復(fù)合函數(shù)單調(diào)性[講解+練習(xí)]

1、 .wd.課題：函數(shù)的單調(diào)性(二)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性北京二十二中 劉青教學(xué)目標1.掌握有關(guān)復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間的四個引理.2.會求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.3.必須明確復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間是定義域的子集.教學(xué)重點與難點1.教學(xué)重點是教會學(xué)生應(yīng)用本節(jié)的引理求出所給的復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.2.教學(xué)難點是務(wù)必使學(xué)生明確復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是定義域的子集.教學(xué)過程設(shè)計師：這節(jié)課我們將講復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，下面我們先復(fù)習(xí)一下復(fù)合函數(shù)的定義.生：設(shè)y=f(u)的定義域為A，u=g(x)的值域為B，假設(shè)AÍB，那么y關(guān)于x函數(shù)的y=fg(x)叫做函數(shù)f與g的復(fù)合函數(shù)，u叫中間量.師：很好.下面我們再復(fù)習(xí)一下所學(xué)過的函數(shù)

2、的單調(diào)區(qū)間.(教師把所學(xué)過的函數(shù)均寫在黑板上，中間留出寫答案的地方，當學(xué)生答復(fù)得正確時，由教師將正確答案寫在對應(yīng)題的下邊.)(教師板書，可適當略寫.)例 求以下函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.1.一次函數(shù)y=kx+b(k0).解 當k0時，(，+)是這個函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；當k0時，(，+)是這個函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間.2.反比例函數(shù)y=(k0).解 當k0時，(，0)和(0，+)都是這個函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間，當k0時，(，0)和(0，+)都是這個函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.3.二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a0).解 當a1時(，)是這個函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間，(，+)是它的單調(diào)增區(qū)間；當a1時(，)是這個函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，(，+)是

3、它的單調(diào)減區(qū)間；4.指數(shù)函數(shù)y=ax(a0，a1).解 當a1時，(，+)是這個函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，當0a1時，(，+)是這個函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間.5.對數(shù)函數(shù)y=logax(a0，a1).解 當a1時，(0，+)是這個函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，當0a1時，(0，+)是它的單調(diào)減區(qū)間.師：我們還學(xué)過冪函數(shù)y=xn(n為有理數(shù))，由于n的不同取值情況，可使其定義域分幾種情況，比擬復(fù)雜，我們不妨遇到具體情況時，再具體分析.師：我們看看這個函數(shù)y=2x2+2x+1，它顯然是復(fù)合函數(shù)，它的單調(diào)性如何?生：它在(，+)上是增函數(shù).師：我猜你是這樣想的，底等于2的指數(shù)函數(shù)為增函數(shù)，而此函數(shù)的定義域為(，+)，所以你就得

4、到了以上的答案.這種做法顯然忽略了二次函數(shù)u=x2+2x+1的存在，沒有考慮這個二次函數(shù)的單調(diào)性.咱們不難猜測復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性應(yīng)由兩個函數(shù)共同決定，但一時猜不準結(jié)論.下面我們引出并證明一些有關(guān)的預(yù)備定理.(板書)引理1 函數(shù)y=fg(x).假設(shè)u=g(x)在區(qū)間(a,b)上是增函數(shù)，其值域為(c，d)，又函數(shù)y=f(u)在區(qū)間(c,d)上是增函數(shù)，那么，原復(fù)合函數(shù)y=fg(x)在區(qū)間(a,b)上是增函數(shù).(本引理中的開區(qū)間也可以是閉區(qū)間或半開半閉區(qū)間.)證明 在區(qū)間(a,b)內(nèi)任取兩個數(shù)x1,x2，使ax1x2b.因為u=g(x)在區(qū)間(a,b)上是增函數(shù)，所以g(x1)g(x2),記u1=g

5、(x1),u2=g(x2)即u1u2,且u1,u2(c,d).因為函數(shù)y=f(u)在區(qū)間(c,d)上是增函數(shù)，所以f(u1)f(u2),即fg(x1)ff(x2)，故函數(shù)y=fg(x)在區(qū)間(a,b)上是增函數(shù).師：有了這個引理，我們能不能解決所有復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問題呢?生：不能.因為并非所有的簡單函數(shù)都是某區(qū)間上的增函數(shù).師：你答復(fù)得很好.因此，還需增加一些引理，使得求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間更容易些.(教師可以根據(jù)學(xué)生情況和時間決定引理2是否在引理1的根底上做些改動即可.建議引理2的證明也是改動引理1的局部證明過程就行了.)引理2 函數(shù)y=fg(x).假設(shè)u=g(x)在區(qū)間(a,b)上是減函數(shù)，

6、其值域為(c，d)，又函數(shù)y=f(u)在區(qū)間(c,d)上是減函數(shù)，那么，復(fù)合函數(shù)y=fg(x)在區(qū)間(a,b)上是增函數(shù).證明 在區(qū)間(a,b)內(nèi)任取兩個數(shù)x1,x2，使ax1x2b.因為函數(shù)u=g(x)在區(qū)間(a,b)上是減函數(shù)，所以g(x1)g(x2),記u1=g(x1),u2=g(x2)即u1u2,且u1,u2(c,d).因為函數(shù)y=f(u)在區(qū)間(c,d)上是減函數(shù)，所以f(u1)f(u2),即fg(x1)ff(x2)，故函數(shù)y=fg(x)在區(qū)間(a,b)上是增函數(shù).師：我們明白了上邊的引理及其證明以后，剩下的引理我們自己也能寫出了.為了記憶方便，咱們把它們總結(jié)成一個圖表.(板書)師：

7、你準備怎樣記這些引理?有規(guī)律嗎?(由學(xué)生自己總結(jié)出規(guī)律：當兩個函數(shù)的單調(diào)性一樣時，其復(fù)合函數(shù)是增函數(shù)；當兩個函數(shù)的單調(diào)性不同時，其復(fù)合函數(shù)為減函數(shù).)師：由于中學(xué)的教學(xué)要求，我們這里只研究y=f(u)為u的單調(diào)函數(shù)這一類的復(fù)合函數(shù).做例題前，全班先討論一道題目.(板書).例1 求以下函數(shù)的單調(diào)區(qū)間： y=log4(x24x+3)師：咱們第一次接觸到求解這種類型問題，由于對它的解題步驟、書寫格式都不太清楚，我們先把它寫在草稿紙上，待討論出正確的結(jié)論后再往筆記本上寫.師：下面誰說一下自己的答案?生：這是由 y=log4u與u=x24x+3構(gòu)成的一個復(fù)合函數(shù)，其中對數(shù)函數(shù) y=log4u在定義域(0

8、，+)上是增函數(shù)，而二次函數(shù)u=x24x+3，當x(，2)時，它是減函數(shù)，當x(2，+)時，它是增函數(shù)，.因此，根據(jù)今天所學(xué)的引理知，(，2)為復(fù)合函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；(2，+)為復(fù)合函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.師：大家是否都同意他的結(jié)論?還有沒有不同的結(jié)論?我可以告訴大家，他的結(jié)論不正確.大家再討論一下，正確的結(jié)論應(yīng)該是什么?生：生：我發(fā)現(xiàn)，當x=1時，原復(fù)合函數(shù)中的對數(shù)函數(shù)的真數(shù)等于零，于是這個函數(shù)沒意義.因此，單調(diào)區(qū)間中不應(yīng)含原函數(shù)沒有意義的x的值.師：你說得很好，怎樣才能做到這點呢?生：先求復(fù)合函數(shù)的定義域，再在定義域內(nèi)求單調(diào)區(qū)間.師：非常好.我們研究函數(shù)的任何性質(zhì)，都應(yīng)該首先保證這個函數(shù)有意義，

9、否那么，函數(shù)都不存在了，性質(zhì)就更無從談起了.剛剛的第一個結(jié)論之所以錯了，就是因為沒考慮對數(shù)函數(shù)的定義域.注意，對數(shù)函數(shù)只有在有意義的情況下，才能討論單調(diào)性.所以，當我們求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，第一步應(yīng)該怎么做?生：求定義域.師：好的.下面我們把這道題作為例1寫在筆記本上，我在黑板上寫.(板書)解 設(shè) y=log4u,u=x24x+3.由 u0, u=x24x+3，解得原復(fù)合函數(shù)的定義域為x1或x3.師：這步咱們大家都很熟悉了，是求復(fù)合函數(shù)的定義域.下面該求它的單調(diào)區(qū)間了，怎樣求解，才能保證單調(diào)區(qū)間落在定義域內(nèi)呢?生：利用圖象.師：這種方法完全可以.只是再說清楚一點，利用哪個函數(shù)的圖象?可咱們并

10、沒學(xué)過畫復(fù)合函數(shù)的圖象啊?這個問題你想如何解決?生：師：我來幫你一下.所有的同學(xué)都想想，求定義域也好，求單調(diào)區(qū)間也好，是求x的取值范圍還是求復(fù)合函數(shù)的函數(shù)值的取值范圍?或是求中間量u的取值范圍?生：求x的取值范圍.師：所以我們只需畫x的范圍就行了，并不要畫復(fù)合函數(shù)的圖象.(板書)師：當x(，1)時，u=x24x+3為減函數(shù)，而y=log4u為增函數(shù)，所以(，1)是復(fù)合函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；當x(3，±)時，u=x24x+3為增函數(shù)y=log4u為增函數(shù)，所以，(3，+)是復(fù)合函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.師：除了這種方法，我們還可以利用代數(shù)方法求解單調(diào)區(qū)間.下面先求復(fù)合函數(shù)單調(diào)減區(qū)間.(板書)u=x

11、24x+3=(x2)21,x3或x1，(復(fù)合函數(shù)定義域)x2 (u減)解得x1.所以x(，1)時，函數(shù)u單調(diào)遞減.由于y=log4u在定義域內(nèi)是增函數(shù)，所以由引理知：u=(x2)21的單調(diào)性與復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性一致，所以(，1)是復(fù)合函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間.下面我們求一下復(fù)合函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.(板書)u=x24x+3=(x2)21,x3或x1，(復(fù)合函數(shù)定義域)x2 (u增)解得x3.所以(3，+)是復(fù)合函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.師：下面咱們再看例2.(板書)例2 求以下復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間： y=log (2xx2)師：先在筆記本上準備一下，幾分鐘后咱們再一起看黑板，我再邊講邊寫.(板書)解 設(shè) y=logu

12、,u=2xx2.由 u0 u=2xx2解得原復(fù)合函數(shù)的定義域為0x2.由于y=logu在定義域(0，+)內(nèi)是減函數(shù)，所以，原復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性與二次函數(shù)u=2xx2的單調(diào)性正好相反.易知u=2xx2=(x1)2+1在x1時單調(diào)增.由 0x2 復(fù)合函數(shù)定義域 x1，(u增)解得0x1,所以(0，1是原復(fù)合函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間.又u=(x1)2+1在x1時單調(diào)減，由 x2， (復(fù)合函數(shù)定義域) x1， (u減)解得0x2,所以0，1是原復(fù)合函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.師：以上解法中，讓定義域與單調(diào)區(qū)間取公共局部，從而保證了單調(diào)區(qū)間落在定義域內(nèi).師：下面我們再看一道題目，還是自己先準備一下，就按照黑板上第一題的格式

13、寫.(板書)例3 求y=的單調(diào)區(qū)間.(幾分鐘后，教師找一個做得對的或根本做對的學(xué)生，由他口述他的全部解題過程，教師在黑板上寫，整個都寫完后，教師邊講邊肯定或修改學(xué)生的做法，以使所有同學(xué)再熟悉一遍解題思路以及格式要求.)解 設(shè)y=,u=76xx2,由 u0, u=76xx2解得原復(fù)合函數(shù)的定義域為7x1.因為y=在定義域0+內(nèi)是增函數(shù)，所以由引理知，原復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性與二次函數(shù)u=x26x+7的單調(diào)性一樣.易知u=-x2-6x+7=-(x+3)2+16在x-3時單調(diào)增加。由 -7x1,復(fù)合函數(shù)定義域 x-3,u增解得-7x-3.所以-7，3是復(fù)合函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.易知u=x26x+7=(x+3)

14、2+16在x3時單調(diào)減，由 7x1 (復(fù)合函數(shù)定義域) x3， (u減)解得3x1，所以3，1是復(fù)合函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間.師：下面咱們看最后一道例題，這道題由大家獨立地做在筆記本上，我叫一個同學(xué)到黑板上來做.(板書)例4 求y=的單調(diào)區(qū)間.(學(xué)生板書)解 設(shè)y=.由 uR, u=x22x1,解得原復(fù)合函數(shù)的定義域為xR.因為y=在定義域R內(nèi)為減函數(shù)，所以由引理知，二次函數(shù)u=x22x1的單調(diào)性與復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性相反.易知,u=x22x1=(x1)22在x1時單調(diào)減，由 xR, (復(fù)合函數(shù)定義域) x1， (u減)解得x1.所以(，1是復(fù)合函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.同理1，+)是復(fù)合函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間.師：黑

15、板上這道題做得很好.請大家都與黑板上的整個解題過程對一下.師：下面我小結(jié)一下這節(jié)課.本節(jié)課講的是復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性.大家注意：單調(diào)區(qū)間必須是定義域的子集，當我們求單調(diào)區(qū)間時，必須先求出原復(fù)合函數(shù)的定義域.另外，咱們剛剛學(xué)習(xí)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，做這類題目時，一定要按要求做，不要跳步.(作業(yè)均為補充題)作業(yè)求以下復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.1.y=log3(x22x);(答：(，0)是單調(diào)減區(qū)間，(2，+)是單調(diào)增區(qū)間.)2.y=log(x23x+2)；(答：(，1)是單調(diào)增區(qū)間，(2，+)是單調(diào)減區(qū)間.)3.y=,(答：2，是單調(diào)增區(qū)間，3是單調(diào)減區(qū)間.)4.y=;(答：(，0)，(0，+)均為單調(diào)增區(qū)間.

16、注意，單調(diào)區(qū)間之間不可以取并集.)5.y=;(答(，0)為單調(diào)增區(qū)間，(0，+)為單調(diào)減區(qū)間)6.y=,(答(，+)為單調(diào)減區(qū)間.)7.y=；(答：(0，+)為單調(diào)減區(qū)間.)8.y=；(答：(0，2)為單調(diào)減區(qū)間，(2，4)為單調(diào)增區(qū)間.)9.y=；(答：(0，3)為單調(diào)減區(qū)間，(3，6)為單調(diào)增區(qū)間.)10.y=；(答(，1)為單調(diào)增區(qū)間，(1，+)為單調(diào)減區(qū)間.)課堂教學(xué)設(shè)計說明1.復(fù)習(xí)提問簡單函數(shù)的單調(diào)性.2.復(fù)習(xí)提問復(fù)合函數(shù)的定義.3.引出并證明一個引理，用表格的形式給出所有的引理.4.對于例1，教師要帶著學(xué)生分析，著重突出單調(diào)區(qū)間必須是定義域的子集.例2中的第一題，還是以教師講解為主.例2中的第二題，過渡到以學(xué)生講述自己解法為主.例2中的第三題，以學(xué)生獨立完成為主.5.小結(jié)，作業(yè).我為什么要采取這幾個環(huán)節(jié)呢?因為從以往的經(jīng)歷看，當要求學(xué)生求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，他往往不考慮這個函數(shù)的定義域，而這種錯誤又很頑固，不