區(qū)間關(guān)聯(lián)函數(shù)及其應(yīng)用研究

1、區(qū)間關(guān)聯(lián)函數(shù)及其應(yīng)用研究摘 要本文研究的是區(qū)間關(guān)聯(lián)關(guān)聯(lián)函數(shù)及其應(yīng)用性問題.首先直接利用點(diǎn)的關(guān)聯(lián)函數(shù)的概念給出了區(qū)間關(guān)聯(lián)函數(shù)的定義.在此的基礎(chǔ)上,又給出了區(qū)間關(guān)聯(lián)函數(shù)的規(guī)范化方法,并得到了它的一個(gè)重要性質(zhì).然后再給出可能度的定義和性質(zhì),從而得到區(qū)間數(shù)的排序方法.為便于在綜合評價(jià)和決策等方面的應(yīng)用,根據(jù)空氣污染指數(shù)范圍及相應(yīng)的空氣質(zhì)量類別建立了空氣質(zhì)量的關(guān)聯(lián)函數(shù).根據(jù)實(shí)際觀測數(shù)據(jù),通過此評價(jià)分析方法得到2007年中國具有代表性的6大城市空氣質(zhì)量關(guān)聯(lián)函數(shù)的區(qū)間數(shù),并依據(jù)區(qū)間數(shù)的排序方法得到了該6大城市空氣質(zhì)量優(yōu)劣的排序.關(guān)鍵詞 區(qū)間關(guān)聯(lián)函數(shù); 可能度; 排序; 空氣質(zhì)量1、前 言從蔡文教授1983年

2、提出可拓集合以來,從物元分析發(fā)展到可拓學(xué),已初步形成了它的理論框架,并開始向應(yīng)用領(lǐng)域發(fā)展.可拓集是可拓論的主要支柱之一,并用關(guān)聯(lián)函數(shù)來刻畫,所以在實(shí)際應(yīng)用中要考慮區(qū)間關(guān)于區(qū)間的關(guān)聯(lián)函數(shù). 因此, 區(qū)間關(guān)聯(lián)函數(shù)是一個(gè)值得研究的課題.現(xiàn)有文獻(xiàn)提出了一些關(guān)聯(lián)函數(shù)的計(jì)算公式,但都是假定物元的所有特征量值能被精確測量.然而,由于系統(tǒng)復(fù)雜性和信息不確定性的影響,使人們獲得精確信息的愿望難以實(shí)現(xiàn),為此人們提出了各種不確定性理論和方法,如灰色系統(tǒng)、粗糙集理論等.由于國內(nèi)外對區(qū)間數(shù)的研究取得了不少成果,因此可用區(qū)間數(shù)表示特征的不精確量值,以探討不精確基元的定量問題.設(shè)為論域,文獻(xiàn)125均把關(guān)聯(lián)函數(shù)定義為論域到實(shí)

3、域的一個(gè)映射,現(xiàn)已有許多應(yīng)用.可拓學(xué)研究現(xiàn)實(shí)世界中的矛盾問題,探討處理矛盾問題的規(guī)律和方法,而事物的發(fā)展、矛盾的轉(zhuǎn)化有一個(gè)由量變到質(zhì)變的過程;人們對發(fā)展中的事物以及模糊事物的認(rèn)識也不會(huì)只停留在一個(gè)點(diǎn)上,而對事物認(rèn)識的變化就要用到區(qū)間數(shù).模糊數(shù)學(xué)中為描述不確定性和模糊性引入了區(qū)間數(shù)的概念,但其區(qū)間只能含于內(nèi),反映的是變化的模糊程度可有時(shí)并不能很好地刻劃客觀對象的變化情況.例如,人們對某事物的某一特征(如服裝的顏色),不僅有“愛好”程度的區(qū)別,某些人可能會(huì)表現(xiàn)出截然相反的“厭惡”心理,在選購商品時(shí)首先排除具有“厭惡”特征的事物.對水質(zhì)、空氣等的評價(jià)也有從“達(dá)標(biāo)”向“優(yōu)秀”和“污染”2個(gè)方向的變動(dòng).

4、為反映這樣具有“愛好”與“厭惡”、“利”與“弊”等不同程度的情況,引入包含正負(fù)數(shù)的區(qū)間數(shù)也就順理成章了.文獻(xiàn)6引入了區(qū)間與區(qū)間之距的概念,并在此基礎(chǔ)上給出了區(qū)間關(guān)聯(lián)函數(shù)的概念. 則直接利用文獻(xiàn)1中點(diǎn)的關(guān)聯(lián)函數(shù)概念,定義區(qū)間關(guān)聯(lián)函數(shù),并得到了區(qū)間關(guān)聯(lián)函數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì).為便于在評價(jià)和決策等方面的應(yīng)用, 文獻(xiàn)1在區(qū)間關(guān)聯(lián)函數(shù)定義的基礎(chǔ)上,給出了區(qū)間關(guān)聯(lián)函數(shù)的規(guī)范化方法,然后再進(jìn)行排序，并根據(jù)空氣污染指數(shù)范圍及相應(yīng)的空氣質(zhì)量類別建立了空氣質(zhì)量的關(guān)聯(lián)函數(shù).根據(jù)實(shí)際觀測數(shù)據(jù)通過計(jì)算得到了2007年中國具有代表性的6大城市空氣質(zhì)量關(guān)聯(lián)函數(shù)的區(qū)間數(shù),并依據(jù)區(qū)間數(shù)的排序方法得到了該6大城市空氣質(zhì)量優(yōu)劣的排序.

5、2.區(qū)間關(guān)聯(lián)函數(shù)的定義設(shè)為論域,點(diǎn)的關(guān)聯(lián)函數(shù)的定義參考文獻(xiàn)2,即定義1 設(shè)為論域,是到實(shí)域的一個(gè)映射,為給定的對中元素的變換,稱為論域上關(guān)于元素變換的一個(gè)可拓集合,為的關(guān)聯(lián)函數(shù),為關(guān)于的關(guān)聯(lián)度. 在此基礎(chǔ)上,我們引入了區(qū)間關(guān)聯(lián)函數(shù)的概念.本文中,為參考文獻(xiàn)1所表示的區(qū)間,當(dāng)時(shí),記此時(shí),令,當(dāng)時(shí),記.定義2 設(shè)為論域,若對中任何一區(qū)間,都有一個(gè)區(qū)間數(shù)與之對應(yīng),為給定中元素的變換,則稱為論域上關(guān)于元素變換的一個(gè)區(qū)間可拓集合,為的關(guān)聯(lián)函數(shù),為區(qū)間關(guān)于的關(guān)聯(lián)度,其中,. 雖然此定義并未提供具體構(gòu)造區(qū)間關(guān)聯(lián)函數(shù)的方法,但只要建立了點(diǎn)的關(guān)聯(lián)函數(shù)之后就不難求得區(qū)間關(guān)聯(lián)函數(shù)的取值范圍.3.區(qū)間關(guān)聯(lián)函數(shù)的規(guī)范化

6、2.1區(qū)間關(guān)聯(lián)函數(shù)的規(guī)范化方法假設(shè):,表示個(gè)對象或個(gè)決策方案.,表示個(gè)衡量條件(或?qū)傩?,并假設(shè)這些條件是加性獨(dú)立的.,以區(qū)間形式表示的個(gè)衡量條件的權(quán)重向量的取值范圍,其中,. 把對象關(guān)于衡量條件的關(guān)聯(lián)函數(shù)(區(qū)間數(shù)形式),記為,則條件各對象評判關(guān)聯(lián)函數(shù)分別為矩陣稱為判別矩陣,其中. 有時(shí),由于各屬性數(shù)量級的不同,對關(guān)聯(lián)函數(shù)的值難以比較和綜合,因此，必須將關(guān)聯(lián)函數(shù)規(guī)范化.將規(guī)范化為,則規(guī)范化結(jié)果記為.規(guī)范化的方法如下: 規(guī)范化時(shí)之所以除以不同的數(shù),正是因?yàn)槭挛镒兓?jīng)過零界點(diǎn)發(fā)生了質(zhì)變,從而在不同變動(dòng)區(qū)域內(nèi)呈現(xiàn)出不同變化特征的緣故.設(shè)個(gè)衡量條件的權(quán)重向量為,對文獻(xiàn)3中方法作適當(dāng)?shù)恼{(diào)整,則對象的綜合

7、評價(jià)值,可由如下線性規(guī)劃模型求得:由,容易證明. 通過上述兩個(gè)模型可以得到所有對象的綜合評價(jià)值.2.2區(qū)間關(guān)聯(lián)函數(shù)的一個(gè)有用性質(zhì) 性質(zhì)1 設(shè)且無公共點(diǎn),令點(diǎn)的關(guān)聯(lián)函數(shù)為,則對于區(qū)間關(guān)聯(lián)函數(shù)有 且; 且與有公共端點(diǎn)且;或; 或 證明 由參考文獻(xiàn)1的性質(zhì)5.1.10以及本文定義2,即得到性質(zhì)1.有時(shí)為了便于對優(yōu)劣程度的比較或?qū)Σ煌笜?biāo)的綜合需要把關(guān)聯(lián)函數(shù)規(guī)范化,設(shè)符合量值要求的范圍為,為論域,通常在符合要求的范圍內(nèi),在不符合要求的范圍內(nèi).針對的不同符號,如果大于零則除以,如果小于零則除以,從而把化為之間的區(qū)間數(shù). 如何評判對象的優(yōu)劣即對區(qū)間數(shù)進(jìn)行排序非常重要,下面給出區(qū)間數(shù)的一種排序方法.4.區(qū)間

8、數(shù)的排序方法3.1可能度的定義以及性質(zhì)設(shè)為區(qū)間數(shù),并認(rèn)為所考察的變量(或指標(biāo))落在此區(qū)間內(nèi),且服從均勻分布.當(dāng)時(shí)時(shí),此時(shí)記,則稱區(qū)間數(shù)退化.先考慮兩個(gè)區(qū)間數(shù)排序的情形.定義3 設(shè)兩個(gè)區(qū)間數(shù),當(dāng)時(shí),稱與相等,記為;如果的可能度大于0,則稱區(qū)間數(shù)大于區(qū)間數(shù),記;如果的可能度小于0,則稱區(qū)間數(shù)小于區(qū)間數(shù),記.定義4 若均為非退化區(qū)間數(shù),此時(shí)有3種情形(圖 1圖 1 兩個(gè)區(qū)間數(shù)非退化時(shí)的幾種情形),區(qū)間數(shù)的可能度(記為) 及的可能度(記為)分別定義為,有其中一個(gè)退化,不妨設(shè)退化為一點(diǎn),可能度定義為至于,均退化為一點(diǎn)的情形,則是普通實(shí)數(shù)的比較,其可能度定義為圖 1 兩個(gè)區(qū)間數(shù)非退化時(shí)的幾種情形 由上述定

9、義,容易看出時(shí),并且容易證明以下性質(zhì). 性質(zhì)2 性質(zhì)3 當(dāng)時(shí),有.性質(zhì)4 在情況下,當(dāng)時(shí), ;當(dāng)時(shí), ;當(dāng)時(shí),有.由定義容易證明,且易知其逆也成立,即是:性質(zhì)5 在時(shí)情況下,當(dāng),有;當(dāng)時(shí),有;當(dāng)時(shí),有利用可能度概念能否對多個(gè)區(qū)間數(shù)進(jìn)行排序呢?利用上述性質(zhì)容易證得以下性質(zhì)6,即可能度的傳遞性,它對排序具有關(guān)鍵作用.性質(zhì)6 設(shè)區(qū)間數(shù),如果,則.3.2排序方法 利用性質(zhì)6,即可能度的傳遞性,可以對區(qū)間數(shù)進(jìn)行排序,對多個(gè)區(qū)間數(shù)排序仍然是不方便的,下面指出一種易于操作的簡便排序算法. 設(shè)為一組區(qū)間數(shù),建立區(qū)間數(shù)兩兩比較的可能度矩陣,即由性質(zhì)1便有區(qū)間數(shù)兩兩比較的可能度矩陣滿足:,且,故矩陣為反對稱矩陣.

10、其中,表示的可能度,但由于上述排序方法所得數(shù)據(jù)僅僅是兩兩比較的結(jié)果.由性質(zhì)6可知區(qū)間數(shù)較大則可能度較大,因此,對區(qū)間數(shù)排序可以采用如下步驟: 首先對可能度矩陣按行求和:求得排序向量,由上述我們得到: 性質(zhì)7 設(shè)可能度矩陣,若對兩區(qū)間數(shù)有(),則(). 因此,只要比較排序向量中各個(gè)分量的大小即可得到相應(yīng)區(qū)間數(shù)的排序.5.城市空氣質(zhì)量評估與排序4.1選取城市空氣污染指標(biāo)數(shù)據(jù)空氣污染指數(shù)()是用來衡量各地空氣質(zhì)量的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn).空氣污染指數(shù)的計(jì)算方法是根據(jù)每天測得的主要污染物,和的濃度,計(jì)算出各污染物的污染分指出數(shù),取最大值作為該城市或區(qū)域當(dāng)日的空氣污染指數(shù)的值.空氣質(zhì)量與污染指數(shù)的關(guān)系如下表所示(表

11、1).表 1 空氣污染指數(shù)范圍及相應(yīng)的空氣類別空氣污染指數(shù)()0-5051-100101-150151-200201-300300空氣質(zhì)量狀況優(yōu)良輕微污染輕度污染中度污染重污染為了減少計(jì)算的復(fù)雜性,以下我們選取了中國不同地理位置的6個(gè)城市2007年空氣污染指數(shù)的分布情況,分別是北京、成都、烏魯木齊、哈爾濱、上海和廣州,數(shù)據(jù)來源于中國環(huán)境監(jiān)測總站10.為了減少個(gè)別數(shù)據(jù)的誤差或消除偶然性,提高結(jié)果的精確性,我們對數(shù)據(jù)進(jìn)行了以下適當(dāng)處理:即同一城市在一年中最大的10個(gè)數(shù)據(jù)取平均值作為最大值,在一年中最小的10個(gè)數(shù)據(jù)取平均值作為最小值.得到如下全國6個(gè)城市的2007年空氣污染指數(shù)區(qū)間數(shù)(表 1見表 2

12、).表 2 選取的全國6個(gè)城市的2007年空氣污染指數(shù)區(qū)間數(shù)城市北京成都烏魯木齊哈爾濱上海廣州區(qū)間數(shù)26.1,351.632.3,187.127.4,429.928.3,228.524.8,172.626.7,142.24.2污染指數(shù)的關(guān)聯(lián)函數(shù)及規(guī)范化 根據(jù)表1空氣質(zhì)量與污染指數(shù)的關(guān)系,我們建立如下的空氣質(zhì)量關(guān)聯(lián)函數(shù),其中污染指數(shù)100是可正?；顒?dòng)的“好”與對身體有一定影響的“壞”的空氣質(zhì)量分界點(diǎn). 根據(jù)區(qū)間關(guān)聯(lián)函數(shù)的定義2,計(jì)算上述6個(gè)城市空氣污染質(zhì)量指數(shù)的區(qū)間關(guān)聯(lián)函數(shù)的值所得如下(見表 3).表 3 選取的全國6個(gè)城市的2007年空氣污染指數(shù)區(qū)間關(guān)聯(lián)函數(shù)值城市北京成都烏魯木齊哈爾濱上海廣州

13、區(qū)間數(shù)-2.5160,0.2831-0.8710,0.2096-3.2990,0.2650-1.2850,0.2534-0.7260,0.3032-0.4220,0.2745 然后利用上述區(qū)間關(guān)聯(lián)函數(shù)規(guī)范化的方法,進(jìn)行規(guī)范后得到這6個(gè)城市空氣污染質(zhì)量指數(shù)新的區(qū)間數(shù)如下(見表 4).表 4 選取的全國6個(gè)城市的2007年空氣污染指數(shù)區(qū)間關(guān)聯(lián)函數(shù)值規(guī)范化后的區(qū)間數(shù)城市北京成都烏魯木齊哈爾濱上海廣州區(qū)間數(shù)-0.7627,0.3216-0.264,0.2381-1,0.301-0.3895,0.2878-0.2201,0.3444-0.1279,0.31184.3城市空氣質(zhì)量排序 利用前面的規(guī)范化方法

14、得到新的區(qū)間數(shù)以后,再利用可能度的定義,我們得到了空氣污染指數(shù)關(guān)聯(lián)函數(shù)的區(qū)間數(shù)兩兩比較的可能度矩陣(反對稱矩陣)為: 其中,表示的城市依次是北京、成都、烏魯木齊、哈爾濱、上海和廣州.然后對以上的可能度矩陣按行求和，得到排序向量:其中,表示的城市依次是北京、成都、烏魯木齊、哈爾濱、上海和廣州.因此,我們比較此排序向量中各個(gè)分量的大小后即得到相應(yīng)區(qū)間數(shù)的排序,進(jìn)而得到上述6大城市空氣質(zhì)量由好到壞的次序依次為: 廣州、上海、成都、哈爾濱、北京、烏魯木齊. 值得特別指出的是根據(jù)由關(guān)聯(lián)函數(shù)轉(zhuǎn)化后的區(qū)間數(shù)進(jìn)行排序與按照空氣污染指數(shù)的分布區(qū)間數(shù)直接排序,可能會(huì)出現(xiàn)不同結(jié)果.以成都與長沙這2個(gè)城市為例,在中國

15、環(huán)境監(jiān)測總站10查詢2007年長沙2007年空氣污染指數(shù)區(qū)間數(shù)為長沙,則區(qū)間關(guān)聯(lián)函數(shù)的為長沙,規(guī)范化后得到長沙.那么計(jì)算得到規(guī)范化后成都與長沙2個(gè)城市空氣污染指數(shù)關(guān)聯(lián)函數(shù)的區(qū)間數(shù)兩兩比較的可能度矩陣(反對稱矩陣)為:其中,表示的城市依次是成都與長沙.然后對以上的可能度矩陣按行求和，得到排序向量:其中,表示的城市依次是成都與長沙.因此,較此排序向量中各個(gè)分量的大小后即得到相應(yīng)區(qū)間數(shù)的排序,進(jìn)而得到成都空氣質(zhì)量好于長沙.但是成都與長沙如果按照空氣污染指數(shù)的分布區(qū)間數(shù)進(jìn)行排序,則空氣質(zhì)量長沙好于成都.原因是什么呢?實(shí)際上,空氣污染指數(shù)的分布區(qū)間數(shù),上下2個(gè)端點(diǎn)數(shù)值的意義是不同的.上端點(diǎn)數(shù)大于100時(shí)

16、離100越遠(yuǎn),表示空氣質(zhì)量越壞,影響空氣質(zhì)量的主要污染物是可吸入顆粒物(),其波動(dòng)幅度較大,數(shù)量級也較大.而下端點(diǎn)數(shù)小于100時(shí)離100越近,表示空氣質(zhì)量越好, 而且其波動(dòng)幅度較小.因此,有必要引入以100為零界的關(guān)聯(lián)函數(shù),并將其所得區(qū)間數(shù)規(guī)范化.這樣效果如何呢?從每天公布的成都與長沙2個(gè)城市空氣污染指數(shù)的平均值,可以證明此結(jié)論,即成都空氣質(zhì)量好于長沙.5、結(jié)論本文針對具有不確定性區(qū)間數(shù)的多屬性決策問題,完整地給出了一套分析方法.該方法主要針對以區(qū)間數(shù)形式引入了區(qū)間關(guān)聯(lián)函數(shù)的一種新定義,并獲得了一個(gè)有用的性質(zhì),給出的綜合評價(jià)值進(jìn)行相應(yīng)的方案排序.在決策者不能給出承擔(dān)風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度的情況下,本文提出了

17、兩個(gè)區(qū)間數(shù)相互比較的可能度的概念,這也就是給出了決策方案排序的可能度,并且將此分析方法成功地應(yīng)用于城市的空氣質(zhì)量的綜合評價(jià).參考文獻(xiàn)1 蔡文.物元模型及其應(yīng)用M.北京:科學(xué)技術(shù)文獻(xiàn)出版社,1994.2 楊春燕, 蔡文.可拓集合的新定義J.廣東工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào),2001,18(8):5960.3 Bryson N,Mobolurin A.An action learning evaluation procedure for multiple criteria decision making problemsJ.European Journal of Operational Research,1996

18、,96:379386.4 李志林,鄧謀杰.區(qū)間關(guān)聯(lián)函數(shù)及其在地區(qū)空氣質(zhì)量評估中應(yīng)用J.海南大學(xué)學(xué)報(bào),2007,25(1):3539.5 蔡文, 楊春燕,林偉初.可拓工程方法M.北京:科學(xué)出版社,1997.6 胡寶清,何娟娟.區(qū)間論域上的區(qū)間可拓集及其關(guān)聯(lián)函數(shù)J.廣州工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào),2001,18(1):48547 李志林.區(qū)間關(guān)聯(lián)函數(shù)的的新定義及其應(yīng)用研究J.數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識, 2006,36(2):2072108 李志林.區(qū)間關(guān)聯(lián)函數(shù)為區(qū)間數(shù)的綜合評價(jià)方法J.漢江大學(xué)學(xué)報(bào),2003,31(1):17209 李志林.區(qū)間數(shù)的一種排序方法J. 海南大學(xué)學(xué)報(bào),2003,21(1):4710 中國環(huán)境

19、監(jiān)測總站 CORRELATION FUNCTION WITH INTERVAL NUMBER AND ITS APPLICATIONABSTRACT This paper describes the problem of correlation function with interval number and its application. The method of normalization of correlation function with interval number was presented on the basis of its definition and obtains a useful property of it. Then giving the method of ranking for interval number was