第八章第7講拋物線

1、第 7 講拋物線1拋物線的定義滿足以下三個(gè)條件的點(diǎn)的軌跡是拋物線：(1)在平面內(nèi)；(2)動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn) F 的距離與到定直線 l 的距離相等；(3)定點(diǎn)不在定直線上2拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程y22px (p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)p 的幾何意義：焦點(diǎn) F 到準(zhǔn)線 l 的距離圖形頂點(diǎn)O(0，0)對(duì)稱軸y0 x0焦點(diǎn)F(p2，0)F(p2，0)F(0，p2)F(0，p2)離心率e1準(zhǔn)線方程xp2xp2yp2yp2范圍x0，yRx0，yRy0，xRy0 xR開口方向向右向左向上向下焦半徑(其中P(x0，y0)|PF|x0p2|PF|x0p2|PF|y0p2|P

2、F|y0p2做一做1設(shè)拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為 x2，則拋物線的方程是()Ay28xBy24xCy28xDy24x解析：選 C.由拋物線準(zhǔn)線方程為 x2 知 p4，且開口向右，故拋物線方程為 y28x.2拋物線 y28x 的焦點(diǎn)坐標(biāo)是()A(2，0)B(2，0)C(4，0)D(4，0)答案：B1辨明兩個(gè)易誤點(diǎn)(1)拋物線的定義中易忽視“定點(diǎn)不在定直線上”這一條件，當(dāng)定點(diǎn)在定直線上時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是過定點(diǎn)且與定直線垂直的直線(2)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中參數(shù) p 易忽視只有 p0，才能證明其幾何意義是焦點(diǎn) F 到準(zhǔn)線 l的距離，否則無幾何意義2與焦點(diǎn)弦有關(guān)的常用結(jié)論(以下圖為依據(jù))設(shè) A(x1，y1

3、)，B(x2，y2)(1)y1y2p2，x1x2p24.(2)|AB|x1x2p2psin2(為 AB 的傾斜角)(3)1|AF|1|BF|為定值2p.(4)以 AB 為直徑的圓與準(zhǔn)線相切(5)以 AF 或 BF 為直徑的圓與 y 軸相切做一做3(2014高考課標(biāo)全國(guó)卷)已知拋物線 C：y2x 的焦點(diǎn)為 F，A(x0，y0)是 C 上一點(diǎn)，|AF|54x0，則 x0()A4B2C1D8解析：選 C.如圖，F(xiàn)14，0，過 A 作 AA準(zhǔn)線 l，|AF|AA|，54x0 x0p2x014，x01.4動(dòng)圓過點(diǎn)(1，0)，且與直線 x1 相切，則動(dòng)圓的圓心的軌跡方程為_解析：設(shè)動(dòng)圓的圓心坐標(biāo)為(x，y

4、)，則圓心到點(diǎn)(1，0)的距離與到直線 x1 的距離相等，根據(jù)拋物線的定義易知?jiǎng)訄A的圓心的軌跡方程為 y24x.答案：y24x考點(diǎn)一_拋物線的定義及其應(yīng)用_(1)(2014高考課標(biāo)全國(guó)卷)已知拋物線 C：y28x 的焦點(diǎn)為 F，準(zhǔn)線為 l，P是 l 上一點(diǎn)，Q 是直線 PF 與 C 的一個(gè)交點(diǎn)，若FP4FQ，則|QF|()A.72B.52C3D2(2)(2015長(zhǎng)春市調(diào)研)已知直線 l1：4x3y60 和直線 l2：x1，則拋物線 y24x上一動(dòng)點(diǎn) P 到直線 l1和直線 l2的距離之和的最小值是()A.3 55B2C.115D3解析(1)FP4FQ，|FP|4|FQ|，|PQ|PF|34.如

5、圖，過 Q 作 QQl，垂足為 Q，設(shè)l 與 x 軸的交點(diǎn)為 A，則|AF|4，|PQ|PF|QQ|AF|34，|QQ|3，根據(jù)拋物線定義可知|QF|QQ|3，故選 C.(2)由題可知 l2：x1 是拋物線 y24x 的準(zhǔn)線，設(shè)拋物線的焦點(diǎn) F 為(1，0)，則動(dòng)點(diǎn) P到 l2的距離等于|PF|， 則動(dòng)點(diǎn) P 到直線 l1和直線 l2的距離之和的最小值即為焦點(diǎn) F 到直線 l1：4x3y60 的距離，所以最小值是|406|52.答案(1)C(2)B規(guī)律方法利用拋物線的定義解決此類問題，應(yīng)靈活地運(yùn)用拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線距離的等價(jià)轉(zhuǎn)化“看到準(zhǔn)線想到焦點(diǎn)，看到焦點(diǎn)想到準(zhǔn)線”，這是解決拋物

6、線焦點(diǎn)弦有關(guān)問題的有效途徑1.(1)(2015云南省統(tǒng)一檢測(cè))設(shè)經(jīng)過拋物線 C 的焦點(diǎn)的直線 l 與拋物線 C 交于 A、B 兩點(diǎn)，那么拋物線 C 的準(zhǔn)線與以 AB 為直徑的圓的位置關(guān)系為()A相離B相切C相交但不經(jīng)過圓心D相交且經(jīng)過圓心(2)(2015浙江杭州模擬)已知點(diǎn) P 是拋物線 y22x 上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn) P 到準(zhǔn)線的距離為 d，且點(diǎn) P 在 y 軸上的射影是 M，點(diǎn) A(72，4)，則|PA|PM|的最小值是()A.72B4C.92D5解析：(1)選 B.設(shè)圓心為 M，過點(diǎn) A、B、M 作準(zhǔn)線 l 的垂線，垂足分別為 A1、B1、M1，則|MM1|12(|AA1|BB1|) 由拋物線定

7、義可知|BF|BB1|， |AF|AA1|， 所以|AB|BB1|AA1|，|MM1|12|AB|，即圓心 M 到準(zhǔn)線的距離等于圓的半徑，故以 AB 為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切(2)選 C.拋物線焦點(diǎn) F(12，0)，準(zhǔn)線 x12，如圖，延長(zhǎng) PM 交準(zhǔn)線于 N，由拋物線定義得|PF|PN|，|PA|PM|MN|PA|PN|PA|PF|AF|5， 而|MN|12， |PA|PM|51292，當(dāng)且僅當(dāng) A，P，F(xiàn) 三點(diǎn)共線時(shí)，取“”號(hào)，此時(shí)，點(diǎn) P 位于拋物線上，|PA|PM|的最小值為92.考點(diǎn)二_拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及性質(zhì)(高頻考點(diǎn))_拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及性質(zhì)是高考的熱點(diǎn)，考查時(shí)多以選擇題、填空

8、題形式出現(xiàn)，個(gè)別高考題有一定難度，高考對(duì)該內(nèi)容的考查主要有以下三個(gè)命題角度：(1)求拋物線方程；(2)由已知求參數(shù) p；(3)與其它知識(shí)交匯求解綜合問題(1)(2015昆明三中、玉溪一中統(tǒng)考)拋物線 y22px(p0)的焦點(diǎn)為 F，O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，M 為拋物線上一點(diǎn)，且|MF|4|OF|，MFO 的面積為 4 3，則拋物線方程為()Ay26xBy28xCy216xDy2152x(2)(2015山東德州模擬)已知雙曲線x2a2y2b21(a0，b0)的兩條漸近線與拋物線 y22px(p0)分別交于 O，A，B 三點(diǎn)，O 為坐標(biāo)原點(diǎn)若雙曲線的離心率為 2，AOB 的面積為 3，則 p()A1B.3

9、2C2D3解析(1)依題意，設(shè) M(x，y)，|OF|p2，所以|MF|2p，xp22p，x3p2，y 3p，又MFO 的面積為 4 3，所以12p2 3p4 3，解得 p4，所以拋物線方程為 y28x.(2)雙曲線的漸近線方程為 ybax，因?yàn)殡p曲線的離心率為 2，所以1b2a22，ba 3.由y 3x，y22px，解得x0y0或x2p3，y2 3p3.由曲線的對(duì)稱性及AOB 的面積得，2122 3p32p3 3，解得 p294，p32(p32舍去)故選 B.答案(1)B(2)B規(guī)律方法(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法：求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程常用待定系數(shù)法，因?yàn)槲粗獢?shù)只有 p，所以只需一個(gè)條件確定

10、 p值即可因?yàn)閽佄锞€方程有四種標(biāo)準(zhǔn)形式，因此求拋物線方程時(shí)，需先定位，再定量(2)確定及應(yīng)用拋物線性質(zhì)的技巧：利用拋物線方程確定及應(yīng)用其焦點(diǎn)、 準(zhǔn)線等性質(zhì)時(shí)， 關(guān)鍵是將拋物線方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程要結(jié)合圖形分析，靈活運(yùn)用平面幾何的性質(zhì)以圖助解2.(1)(2013高考課標(biāo)全國(guó)卷)設(shè)拋物線 C：y22px(p0)的焦點(diǎn)為 F，點(diǎn) M在 C 上，|MF|5.若以 MF 為直徑的圓過點(diǎn)(0，2)，則 C 的方程為()Ay24x 或 y28xBy22x 或 y28xCy24x 或 y216xDy22x 或 y216x(2)拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)， 對(duì)稱軸為 y 軸， 它與圓 x2y29 相交， 公共弦 MN 的長(zhǎng)

11、為 2 5，求該拋物線的方程，并寫出它的焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程解析：(1)選 C.設(shè) M(x0，y0)，A(0，2)，MF 的中點(diǎn)為 N.由 y22px，F(xiàn)p2，0，N 點(diǎn)的坐標(biāo)為x0p22，y02.由拋物線的定義知，x0p25，x05p2.y02p5p2 .|AN|MF|252，|AN|2254.x0p222y0222254.即5p2p2242p5p2222254.2p5p2220.整理得 p210p160.解得 p2 或 p8.拋物線方程為 y24x 或 y216x.(2)解：由題意，設(shè)拋物線方程為 x22ay(a0)設(shè)公共弦 MN 交 y 軸于 A，則|MA|AN|，且 AN 5.|ON|3

12、，|OA| 32（ 5）22，N( 5，2)N 點(diǎn)在拋物線上，52a(2)，即 2a52，故拋物線的方程為 x252y 或 x252y.拋物線 x252y 的焦點(diǎn)坐標(biāo)為0，58 ，準(zhǔn)線方程為 y58.拋物線 x252y 的焦點(diǎn)坐標(biāo)為0，58 ，準(zhǔn)線方程為 y58.考點(diǎn)三_直線與拋物線的位置關(guān)系_(1)(2014高考遼寧卷)已知點(diǎn) A(2，3)在拋物線 C：y22px 的準(zhǔn)線上，過點(diǎn) A的直線與 C 在第一象限相切于點(diǎn) B，記 C 的焦點(diǎn)為 F，則直線 BF 的斜率為()A.12B.23C.34D.43(2)(2014高考四川卷)已知 F 為拋物線 y2x 的焦點(diǎn)，點(diǎn) A，B 在該拋物線上且位于

13、 x 軸的兩側(cè)， OAOB2(其中 O 為坐標(biāo)原點(diǎn))，則ABO 與AFO 面積之和的最小值是()A2B3C.17 28D. 10解析(1)拋物線 y22px 的準(zhǔn)線為直線 xp2，而點(diǎn) A(2，3)在準(zhǔn)線上，所以p22，即 p4，從而 C：y28x，焦點(diǎn)為 F(2，0)設(shè)切線方程為 y3k(x2)，代入 y28x，得k8y2y2k30(k0)，由于14k8(2k3)0，所以 k2 或 k12.因?yàn)榍悬c(diǎn)在第一象限，所以 k12.將 k12代入中，得 y8，再代入 y28x 中得 x8，所以點(diǎn) B 的坐標(biāo)為(8，8)，所以直線 BF 的斜率為8643.(2)設(shè)直線 AB 的方程為 xnym(如圖)

14、，A(x1，y1)，B(x2，y2)，OAOB2，x1x2y1y22.又 y21x1，y22x2，y1y22.聯(lián)立y2x，xnym，得 y2nym0，y1y2m2，m2，即點(diǎn) M(2，0)又 SABOSAMOSBMO12|OM|y1|12|OM|y2|y1y2，SAFO12|OF|y1|18y1，SABOSAFOy1y218y198y12y1298y12y13，當(dāng)且僅當(dāng) y143時(shí)，等號(hào)成立答案(1)D(2)B規(guī)律方法(1)直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類似，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系(2)有關(guān)直線與拋物線的弦長(zhǎng)問題，要注意直線是否過拋物線的焦點(diǎn)，若過拋物線的焦點(diǎn)，可直接使

15、用公式|AB|x1x2p，若不過焦點(diǎn)，則必須用一般弦長(zhǎng)公式(3)研究直線與拋物線的位置關(guān)系與研究直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系的方法類似，一般是聯(lián)立兩曲線方程， 但涉及拋物線的弦長(zhǎng)、 中點(diǎn)、 距離等問題時(shí)， 要注意“設(shè)而不求”、“整體代入”、“點(diǎn)差法”以及定義的靈活應(yīng)用3.已知拋物線 C：y22px(p0)過點(diǎn) A(1，2)(1)求拋物線 C 的方程，并求其準(zhǔn)線方程；(2)是否存在平行于 OA(O 為坐標(biāo)原點(diǎn))的直線 l，使得直線 l 與拋物線 C 有公共點(diǎn)，且直線 OA 與 l 的距離等于55？若存在，求出直線 l 的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由解：(1)將(1，2)代入 y22px，得(2)2

16、2p1，所以 p2.故所求的拋物線 C 的方程為 y24x，其準(zhǔn)線方程為 x1.(2)假設(shè)存在符合題意的直線 l，其方程為 y2xt，由y2xt，y24x，得 y22y2t0.因?yàn)橹本€ l 與拋物線 C 有公共點(diǎn)，所以48t0，解得 t12.另一方面，由直線 OA 與 l 的距離 d55，可得|t|555，解得 t1.因?yàn)?12，112，所以符合題意的直線 l 存在，其方程為 2xy10.考題溯源拋物線方程的應(yīng)用(2012高考陜西卷)如圖所示是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在 l 時(shí)，拱頂離水面2 m，水面寬 4 m水位下降 1 m 后，水面寬_m.解析建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線方程為 x2

17、2py(p0)，則 A(2，2)，將其坐標(biāo)代入 x22py，得 p1.x22y.當(dāng)水面下降 1 m，得 D(x0，3)(x00)，將其坐標(biāo)代入 x22y，得 x206，x0 6.水面寬|CD|2 6 m.答案2 6考題溯源本考題就是教材人教 A 版選修 21 P74習(xí)題 A 組 T8原題某大橋在漲水時(shí)有最大跨度的中央橋孔，已知上部呈拋物線形，跨度為 20 米，拱頂距水面 6 米，橋墩高出水面 4 米，現(xiàn)有一貨船欲過此橋孔，該貨船水下寬度不超過 18 米，目前吃水線上部分中央船體高 5 米，寬 16 米，且該貨船在現(xiàn)在狀況下還可多裝 1 000 噸貨物，但每多裝 150 噸貨物，船體吃水線就要上

18、升 0.04 米，若不考慮水下深度，問：該貨船在現(xiàn)在狀況下能否直接或設(shè)法通過該橋孔，為什么？解：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線方程為 yax2，由題意知點(diǎn) A(10，2)在拋物線上，代入方程求解，得 a150，方程即為 y150 x2.讓船沿正中央航行，船寬 16 米，而當(dāng) x8 時(shí)，y150821.28，此時(shí)拋物線上的點(diǎn) B 距離水面1.2864.72(米)， 又船體水面以上高度為 5 米， 所以無法通過； 又 54.720.28(米)，0.280.047，15071 050 噸，故至少應(yīng)再裝 1 050 噸貨物才能通過，而現(xiàn)在只能多裝 1 000 噸，故無法通過，只能等到水位下降.1已

19、知 m，n，mn 成等差數(shù)列，m，n，mn 成等比數(shù)列，則拋物線 mx2ny 的焦點(diǎn)坐標(biāo)是()A(0，12)B(12，0)C(0，14)D(14，0)解析：選 A.由題意知，2nmmn 且 n2mmn，解得 m2，n4，故拋物線為 x22y，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，12)2已知拋物線 C 與雙曲線 x2y21 有相同的焦點(diǎn)，且頂點(diǎn)在原點(diǎn)，則拋物線 C 的方程是()Ay22 2xBy22xCy24xDy24 2x解析：選 D.因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)為( 2，0)，( 2，0)設(shè)拋物線方程為 y22px(p0)，則p2 2，所以 p2 2，所以拋物線方程為 y24 2x.3(2014高考課標(biāo)全國(guó)卷)設(shè) F 為

20、拋物線 C：y23x 的焦點(diǎn)，過 F 且傾斜角為 30的直線交 C 于 A，B 兩點(diǎn)，則|AB|()A.303B6C12D7 3解析：選 C.F 為拋物線 C：y23x 的焦點(diǎn)，F(xiàn)34，0，AB 的方程為 y0tan 30 x34 ，即 y33x34.聯(lián)立y23x，y33x34，得13x272x3160.x1x27213212，即 xAxB212.由于|AB|xAxBp，所以|AB|2123212.4已知點(diǎn) A(2，0)，拋物線 C：x24y 的焦點(diǎn)為 F，射線 FA 與拋物線 C 相交于點(diǎn) M，與其準(zhǔn)線相交于點(diǎn) N，則|FM|MN|()A2 5B12C1 5D13解析：選 C.直線 FA：y

21、12x1，與 x24y 聯(lián)立，得 xM 51，直線 FA：y12x1，與 y1 聯(lián)立，得 N(4，1)，由三角形相似知|FM|MN|xM4xM15.5(2015衡水中學(xué)調(diào)研)已知等邊ABF 的頂點(diǎn) F 是拋物線 C1：y22px(p0)的焦點(diǎn)，頂點(diǎn) B 在拋物線的準(zhǔn)線 l 上且 ABl，則點(diǎn) A 的位置()A在 C1開口內(nèi)B在 C1上C在 C1開口外D與 p 值有關(guān)解析：選 B.設(shè) B(p2，m)，由已知有 AB 中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為p2，則 A(3p2，m)，ABF 是邊長(zhǎng)|AB|2p 的等邊三角形，即|AF|（3p2p2）2m22p，p2m24p2，m 3p，A(3p2， 3p)，代入 y22p

22、x 中，得點(diǎn) A 在拋物線上，故選 B.6(2015四川資陽模擬)頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸是 y 軸，并且經(jīng)過點(diǎn) P(4，2)的拋物線方程是_解析：設(shè)拋物線方程為 x2my，將點(diǎn) P(4，2)代入 x2my，得 m8.所以拋物線方程是 x28y.答案：x28y7(2015廈門質(zhì)檢)已知點(diǎn) P 在拋物線 y24x 上，且點(diǎn) P 到 y 軸的距離與其到焦點(diǎn)的距離之比為12，則點(diǎn) P 到 x 軸的距離為_解析：設(shè)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為(xP，yP)，拋物線 y24x 的準(zhǔn)線方程為 x1，根據(jù)拋物線的定義，點(diǎn) P 到焦點(diǎn)的距離等于點(diǎn) P 到準(zhǔn)線的距離，故xPxP（1）12，解得 xP1，y2P4，|yP|2.答案

23、：28. (2015蘭州市、 張掖市聯(lián)考)如圖， 過拋物線 y22px(p0)的焦點(diǎn) F 的直線 l 依次交拋物線及其準(zhǔn)線于點(diǎn) A、B、C，若|BC|2|BF|，且|AF|3，則拋物線的方程是_解析：分別過點(diǎn) A、B 作準(zhǔn)線的垂線 AE、BD，分別交準(zhǔn)線于點(diǎn) E、D，則|BF|BD|，|BC|2|BF|，|BC|2|BD|，BCD30，又|AE|AF|3，|AC|6，即點(diǎn) F 是 AC 的中點(diǎn)，根據(jù)題意得 p32，拋物線的方程是 y23x.答案：y23x9拋物線頂點(diǎn)在原點(diǎn)，它的準(zhǔn)線過雙曲線x2a2y2b21(a0，b0)的一個(gè)焦點(diǎn)，并與雙曲線實(shí)軸垂直，已知拋物線與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)為(32， 6

24、)，求拋物線與雙曲線的方程解：由題設(shè)知，拋物線以雙曲線的右焦點(diǎn)為焦點(diǎn)，準(zhǔn)線過雙曲線的左焦點(diǎn)，p2c.設(shè)拋物線方程為 y24cx，拋物線過點(diǎn)(32， 6)，64c32，c1，故拋物線方程為 y24x.又雙曲線x2a2y2b21 過點(diǎn)(32， 6)，94a26b21.又 a2b2c21，94a261a21.a214或 a29(舍去)b234，故雙曲線方程為 4x24y231.10已知拋物線 y22px(p0)的焦點(diǎn)為 F，A 是拋物線上橫坐標(biāo)為 4，且位于 x 軸上方的點(diǎn)，A 到拋物線準(zhǔn)線的距離等于 5，過 A 作 AB 垂直于 y 軸，垂足為 B，OB 的中點(diǎn)為 M.(1)求拋物線的方程；(2)

25、若過 M 作 MNFA，垂足為 N，求點(diǎn) N 的坐標(biāo)解：(1)拋物線 y22px 的準(zhǔn)線為 xp2，于是 4p25，p2.拋物線方程為 y24x.(2)點(diǎn) A 的坐標(biāo)是(4，4)，由題意得 B(0，4)，M(0，2)又F(1，0)，kFA43，MNFA，kMN34.又 FA 的方程為 y43(x1)，MN 的方程為 y234x，聯(lián)立，解得 x85，y45，N 的坐標(biāo)為85，45 .1(2015河南鄭州模擬)已知拋物線 y22px(p0)，過其焦點(diǎn)且斜率為1 的直線交拋物線于 A，B 兩點(diǎn)，若線段 AB 的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，則該拋物線的準(zhǔn)線方程為()Ax1Bx2Cx1Dx2解析：選 C.由題意可

26、設(shè)直線方程為 y(xp2)，設(shè) A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立方程y（xp2） ，y22px，整理得 y22pyp20，y1y22p.線段 AB 的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，2p22.p2.拋物線的準(zhǔn)線方程為 x1.2(2015江西上饒模擬)過拋物線 x24y 的焦點(diǎn) F 作直線 AB，CD 與拋物線交于 A，B，C，D 四點(diǎn)，且 ABCD，則FAFBFCFD的最大值等于()A4B16C4D8解析：選 B.依題意可得， FAFB(|FA|FB|)又因?yàn)閨FA|yA1，|FB|yB1，所以FAFB(yAyByAyB1)設(shè)直線 AB 的方程為 ykx1(k0)，聯(lián)立 x24y，可得 x24kx4

27、0，所以 xAxB4k，xAxB4.所以 yAyB1，yAyB4k22.所以FAFB(4k24)同理FCFD(4k24)所以FAFBFCFD(4k24k28)16.當(dāng)且僅當(dāng) k1 時(shí)等號(hào)成立3(2015山西省忻州市聯(lián)考)已知 P 為拋物線 y24x 上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，Q 為圓 x2(y4)21 上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么點(diǎn) P 到點(diǎn) Q 的距離與點(diǎn) P 到拋物線的準(zhǔn)線距離之和的最小值是_解析：由題意知，圓 x2(y4)21 的圓心為 C(0，4)，半徑為 1，拋物線的焦點(diǎn)為 F(1，0)，根據(jù)拋物線的定義，點(diǎn) P 到點(diǎn) Q 的距離與點(diǎn) P 到拋物線準(zhǔn)線的距離之和即點(diǎn) P 到點(diǎn) Q的距離與點(diǎn) P 到拋物線焦點(diǎn)的

28、距離之和，因此|PQ|PF|PC|PF|1|CF|1 171.答案： 1714已知拋物線 x22y，過拋物線的焦點(diǎn) F 的直線 l 交拋物線于 P，Q 兩點(diǎn)，過 P，Q 分別作拋物線的切線，兩切線交于點(diǎn) A，則點(diǎn) A 的縱坐標(biāo)為_解析：由 x22y，得 y12x2，yx.設(shè) P(x1，y1)，Q(x2，y2)，拋物線在 P，Q 兩點(diǎn)處的切線的斜率分別為 x1， x2， 過點(diǎn) P 的拋物線的切線方程為 yy1x1(xx1)， 又 x212y1，切線方程為 yx1xx212，同理可得過點(diǎn) Q 的切線方程為 yx2xx222，兩切線方程聯(lián)立解得xAx1x22yAx1x22.又拋物線焦點(diǎn) F 的坐標(biāo)為(0，12)，易知直線 l 的斜率存在，可設(shè)直線 l 的方程為 ymx12，由ymx12x22y，得 x22mx10，所以 x1x21，所以 yA12.答案：125(2015廈門模擬) 如圖所示，拋物線關(guān)于 x 軸對(duì)稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn) P(1，2)，A