橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題

1、1 橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍求解求解問題問題 【重點(diǎn)知識溫馨提示】 1.eca1b2a2(0e1) 2.確立一個關(guān)于a，b，c的方程或不等式，再根據(jù)a，b，c的關(guān)系消掉b得到a，c的關(guān)系式，建立關(guān)于a，c的方程或不等式，進(jìn)而得到關(guān)于e的方程或不等式， 3. 【典例解析】 例 1.(2015新課標(biāo)全國，11)已知A，B為雙曲線E的左，右頂點(diǎn)，點(diǎn)M在E上，ABM為等腰三角形，且頂角為 120，則E的離心率為( ) A.5 B2 C.3 D.2 例 2.【2016 高考新課標(biāo) 3 文數(shù)】已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓C：22221(0)xyabab的左焦點(diǎn)，,A

2、B分別為C的左， 右頂點(diǎn).P為C上一點(diǎn)， 且PFx軸.過點(diǎn)A的直線與線段PF交于點(diǎn)M， 與y軸交于點(diǎn)E.若直線BM經(jīng)過OE的中點(diǎn)， 則C的離心率為（ ） （A）13 （B）12 （C）23 （D）34 例 3 (2015 福建)已知橢圓 E：x2a2y2b21(ab0)的右焦點(diǎn)為 F，短軸的一個端點(diǎn)為 M，直線 l：3x4y0 交橢圓 E 于 A，B 兩點(diǎn)若|AF|BF|4，點(diǎn) M 到直線 l 的距離不小于45，則橢圓 E 的離心率的取值范圍是( ) A.0，32 B.0，34 C.32，1 D.34，1 例 4.(2014 江西)設(shè)橢圓 C：x2a2y2b21(ab0)的左，右焦點(diǎn)為 F1，

3、F2，過 F2作 x 軸的垂線與C 相交于 A， B 兩點(diǎn)， F1B 與 y 軸相交于點(diǎn) D， 若 ADF1B， 則橢圓 C 的離心率等于_ 【跟蹤練習(xí)】 2 1. (2015 浙江)橢圓x2a2y2b21(ab0)的右焦點(diǎn) F(c，0)關(guān)于直線 ybcx 的對稱點(diǎn) Q 在橢圓上，則橢圓的離心率是_ 2. 已知橢圓x2a2y2b21(ab0)與雙曲線x2m2y2n21(m0，n0)有相同的焦點(diǎn)(c,0)和(c,0)，若c 是 a、m 的等比中項(xiàng)，n2是 2m2與 c2的等差中項(xiàng)， 則橢圓的離心率是( ) A.33 B.22 C.14 D.12 3.已知橢圓x2a2y2b21(ab0)的左、右焦

4、點(diǎn)分別為 F1(c,0)、F2(c,0)，若橢圓上存在點(diǎn) P 使asinPF1F2csinPF2F1，則橢圓的離心率的取值范圍為_ 4.過雙曲線x2a2y2b21(a0，b0)的一個焦點(diǎn) F 作一條漸近線的垂線，垂足為點(diǎn) A，與另一條漸近線交于點(diǎn) B，若FB2FA，則此雙曲線的離心率為( ) A. 2 B. 3 C2 D. 5 5.(2015 山東)過雙曲線 C：x2a2y2b21(a0，b0)的右焦點(diǎn)作一條與其漸近線平行的直線，交C 于點(diǎn) P.若點(diǎn) P 的橫坐標(biāo)為 2a，則 C 的離心率為_ 6.(2015 湖北)將離心率為 e1的雙曲線 C1的實(shí)半軸長 a 和虛半軸長 b(ab)同時增加

5、m(m0)個單位長度，得到離心率為 e2的雙曲線 C2，則( ) A對任意的 a，b，e1b 時，e1e2；當(dāng) ae2 C對任意的 a，b，e1e2 D當(dāng) ab 時，e1e2；當(dāng) ab 時，e10，b0） 矩形 ABCD 的四個頂點(diǎn)在 E 上，AB，CD 的中點(diǎn)為 E 的兩個焦點(diǎn)，且 2|AB|=3|BC|，則 E 的離心率是_ 8（2015 年高考）過雙曲線C：22221xyaa0,0ab（）的右焦點(diǎn)作一條與其漸近線平行的直線，交C于點(diǎn)P.若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2a,則C的離心率為 . 9、 （齊魯名校協(xié)作體 2016 屆高三上學(xué)期第二次調(diào)研聯(lián)考）設(shè)直線 x3ym0(m0)與雙曲線x2a2y2b2

6、1(a0，b0)的兩條漸近線分別交于點(diǎn) A，B.若點(diǎn) P(m，0)滿足|PA|PB|，則該雙曲線的離心率是（） (A) 2 (B) 52 (C) 5 (D) 2 5 3 10、 （東營市、濰坊市 2016 屆高三高三三模）已知1F、2F為橢圓222210 xyabab的左、右焦點(diǎn)，以原點(diǎn)O為圓心，半焦距長為半徑的圓與橢圓相交于四個點(diǎn)，設(shè)位于y軸右側(cè)的兩個交點(diǎn)為A、B，若1ABF為等邊三角形，則橢圓的離心率為（ ） A21 B3 1 C212 D313 11、 （濟(jì)寧市 2016 屆高三上學(xué)期期末）已知拋物線24 2yx 的焦點(diǎn)到雙曲線222210,0 xyabab的一條漸近線的距離為55，則該

7、雙曲線的離心率為 A. 2 23 B. 103 C. 10 D. 2 39039 12、 （萊蕪市 2016 屆高三上學(xué)期期末）已知雙曲線222210,0 xyabab的左焦點(diǎn)是,0Fc， 離心率為 e， 過點(diǎn) F 且與雙曲線的一條漸近線平行的直線與圓222xycy在軸右側(cè)交于點(diǎn) P，若 P 在拋物線22ycx上，則2e A. 5 B. 512 C. 5 1 D. 2 13， （煙臺市 2016 屆高三上學(xué)期期末）設(shè)點(diǎn) F 是拋物線2:20 xpy p的焦點(diǎn)，1F是雙曲線2222:10,0 xyCabab的右焦點(diǎn)， 若線段1FF的中點(diǎn) P 恰為拋物線與雙曲線C 的漸近線在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)，則雙

8、曲線 C 的離心率 e 的值為 A. 3 22 B. 3 34 C. 98 D. 3 24 1,4、（青島市 2016 高三 3 月模擬） 已知點(diǎn)12,F F為雙曲線2222:10,0 xyCabab的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn) P 在雙曲線 C 的右支上，且滿足21212,120PFFFFF Po，則雙曲線的離心率為_. 4 15、 （日照市 2016 高三 3 月模擬）已知拋物線28yx的準(zhǔn)線與雙曲線222116xya相交于A,B 兩點(diǎn)，點(diǎn) F 為拋物線的焦點(diǎn)，ABF為直角三角形，則雙曲線的離心率為 A.3 B.2 C. 6 D. 3 16. (2015 重慶)如圖，橢圓x2a2y2b21(ab0)的

9、左、右焦點(diǎn)分別為 F1、F2，過 F2的直線交橢圓于 P，Q 兩點(diǎn)，且 PQPF1. (1)若|PF1|2 2，|PF2|2 2，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)若|PQ|PF1|，且3443，試確定橢圓離心率 e 的取值范圍 5 答案部分： 例 1【解析】 如圖，設(shè)雙曲線E的方程為x2a2y2b21(a0，b0)，則|AB|2a，由雙曲線的對稱性，可設(shè)點(diǎn)M(x1，y1)在第一象限內(nèi)，過M作MNx軸于點(diǎn)N(x1，0)，ABM為等腰三角形，且ABM120，|BM|AB|2a，MBN60，y1|MN|BM|sinMBN2asin 603a，x1|OB|BN|a2acos 602a.將點(diǎn)M(x1，y1)的

10、坐標(biāo)代入x2a2y2b21，可得a2b2，ecaa2b2a22，選 D. 例 2【答案】A 例 3 如圖，設(shè)左焦點(diǎn)為 F0，連接 F0A，F(xiàn)0B，則四邊形 AFBF0為平行四邊形 |AF|BF|4， |AF|AF0|4， a2. 設(shè) M(0，b)，則4b545，1b2. 離心率 ecac2a2a2b2a24b240，32， 故選 A. 例 4.直線 AB：xc，代入x2a2y2b21，得 yb2a. A(c，b2a)，B(c，b2a) kBF1b2a0ccb2a2cb22ac. 直線 BF1：y0b22ac(xc) 6 令 x0，則 yb22a， D(0，b22a)，kADb2ab22ac3b

11、22ac. 由于 ADBF1，b22ac3b22ac1， 3b44a2c2， 3b22ac，即 3(a2c2)2ac， 3e22e 30， e2 44 3 32 32 42 3. e0，e242 322 333. 【跟蹤練習(xí)】 1，答案 方法一 設(shè)橢圓的另一個焦點(diǎn)為 F1(c,0)，如圖，連接 QF1，QF，設(shè) QF 與直線ybcx 交于點(diǎn) M.由題意知 M 為線段 QF 的中點(diǎn)，且 OMFQ. 又 O 為線段 F1F 的中點(diǎn)， F1QOM， F1QQF，|F1Q|2|OM|. 在 RtMOF 中，tanMOF|MF|OM|bc，|OF|c， 可解得|OM|c2a，|MF|bca， 故|QF|

12、2|MF|2bca，|QF1|2|OM|2c2a. 由橢圓的定義得|QF|QF1|2bca2c2a2a， 整理得 bc，ab2c2 2c，故 eca22. 方法二 設(shè) Q(x0， y0)， 則 FQ 的中點(diǎn)坐標(biāo)x0c2，y02， kFQy0 x0c， 依題意 y02bcx0c2，y0 x0cbc1， 7 解得 x0c2c2a2a2，y02bc2a2，又因?yàn)?x0，y0)在橢圓上， 所以c22c2a22a64c4a41，令 eca，則 4e6e21， 離心率 e22. 2 解析 在雙曲線中 m2n2c2，又 2n22m2c2，解得 mc2，又 c2am，故橢圓的離心率 eca12. 3 依題意及

13、正弦定理， 得|PF2|PF1|ac(注意到 P 不與 F1，F(xiàn)2共線)， 即|PF2|2a|PF2|ac， 2a|PF2|1ca，2a|PF2|ca12aac， 即 e121e，(e1)22.又 0e1，因此 21e1. 4 解析 (1) 如圖， FB2FA， A 為線段 BF 的中點(diǎn)， 23. 又12，260 ， batan 60 3， e21(ba)24，e2. 答案 C 5.把 x2a 代入x2a2y2b21 8 得 y 3b. 不妨取 P(2a， 3b)又雙曲線右焦點(diǎn) F2的坐標(biāo)為(c,0)， kF2P3bc2a.由題意，得3bc2aba. (2 3)ac.雙曲線 C 的離心率為 e

14、ca2 3. 6. e11b2a2，e21bm2am2.不妨令 e1e2，化簡得ba0)，得 bmam，得 ba 時，有babmam，即 e1e2；當(dāng) ba 時，有babmam，即 e1e2.故選 B. 7、 【答案】2 【解析】 試題分析： 依題意，不妨設(shè)6,4ABAD作出圖像如下圖所示 則2124,2;2532,1,ccaDFDFa故離心率221ca 9 8、 【答案】23 考點(diǎn)：1.雙曲線的幾何性質(zhì)；2.直線方程. 9、 【答案】B 【解析】雙曲線的漸近線為 ybax，易求得漸近線與直線 x3ym0 的交點(diǎn)為Aama3b，bma3b，Bama3b，bma3b.設(shè) AB 的中點(diǎn)為 D.由|

15、PA|PB|知 AB 與 DP 垂直，則Da2m（a3b）（a3b），3b2m（a3b）（a3b），kDP3， 解得 a24b2，故該雙曲線的離心率是52. 10B,11.B 12.D 13 D 14. 15.A 16.解 (1)由橢圓的定義， 2a|PF1|PF2|(2 2)(2 2)4，故 a2. 設(shè)橢圓的半焦距為 c，由已知 PF1PF2， 因此 2c|F1F2|PF1|2|PF2|2 2 222 222 3， 即 c 3，從而 ba2c21. 10 故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24y21. (2)如圖，連接 F1Q，由 PF1PQ， |PQ|PF1|，得 |QF1|PF1|2|PQ|2 12|PF1|. 由橢圓的定義，|PF1|PF2|2a，|QF1|QF2|2a， 進(jìn)而|PF1|PQ