微積分 微分方程

1、一、教學(xué)目標(biāo)及基本要求（1） 了解微分方程及其解、通解、初始條件和特解的概念。（2） 掌握變量可分離的方程和一階線性方程的解法，會(huì)解齊次方程。（3） 會(huì)用降階法解下列方程：。（4） 理解二階線性微分方程解的性質(zhì)以及解的結(jié)構(gòu)定理。（5） 掌握二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法，并會(huì)解某些高于二階的常系數(shù)齊次線性微分方程。（6） 會(huì)求自由項(xiàng)多項(xiàng)式、指數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)，以及它們的和與二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解和通解。（7） 會(huì)用微分方程解決一些簡單的應(yīng)用問題。二、本章教學(xué)內(nèi)容的重點(diǎn)和難點(diǎn)1、理解和熟悉微分方程的一些基本概念；2、掌握一階和高階微分方程的各種初等積分法；3、熟悉線性方程

2、的基礎(chǔ)理論，掌握常系數(shù)二階線性齊次與非齊次方程的解法；4、會(huì)列微分方程及其始值問題去解決實(shí)際問題。三、本章教學(xué)內(nèi)容的深化和拓寬：1、分離變量法的理論根據(jù)；2、常用的變量代換；3、怎樣列微分方程解應(yīng)用題；4、黎卡提方程；5、全微分方程的推廣；6、二階齊次方程；7、高階微分方程的補(bǔ)充；8、求線性齊次方程的另一個(gè)線性無關(guān)的解；9、求線性非齊次方程的一個(gè)特解；10、常數(shù)變易法。本章的思考題和習(xí)題解下列方程（第1-6題）1、2、可微3、4、5、6、7、已知可微函數(shù)滿足；8、已知；9、求與曲線族相交成角的曲線；10、一容器的容積為100L，盛滿鹽水，含10kg的鹽，現(xiàn)以每分鐘3L的速度向容器內(nèi)注入淡水沖淡

3、鹽水，又以同樣的速度將鹽水抽入原先盛滿淡水的同樣大小的另一容器內(nèi)，多余的水便從容器內(nèi)流出，問經(jīng)過多少時(shí)間，兩容器內(nèi)的含鹽量相等？§微分方程的基本概念一、內(nèi)容要點(diǎn)：先從實(shí)例引入建立幾個(gè)微分方程的模型，引入微分方程的一系列概念；常微分方程：常微分方程的階數(shù)、解、通解、全部解、特解、積分曲線族的定義；二、教學(xué)要求和注意點(diǎn)了解微分方程與微分方程的階、解、通解、初始條件和特解以及積分曲線說明1：一個(gè)微分方程加上初始條件和初值問題的解是對(duì)某實(shí)際問題兩種等價(jià)的描述形式。前者強(qiáng)調(diào)的是運(yùn)動(dòng)的過程，是系統(tǒng)的機(jī)理；后者強(qiáng)調(diào)的則是運(yùn)動(dòng)的結(jié)果，是系統(tǒng)的輸出。說明2：可分離變量的微分方程雖然簡單，但它是求解各種

4、微分方程的基礎(chǔ)，要求學(xué)生必須熟練掌握。定義1：稱含有導(dǎo)數(shù)或微分的方程為微分方程，并稱方程種最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)為方程的階數(shù)。如： 二階方程；一階方程；三階方程，等等講方程，都是為了解方程，前兩個(gè)方程不好解，第三個(gè)方程好解。解之，方程兩邊三次積分，得方程的解（為任意常數(shù)）。當(dāng)時(shí)，也滿足方程?？梢姲怂械慕獾男问健t稱它為通解。定義2：稱滿足微分方程的函數(shù)為方程的解。若方程的解種含有相互獨(dú)立的任意常數(shù)，常數(shù)的個(gè)數(shù)恰好等于方程的階數(shù)，則稱此解為方程的通解；稱不含任意常數(shù)的解為方程的特解。注1:通解與特解只是方程的兩類解，一階方程的解要么是通解，要么是特解注2：一階方程的幾種形式：一般形式：，從這個(gè)方

5、程種有可能解出，也有可能解不出來；一階顯式方程：；對(duì)稱形式：或注3：在一階方程種，和的關(guān)系是等價(jià)的.因此，有時(shí)可將看成函數(shù)，看做變量。§9.2可分離變量的微分方程一、內(nèi)容要點(diǎn)：可分離變量的方程及其他可化為變量可分離的方程的定義及解法。本單元的講課提綱：然后再講具體的類型與解法可分離變量的方程與分離變量法。重點(diǎn)是微分方程的階、通解與特解等概念，分離變量法。難點(diǎn)是利用微分方程建立數(shù)學(xué)模型關(guān)鍵是判別可分離變量方程的方法，以及具體積分方法。二、教學(xué)要求和注意點(diǎn)掌握可分離變量微分方程的解法注意問題：通常只表示一個(gè)原函數(shù)，積分常數(shù)C有時(shí)寫成定義1：稱能改寫為形式：的一階方程為可分離變量方程。注：

6、不是所有的方程都能這樣，故可分離變量方程為一階線性方程的特殊情況。定理1：若，則的通解為證： （1）先證是方程的解。兩邊對(duì)求導(dǎo)，得，即故是方程的解 （2）設(shè)是方程的任一解，則兩邊關(guān)于積分，得 又 是的一個(gè)原函數(shù)，是的一個(gè)原函數(shù)則，即在中所以，為的通解。注1:可分離變量方程的解法：先分離變量，再兩邊積分，即得通解。注2：用來確定通解中的任意常數(shù)的條件，稱為方程的初始條件。【例1】 求的通解，并求滿足初始條件的特解。解：方程可變?yōu)椋瑑蛇叿e分，得即 為方程的通解。又，代入，得 即滿足初始條件的特解為 【例2】 求的通解。解：由，分離變量，得，兩邊積分，得，即為方程的隱式通解。二、可化為齊次方程的方程

7、經(jīng)變換將行如方程化為齊次方程。【例3】 求的通解。解：令，則令 即 方程變?yōu)椋?，令 代入，得，積分，得 ，由 代回，得通解為： （其中為任意常數(shù)）§9.3齊次方程內(nèi)容要點(diǎn)： 齊次方程的定義及求解公式，可化為齊次方程的定義以及解法本單元的講課提綱 齊次方程的判別和解法不算困難，難在尋找相應(yīng)的變量代換的問題，變量代換法比較靈活，可多舉一些各類型的例題，讓學(xué)生多見識(shí)一些變量代換，以便學(xué)生活躍思路，積累經(jīng)驗(yàn)。重點(diǎn)是齊次方程與變量代換法，難點(diǎn)是尋找變量代換。作業(yè)：同步訓(xùn)練習(xí)題一、齊次方程定義1：稱能改寫成形式：的微分方程為一階齊次方程。我們下面來看看齊次方程解的情形：令，即，代入方程，得，分

8、離變量，得兩邊積分，解出，再將回代，即得通解。【例1】 求 的通解。解：原方程可化為，令，即，代入方程，得，化簡 積分，得 ，將回代，得通解為二、可化為齊次方程的方程經(jīng)變換將行如方程化為齊次方程。【例4】 求的通解。解：令，則令 即 方程變?yōu)椋?，令 代入，得，積分，得 ，由 代回，得通解為： （其中為任意常數(shù)）§9.4 一階線性微分方程一、內(nèi)容要點(diǎn)： 一階線性微分方程的形式及求解公式，伯努利方程的形式及解法本單元的講課提綱 （1）講線性非齊次的一階方程的解法時(shí)，要交待變易常數(shù)的想法并加強(qiáng)練習(xí)，這對(duì)今后講二階線性方程和線性方程組的常數(shù)變易法是有益的。 （2）導(dǎo)出線性非齊次一階方程的求

9、通解公式以后，可順利導(dǎo)出滿足條件的特解公式，還應(yīng)指出兩點(diǎn)：第一，當(dāng)時(shí)，線性方程的解總可通過兩次積分求得，第二，揭示通解結(jié)構(gòu)。重點(diǎn)是解線性非齊次方程的公式法與常數(shù)變易法。難點(diǎn)是伯努利方程。關(guān)鍵是套求解公式或常數(shù)變易法及湊微分或令z解伯努利方程。二、教學(xué)要求和注意點(diǎn)1、知道解一階線性微分方程的常數(shù)變易法，并掌握一階非齊次線性方程的通解公式。2、 知道一階非齊次線性方程的通解為對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解和非齊次方程的一個(gè)特解之和3、齊次方程與線性齊次方程的作用一、 一階線性微分方程定義1：稱可轉(zhuǎn)化為形式： (1)的方程為一階線性方程；若，則（1）式稱為一階線性齊次方程；，（1）式稱為一階線性非齊次方程。

10、下面我們來看看方程（1）的解的情形：先看齊次方程： （2） 顯然是可分離變量方程。得，兩邊積分，得 （3）為一階線性齊次方程（2）的通解。 下面我們求（1）的解，由方程（1）和（2）形式的相似性，那它們的解也具有某種相似性。我們用一種常數(shù)變易法來求（1）的解：假設(shè)為非齊次方程(1)的解，代入方程，得則， 積分，得 則 （4）即為方程（1）的通解?！纠?】求的通解。解：由于為一階線性非齊次方程，且，代入（4），得其通解為例2 求的通解。解： 若將看成函數(shù)，作為變量，此方程不是一階線性方程。故將看成函數(shù)，作為變量，則原方程化為： 進(jìn)一步化簡，為一階線性方程，代入（4），得方程的通解為 。二、 貝努

11、力方程可化為一階線性方程的方程定義2：稱形如：的方程為一階貝努力方程。下面我們看看貝努力方程的解的情形：將方程變形為 ，令，則方程化為，為一階線性方程，故可用上述方法求解，最后將代回，即得通解?！纠?】求的通解。解：將方程變形，得 ，為貝努力方程。令，代入，利用（4），得 ，又，所以 為原方程的通解。§9.5全微分方程一、內(nèi)容要點(diǎn)：全微分方程的定義及其條件，解的表達(dá)式常見的積分因子。本單元的講課提綱 1、全微分方程的解法關(guān)鍵在于首先將方程寫成驗(yàn)證如果成立，則可把上式寫成解為,求有下列三種方法：1）線積分法 2）偏積分法 3）分組觀察湊全微分法2、若中，則可以尋求一個(gè)積分因子，使得，即

12、存在使得從而是通解。二、教學(xué)要求和注意點(diǎn)判斷和求解全微分方程的方法；尋找積分因子的分組觀察法；定義1：如果存在可微函數(shù)，使，則稱微全微分方程。命題：（1）為全微分方程 （2）的通解為 ，其中?！纠?】求的通解。解：令，由于，故方程為全微分方程所以二、可化為全微分方程的方程積分因子定義2：設(shè)不是全微分方程，如果存在可微函數(shù)使為全微分方程，則稱為原方程的積分因子。注：積分因子不唯一，而且一般也沒有什么固定的方法求解積分因子，故只有多積累才能有效的解題?！纠?】（1） ； （2）解：（1） （2） §9.6 可降階的高階微分方程一、內(nèi)容要點(diǎn)： 可降階的高階微分方程的三種類型：，找出解的表達(dá)

13、式及解法。 本單元的講課提綱：1、關(guān)于高階微分方程的解法 求解的思路是通過變量代換把高階方程的求解化為較低階方程求解，教材介紹了三種可降階方程的類型，對(duì)于不屬于這三類方程的特殊高階方程有時(shí)也能通過換元或者全微分等手段變成這三種類型進(jìn)行求解。2、 只需逐步積分即可求解，在求積分過程中每次都需增加一個(gè)常數(shù)，最后的解應(yīng)包含n個(gè)常數(shù)。3、可降階的二階微分方程 通常的二階微分方程為，有四個(gè)變數(shù)，僅當(dāng)缺少時(shí)一定可以降階求解。二、教學(xué)要求和注意點(diǎn)解方程中令的作用，的導(dǎo)出過程說明1：求解全微分方程可暫不引入偏導(dǎo)數(shù)概念，對(duì)x求導(dǎo)時(shí)把y看成常數(shù)即可，對(duì)積分因子只須介紹用目測可以解決的簡單情形；對(duì)于全微分的原函數(shù)概

14、念可在格林公式以后介紹。說明2：高階線性微分方程的應(yīng)用背景非常廣泛，要針對(duì)不同的專業(yè)選擇不同的問題引入課題，這樣能使學(xué)生對(duì)微分方程的學(xué)習(xí)產(chǎn)生興趣。定義1：稱二階及二階以上的微分方程為高階微分方程。一、連續(xù)積分n次即得其通解?！纠?】連續(xù)積分兩次，得，二、跟標(biāo)準(zhǔn)形式相比，缺少。令，則，則，設(shè)其通解為則 ，兩邊積分即得通解?！纠?】求的通解。解：令令，則，則 （一階線性方程）利用（4），得通解： 又，所以通解三、缺少令，則，代入，得設(shè)其通解為，則，即，積分即得。【例3】， 求特解。解：令，則，從而 ，積分，得 由，得所以 由知所以 由知【例5】 求的通解。 解：此題既缺少，又缺少。從理論上，按以上

15、兩種方法都能算出結(jié)果，但可能難度有差別。此題課堂上當(dāng)場做，檢查學(xué)生的能力。§9.7高階線性微分方程一、內(nèi)容要點(diǎn)： 二階線性微分方程的解的結(jié)構(gòu)，高階線性微分方程的解的結(jié)構(gòu)，常數(shù)變易法，函數(shù)組線性無關(guān)的充分必要條件。本單元的教學(xué)提綱1、關(guān)于二階線性微分方程的解的結(jié)構(gòu)齊次線性方程和非齊次線性方程都有解的可加性。非齊次線性方程的通解可表示為一個(gè)特解與相應(yīng)齊次線性方程的通解之和。線性方程的通解包括了該方程的所有解。2、關(guān)于二階線性方程只須知道齊次方程的一個(gè)特解，則利用常數(shù)變易法可求出它的全部解。3、對(duì)于二階非齊次線性方程而言，若相應(yīng)的二階齊次線性方程的通解為，也可用常數(shù)變易法找出其特解。本單元

16、的作業(yè)：二、教學(xué)要求和注意點(diǎn)二階線性齊次方程中，通解中所含特解的線性無關(guān)性一、 函數(shù)的線性相關(guān)與線性無關(guān)定義1：設(shè)是定義在區(qū)間I上的函數(shù)，如果存在不全為零的數(shù)，使得則稱在區(qū)間I上線性相關(guān)。否則，稱在區(qū)間I上線性無關(guān)。命題1：設(shè)是定義在I上的函數(shù)，則線性無關(guān)不恒為常數(shù)。注1:若線性無關(guān)，則無法合并成，但當(dāng)線性相關(guān)可以合并。二、 二階線性微分方程及其解的結(jié)構(gòu)定義2：稱形如：的方程為二階線性非齊次方程。若，則方程為齊次的，若，則稱方程為非齊次的。定理1：設(shè)是的兩個(gè)線性無關(guān)的解，則為方程的通解。定理2：設(shè)是的特解。是對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解，則是的通解。定理3：設(shè)，分別是與，則是的解?！纠?】設(shè)是某二階線

17、性非齊次方程的解，求該方程的通解。解：，又不恒為常數(shù)所以，線性無關(guān)。故通解為§9.8常系數(shù)齊次線性微分方程內(nèi)容要點(diǎn)： 二階常系數(shù)齊次線性方程的定義，特征方程、通解、n階常系數(shù)齊次線性方程的定義，特征方程、通解。本單元的講課提綱 高階微分方程一般都很難求得通解，只有常系數(shù)線性微分方程的解法已經(jīng)完全解決，一般形式可寫成其中是常數(shù)，由于假設(shè)為它的解，經(jīng)求導(dǎo)代入方程消去后得到的相應(yīng)的特征方程這是n次方程，它一定有n個(gè)根，其中可以是k重實(shí)根，也可以是k重共軛復(fù)根，每一個(gè)都對(duì)應(yīng)齊次方程的一個(gè)特解，共得到n個(gè)線性無關(guān)的特解，利用線性微分方程解的結(jié)構(gòu)，可構(gòu)成n個(gè)任意常數(shù)的通解。本單元的作業(yè)：說明1：

18、 把求解常系數(shù)線性齊次微分方程的問題化成求解多項(xiàng)式代數(shù)方程的問題，這不僅僅是一種普通的求方程解的技巧，在線性控制系統(tǒng)中系統(tǒng)和不同的環(huán)節(jié)都可以用常系數(shù)線性微分方程來描述，用拉普拉斯變換導(dǎo)出它的傳遞函數(shù)也是一個(gè)多項(xiàng)式代數(shù)方程，這說明常系數(shù)線性齊次微分方程和多項(xiàng)式代數(shù)方程之間有著本質(zhì)上的聯(lián)系。通過對(duì)多項(xiàng)式代數(shù)方程的分析，可以得到控制系統(tǒng)的特性。說明2：用特征方程求解常系數(shù)線性齊次微分方程要求熟練一、 二階常系數(shù)線性齊次方程的解二、 定義:稱形如 (1),其中為常數(shù)的方程為二階常系數(shù)線性齊次方程.下面我們來討論其解的結(jié)構(gòu).命題1: 是的解是的解,并稱(2)是(1)的特征方程.(i) 當(dāng)特征方程(2)有兩個(gè)不同的實(shí)根時(shí),則,時(shí)方程(1)的兩個(gè)解,且不恒為常數(shù),從而方程(1)的通解為.(ii) 當(dāng)時(shí),則.設(shè),代入(1)得 ,所以則 取,則通解為: (iii) 當(dāng),則,應(yīng)用歐拉公式,得, 構(gòu)造 顯然線性無關(guān),故通解為: 例1 求通解 (1) (2) (3) 解: (1) 特征方程為 則從而通解為 (2) 特征方程為 則從而通解為 (3) 特征方程為 則從而通解為 (1)特征方程為 (2)(i) 當(dāng)(2)中有單根時(shí),(1)的通解中含:;(ii) 當(dāng)(2)中有重根時(shí),(1)的通解中含: (iii) 當(dāng)(2)中有一對(duì)單復(fù)根時(shí),(1)的通解中含: (iv) 當(dāng)(2)中有重單復(fù)根時(shí),(1)中