三角形的五心及相關(guān)習(xí)題

1、三角形中有許多重要的特殊點(diǎn)，特別是三角形的“五心”，在解題時(shí)有很多應(yīng)用，在本節(jié)中將分別給予介紹三角形的“五心”指的是三角形的外心，內(nèi)心，重心，垂心和旁心1、三角形的外心三角形的三條邊的垂直平分線交于一點(diǎn),這點(diǎn)稱為三角形的外心(外接圓圓心)三角形的外心到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)距離相等都等于三角形的外接圓半徑銳角三角形的外心在三角形內(nèi)；直角三角形的外心在斜邊中點(diǎn)；鈍角三角形的外心在三角形外2、三角形的內(nèi)心三角形的三條內(nèi)角平分線交于一點(diǎn),這點(diǎn)稱為三角形的內(nèi)心(內(nèi)切圓圓心)三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等,都等于三角形內(nèi)切圓半徑內(nèi)切圓半徑r的計(jì)算：設(shè)三角形面積為S，并記p=(a+b+c)，則r=特別的，在直角三

2、角形中,有r=(a+bc)3、三角形的重心三角形的三條中線交于一點(diǎn),這點(diǎn)稱為三角形的重心上面的證明中，我們也得到了以下結(jié)論：三角形的重心到邊的中點(diǎn)與到相應(yīng)頂點(diǎn)的距離之比為 1 24、三角形的垂心三角形的三條高交于一點(diǎn),這點(diǎn)稱為三角形的垂心 斜三角形的三個(gè)頂點(diǎn)與垂心這四個(gè)點(diǎn)中，任何三個(gè)為頂點(diǎn)的三角形的垂心就是第四個(gè)點(diǎn)所以把這樣的四個(gè)點(diǎn)稱為一個(gè)“垂心組”5、三角形的旁心三角形的一條內(nèi)角平分線與另兩個(gè)外角平分線交于一點(diǎn),稱為三角形的旁心(旁切圓圓心)每個(gè)三角形都有三個(gè)旁切圓A類例題例1 證明重心定理。證法1 如圖，D、E、F為三邊中點(diǎn)，設(shè)BE、CF交于G，連接EF，顯然EFBC，由三角形相似可得GB

3、2GE，GC=2GF又設(shè)AD、BE交于G'，同理可證G'B=2G'E，G'A=2G'D，即G、G'都是BE上從B到E的三分之二處的點(diǎn)，故G'、G重合 即三條中線AD、BE、CF相交于一點(diǎn)G證法2 設(shè)BE、CF交于G，BG、CG中點(diǎn)為H、I連EF、FH、HI、IE，因?yàn)镋FBC，HIBC， 所以 EFHI為平行四邊形 所以 HG=GE、IG=GF，GB=2GE，GC=2GF同證法1可知AG=2GD，AD、BE、CF共點(diǎn)即定理證畢鏈接 證明外心、內(nèi)心定理是很容易的。外心定理的證明：如圖，設(shè)AB、BC的中垂線交于點(diǎn)O，則有OA=OB=OC，故O

4、也在AC的中垂線上，因?yàn)镺到三頂點(diǎn)的距離相等，故點(diǎn)O是ABC外接圓的圓心因而稱為外心內(nèi)心定理的證明：如圖，設(shè)A、C的平分線相交于I、過I作IDBC，IEAC，IFAB，則有IE=IF=ID因此I也在C的平分線上，即三角形三內(nèi)角平分線交于一點(diǎn) 上述定理的證法完全適用于旁心定理，請同學(xué)們自己完成例2證明垂心定理分析 我們可以利用構(gòu)造外心來進(jìn)行證明。證明 如圖，AD、BE、CF為ABC三條高，過點(diǎn)A、B、C分別作對邊的平行線相交成A'B'C'，顯然AD為B'C'的中垂線；同理BE、CF也分別為A'C'、A'B'的中垂線，由外心定

5、理，它們交于一點(diǎn)，命題得證鏈接 （1）對于三線共點(diǎn)問題還可以利用Ceva定理進(jìn)行證明，同學(xué)們可以參考第十八講的內(nèi)容。（Ceva定理）設(shè)X、Y、Z分別為ABC的邊BC、CA、AB上的一點(diǎn)，則AX、BY、CZ所在直線交于一點(diǎn)的充要條件是··=1（2）對于三角形的五心，還可以推廣到n邊形，例如，如果我們稱n（3）邊形某頂點(diǎn)同除該點(diǎn)以外的n-1個(gè)頂點(diǎn)所決定的n-1邊形的重心的連線，為n邊形的中線，（當(dāng)n-1=2時(shí)，n-1邊形退化成一線段，此時(shí)重心即為線段的中心）那么重心定理可推廣如下：n邊形的各條中線(若有重合，只算一條）相交于一點(diǎn)，各中線被該點(diǎn)分為：（n-1）1的兩條線段，這點(diǎn)叫

6、n邊形的重心請同學(xué)們自己研究一下其他幾個(gè)“心”的推廣。情景再現(xiàn)1設(shè)G為ABC的重心，M、N分別為AB、CA的中點(diǎn)，求證：四邊形GMAN和GBC的面積相等2三角形的任一頂點(diǎn)到垂心的距離，等于外心到對邊的距離的二倍B類例題例3過等腰ABC底邊BC上一點(diǎn)P引PMCA交AB于M；引PNBA交AC于N.作點(diǎn)P關(guān)于MN的對稱點(diǎn)P'.試證：P'點(diǎn)在ABC外接圓上.(杭州大學(xué)中學(xué)數(shù)學(xué)競賽習(xí)題)分析 分析點(diǎn)M和N的性質(zhì)，即能得到解題思路。證明 由已知可得MP'=MP=MB，NP'=NP=NC，故點(diǎn)M是P'BP的外心，點(diǎn)N是P'PC的外心.于是有BP'P=B

7、MP=BAC，PP'C=PNC=BAC.BP'C=BP'P+P'PC=BAC. 從而，P'點(diǎn)與A、B、C共圓，即P'在ABC外接圓上.鏈接本題可以引出更多結(jié)論，例如P'P平分BP'C、P'B:P'C=BP:PC等等例4 AD，BE，CF是ABC的三條中線，P是任意一點(diǎn)證明：在PAD，PBE，PCF中，其中一個(gè)面積等于另外兩個(gè)面積的和. (第26屆莫斯科數(shù)學(xué)奧林匹克)證明 設(shè)G為ABC重心，直線PG與AB，BCA，C，D，E，F(xiàn)分別作該直線的垂線，垂足為A'，C'，D'，E'，F(xiàn)

8、9;. 易證AA'=2DD'，CC'=2FF'，2EE'=AA'+CC'，EE'=DD'+FF'. 有SPGE=SPGD+SPGF.兩邊各擴(kuò)大3倍，有SPBE=SPAD+SPCF.例5 設(shè)A1A2A3A4為O內(nèi)接四邊形，H1，H2，H3，H4依次為A2A3A4，A3A4A1，A4A1A2，A1A2A3的垂心.求證：H1，H2，H3，H4四點(diǎn)共圓，并確定出該圓的圓心位置. (1992，全國高中聯(lián)賽)證明 連接A2H1，A1H2，H1H2，記圓半徑為R.由A2A3A4知=2RA2H1=2RcosA3A2A4； 由A1A

9、3A4得 A1H2=2RcosA3A1A4. 但A3A2A4=A3A1A4，故A2H1=A1H2. 易證A2H1A1A2，于是，A2H1A1H2， 故得H1H2A2A1.設(shè)H1A1與H2A2的交點(diǎn)為M，故H1H2與A1A2關(guān)于M點(diǎn)成中心對稱. 同理，H2H3與A2A3，H3H4與A3A4，H4H1與A4A1都關(guān)于MH1H2H3H4與四邊形A1A2A3A4關(guān)于M點(diǎn)成中心對稱，兩者是全等四邊形，H1，H2，H3，H4Q，Q與O也關(guān)于MO，M兩點(diǎn)，Q點(diǎn)就不難確定了.鏈接三角形的五心有許多重要性質(zhì)，它們之間也有很密切的聯(lián)系，如： （1）三角形的重心與三頂點(diǎn)的連線所構(gòu)成的三個(gè)三角形面積相等； （2）三角

10、形的外心到三頂點(diǎn)的距離相等； （3）三角形的垂心與三頂點(diǎn)這四點(diǎn)中，任一點(diǎn)是其余三點(diǎn)所構(gòu)成的三角形的垂心； （4）三角形的內(nèi)心、旁心到三邊距離相等； （5）三角形的垂心是它垂足三角形的內(nèi)心；或者說，三角形的內(nèi)心是它旁心三角形的垂心； （6）三角形的外心是它的中點(diǎn)三角形的垂心； （7）三角形的重心也是它的中點(diǎn)三角形的重心； （8）三角形的中點(diǎn)三角形的外心也是其垂足三角形的外心情景再現(xiàn)3在ABC的邊AB，BC，CA上分別取點(diǎn)P，Q，S.證明以APS，BQP，CSQ的外心為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似. (B·波拉索洛夫中學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克)4如果三角形三邊的平方成等差數(shù)列，那么該三角形和由它的三條

11、中線圍成的新三角形相似.其逆亦真.C類例題例6H為ABC的垂心，D，E，F(xiàn)分別是BC，CA，ABH為圓心的H交直線EF，F(xiàn)D，DE于A1，A2，B1，B2，C1，C2. 求證：AA1=AA2=BB1=BB2=CC1=CC2. (1989，加拿大數(shù)學(xué)奧林匹克訓(xùn)練題)分析只須證明AA1=BB1=CC1即可.證明設(shè)BC=a， CA=b，AB=c，ABC外接圓半徑為R，H的半徑為r. 連HA1，AH交EF于M. A=AM2+A1M2=AM2+r2-MH2=r2+(AM2-MH2)， 又AM2-HM2=(AH1)2-(AH-AH1)2 =AH·AH1-AH2=AH2·AB-AH2=c

12、osA·bc-AH2， 而=2RAH2=4R2cos2A,=2Ra2=4R2sin2A.AH2+a2=4R2，AH2=4R2-a2. 由、有A=r2+·bc-(4R2-a2)=(a2+b2+c2)-4R2+r2.同理，=(a2+b2+c2)-4R2+r2，=(a2+b2+c2)-4R2+r2.故有AA1=BB1=CC1.例7 已知O內(nèi)接ABC，Q切AB，AC于E，F(xiàn)且與O內(nèi)切.試證：EF中點(diǎn)P是ABC之內(nèi)心.(B·波拉索洛夫中學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克)證明 如圖，顯然EF中點(diǎn)P、圓心Q，中點(diǎn)K都在BACAQ=.QK·AQ=MQ·QN，QK= =. 由Rt

13、EPQ知PQ=.PK=PQ+QK=+=.PK=BK. 利用內(nèi)心等量關(guān)系之逆定理，即知P是ABC這內(nèi)心.說明 在第20屆IMO中，美國提供的一道題實(shí)際上是例7的一種特例，但它增加了條件AB=AC.例8 在直角三角形中，求證：r+ra+rb+rc=2p.式中r，ra，rb，rc分別表示內(nèi)切圓半徑及與a，b，c相切的旁切圓半徑，p表示半周. (杭州大學(xué)中學(xué)數(shù)學(xué)競賽習(xí)題)證明設(shè)RtABC中，c為斜邊，先來證明一個(gè)特性：p(p-c)=(p-a)(p-b).p(p-c)=(a+b+c)·(a+b-c) =(a+b)2-c2 =ab；(p-a)(p-b)=(-a+b+c)·(a-b+c)

14、 =c2-(a-b)2=ab.p(p-c)=(p-a)(p-b). 觀察圖形，可得ra=AF-AC=p-b，rb=BG-BC=p-a，rc=CK=p.而r=(a+b-c)=p-c.r+ra+rb+rc =(p-c)+(p-b)+(p-a)+p =4p-(a+b+c)=2p.由及圖形易證.例9 M是ABC邊AB上的任意一點(diǎn).r1，r2，r分別是AMC，BMC，ABC內(nèi)切圓的半徑，q1，q2，q分別是上述三角形在ACB內(nèi)部的旁切圓半徑.證明·=.(IMO-12)證明對任意A'B'C'，由正弦定理可知OD=OA'· =A'B'

15、83;· =A'B'·，O'E= A'B'·.亦即有·= =.例10 銳角ABC中，O，G，Hd外，重心到三邊距離和為d重，垂心到三邊距離和為d垂.求證：1·d垂+2·d外=3·d重.證明 設(shè)ABC外接圓半徑為1，三個(gè)內(nèi)角記為A，B，C. 易知d外=OO1+OO2+OO3=cosA+cosB+cosC，2d外=2(cosA+cosB+cosC). AH1=sinB·AB=sinB·(2sinC)=2sinB·sinC， 同樣可得BH2·CH3.3

16、d重=ABC三條高的和 =2·(sinB·sinC+sinC·sinA+sinA·sinB) =2，HH1=cosC·BH=2·cosB·cosC. 同樣可得HH2，HH3.d垂=HH1+HH2+HH3=2(cosB·cosC+cosC·cosA+cosA·cosB) 欲證結(jié)論，觀察、，須證(cosB·cosC+cosC·cosA+cosA·cosB)+( cosA+ cosB+ cosC)=sinB·sinC+sinC·sinA+sinA

17、83;sinB.即可.說明 本題用了三角法。情景再現(xiàn)5.設(shè)在圓內(nèi)接凸六邊形ABCDFE中，AB=BC，CD=DE，EF=FA.試證：(1)AD，BE，CF三條對角線交于一點(diǎn)；(2)AB+BC+CD+DE+EF+FAAK+BE+CF.(1991，國家教委數(shù)學(xué)試驗(yàn)班招生試題)6ABC的外心為O，AB=AC，D是AB中點(diǎn)，E是ACDOE丄CD. (加拿大數(shù)學(xué)奧林匹克訓(xùn)練題)7ABC中C=30°，O是外心，I是內(nèi)心，邊AC上的D點(diǎn)與邊BC上的E點(diǎn)使得AD=BE=AB.求證：OI丄DE，OI=DE. (1988，中國數(shù)學(xué)奧林匹克集訓(xùn)題)習(xí)題171在ABC中，A是鈍角，H是垂心，且AH=BC，則

18、cosBHC=( ) A B C D2如果一個(gè)三角形的面積與周長都被一條直線平分，則此直線一定通過三角形的( )A內(nèi)心 B外心 C重心 D垂心(1996年全國初中聯(lián)賽)3(1997年安徽省初中數(shù)學(xué)競賽)若0°<a<90°，那么，以sina，cosa，tanacota為三邊的三角形有內(nèi)切圓、外接圓的半徑之和是( ) A B C2sinacosa D4ABC中，A=45°，BC=a，高BE、CF交于點(diǎn)H，則AH=( )AaBaCaDa5下面三個(gè)命題中： 設(shè)H為ABC的高AD上一點(diǎn)，BHC+BAC=180°，則點(diǎn)H是ABC的垂心； 設(shè)G為ABC的中

19、線AD上一點(diǎn)，且SAGB=SBGC，則點(diǎn)G是ABC的重心； 設(shè)E是ABC的外角BAK的角平分線與ABC的外接圓O的交點(diǎn)，ED是O的直徑，I在線段AD上，且DI=DB，則I是ABC的內(nèi)心正確命題的個(gè)數(shù)是( )A0個(gè) B1個(gè) C2個(gè) D3個(gè)6設(shè)ABC的A=60°，求證：ABC的外心O、內(nèi)心I、垂心H及點(diǎn)B、C五點(diǎn)在同一個(gè)圓上7已知P是ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，O為AC與BD的交點(diǎn)，M、N分別為PB、PC中點(diǎn)，Q為AN與DM的交點(diǎn)求證：P、Q、O三點(diǎn)在一條直線上；PQ=2OQ8.I為ABC之內(nèi)心，射線AI，BI，CI交ABC外接圓于A，B，C.則AA+BB+CCABC周長.(1982，澳大利亞數(shù)學(xué)

20、奧林匹克)9.T的三邊分別等于T的三條中線，且兩個(gè)三角形有一組角相等.求證這兩個(gè)三角形相似.(1989，捷克數(shù)學(xué)奧林匹克)10.I為ABCIBC，ICA，IAB的外心O1，O2，O3.求證：O1O2O3與ABC有公共的外心.(1988，美國數(shù)學(xué)奧林匹克)11.AD為ABCABC，ABD，ADC的外心O，O1，O2.則OO1O2是等腰三角形.12.ABC中C90°，從AB上M點(diǎn)作CA，CB的垂線MP，MQ.H是CPQM是AB上動(dòng)點(diǎn)時(shí)，求H的軌跡.(IMO-7)本節(jié)“情景再現(xiàn)”解答1證明如圖，連GA，因?yàn)镸、N分別為AB、CA的中點(diǎn)，所以AMG的面積=GBM的面積，GAN的面積=GNC的

21、面積, 即四邊形GMAN和GBC的面積相等2證明如圖，O為ABC的外心，H為垂心，連CO交ABC外接圓于D，連DA、DB，則DAAC，BDBC，又AHBC，BHAC所以DABH，BDAH，從而四邊形DAHB為平行四邊形。又顯然DB=2OM，所以AH=2OM同理可證BH=2ON，CH=2OK證畢3提示：設(shè)O1，O2，O3是APS，BQP，CSQ的外心，作出六邊形O1PO2QO3S后再由外心性質(zhì)可知PO1S=2A，QO2P=2B，SO3Q=2C.PO1S+QO2P+SO3Q=360°.從而又知O1PO2+O2QO3+O3SO1=360°將O2QO3繞著O3點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到KSO3，易判

22、斷KSO1O2PO1，同時(shí)可得O1O2O3O1KO3.O2O1O3=KO1O3=O2O1K= (O2O1S+SO1K)= (O2O1S+PO1O2)=PO1S=A； 同理有O1O2O3=B.故O1O2O3ABC.4提示：將ABC簡記為，由三中線AD，BE，CF圍成的三角形簡記為'.G為重心，連DE到H，使EH=DE，連HC，HF，則'就是HCF. (1)a2，b2，c2成等差數(shù)列'.若ABC為正三角形，易證'.不妨設(shè)abc，有CF=，BE=，AD=. 將a2+c2=2b2，分別代入以上三式，得CF=，BE=，AD=.CF:BE:AD =:=a:b:c. 故有.

23、(2)a2，b2，c2中abc時(shí)，中CFBEAD.，()2. 據(jù)“三角形的三條中線圍成的新三角形面積等于原三角形面積的”，有=.=3a2=4CF2=2a2+b2-c2a2+c2=2b2.5.證明 連接AC，CE，EA，由已知可證AD，CF，EB是ACE的三條內(nèi)角平分線，I為ACEID=CD=DE，IF=EF=FA，IB=AB=BC. 再由BDF，易證BP，DQ，F(xiàn)S是它的三條高，I是它的垂心，利用 不等式有：BI+DI+FI2·(IP+IQ+IS). 不難證明IE=2IP，IA=2IQ，IC=2IS.BI+DI+FIIA+IE+IC. AB+BC+CD+DE+EF+FA=2(BI+D

24、I+FI)(IA+IE+IC)+(BI+DI+FI)=AD+BE+CF.I就是一點(diǎn)兩心.6提示：設(shè)AM為高亦為中線，取AC中點(diǎn)F，E必在DF上且DE:EFCD交AM于G，G必為ABC重心.連GE，MF，MF交DC于K.易證：DG:GK=DC:()DC=2:1.DG:GK=DE:EFGEMF.OD丄AB，MFAB，OD丄MFOD丄GE.但OG丄DEG又是ODE之垂心. 易證OE丄CD.7提示：輔助線如圖所示，作DAO平分線交BC于K. 易證AIDAIBEIB，AID=AIB=EIB. 利用內(nèi)心張角公式，有AIB=90°+C=105°，DIE=360°-105

25、6;×3=45°. AKB=30°+DAO=30°+ (BAC-BAO)=30°+ (BAC-60°)=BAC=BAI=BEI.AKIE. 由等腰AOD可知DO丄AK，DO丄IE，即DF是DIE的一條高. 同理EO是DIE之垂心，OI丄DE.由DIE=IDO，易知OI=DE.習(xí)題17解答1 B；2A；3A；4C；5選B，只有（3）是對的；6略；7略；8.略；9.略；10.略；11.略；12.H的軌跡是一條線段.補(bǔ)充：第五講 三角形的五心三角形的外心、重心、垂心、內(nèi)心及旁心，統(tǒng)稱為三角形的五心.一、外心.三角形外接圓的圓心，簡稱外心.與

26、外心關(guān)系密切的有圓心角定理和圓周角定理.例1過等腰ABC底邊BC上一點(diǎn)P引PMCA交AB于M；引PNBA交AC于N.作點(diǎn)P關(guān)于MN的對稱點(diǎn)P.試證：P點(diǎn)在ABC外接圓上.(杭州大學(xué)中學(xué)數(shù)學(xué)競賽習(xí)題)分析：由已知可得MP=MP=MB，NP=NP=NC，故點(diǎn)M是PBP的外心，點(diǎn)N是PPCBPP=BMP=BAC，PPC=PNC=BAC.BPC=BPP+PPC=BAC. 從而，P點(diǎn)與A，B，C共圓、即P在ABC外接圓上. 由于PP平分BPC，顯然還有PB:PC=BP:PC.例2在ABC的邊AB，BC，CA上分別取點(diǎn)P，Q，S.證明以APS，BQP，CSQ的外心為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似. (B

27、3;波拉索洛夫中學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克)分析：設(shè)O1，O2，O3是APS，BQP，CSQ的外心，作出六邊形O1PO2QO3S后再由外心性質(zhì)可知PO1S=2A，QO2P=2B，SO3Q=2C.PO1S+QO2P+SO3Q=360°.從而又知O1PO2+O2QO3+O3SO1=360° 將O2QO3繞著O3點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到KSO3，易判斷KSO1O2PO1，同時(shí)可得O1O2O3O1KO3.O2O1O3=KO1O3=O2O1K =(O2O1S+SO1K) =(O2O1S+PO1O2) =PO1S=A； 同理有O1O2O3=B.故O1O2O3ABC.二、重心條中線都分成定比2:1及中線長度公式，便

28、于解題.例3AD，BE，CF是ABC的三條中線，P是任意一點(diǎn).證明：在PAD，PBE，PCF中，其中一個(gè)面積等于另外兩個(gè)面積的和. (第26屆莫斯科數(shù)學(xué)奧林匹克)分析：設(shè)G為ABC重心，直線PG與AB，BCA，C，D，E，F(xiàn)分別作該直線的垂線，垂足為A，C，D，E，F(xiàn). 易證AA=2DD，CC=2FF，2EE=AA+CC，EE=DD+FF. 有SPGE=SPGD+SPGF. 兩邊各擴(kuò)大3倍，有SPBE=SPAD+SPCF.例4如果三角形三邊的平方成等差數(shù)列，那么該三角形和由它的三條中線圍成的新三角形相似.其逆亦真.分析：將ABC簡記為，由三中線AD，BE，CF圍成的三角形簡記為.G為重心，連D

29、E到H，使EH=DE，連HC，HF，則就是HCF. (1)a2，b2，c2成等差數(shù)列. 若ABC為正三角形，易證. 不妨設(shè)abc，有CF=，BE=，AD=. 將a2+c2=2b2，分別代入以上三式，得CF=，BE=，AD=.CF:BE:AD =: =a:b:c. 故有. (2)a2，b2，c2成等差數(shù)列. 當(dāng)中abc時(shí)，中CFBEAD.，()2. 據(jù)“三角形的三條中線圍成的新三角形面積等于原三角形面積的”，有=.=3a2=4CF2=2a2+b2-c2a2+c2=2b2.三、垂心 三角形三條高的交戰(zhàn)，稱為三角形的垂心.由三角形的垂心造成的四個(gè)等(外接)圓三角形，給我們解題提供了極大的便利.例5設(shè)

30、A1A2A3A4為O內(nèi)接四邊形，H1，H2，H3，H4依次為A2A3A4，A3A4A1，A4A1A2，A1A2A3的垂心.求證：H1，H2，H3，H4四點(diǎn)共圓，并確定出該圓的圓心位置. (1992，全國高中聯(lián)賽)分析：連接A2H1，A1H2，H1H2，記圓半徑為R.由A2A3A4知=2RA2H1=2RcosA3A2A4； 由A1A3A4得A1H2=2RcosA3A1A4. 但A3A2A4=A3A1A4，故A2H1=A1H2. 易證A2H1A1A2，于是，A2H1A1H2， 故得H1H2A2A1.設(shè)H1A1與H2A2的交點(diǎn)為M，故H1H2與A1A2關(guān)于M點(diǎn)成中心對稱. 同理，H2H3與A2A3，

31、H3H4與A3A4，H4H1與A4A1都關(guān)于MH1H2H3H4與四邊形A1A2A3A4關(guān)于M點(diǎn)成中心對稱，兩者是全等四邊形，H1，H2，H3，H4Q，Q與O也關(guān)于MO，M兩點(diǎn)，Q點(diǎn)就不難確定了.例6H為ABC的垂心，D，E，F(xiàn)分別是BC，CA，ABH為圓心的H交直線EF，F(xiàn)D，DE于A1，A2，B1，B2，C1，C2. 求證：AA1=AA2=BB1=BB2=CC1=CC2. (1989，加拿大數(shù)學(xué)奧林匹克訓(xùn)練題)分析：只須證明AA1=BB1=CC1BC=a， CA=b，AB=c，ABC外接圓半徑為R，H的半徑為r. 連HA1，AH交EF于M.A=AM2+A1M2=AM2+r2-MH2=r2+(

32、AM2-MH2)， 又AM2-HM2=(AH1)2-(AH-AH1)2 =AH·AH1-AH2=AH2·AB-AH2=cosA·bc-AH2， 而=2RAH2=4R2cos2A,=2Ra2=4R2sin2A.AH2+a2=4R2，AH2=4R2-a2. 由、有A=r2+·bc-(4R2-a2)=(a2+b2+c2)-4R2+r2.同理，=(a2+b2+c2)-4R2+r2，=(a2+b2+c2)-4R2+r2.故有AA1=BB1=CC1.四、內(nèi)心三角形內(nèi)切圓的圓心，簡稱為內(nèi)心.對于內(nèi)心，要掌握張角公式，還要記住下面一個(gè)極為有用的等量關(guān)系：設(shè)I為ABC的內(nèi)

33、心，射線AI交ABC外接圓于A，則有AI=AB=AC.換言之，點(diǎn)A必是IBC之外心(內(nèi)心的等量關(guān)系之逆同樣有用).例7ABCD為圓內(nèi)接凸四邊形，取DAB，ABC，BCD，CDA的內(nèi)心O1， O2，O3，O4.求證：O1O2O3O4為矩形. (1986，中國數(shù)學(xué)奧林匹克集訓(xùn)題)證明見中等數(shù)學(xué)1992；4例8已知O內(nèi)接ABC，Q切AB，AC于E，F(xiàn)且與O內(nèi)切.試證：EF中點(diǎn)P是ABC之內(nèi)心.(B·波拉索洛夫中學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克)分析：在第20屆IMO中，美國提供的一道題實(shí)際上是例8的一種特例，但它增加了條件AB=AC.當(dāng)ABAC，怎樣證明呢？ 如圖，顯然EF中點(diǎn)P、圓心Q，BC中點(diǎn)K都在BA

34、CAQ=.QK·AQ=MQ·QN，QK= =. 由RtEPQ知PQ=.PK=PQ+QK=+=.PK=BK. 利用內(nèi)心等量關(guān)系之逆定理，即知P是ABC這內(nèi)心.五、旁心 三角形的一條內(nèi)角平分線與另兩個(gè)內(nèi)角的外角平分線相交于一點(diǎn)，是旁切圓的圓心，稱為旁心.旁心常常與內(nèi)心聯(lián)系在一起，旁心還與三角形的半周長關(guān)系密切.例9在直角三角形中，求證：r+ra+rb+rc=2p. 式中r，ra，rb，rc分別表示內(nèi)切圓半徑及與a，b，c相切的旁切圓半徑，p表示半周. (杭州大學(xué)中學(xué)數(shù)學(xué)競賽習(xí)題)分析：設(shè)RtABC中，c為斜邊，先來證明一個(gè)特性：p(p-c)=(p-a)(p-b).p(p-c)=

35、(a+b+c)·(a+b-c) =(a+b)2-c2 =ab；(p-a)(p-b)=(-a+b+c)·(a-b+c) =c2-(a-b)2=ab.p(p-c)=(p-a)(p-b). 觀察圖形，可得ra=AF-AC=p-b，rb=BG-BC=p-a，rc=CK=p.而r=(a+b-c) =p-c.r+ra+rb+rc =(p-c)+(p-b)+(p-a)+p =4p-(a+b+c)=2p.由及圖形易證.例10M是ABC邊AB上的任意一點(diǎn).r1，r2，r分別是AMC，BMC，ABC內(nèi)切圓的半徑，q1，q2，q分別是上述三角形在ACB內(nèi)部的旁切圓半徑.證明：·=.(I

36、MO-12)分析：對任意ABC，由正弦定理可知OD=OA· =AB·· =AB·，OE= AB·.亦即有·= =.六、眾心共圓這有兩種情況：(1)同一點(diǎn)卻是不同三角形的不同的心；(2)同一圖形出現(xiàn)了同一三角形的幾個(gè)心.例11設(shè)在圓內(nèi)接凸六邊形ABCDFE中，AB=BC，CD=DE，EF=FA.試證：(1)AD，BE，CF三條對角線交于一點(diǎn)； (2)AB+BC+CD+DE+EF+FAAK+BE+CF. (1991，國家教委數(shù)學(xué)試驗(yàn)班招生試題)分析：連接AC，CE，EA，由已知可證AD，CF，EB是ACE的三條內(nèi)角平分線，I為ACEID=

37、CD=DE，IF=EF=FA，IB=AB=BC. 再由BDF，易證BP，DQ，F(xiàn)S是它的三條高，I是它的垂心，利用 不等式有：BI+DI+FI2·(IP+IQ+IS). 不難證明IE=2IP，IA=2IQ，IC=2IS.BI+DI+FIIA+IE+IC.AB+BC+CD+DE+EF+FA =2(BI+DI+FI)(IA+IE+IC)+(BI+DI+FI) =AD+BE+CF.I就是一點(diǎn)兩心.例12ABC的外心為O，AB=AC，D是AB中點(diǎn)，E是ACDOE丄CD. (加拿大數(shù)學(xué)奧林匹克訓(xùn)練題)分析：設(shè)AM為高亦為中線，取AC中點(diǎn)F，E必在DF上且DE:EFCD交AM于G，G必為ABC重

38、心.連GE，MF，MF交DC于K.易證：DG:GK=DC:()DC=2:1.DG:GK=DE:EFGEMF.OD丄AB，MFAB，OD丄MFOD丄GE.但OG丄DEG又是ODE之垂心. 易證OE丄CD.例13ABC中C=30°，O是外心，I是內(nèi)心，邊AC上的D點(diǎn)與邊BC上的E點(diǎn)使得AD=BE=AB.求證：OI丄DE，OI=DE. (1988，中國數(shù)學(xué)奧林匹克集訓(xùn)題)分析：輔助線如圖所示，作DAO平分線交BC于K. 易證AIDAIBEIB，AID=AIB=EIB. 利用內(nèi)心張角公式，有AIB=90°+C=105°，DIE=360°-105°

39、15;3=45°.AKB=30°+DAO =30°+(BAC-BAO) =30°+(BAC-60°) =BAC=BAI=BEI.AKIE. 由等腰AOD可知DO丄AK，DO丄IE，即DF是DIE的一條高. 同理EO是DIE之垂心，OI丄DE. 由DIE=IDO，易知OI=DE.例14銳角ABC中，O，G，Hd外，重心到三邊距離和為d重，垂心到三邊距離和為d垂.求證：1·d垂+2·d外=3·d重.ABC外接圓半徑為1，三個(gè)內(nèi)角記為A，B，C. 易知d外=OO1+OO2+OO3=cosA+cosB+cosC，2d外=2

40、(cosA+cosB+cosC). AH1=sinB·AB=sinB·(2sinC)=2sinB·sinC， 同樣可得BH2·CH3.3d重=ABC三條高的和 =2·(sinB·sinC+sinC·sinA+sinA·sinB) =2，HH1=cosC·BH=2·cosB·cosC. 同樣可得HH2，HH3.d垂=HH1+HH2+HH3=2(cosB·cosC+cosC·cosA+cosA·cosB) 欲證結(jié)論，觀察、，須證(cosB·cosC+

41、cosC·cosA+cosA·cosB)+( cosA+ cosB+ cosC)=sinB·sinC+sinC·sinA+sinA·sinB.即可.練 習(xí) 題1.I為ABC之內(nèi)心，射線AI，BI，CI交ABC外接圓于A，B，C.則AA+BB+CCABC周長.(1982，澳大利亞數(shù)學(xué)奧林匹克)2.T的三邊分別等于T的三條中線，且兩個(gè)三角形有一組角相等.求證這兩個(gè)三角形相似.(1989，捷克數(shù)學(xué)奧林匹克)3.I為ABCIBC，ICA，IAB的外心O1，O2，O3.求證：O1O2O3與ABC有公共的外心.(1988，美國數(shù)學(xué)奧林匹克)4.AD為ABC

42、ABC，ABD，ADC的外心O，O1，O2.則OO1O2是等腰三角形.5.ABC中C90°，從AB上M點(diǎn)作CA，CB的垂線MP，MQ.H是CPQM是AB上動(dòng)點(diǎn)時(shí)，求H的軌跡.(IMO-7)6.ABC的邊BC=(AB+AC)，取AB，AC中點(diǎn)M，N，G為重心，I為內(nèi)心.試證：過A，M，N三點(diǎn)的圓與直線GI相切.(第27屆莫斯科數(shù)學(xué)奧林匹克)ABC的垂心關(guān)于三邊的對稱點(diǎn)分別是H1，H2，H3.已知：H1，H2，H3，求作ABC.(第7屆莫斯科數(shù)學(xué)奧林匹克)ABC的三個(gè)旁心為I1，I2，I3.求證：I1I2I3是銳角三角形.9.AB，AC切O于B，C，過OA與BC的交點(diǎn)M任作O的弦EF.求

43、證：(1)AEF與ABC有公共的內(nèi)心；(2)AEF與ABC有一個(gè)旁心重合.三角形五心定理 （三角形的重心，外心，垂心，內(nèi)心和旁心稱之為三角形的五心）三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，內(nèi)心定理，旁心定理的總稱。一、 三角形重心定理三角形的三條邊的中線交于一點(diǎn)。該點(diǎn)叫做三角形的重心。三中線交于一點(diǎn)可用燕尾定理證明，十分簡單。（重心原是一個(gè)物理概念，對于等厚度的質(zhì)量均勻的三角形薄片，其重心恰為此三角形三條中線的交點(diǎn)，重心因而得名） 重心的性質(zhì)： 1、重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對邊中點(diǎn)的距離之比為21。 2、重心和三角形3個(gè)頂點(diǎn)組成的3個(gè)三角形面積相等。即重心到三條邊的距離與三條邊的長成反比。 3、重心到三角形3個(gè)頂點(diǎn)距離的平方和最小。 4、在平面直角坐標(biāo)系中，重心的坐標(biāo)是頂點(diǎn)坐標(biāo)的算術(shù)平均，即其重心坐標(biāo)為（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3。二、三角形外心定理 三角形外接圓的圓心，叫做三角形的外心。 外心的性質(zhì)： 1、三角形的三條邊的垂直平分線交于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為該三角形外心。 2、若O是ABC的外心，則BOC=2A（A為銳角或直角）或B