常用參數(shù)曲線

1、Bezier曲線曲線 和和 B樣條曲線樣條曲線1、1963年美國波音（Boeing）飛機(jī)公司的佛格森（Ferguson）最早引入?yún)?shù)三次曲線，將曲線曲面表示成參數(shù)矢量函數(shù)形式，構(gòu)造了組合曲線和由四角點的位置矢量、兩個方向的切矢定義的佛格森雙三次曲面片。2、1964年，美國麻省理工學(xué)院（MIT）的孔斯Coons）用封閉曲線的四條邊界定義一張曲面。同年，斯恩伯格（Schoenberg）提出了參數(shù)樣條曲線、曲面的形式。如何表示象飛機(jī)、汽車、輪船等具有復(fù)雜外形產(chǎn)品的表面是工程中必須解決的問題。4、1972年，德布爾（de Boor）給出了B樣條的標(biāo)準(zhǔn)計算方法。1974年，美國通用汽車公司的戈登（Gor

2、den）和里森費爾德（Riesenfeld）將B樣條理論用于形狀描述，提出了B樣條曲線和曲面。1975年，美國錫拉丘茲（Syracuse）大學(xué)的佛斯普里爾（Versprill）提出了有理B樣條方法。80年代后期皮格爾（Piegl）和蒂勒（Tiller）將有理B樣條發(fā)展成非均勻有理B樣條方法，并已成為當(dāng)前自由曲線和曲面描述的最廣為流行的技術(shù)。 3、1971年，法國雷諾（Renault）汽車公司的貝塞爾（Bezier）發(fā)表了一種用控制多邊形定義曲線和曲面的方法。同期法國雪鐵龍Citroen 汽車公司的德卡斯特里奧（de Castelijau）也獨立地研究出與Bezier類似的方法。一、一、Bezi

3、erBezier曲線曲線Bezier曲線的形狀是通過一組多邊折線（特征多邊形）的各頂點唯一地定義出來的。在這組頂點中：(1) 只有第一個頂點和最后一個頂點在曲線上；(2) 其余的頂點則用于定義曲線的導(dǎo)數(shù)、階次和形狀；(3) 第一條邊和最后一條邊則表示了曲線在兩端點處的切線方向。P0P0P2P1P1P2P3P3P1P0P3P2.Bezier.Bezier曲線的數(shù)學(xué)表達(dá)式曲線的數(shù)學(xué)表達(dá)式 Bezier曲線是由多項式混合函數(shù)推導(dǎo)出來的，通常 n+1 個頂點定義一個 n次多項式。其數(shù)學(xué)表達(dá)式為： (0 t 1)式中：i：為各頂點的位置向量i,n(t)：為伯恩斯坦基函數(shù)niniitBPtP0,)()(伯

4、恩斯坦基函數(shù)的表達(dá)式為：假如規(guī)定：，！，則t=0:i=0 ,Bi,n(t)=1 i0 ,Bi,n(t)=0P(0)=P0000)01 (0!1!)0(PPnnPnininittinintB)1()!(!)(,t=1:i=n ,Bi,n(t)=1 in ,Bi,n(t)=0P(1)=Pn 所以說，“只有第一個頂點和最后一個 頂點在曲線上”。即Bezier曲線只通過 多邊折線的起點和終點。nnnPPnnP0) 11 (11!) 1 (下面我們通過對伯恩斯坦基函數(shù)求導(dǎo)，來分析兩端切矢的情況。得： )()()(1,1, 1,tBtBntBninini101,1,1)()()(nininiitBtBPn

5、tP討論：t=0: i=0: Bi-1,n-1(t)=0； Bi,n-1(t)=1。 i=1: Bi-1,n-1(t)=1； Bi,n-1(t)=0。 （均出現(xiàn) 0 的非 0 次冪）ininiininittinintBttinintB11,111,1)1()!1(!)!1()()1()!()!1()!1()( t=0同理可得，當(dāng) t=1 時這兩個式子說明：Bezier曲線在兩端點處的切矢方向與特征多邊形的第一條邊和最后一條邊相一致。且末端切矢的模長分別等于首末邊長的n倍，n為貝塞爾曲線的階次 )()0()0(01PPntPP)()1(1nnPPnPBezier曲線的性質(zhì)：（1）端點位置：（2）

6、端點的切線：曲線與P0P1， Pn-1Pn相切，（3）端點的曲率：PPnPP) 1 (,)0(0)() 1 ( )()0( 101PPPPnnn，PnP31121130112010)()(1)()()(1)(nnnnnnttPPPPPPnntkPPPPPPnntk3)()()()(tPtPtPtk （4）對稱性：若保持控制點的位置不變，但次序顛倒，即Pi變?yōu)镻n-i，則Bezier曲線形狀不變。（5）仿射不變性：即Bezier曲線的形狀、重心及相對位置（與控制多邊形）與選擇的坐標(biāo)無關(guān)。方便圖形變換（6）凸包性： 對于某個t值P(t)是特征多邊形各頂點的加權(quán)平均，權(quán)因子是 。 在幾何圖形上，P(

7、t)是各控制點的凸線性組合，并且曲線各點均落在Bezier特征多邊形構(gòu)成的凸包之中。01 ,0)(, 1)(,0,tttBEZBEZninini)(,tBEZni（7）直線再生性：若控制頂點P0 ,P1 ,Pn在同一直線上，該Bezier曲線必為一條直線段（8）平面Bezier曲線的保凸性：如控制頂點為凸，則相應(yīng)的Bezier曲線也為凸（9）變差縮減性：平面內(nèi)任一條直線與Bezier曲線的交點數(shù)，不多于此直線與控制多邊形的交點個數(shù)該性質(zhì)說明：Bezier曲線比控制多邊形波動得少，比控制多邊形光順。（10）擬局部性（見程序）當(dāng)移動控制頂點Pi 時，對應(yīng)參數(shù) t=i/n 的曲線上的點變動最大，遠(yuǎn)離

8、 i/n 的曲線上的點變動越來越小Bezier曲線的形狀由其控制多邊形的形狀作較好的刻劃，在設(shè)計時，一般以控制多邊形的設(shè)計與修改為基本手段. .二次和三次二次和三次BezierBezier曲線曲線(1) 三個頂點：P0,P1,P2 可定義一條二次(n=2) Bezier曲線：其相應(yīng)的混合函數(shù)為： 22222,21212,120202,0)1(!0!2!2)()1(2)1(! 1! 1!2)()1()1(!2!0!2)(ttttBtttttBttttB所以，根據(jù)式：二次 Bezier 曲線的表達(dá)形式為：P(t)=(1-t)2P0+2t(1-t)P1+t 2 P2（t 1)niniitBPtP0,

9、)()(二次貝塞爾曲線的圖形 P(t)=(1-t)2P0+2t(1-t)P1+t2 P2 P(t)=2(t-1)P0+2(1-2t)P1+2tP2P(1/2)=1/2P1+1/2(P0+P2)P(0)=2(P1-P0)P(1)=2(P2-P1)P(1/2)=P2-P0P0PmP2P(1/2)P(1/2)P1(2)四個頂點 P0、P1、P2、P3 可定義一條三次 Bezier 曲線：*3210233322120300010033036313311)1 (3)1 (3)1 ()(PPPPtttPtPttPttPttP貝塞爾曲線在運用中的不足之處 缺乏靈活性一旦確定了特征多邊形的頂點數(shù)(m個)，也就

10、決定了曲線的階次(m-1次)，無法更改； 控制性差當(dāng)頂點數(shù)較多時，曲線的階次將較高，此時，特征多邊形對曲線形狀的控制將明顯減弱；不易修改由曲線的混合函數(shù)可以看出，其值在開區(qū)間 ( 0 , 1 ) 內(nèi)均不為零。因此，所定義之曲線在 ( 0 t 1)的區(qū)間內(nèi)的任何一點均要受到全部頂點的影響，這使得對曲線進(jìn)行局部修改成為不可能。（而在外形設(shè)計中，局部修改是隨時要進(jìn)行的）二、二、B B樣條曲線樣條曲線 為了克服 Bezier 曲線存在的問題，Gordon 等人拓展了 Bezier曲線，就外形設(shè)計的需求出發(fā)，希望新的曲線要： 易于進(jìn)行局部修改； 更逼近特征多邊形； 是低階次曲線。于是，用 n次樣條基函數(shù)

11、替換了伯恩斯坦基函數(shù)，構(gòu)造了稱之為樣條曲線的新型曲線。樣條基函數(shù)樣條基函數(shù)nitttttttttttttttBBBBkiikiikikiikiikiiii, 1 , 0),()()(, 0), 1)(1, 111,1,11 ,其它當(dāng)),()(1,1,0nkkiniitttttPBP Bi，k（t）的雙下標(biāo)中第二個下標(biāo)k表示次數(shù)，第一個下標(biāo)i表示序號。欲確定第i個k次樣條Bi，k（t），需要用到ti、ti+1、，-，ti+k+1共k+2個點B樣條曲線的方程可表示為B樣條曲線的性質(zhì)(1)局部性由定義可知,樣條基函數(shù)Bi,k只在ti,ti+1區(qū)間不為0，該段曲線只與控制頂點Pi-K+1,pi-k+2

12、, Pi有關(guān)(2)遞推性可根據(jù)遞推公式由低次的B樣條得出高次的B樣條。nitttttttttttttttBBBBkiikiikikiikiikiiii, 1 , 0),()()(, 0), 1)(1, 111,1,11 ,其它當(dāng)n（3）凸包性 B樣條曲線的凸包由每一曲線段對應(yīng)的控制頂點的凸包的并集構(gòu)成。n（4）直線再生性若控制頂點落在一條直線上，則該段曲線為直線n（5）連續(xù)性n（6）幾何不變性。曲線形狀由控制點決定，與坐標(biāo)系的選取無關(guān)n（7）磨光性由同一組控制點定義的B樣條曲線，隨著k的增加，越來越光滑。2. 2.樣條曲線的數(shù)學(xué)表達(dá)式樣條曲線的數(shù)學(xué)表達(dá)式樣條曲線的數(shù)學(xué)表達(dá)式為： 在上式中，0

13、t 1； i= 0, 1, 2, , m所以可以看出：樣條曲線是分段定義的。如果給定 m+n+1 個頂點 Pi ( i=0, 1, 2, m+n)，則可定義 m+1 段 n 次的參數(shù)曲線。 nknkkinitFPtP0,)()(在以上表達(dá)式中：F k,n ( t ) 為 n 次B樣條基函數(shù)，也稱樣條分段混合函數(shù)。其表達(dá)式為：式中： 0 t 1 k = 0, 1, 2, , n knjnjnjnkjkntCntF01,)()1(!1)(連接全部曲線段所組成的整條曲線稱為 n 次樣條曲線。依次用線段連接點 Pi+k (k=0,1,n)所組成的多邊折線稱為樣條曲線在第i段的特征多邊形。 . .二次樣

14、條曲線二次樣條曲線在二次樣條曲線中，n=2,k=0,1,2故其基函數(shù)形式為：22,222,1222220232,021)()122(21)()1(21!2!3)1(!2!3)2(!3!321)2()1(!21)(ttFtttFttttjtCtFjjj 有了基函數(shù)，因此可寫出二次樣條曲線的分段表達(dá)式為：( i= 0,1,2,m )m+1段22, 212, 12, 0)()()()(iiiiPtFPtFPtFtP寫成一般的矩陣形式為：寫成一般的矩陣形式為：式中，k為分段曲線的特征多邊形的頂點：P0,P1,P2。對于第i段曲線的Bk 即為：Pi,Pi+1,Pi+2 連續(xù)的三個頂點。（見下圖）2021

15、022,011022121211)()(kkkBBBttBtFtPP3B:P0P0,P1,P2P2P1P1,P2,P3B:P4n=2,二次B樣條曲線m+n+1個頂點，三點一段，共m+1段。i=0P0,2(t)i=1P1,2(t)二次樣條曲線的性質(zhì)二次樣條曲線的性質(zhì)先對 P(t)求導(dǎo)得：然后分別將 t=0,t=0.5,t=1 代入 P(t)和 P(t)，可得：P(0)=1/2(B0+B1), P(1)=1/2(B1+B2); P(0)=B1-B0, P(1)=B2-B1; P(1/2)=1/21/2P(0)+P(1)+B1 P(1/2)=1/2(B2-B0)=P(1)- P(0)2100111211)(BBBttP與以上這些式子所表達(dá)的性質(zhì)相符的曲線是何種形狀：（見下圖）B0P(0)P(1)MB2P(1/2)B1P(1/2)結(jié)論：分段二次B樣條曲線是一條拋物線；有n個頂點定義的二次B樣條曲線，其實質(zhì)上是n-2段拋物線（相鄰三點定義）的連接，并在接點處達(dá)到一階連續(xù)。（見下圖）P3P0P2P1P4. .三次樣條曲線三次樣條曲線分段三次樣條曲線由相鄰四個頂點定義，其表達(dá)式為：P(