微積分之冪級(jí)數(shù)

1、注意：對(duì)于級(jí)數(shù)，當(dāng)收斂時(shí)，絕對(duì)收斂.例 證絕對(duì)收斂：令，則收斂收斂故 原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.§ 冪級(jí)數(shù)教學(xué)目的：弄清冪級(jí)數(shù)的相關(guān)概念；掌握冪級(jí)數(shù)收斂半徑、收斂區(qū)間、收斂域定義與求法；掌握冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)，能靈活正確運(yùn)用性質(zhì) 求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù).重難點(diǎn)：掌握冪級(jí)數(shù)收斂半徑、收斂區(qū)間、收斂域概念與求法；掌握冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)，能靈活正確運(yùn)用性質(zhì)求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)，以及常 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和.教學(xué)方法：?jiǎn)l(fā)式講授教學(xué)過(guò)程：一、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念1【定義】設(shè) 是定義在區(qū)間上的函數(shù),則 稱(chēng)為定義在區(qū)間上的(函數(shù)項(xiàng))無(wú)窮級(jí)數(shù).2收斂域(1) 收斂點(diǎn) 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 收斂；(2) 發(fā)散點(diǎn)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 發(fā)散；(3) 收斂域 函數(shù)項(xiàng)級(jí)

2、數(shù)的所有收斂點(diǎn)形成的集合；(4) 發(fā)散域的發(fā)散點(diǎn)的全體構(gòu)成的集合.3和函數(shù),.若函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在收斂域內(nèi)每一點(diǎn)都對(duì)應(yīng)于的一個(gè)函數(shù)值，則稱(chēng)為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和函數(shù).4余項(xiàng), . 注: 只有在收斂域上,才有意義；, .二、冪級(jí)數(shù)及其收斂半徑和收斂域1【定義】形如的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)稱(chēng)為的冪級(jí)數(shù).（也稱(chēng)為一般冪級(jí)數(shù)），其中 為常數(shù)，稱(chēng)為冪級(jí)數(shù)的系數(shù).當(dāng)時(shí), 稱(chēng)為的冪級(jí)數(shù)（也稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)冪級(jí)數(shù)）, 其中常數(shù)（）稱(chēng)為冪級(jí)數(shù)的系數(shù).結(jié)論：對(duì)于級(jí)數(shù)，作代換可以將一般冪級(jí)數(shù)化為標(biāo)準(zhǔn)冪級(jí)數(shù)，所以我們只研究標(biāo)準(zhǔn)冪級(jí)數(shù)斂散性的判別方法.的收斂域：此級(jí)數(shù)的全體收斂點(diǎn)的集合.顯然: (收斂域)，即冪級(jí)數(shù)總在點(diǎn)處收斂.例如: , 均為冪級(jí)數(shù)

3、.顯然: 的收斂域,其發(fā)散域.且和函數(shù).此結(jié)論可當(dāng)公式使用.2.級(jí)數(shù)的收斂域把級(jí)數(shù)的各項(xiàng)取絕對(duì)值得正項(xiàng)級(jí)數(shù)，記 ，則 ；于是由比值判別法知（1）若，即，絕對(duì)收斂.(2) 若，即，發(fā)散.(3) 若，即，比值法失效，斂散另行判定.（4）若，即，此時(shí)對(duì)任意，收斂.上述分析顯示級(jí)數(shù)在一個(gè)以原點(diǎn)為中心，從到的區(qū)間內(nèi)絕對(duì)收斂，區(qū)間稱(chēng)為冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間，為收斂半徑.若級(jí)數(shù)僅在點(diǎn)收斂，則規(guī)定，級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)槔?級(jí)數(shù) 由于 ， 級(jí)數(shù)收斂域?yàn)?或 ；獨(dú)點(diǎn)集.若對(duì)任意都收斂，則，級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?當(dāng)時(shí)，要討論級(jí)數(shù)在處的斂散性才能確定收斂域.此時(shí)收斂域可能是下列區(qū)間之一：3.【阿貝爾定理】（補(bǔ)充）設(shè)的收斂域?yàn)椋瑒t（1

4、）若且, 則對(duì), 收斂且絕對(duì)收斂. (2) 若, 則對(duì),有即級(jí)數(shù)發(fā)散.證明: (1) 收斂，由 收的常數(shù)）,因,從而 收斂,正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂收斂即對(duì),收斂且絕對(duì)收斂.(2) ,假若有滿(mǎn)足收斂矛盾. 所以,有發(fā)散，即.注意:(1) 若, 則(收斂域), ；(2) 若, 則(發(fā)散域). 4.【定理7.13】若冪級(jí)數(shù)系數(shù)滿(mǎn)足條件 或（為常數(shù)或），則 (1) 當(dāng)時(shí), 則； (2) 當(dāng)時(shí), 則. （3）當(dāng)時(shí), 則. 常用公式:，.例如: 冪級(jí)數(shù)的收斂半徑,時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散，故其斂區(qū)與斂域均為.例1 求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑與收斂域.解(1) 級(jí)數(shù)的通項(xiàng)為 . (2) 當(dāng)時(shí), 級(jí)數(shù)為收斂；當(dāng)時(shí), 級(jí)數(shù)為發(fā)散.故收斂區(qū)間

5、（斂區(qū)）是，收斂域?yàn)椋〝坑颍?例2（1）求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑與收斂域.解: ,故 收斂區(qū)間和收斂域均是 .（2）求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑.解: .練習(xí)：求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑與收斂域.提示：，又.例3（1）求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑與收斂域.（缺項(xiàng)級(jí)數(shù)）提示：當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散.當(dāng) 時(shí)，原級(jí)數(shù)是，收斂的交錯(cuò)級(jí)數(shù).所以 收斂半徑，收斂區(qū)間，收斂域.注意：缺項(xiàng)級(jí)數(shù)可以直接用比值法求收斂半徑.（2）求冪級(jí)數(shù)的收斂域.解：由時(shí)級(jí)數(shù)收斂，由由時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散.得 當(dāng)時(shí)，收斂，當(dāng)時(shí)，收斂，所以 收斂域?yàn)?.例4求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑與收斂域.（中心不在原點(diǎn)的級(jí)數(shù)）解 令,冪級(jí)數(shù)變形為,時(shí)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散，當(dāng)時(shí)原級(jí)數(shù)為收

6、斂，當(dāng)時(shí)，發(fā)散，故 原級(jí)數(shù)收斂半徑，收斂域?yàn)?注意：一般冪級(jí)數(shù)求收斂半徑時(shí)作變量代換.提問(wèn)：（1）(02.3) 設(shè)冪級(jí)數(shù)與的收斂半徑分別為與,則冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為（A）(A) 5(B) (C) (D) 答案,（2） (90.5) 求級(jí)數(shù)的收斂域.解 令，級(jí)數(shù),由知,因此當(dāng)即時(shí)級(jí)數(shù)收斂.當(dāng)時(shí),原級(jí)數(shù)為收斂,當(dāng)時(shí),原級(jí)數(shù)為收斂.所以收斂域?yàn)?（3） (92.3) 級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?答令對(duì)于,由,于是收斂半徑,則,即內(nèi)收斂.當(dāng)和時(shí),原級(jí)數(shù)都為發(fā)散,所以收斂域?yàn)?三、冪級(jí)數(shù)以及和函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)1.設(shè) 的收斂半徑分別為1）加減法: ,. 其中: .2）乘法: ,. 其中: , ,.3）除法: ,. 其中:

7、 待定, 而由系列表達(dá)式,確定.此處, , 但.2.冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)是連續(xù).3.冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)可積，且有逐項(xiàng)積分公式 ,.(積分前后的收斂半徑不變).例: , .逐項(xiàng)積分時(shí)在處無(wú)意義.4.冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)在其收斂區(qū)間上可微，且在收斂區(qū)間上, .說(shuō)明：求導(dǎo)與積分前后兩級(jí)數(shù)的收斂半徑不變，但收斂域有可能改變.公式收斂域?yàn)槔? 求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù),并求.解：(1) .當(dāng)時(shí), 級(jí)數(shù)為收斂；當(dāng)時(shí), 級(jí)數(shù)為發(fā)散. 故原級(jí)數(shù)收斂域是.(2) 當(dāng)時(shí), 有.于是 ,由于且冪級(jí)數(shù)在其收斂域上連續(xù), 取 代入和函數(shù)可得 .（2）求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)，并求級(jí)數(shù)及級(jí)數(shù)的和.解 1），所以.當(dāng)時(shí)，發(fā)散，

8、當(dāng)時(shí)，發(fā)散.所以 級(jí)數(shù)斂域?yàn)?2）設(shè)，則為所求和函數(shù).3）令，則有 ，所以.4）令，則有 ，所以.練習(xí)：（1）求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)：(2) (99.3) .因?yàn)?令，則有,所以答案為4.例6 (00.6) 設(shè)求的和.解由,得,令,則其收斂半徑,在內(nèi),于是,令,則,從而.例7 (03.9) 求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)及其極值.解依題意上式兩邊從0到積分,得,由得.令,求得唯一駐點(diǎn),由于可見(jiàn)在處取得極大值,且極大值為.例8(05.9) 求冪級(jí)數(shù)在區(qū)間內(nèi)的和函數(shù).解設(shè),則, 由于因此又由于所以故練習(xí):求下列級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間,并求和函數(shù):(1)解該級(jí)數(shù)為,由,知當(dāng)時(shí)冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.當(dāng)時(shí),冪級(jí)數(shù)收斂;當(dāng)時(shí),冪級(jí)數(shù)收斂,所以原冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?設(shè),則當(dāng)時(shí)有,所以 .(2)解該冪級(jí)數(shù)為,由,知當(dāng)時(shí)冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.當(dāng)時(shí),冪級(jí)數(shù)發(fā)散;當(dāng)時(shí),冪級(jí)數(shù)發(fā)散,所以原冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為.設(shè),則當(dāng)時(shí),有.小結(jié)：1.注意收斂區(qū)間與收斂域的聯(lián)系與區(qū)別. 2.利用冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)時(shí)，求導(dǎo)或求積分時(shí)前后的收斂區(qū)間不變. 3.利用冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)可以求常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和；求出