微積分下復(fù)習(xí)大綱

1、多元函數(shù)的基本概念教學(xué)目標(biāo)：掌握多元函數(shù)的概念，掌握二元函數(shù)的幾何表示、極限、連續(xù)的概念，以及有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì).重點(diǎn)：多元函數(shù)的極限、多元函數(shù)的連續(xù)性難點(diǎn)：多元函數(shù)的連續(xù)性教學(xué)活動：一 多元函數(shù)的概念1、平面點(diǎn)集（鄰域、聚點(diǎn)、區(qū)域），n維空間2、二元函數(shù)的概念（定義、圖形）3、例題例1 求函數(shù)的定義域例2求 的定義域例3 設(shè) 試確定f 及z.例4 設(shè)二 多元函數(shù)的極限1、定義注：二元函數(shù)極限與一元函數(shù)極限的區(qū)別和聯(lián)系（1）二元函數(shù)的極限也叫二重極限（2）函數(shù)在 點(diǎn)的極限存在與該函數(shù)在此點(diǎn)是否有定義沒有關(guān)系。（3）定義中的方式是任意的；（4）二元函數(shù)的極限運(yùn)算法則與一元函數(shù)類似（5）二

2、重極限 與累次極限 不同. 如果它們都存在, 則三者相等.僅知其中一個存在,推不出其它二者存在.2、例題例5求證例6求極限二元函數(shù)求極限的方法：總的原則是化為一元函數(shù)的極限。常用的有：定義、代換成一元函數(shù)、夾逼準(zhǔn)則、重要極限、應(yīng)用連續(xù)性等。例7 求下列極限3、確定極限不存在的方法：（1）令沿趨向于，若極限值與有關(guān)，則可斷言極限不存在；（2）找兩種不同趨近方式，使存在，但兩者不相等，此時也可斷言在點(diǎn)處極限不存在例8證明下列極限不存在三 多元函數(shù)的連續(xù)性1、定義（連續(xù)、間斷點(diǎn)）2、例題例9討論函數(shù) 在(0,0)處的連續(xù)性例10討論函數(shù) 在(0,0)的連續(xù)性注：注意以上兩例的討論方法3、性質(zhì)（1）

3、最大最小值定理（2） 介值定理（3） 一致連續(xù)性定理四 小結(jié)1、多元函數(shù)極限的概念（注意趨近方式的任意性）2、多元函數(shù)連續(xù)的概念3、閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)偏導(dǎo)數(shù)教學(xué)目標(biāo)：1、理解多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的概念，掌握偏導(dǎo)數(shù)和高階偏導(dǎo)數(shù)的求法.2、了解偏導(dǎo)數(shù)存在與連續(xù)的關(guān)系以及的幾何意義，了解混合偏導(dǎo)數(shù)與求導(dǎo)次序無關(guān)的充分條件.重點(diǎn)：偏導(dǎo)數(shù)的概念難點(diǎn)：偏導(dǎo)數(shù)計算教學(xué)活動：一 偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計算法1、定義注意:2、例題例1求在點(diǎn)(1,2)處的偏導(dǎo)數(shù)例2設(shè)求證：例3設(shè)求例4已知理想氣體的狀態(tài)方程（為常數(shù)），求證：.3、有關(guān)偏導(dǎo)數(shù)的幾點(diǎn)說明：（1） 偏導(dǎo)數(shù)是一個整體記號，不能拆分;（2） 求分界點(diǎn)、不連續(xù)點(diǎn)處的

4、偏導(dǎo)數(shù)要用定義求；（3） 偏導(dǎo)數(shù)存在與連續(xù)的關(guān)系一元函數(shù)中在某點(diǎn)可導(dǎo)則該點(diǎn)連續(xù)，而多元函數(shù)中在某點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在，則未必在該點(diǎn)連續(xù)，（4）偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義：偏導(dǎo)數(shù)就是曲面被平面所截得的曲線在點(diǎn)處的切線對軸的斜率. 偏導(dǎo)數(shù)就是曲面被平面所截得的曲線在點(diǎn)處的切線對軸的斜率.例6 曲線,在點(diǎn)(2,4,5)處的切線與正向軸所成的傾角是多少?二 高階偏導(dǎo)數(shù)1、例題例7設(shè)，求例8設(shè)，求二階偏導(dǎo)數(shù).2、問題：混合偏導(dǎo)數(shù)都相等嗎？具備怎樣的條件才能使混合偏導(dǎo)數(shù)相等？3、定理 如果函數(shù)的兩個二階混合偏導(dǎo)數(shù)及在區(qū)域 D內(nèi)連續(xù)，那末在該區(qū)域內(nèi)這兩個二階混合偏導(dǎo)數(shù)必相等三 小結(jié)1、偏導(dǎo)數(shù)的定義（偏增量比的極限）2、偏導(dǎo)數(shù)

5、的計算、偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義3、高階偏導(dǎo)數(shù)（混合偏導(dǎo)相等的條件）四 思考題若函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)，能否斷定在點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)必定存在？ 全微分教學(xué)目標(biāo)：1、理解多元函數(shù)全微分的概念，掌握全微分的求法.2、理解全微分存在的必要條件和充分條件，了解全微分在近似計算中的應(yīng)用.重點(diǎn)：全微分的概念難點(diǎn)：可微的條件教學(xué)活動：一 全微分的定義1、全增量的概念2、全微分的定義二 可微的條件1、定理1（必要條件）說明：多元函數(shù)的各偏導(dǎo)數(shù)存在并不能保證全微分存在.2、定理（充分條件）3、例題例1計算函數(shù)在點(diǎn)(2,1)處的全微分.例2求函數(shù)，當(dāng)時的全微分.例3計算函數(shù)的全微分.例4試證函數(shù)在點(diǎn)(0,0)連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存在，但偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)

6、(0,0)不連續(xù)，而f在點(diǎn)(0,0)可微.注：可微與連續(xù)的關(guān)系：如果函數(shù)在點(diǎn)可微分, 則函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù). 即可微一定連續(xù)，但反之未必成立。4、全微分在近似計算中的應(yīng)用例5三 小結(jié)1、多元函數(shù)全微分的概念；2、多元函數(shù)全微分的求法；3、多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系（與一元函數(shù)有很大區(qū)別） 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則教學(xué)目標(biāo)：掌握各種情況下的多元復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的求法.重點(diǎn)難點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)教學(xué)活動：一 鏈?zhǔn)椒▌t1、定理1（中間變量均為一元函數(shù)）注：若定理中偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)減弱為偏導(dǎo)數(shù)存在, 則定理結(jié)論不一定成立.2、定理2（中間變量均為多元函數(shù)）3、例題例1設(shè)，而， 求和.例2設(shè)，而，求全導(dǎo)數(shù).例3設(shè)

7、求例4設(shè)，f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求和.例5 設(shè)的所有二階偏導(dǎo)連續(xù)，把下列表達(dá)式轉(zhuǎn)換為極坐標(biāo)系中的形式二 全微分形式不變性全微分形式不變形的實(shí)質(zhì)：無論是自變量的函數(shù)或中間變量的函數(shù)，它的全微分形式是一樣的.例；利用全微分形式不變性再解例1. 三 小結(jié)1、鏈?zhǔn)椒▌t（分三種情況）（特別要注意課中所講的特殊情況）2、全微分形式不變性（理解其實(shí)質(zhì)）四 思考題：設(shè)，而，則，試問與是否相同？為什么？ 多元函數(shù)極值及其求法教學(xué)目標(biāo)：1、理解多元函數(shù)極值和條件級值的概念，掌握多元函數(shù)極值存在的必要條件，了解多元函數(shù)極值存在的充分條件.2、掌握求二元函數(shù)的極值以及運(yùn)用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值的方法.3、會求二元函

8、數(shù)的最大值和最小值，并解決一些實(shí)際問題.重點(diǎn)難點(diǎn)：二元函數(shù)極值及其求法教學(xué)活動：一 問題的提出例：某商店賣兩種牌子的果汁，本地牌子每瓶進(jìn)價1元，外地牌子每瓶進(jìn)價元，店主估計，如果本地牌子的每瓶賣元，外地牌子的每瓶賣元，則每天可賣出瓶本地牌子的果汁，瓶外地牌子的果汁問：店主每天以什么價格賣兩種牌子的果汁可取得最大收益？二 多元函數(shù)的極值和最值1、二元函數(shù)極值的定義2、多元函數(shù)取得極值的條件（1）定理1（必要條件）注：仿照一元函數(shù)，凡能使一階偏導(dǎo)數(shù)同時為零的點(diǎn)，均稱為函數(shù)的駐點(diǎn).（2）（2）定理2（充分條件）3、多元函數(shù)的最值求最值的一般方法：將函數(shù)在D內(nèi)的所有駐點(diǎn)處的函數(shù)值及在D的邊界上的最大值

9、和最小值相互比較，其中最大者即為最大值，最小者即為最小值.4、例題三 條件極值拉格朗日乘數(shù)法1、條件極值：對自變量有附加條件的極值2、拉格朗日乘數(shù)法拉格朗日乘數(shù)法可推廣到自變量多于兩個的情況3、例題例1 例2例3求由方程確定的函數(shù)的極值。例4.討論函數(shù)及在點(diǎn)(0,0)是否取得極值.例5求二元函數(shù)在直線，X軸和Y軸所圍成的閉區(qū)域D例6求的最大值和最小值.例7將正數(shù)12分成三個正數(shù)之和使得為最大.例8在第一卦限內(nèi)作橢球面 的切平面，使切平面與三個坐標(biāo)面所圍成的四面體體積最小，求切點(diǎn)坐標(biāo).例9四 小結(jié)1、多元函數(shù)的極值（取得極值的必要條件、充分條件、求函數(shù)極值的一般步驟）2、多元函數(shù)的最值3、拉格朗

10、日乘數(shù)法五 思考題若及在點(diǎn)均取得極值，則在點(diǎn)是否也取得極值？二重積分的概念與性質(zhì)教學(xué)目的和要求：1、 通過對曲頂柱體體積以及平面薄片質(zhì)量的計算實(shí)例引入二重積分的概念，從中領(lǐng)會“有限到無限”、“特殊到一般”的數(shù)學(xué)思想，從而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)意識和利用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力。2、 使學(xué)生掌握二重積分的定義和性質(zhì)，并通過例題學(xué)會如何處理和解決相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題。重點(diǎn)：二重積分的概念教學(xué)過程：一、 問題的提出1、 幾何上，曲頂柱體體積的計算（1） 曲頂柱體的特征（2） 體積的計算方法2、 物理上，平面薄片質(zhì)量的求法注：讓學(xué)生比較兩個問題的共性（1） 解決問題的步驟相同，“大化小，常代變，近似和，取極限”（

11、2） 所求量的結(jié)構(gòu)式相同二、 二重積分的定義1、 定義注意問題（1） 二重積分的定義和定積分定義的區(qū)別與聯(lián)系（2） 在定義中，區(qū)域的劃分和點(diǎn)選取的任意性（3） 若用平行于坐標(biāo)軸的直線網(wǎng)劃分區(qū)域時，小區(qū)域面積的表達(dá)方式（4） 所劃分的小區(qū)域直徑的最大值趨于零和面積的最大值趨于零及所分小區(qū)域無窮多之間的關(guān)系（5） 二重積分的值只與被積函數(shù)和積分區(qū)域有關(guān)，與積分變量的寫法無關(guān)2、 二重積分存在的充分條件3、 二重積分的幾何意義三、 二重積分的性質(zhì)1、 線性性質(zhì)2、 積分區(qū)域的可加性3、 用二重積分求平面區(qū)域面積的公式4、 二重積分的比較性質(zhì)5、 二重積分的估值性質(zhì)6、 二重積分的中值定理四、 例題分

12、析例1：求，其中為圓域：注：本題考察對幾何意義的理解和運(yùn)用例2：不作計算，估計的值，其中為橢圓閉域：注：本題考察最值的求法和二重積分估值性質(zhì)的應(yīng)用。例3：比較積分與的大小，其中是三角形閉區(qū)域，三頂點(diǎn)各為注：本題考察二重積分比較性質(zhì)的應(yīng)用。強(qiáng)調(diào)區(qū)域相同被積函數(shù)不同；區(qū)域不同被積函數(shù)相同情況下的比較方法；同時也可判別積分值的正負(fù)。 二重積分的計算方法教學(xué)目的和要求：掌握二重積分的計算方法（直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)）重點(diǎn)：直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)下二重積分的計算。難點(diǎn)：1 坐標(biāo)系的選取。2 直角坐標(biāo)下積分次序的交換和對稱性的運(yùn)用。一利用直角坐標(biāo)計算二重積分：1型和型積分域的特點(diǎn)。注：一般區(qū)域總可以分割成型區(qū)域和型區(qū)

13、域。2積分限的確定方法：1）先畫出積分區(qū)域。2）定積分限的原則：先積后定限，外層常數(shù)見，域內(nèi)畫條線，先交寫下限，后交寫上限。3 二重積分的計算方法公式累次積分法。4 二重積分計算時注意的問題：1） 確定坐標(biāo)系選擇、選擇積分次序、確定積分限是關(guān)鍵。2） 注意何時、何類型的題目要交換積分次序。3） 如何利用奇偶性、對稱性簡化計算。4） 被積函數(shù)絕對值的處理：分塊積分；利用對稱性。5） 何時必須用分塊積分。5 例題分析：例1計算，其中是由圍成。注：1）積分域類型。2）積分限的確定。例2計算，其中是由圍成。注：1）積分域類型：既是型，又是型。2）比較兩種計算方法的難易，從而得到什么啟示？3）何時要分塊

14、？例3求，其中是以為頂點(diǎn)的三角形。注：1），這類無法用初等函數(shù)表示時，必須考慮積分次序。2）有時給出了定好限的積分，要求值時，往往考慮交換積分次序。3）由例2和例3，歸納何種類型題目要交換積分次序。例4設(shè)是以為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域，求。注：1）整個區(qū)域沒有對稱性，但若化分后即有對稱性。2）由于被積函數(shù)（或積分）有奇偶性，故據(jù)奇偶性將化分為對稱域。3）利用對稱性計算時應(yīng)注意的問題。例5求和，其中。注：1）如何利用對稱性。2）通過兩個題比較，你得到什么啟發(fā)？例6計算，其中。注：1）絕對值積分的處理。2）將化分的原則。例7求兩個底圓半徑相等的直交圓柱所圍成立體的體積。注：1）二重積分的幾何意義。2）被積

15、函數(shù)的表達(dá)式求法。3）對稱性的利用。4）積分限的確定。例8求球體被圓柱面所截得的（含在圓柱面內(nèi)的部分）立體的體積。注：1）被積函數(shù)表達(dá)式。2）利用對稱性簡單。3）不用對稱性時應(yīng)注意的事項(xiàng)。二利用極坐標(biāo)計算二重積分1 公式注：換成。2 積分限的確定：注：1）極點(diǎn)在之外。2）極點(diǎn)在之內(nèi)。3）極點(diǎn)在的邊界上。3 極坐標(biāo)計算適合的類型：1） 積分域?yàn)閳A域或圓域的一部分（包括環(huán)形域）。2） 被積函數(shù)含有的因子或?yàn)榈男问健? 例題分析：例1寫出的極坐標(biāo)二次積分形式，其中積分區(qū)域：1）。2）或。3）注：1）考察圓心在平面上不同位置時，的確定和的確定。2）定時，要從極點(diǎn)出發(fā)，從域內(nèi)做射線，善于從的邊界方程去解

16、 。例2計算，其中是中心在原點(diǎn)，半徑為的圓周所圍成的閉區(qū)域。注：1）先整理被積函數(shù)，將提出。2）典型的用極坐標(biāo)計算的題目。例3求，其中。注：1）從被積函數(shù)和區(qū)域的特點(diǎn)看要用極坐標(biāo)計算。2）可利用對稱性：，其中為在第一象限的部分。三小結(jié)：二重積分計算應(yīng)注意的問題：1 選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系。2 恰當(dāng)選擇積分次序。主要根據(jù)：積分區(qū)域的形狀（畫圖分析）；被積函數(shù)的特點(diǎn)。3 對稱性的應(yīng)用要求被積函數(shù)的奇偶性與積分域的對稱性同時具備才可以用。九、微分方程 微分方程的概念及一階微分方程的解法教學(xué)目標(biāo)：1、掌握微分方程概念（階、解、通解、初始條件、特解）以及積分曲線的概念.2、掌握可分離變量微分方程的解法.3、掌

17、握齊次方程和可化為齊次的方程的解法.重點(diǎn)：微分方程的概念及解法難點(diǎn)：微分方程的應(yīng)用教學(xué)活動：一 問題的提出1、例1 一曲線通過點(diǎn)(1,2),且在該曲線上任一點(diǎn)處的切線的斜率為,求這曲線的方程.2、例2 列車在平直的線路上以20米/秒的速度行駛,當(dāng)制動時列車獲得加速度米/秒2,問開始制動后多少時間列車才能停?。恳约傲熊囋谶@段時間內(nèi)行駛了多少路程？二 微分方程的概念1、定義2、分類（1）（2）（3）3、微分方程的解（1）特解（初始條件）（2）通解4、例題例3 驗(yàn)證:函數(shù)是微分方程的解. 并求滿足初始條件的特解.三 可分離變量的微分方程1、概念2、例題例1. 求微分方程 的通解.例2求微分方程滿足初

18、始條件的特解例3 衰變問題:衰變速度與未衰變原子含量成正比,已知,求衰變過程中鈾含量隨時間變化的規(guī)律.例4 解方程例5 試求滿足方程的例6有高為1米的半球形容器, 水從它的底部小孔流出, 小孔橫截面積為1平方厘米(如圖). 開始時容器內(nèi)盛滿了水, 求水從小孔流出過程中容器里水面的高度h(水面與孔口中心間的距離)隨時間t的變化規(guī)律.四 齊次方程1、概念52、例題例 1求解微分方程例 2求解微分方程例 3有旋轉(zhuǎn)曲面形狀的凹鏡，假設(shè)由旋轉(zhuǎn)軸上一點(diǎn)O發(fā)出的一切光線經(jīng)此凹鏡反射后都與旋轉(zhuǎn)軸平行，求這旋轉(zhuǎn)曲面的方程。實(shí)例: 車燈的反射鏡面-旋轉(zhuǎn)拋物面例4 求的通解。例5求的通解。五 可化為齊次的方程1、概念2、例題例1求的通解。例2 求解微分方程例3 求解微分方程 一階微分方程教學(xué)目標(biāo)：1、利用常數(shù)變易法求非齊次線性方程的通解，掌握一階線性微分方程的通解公式，根據(jù)初始條件會求特解.2、了解用變量代換求解方程的思想，掌握全微分方程的解法.重點(diǎn)：利用常數(shù)變易法求非齊次線性方程的通解難點(diǎn)：用變量代換求解方程教學(xué)活動：一 一階線性微分方程1、一階線性微分方