拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程教案(理科)(共37頁(yè))

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程教案（理科）適用學(xué)科高中數(shù)學(xué)適用年級(jí)高中二年級(jí)適用區(qū)域通用課時(shí)時(shí)長(zhǎng)（分鐘）60知識(shí)點(diǎn)拋物線的定義、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及相關(guān)運(yùn)算教學(xué)目標(biāo)1理解拋物線定義及其限制條件；理解拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)；理解拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中p的意義；2掌握拋物線定義；掌握求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的方法；3培養(yǎng)應(yīng)用代數(shù)知識(shí)進(jìn)行代數(shù)式的同解變形能力和化簡(jiǎn)能力教學(xué)重點(diǎn)拋物線的定義、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、坐標(biāo)化的基本思想教學(xué)難點(diǎn)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)與化簡(jiǎn)，坐標(biāo)法的應(yīng)用教學(xué)過(guò)程一、課堂導(dǎo)入在初中，我們學(xué)習(xí)了二次函數(shù)，知道二次函數(shù)的圖象是一條拋物線，例如：（1），（2）的圖象（如下圖）： 那么，什么樣的曲

2、線是拋物線，它具有怎樣的幾何特征？它的方程是什么呢？這就是我們今天要研究的內(nèi)容。二、復(fù)習(xí)預(yù)習(xí)我們知道，與一個(gè)定點(diǎn)的距離和一條定直線的距離的比是常數(shù)e的點(diǎn)的軌跡，當(dāng)0 e 1時(shí)是橢圓，當(dāng)e1時(shí)是雙曲線那么，當(dāng)e1時(shí)它是什么曲線呢？把一根直尺固定在圖板上直線l的位置(如下圖)把一塊三角尺的一條直角邊緊靠著直尺的邊緣，再把一條細(xì)繩的一端固定在三角尺的另一條直角邊的一點(diǎn)A，取繩長(zhǎng)等于點(diǎn)A到直角頂點(diǎn)C的長(zhǎng)(即點(diǎn)A到直線l的距離)，并且把繩子的另一端固定在圖板上的一點(diǎn)F用鉛筆尖扣著繩子，使點(diǎn)A到筆尖的一段繩子緊靠著三角尺，然后將三角尺沿著直尺上下滑動(dòng)，筆尖就在圖板上描出了一條曲線從圖中可以看出，這條曲線上

3、任意一點(diǎn)P到F的距離與它到直線l的距離相等把圖板繞點(diǎn)F旋轉(zhuǎn)90°，曲線就是初中見(jiàn)過(guò)的拋物線平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線三、知識(shí)講解拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及準(zhǔn)線方程下面根據(jù)拋物線的定義，我們來(lái)求拋物線的方程如下圖，建立直角坐標(biāo)系xOy，使x軸經(jīng)過(guò)點(diǎn)F且垂直于直線l，垂足為K，并使原點(diǎn)與線段KF的中點(diǎn)重合 設(shè)，那么焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程是.設(shè)點(diǎn)M(x，y)是拋物線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)M到l的距離為d由拋物線的定義，拋物線就是集合P= M|MF|=d .將上式兩邊平方并化簡(jiǎn)，得 方程叫做拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程它表示的拋物線的焦點(diǎn)

4、在x軸的正半軸上，坐標(biāo)是，它的準(zhǔn)線方程是.一條拋物線，由于它在坐標(biāo)平面內(nèi)的位置不同，方程也不同所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程還有其他幾種形式：,，這四種拋物線的圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程、焦點(diǎn)坐標(biāo)以及準(zhǔn)線方程列表如下：圖形標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線方程對(duì)表格的說(shuō)明：方便學(xué)生掌握（統(tǒng)觀四種情況） （1）表示焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離； （2）拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程，左邊為二次，右邊為一次。若一次項(xiàng)是x，則對(duì)稱軸為x軸，焦點(diǎn)在x軸上；若一次項(xiàng)是y，則對(duì)稱軸為y軸，焦點(diǎn)在y軸上；（對(duì)稱軸看一次項(xiàng)） （3）標(biāo)準(zhǔn)方程中一次項(xiàng)前面的系數(shù)為正數(shù)，則開(kāi)口方向坐標(biāo)軸正方向；若一次項(xiàng)前面的系數(shù)為負(fù)數(shù)，則開(kāi)口方向?yàn)樽鴺?biāo)軸負(fù)方向；（符號(hào)決定開(kāi)口方向）四、例題精

5、析例1 （1）已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是，求它的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程； （2）已知拋物線的焦點(diǎn)是，求它的標(biāo)準(zhǔn)方程.【規(guī)范解答】解：（1）因?yàn)椋話佄锞€的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為 （2）因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)在y軸上，所以拋物線方程為【總結(jié)與反思】（1）先看清一次項(xiàng)，判定對(duì)稱軸與焦點(diǎn)所在位置，畫(huà)草圖，再求出p的值得到焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程。（2）先判定出焦點(diǎn)在y軸上，從而得到一次項(xiàng)為y，再求出p的值進(jìn)而寫出方程.例2 指出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程（1） （2）【規(guī)范解答】解:（1），焦點(diǎn)坐標(biāo)是（0，1），準(zhǔn)線方程是：（2）原拋物線方程為：，當(dāng)時(shí)，拋物線開(kāi)口向右，焦點(diǎn)坐標(biāo)是，準(zhǔn)線方程是：當(dāng)時(shí)，拋物線開(kāi)口向左，焦

6、點(diǎn)坐標(biāo)是，準(zhǔn)線方程是：綜合上述，當(dāng)時(shí)，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程是：【總結(jié)與反思】（1）先根據(jù)拋物線方程確定拋物線是四種中哪一種，求出p，再寫出焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程（2）先把方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程形式，再對(duì)a進(jìn)行討論，確定是哪一種后，求p及焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程例3 若直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，且AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，求此直線方程【規(guī)范解答】解法一：設(shè)、，則由：可得：直線與拋物線相交，且，則AB中點(diǎn)橫坐標(biāo)為：，解得：或（舍去）故所求直線方程為：解法二：設(shè)、，則有兩式作差解：，即，故或（舍去）則所求直線方程為：【總結(jié)與反思】由直線與拋物線相交利用韋達(dá)定理列出k的方程求解另由于已知與直線斜率及弦中點(diǎn)坐標(biāo)有

7、關(guān)，故也可利用“作差法”求k 例4 求證：以拋物線的焦點(diǎn)弦為直徑的圓心與拋物線的準(zhǔn)線相切【規(guī)范解答】證明： （如下圖） 作于于M為AB中點(diǎn)，作于，則由拋物線的定義可知：在直角梯形中：，故以AB為直徑的圓，必與拋物線的準(zhǔn)線相切【反思與總結(jié)】類似有：以橢圓焦點(diǎn)弦為直徑的圓與相對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線相離，以雙曲線焦點(diǎn)弦為直徑的圓與相應(yīng)的準(zhǔn)線相交可設(shè)拋物線方程為只須證明，則以AB為直徑的圓，必與拋物線準(zhǔn)線相切五、課堂運(yùn)用【基礎(chǔ)】1、 ( 如圖 )過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作弦，為準(zhǔn)線，過(guò)、作的垂線，垂足分別為、，則為（），為（）A大于等于B小于等于C等于D. 不確定【答案】C、B【規(guī)范解答】解：點(diǎn)在拋物線上，由拋物線定義，則

8、，又軸，同理，而，選C過(guò)中點(diǎn)作，垂中為，則以為直徑的圓與直線相切，切點(diǎn)為又在圓的外部，特別地，當(dāng)軸時(shí)，與重合，即，選B2、 已知點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)在該拋物線上移動(dòng)，當(dāng)取最小值時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)【答案】【規(guī)范解答】解：如圖，由定義知，故取等號(hào)時(shí)，、三點(diǎn)共線，點(diǎn)縱坐標(biāo)為2，代入方程，求出其橫坐標(biāo)為2，所以點(diǎn)坐標(biāo)為3、已知定直線l及定點(diǎn)A（A不在l上），n為過(guò)A且垂直于l的直線，設(shè)N為l上任一點(diǎn)，AN的垂直平分線交n于B，點(diǎn)B關(guān)于AN的對(duì)稱點(diǎn)為P，求證P的軌跡為拋物線【規(guī)范解答】證明：如圖所示，連結(jié)PA、PN、NB由已知條件可知：PB垂直平分NA，且B關(guān)于AN的對(duì)稱點(diǎn)為PAN也垂直平分PB則四邊形

9、PABN為菱形即有則P點(diǎn)符合拋物線上點(diǎn)的條件：到定點(diǎn)A的距離與到定直線的距離相等，所以P點(diǎn)的軌跡為拋物線4、 若線段為拋物線的一條焦點(diǎn)弦，F(xiàn)為C的焦點(diǎn)，求證：【規(guī)范解答】證明一：，若過(guò)F的直線即線段所在直線斜率不存在時(shí)，則有,若線段所在直線斜率存在時(shí)，設(shè)為k，則此直線為：，且設(shè)由得： 根據(jù)拋物線定義有：則請(qǐng)將代入并化簡(jiǎn)得：證明二：如圖所示，設(shè)、F點(diǎn)在C的準(zhǔn)線l上的射影分別是、，且不妨設(shè)，又設(shè)點(diǎn)在、上的射影分別是A、B點(diǎn)，由拋物線定義知，又，即故原命題成立【鞏固】1、設(shè)拋物線方程為，過(guò)焦點(diǎn)F的弦AB的傾斜角為，求證：焦點(diǎn)弦長(zhǎng)為【規(guī)范解答】證明一：拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)焦點(diǎn)的弦AB所在的直線方程為：由

10、方程組消去y得：設(shè)，則又即證明二：如圖所示，分別作、垂直于準(zhǔn)線l由拋物線定義有：于是可得出：故原命題成立2、定長(zhǎng)為3的線段的端點(diǎn)、在拋物線上移動(dòng)，求的中點(diǎn)到軸的距離的最小值，并求出此時(shí)中點(diǎn)的坐標(biāo)【規(guī)范解答】解：如圖，設(shè)是的焦點(diǎn)，、兩點(diǎn)到準(zhǔn)線的垂線分別是、，又到準(zhǔn)線的垂線為，、和是垂足，則設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為，則等式成立的條件是過(guò)點(diǎn)當(dāng)時(shí)，故，所以，此時(shí)到軸的距離的最小值為【拔高】1、過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作傾斜角為的直線，交拋物線于、兩點(diǎn)，求的最小值【規(guī)范解答】解：( 1 )若，此時(shí)( 2 )若，因有兩交點(diǎn)，所以，即代入拋物線方程，有故，故所以因，所以這里不能取“=”綜合( 1 )( 2 )，當(dāng)時(shí)，2、已知圓錐曲線C經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，它的一個(gè)焦點(diǎn)為F（1，0），對(duì)應(yīng)于該焦點(diǎn)的準(zhǔn)線為，過(guò)焦點(diǎn)F任意作曲線C的弦AB，若弦AB的長(zhǎng)度不超過(guò)8，且直線AB與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)，求：（1）AB的傾斜角的取值范圍（2）設(shè)直線AB與橢圓相交于C、D兩點(diǎn)，求CD中點(diǎn)M的軌跡方程【規(guī)范解答】解：（1）由已知得故P到的距離，從而曲線C是拋物線，其方程為設(shè)直線AB的斜率為k，若k不存在，則直線AB與無(wú)交點(diǎn)k存在設(shè)AB的方程為，由可得：設(shè)A、B坐標(biāo)分別為、，則：弦AB的長(zhǎng)度不超過(guò)8，即由得：