǎn)化的重要策略二、尋覓特殊函數(shù)模型問題1指數(shù)函數(shù)模型 例6 設(shè) 定義于實(shí)數(shù)集R上，當(dāng)x0時(shí)，1 ，且對于任意實(shí)數(shù)x、y ，有(x + y) =·，同時(shí)(1) = 2，解不等式(3xx)4聯(lián)想：因?yàn)閍= a·a(a0，a1)，因而猜測它的模型函數(shù)為= a(a0，a1)(由(1) = 2，還可以猜想= 2)思路分析：由=·= 4，需解不等式化為(3xx)這樣，證明函數(shù)的(由= 2，只證明單調(diào)遞增)成了解題的突破口解：由 (x + y) =(x) ·(y)

6、中取x = y = 0 ，得(0) =(0)，若(0) = 0，令x0 ，y = 0 ，則 (x) = 0，與(x)1 矛盾 (0) 0，即有(0) = 1 當(dāng)x0 時(shí) ，(x)10 ，當(dāng)x0 時(shí) ，x0，(x)10 ，而(x) ·(x) =(0) = 1， (x) =0 又當(dāng)x = 0 時(shí)，(0) = 10 ，xR ，(x)0 設(shè) xx+ ，則xx0 ，( xx)1 ( x) = x+ ( xx) =(x)( xx)( x) y =(x) 在R 上為增函數(shù)又(1) = 2，(3xx)(1) ·(1) =(1 + 1) =(2)，由(x)的單調(diào)遞增性質(zhì)可得：3xx2，解得1

7、x22對數(shù)函數(shù)模型例7 已知函數(shù)滿足：() = 1；函數(shù)的值域是1，1；在其定義域上單調(diào)遞減；=(x·y) 對于任意正實(shí)數(shù)x、y 都成立解不等式·聯(lián)想：因?yàn)閘og(x·y) = logxlogy，而log= 1，y = logx在其定義域1，1內(nèi)為減函數(shù)，所以猜測它的模型函數(shù)為= logx且的模型函數(shù)為= ()思路分析：由條件、知，的反函數(shù)存在且在定義域1，1上遞減，由知=剩下的只需由的模型函數(shù)性質(zhì)和運(yùn)算法則去證明·=，問題就能解決了解：由已知條件、知，(x)的反函數(shù)存在，且(1) =，又在定義域1，1上單調(diào)遞減設(shè)y=(x)，y=(x)，則有x=(y)，

8、x=( y) ，x+ x=(y) +( y) =(yy)，即有yy=(x+ x)·=，于是，原不等式等價(jià)于： x = 0故原不等式的解集為0解這類問題可以通過化抽象為具體的方法，即通過聯(lián)想、分析，然后進(jìn)行類比猜測，經(jīng)過帶有非邏輯思維成份的推理，即可尋覓出它的函數(shù)模型，由這些函數(shù)模型的性質(zhì)、法則來探索此類問題的解題思路3冪函數(shù)模型例8 已知函數(shù)對任意實(shí)數(shù)x、y都有=·，且=1，=9，當(dāng)0x1時(shí)，01時(shí)判斷的奇偶性；判斷在0，上的單調(diào)性，并給出證明；若a0且，求a的取值范圍聯(lián)想：因?yàn)?#183;= (x·y)，因而猜測它的模型函數(shù)為=(由=9，還可以猜想= x)思路分

9、析：由題設(shè)可知是冪函數(shù)y = x的抽象函數(shù)，從而可猜想是偶函數(shù)，且在0，上是增函數(shù)解：令y =1，則=·，=1，=，即為偶函數(shù)若x0，則=·=0設(shè)0xx，則01，=·，當(dāng)x0時(shí)0，且當(dāng)0x1時(shí)，0101，故函數(shù)在0，上是增函數(shù)=9，又=·=··= ，9 = ，=，a0，(a1)，30，函數(shù)在0，上是增函數(shù) a13，即a2， 又a0，故0a2三、研究函數(shù)的性質(zhì)問題1抽象函數(shù)的單調(diào)性問題例9 設(shè)(x) 定義于實(shí)數(shù)集上，當(dāng)x0時(shí)，(x)1 ，且對于任意實(shí)數(shù)x、y，有(x + y) =(x) ·(y)，求證：(x) 在R 上為增函數(shù)

10、證明：由 (x + y) =(x)(y) 中取x = y = 0，得(0) =，若(0) = 0，令x0，y = 0，則 (x) = 0，與(x)1 矛盾 (0)0，即有(0) = 1當(dāng)x0時(shí)，(x)10，當(dāng)x0時(shí)，x0，(x)10，而(x) ·(x) =(0) = 1， (x) =0 又當(dāng)x = 0 時(shí)，(0) = 10 ，xR，(x)0設(shè) xx+，則xx0，( xx)1 ( x) = x+ ( xx) =(x)( xx)( x) y =(x) 在R 上為增函數(shù)評(píng)析：一般地，抽象函數(shù)所滿足的關(guān)系式，應(yīng)看作給定的運(yùn)算法則，而變量的賦值或變量及數(shù)值的分解與組合都應(yīng)盡量與已知式或所給關(guān)系

11、式及所求的結(jié)果相關(guān)聯(lián)2抽象函數(shù)的奇偶性問題例10 已知函數(shù)(x) (xR，x0）對任意不等于零實(shí)數(shù)x、x 都有(x·x) =(x) +(x)，試判斷函數(shù)(x) 的奇偶性解：取x=1，x= 1得：(1) =(1) +(1)，(1) = 0又取x= x=1得：(1) =(1) +(1)，(1) = 0再取x= x，x=1則有(x) =(1) +(x)，即(x) =(x)，(x)為非零函數(shù)，(x)為偶函數(shù)3抽象函數(shù)的周期性問題例11 函數(shù)定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)，對任意實(shí)數(shù) a、b，有(ab)(ab) =2(a) ·(b)，且存在C0 ，使得= 0 ，求證(x) 是周期函數(shù)聯(lián)想：因?yàn)閏o

12、s(ab)cos(ab) = 2cosacosb，且cos= 0，因而得出它的模型函數(shù)為y = cosx，由y = cosx的周期為，可猜想2C為的一個(gè)周期 思路分析：要在證明2C為的一個(gè)周期，則只需證=，而由已知條件= 0和(ab)(ab) =2(a) ·(b)知，必須選擇好a、b的值，是得條件等式出現(xiàn)和證明：令a = x，b =，代入(ab)(ab) = 2(a) ·(b) 可得 (xC ) =(x)(x2C ) =(xC)C =(xC ) =(x) ，即是以 2C 為周期的函數(shù)評(píng)析：如果沒有余弦函數(shù)作為模型，就很難想到2C 就是所求函數(shù)的周期，解題思路是難找的由此可見

13、，尋求或構(gòu)造恰當(dāng)?shù)哪Ｐ秃瘮?shù)，可以為思考與解題定向，是處理開放型問題的一種重要策略4抽象函數(shù)的對稱性問題例12 已知函數(shù)y =滿足+= 2002，求+的值解：由已知，在等式+= 2b中a = 0，b = 2002，所以，函數(shù)y =關(guān)于點(diǎn)(0，2002)對稱，根據(jù)原函數(shù)與其反函數(shù)的關(guān)系，知函數(shù)y =關(guān)于點(diǎn)(2002，0)對稱+= 0，將上式中的x用x1001換，得+= 0評(píng)析：這是同一個(gè)函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱問題，在解題中使用了下述命題：即：設(shè)a、b均為常數(shù)，函數(shù)y =對一切實(shí)數(shù)x都滿足+= 2b，則函數(shù)y =的圖象關(guān)于點(diǎn)(a，b) 成中心對稱圖形四、抽象函數(shù)中的網(wǎng)絡(luò)綜合問題例13 定義在R上的函數(shù)滿足：對任意實(shí)數(shù)m，n，總有=·，且當(dāng)x0時(shí)，01判斷的單調(diào)性；設(shè)A = (x，y)|·，B = (x，y)|= 1，aR，若AB =，試確定a 的取值范圍解：在=·中，令m = 1，n = 0，得=·，因?yàn)?，所以= 1在=·中，令m = x，n =x，當(dāng)x0時(shí)，01，當(dāng)x0時(shí)，x0，01，而(x) ·(x) = 1， (x) =10 又當(dāng)x = 0 時(shí)，(0) = 10，所以，綜上可知，對于任意xR，均有(x)0設(shè) xx+ ，則xx0，0( xx)1( x) = x( xx) =(x)