四年級上冊找規(guī)律（二）例題講解

1、. 第8講 找規(guī)律二整數(shù)a與它本身的乘積，即a×a叫做這個數(shù)的平方，記作a2，即a2a×a；同樣，三個a的乘積叫做a的三次方，記作a3，即a3a×a×a。一般地，n個a相乘，叫做a的n次方，記作an，即本講主要講an的個位數(shù)的變化規(guī)律，以及an除以某數(shù)所得余數(shù)的變化規(guī)律。因為積的個位數(shù)只與被乘數(shù)的個位數(shù)和乘數(shù)的個位數(shù)有關，所以an的個位數(shù)只與a的個位數(shù)有關，而a的個位數(shù)只有0，1，2，9共十種情況，故我們只需討論這十種情況。為了找出一個整數(shù)a自乘n次后，乘積的個位數(shù)字的變化規(guī)律，我們列出下頁的表格，看看a，a2，a3，a4，的個位數(shù)字各是什么。

2、從表看出，an的個位數(shù)字的變化規(guī)律可分為三類：1當a的個位數(shù)是0，1，5，6時，an的個位數(shù)仍然是0，1，5，6。2當a的個位數(shù)是4，9時，隨著n的增大，an的個位數(shù)按每兩個數(shù)為一周期循環(huán)出現(xiàn)。其中a的個位數(shù)是4時，按4，6的順序循環(huán)出現(xiàn)；a的個位數(shù)是9時，按9，1的順序循環(huán)出現(xiàn)。3當a的個位數(shù)是2，3，7，8時，隨著n的增大，an的個位數(shù)按每四個數(shù)為一周期循環(huán)出現(xiàn)。其中a的個位數(shù)是2時，按2，4，8，6的順序循環(huán)出現(xiàn)；a的個位數(shù)是3時，按3，9，7，1的順序循環(huán)出現(xiàn)；當a的個位數(shù)是7時，按7，9，3，1的順序循環(huán)出現(xiàn)；當a的個位數(shù)是8時，按8，4，2，6的順序循環(huán)出現(xiàn)。例1 求67999的個

3、位數(shù)字。分析與解：因為67的個位數(shù)是7，所以67n的個位數(shù)隨著n的增大，按7，9，3，1四個數(shù)的順序循環(huán)出現(xiàn)。999÷42493，所以67999的個位數(shù)字與73的個位數(shù)字一樣，即67999的個位數(shù)字是3。例2 求291+3291的個位數(shù)字。分析與解：因為2n的個位數(shù)字按2，4，8，6四個數(shù)的順序循環(huán)出現(xiàn)，91÷4223，所以，291的個位數(shù)字與23的個位數(shù)字一樣，等于8。類似地，3n的個位數(shù)字按3，9，7，1四個數(shù)的順序循環(huán)出現(xiàn)，291÷4723，所以3291與33的個位數(shù)一樣，等于7。最后得到291+3291的個位數(shù)字與8+7的個位數(shù)字一樣，等于5。例3 求28

4、128-2929的個位數(shù)字。解：由128÷432知，28128的個位數(shù)與84的個位數(shù)一樣，等于6。由29÷2141知，2929的個位數(shù)與91的個位數(shù)一樣，等于9。因為69，在減法中需向十位借位，所以所求個位數(shù)字為1697。例4 求以下各除法運算所得的余數(shù)：17855÷5；2555÷3。分析與解：1由55÷4133知，7855的個位數(shù)與83的個位數(shù)一樣，等于2，所以7855可分解為10×a2。因為10×a能被5整除，所以7855除以5的余數(shù)是2。2因為a÷3的余數(shù)不僅僅與a的個位數(shù)有關，所以不能用求555的個位數(shù)的方

5、法求解。為了尋找5n÷3的余數(shù)的規(guī)律，先將5的各次方除以3的余數(shù)列表如下：注意：表中除以3的余數(shù)并不需要計算出5n，然后再除以3去求，而是用上次的余數(shù)乘以5后，再除以3去求。比方，52除以3的余數(shù)是1，53除以3的余數(shù)與1×5=5除以3的余數(shù)一樣。這是因為523×8+1，其中3×8能被3整除，而53=3×8+1×5=3×8×5+1×5，3×8×5能被3整除，所以53除以3的余數(shù)與1×5除以3的余數(shù)一樣。由上表看出，5n除以3的余數(shù)，隨著n的增大，按2，1的順序循環(huán)出現(xiàn)。由55÷2=271知，555÷3的余數(shù)與51÷3的余數(shù)一樣，等于2。例5 某種細菌每小時分裂一次，每次1個細茵分裂成3個細菌。20時后，將這些細菌每7個分為一組，還剩下幾個細菌？分析與解：1時后有1×3=31個細菌，2時后有31×3=32個細菌20時后，有320個細菌，所以此題相當于“求320÷7的余數(shù)。由例42的方法，將3的各次方除以7的余數(shù)列表如下：由上表看出，3n÷7的余數(shù)以六個數(shù)為周期循環(huán)出現(xiàn)。由20÷632知，320÷7的余數(shù)與32÷7的余數(shù)一