直線與橢圓的綜合運用教案

1、直線和橢圓的綜合運用適用學(xué)科數(shù)學(xué)適用年級高二適用區(qū)域江蘇課時時長（分鐘）60分鐘知識點橢圓的綜合問題教學(xué)目標(biāo)1.理解直線與橢圓的各種位置關(guān)系，能利用方程根的判別式來研究直線與橢圓的各種位置關(guān)系；掌握和運用直線被橢圓所截得的弦長公式；2.初步掌握與橢圓有關(guān)的弦長、中點、垂直等問題的一些重要解題技巧；進一步樹立數(shù)形結(jié)合、函數(shù)方程、等價轉(zhuǎn)化、分類討論等重要數(shù)學(xué)思想教學(xué)重點利用“數(shù)”與“形”的結(jié)合，利用方程解決直線與橢圓的位置關(guān)系和有關(guān)弦長等綜合問題.教學(xué)難點利用“數(shù)”與“形”的結(jié)合，利用方程解決直線與橢圓的位置關(guān)系和有關(guān)弦長等綜合問題. 一、知識講解考點/易錯點1 直線與橢圓的位置關(guān)系提問學(xué)生：回憶

2、點與圓的位置關(guān)系、直線與圓的位置關(guān)系引出點與橢圓的位置關(guān)系設(shè)點，橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為若點橢圓上，則；若點在橢圓內(nèi)，則；若點在橢圓外，則；（1）通過直線運動與橢圓形成的交點個數(shù)說明直線與橢圓的三種位置關(guān)系：相離：直線與橢圓沒有交點；相切：直線與橢圓有唯一交點；相交：直線與橢圓兩個交點；（2）判斷直線與橢圓的位置關(guān)系設(shè)直線橢圓，聯(lián)立直線與橢圓方程消去得記該一元二次方程的判別式為，則當(dāng)時，直線與橢圓相交，有兩個交點；當(dāng)時，直線與橢圓相切，此時有一個交點；當(dāng)時，直線與橢圓相離，沒有交點.（3）弦長公式的推導(dǎo)設(shè)為橢圓上的兩點，叫做橢圓的弦長.回憶兩點間的距離公式，通過距離公式化簡整理，得出弦長公式.（其中為直

3、線的斜率）. 二、例題精析【例題1】【題干】已知橢圓的離心率為，右頂點到左焦點的距離為（1）求橢圓的方程.（2）若直線與橢圓：相交，相切，相離，求實數(shù)的取值范圍；（3）設(shè)直線與橢圓相交于不同的兩點，令，求.【答案】（1）（2）相交：，相切： ，相離： （3）【解析】（1）依據(jù)題意，則解方程組得所以橢圓方程為（2）聯(lián)立消掉得若直線與橢圓相交，則，解得若直線與橢圓相切，則，解得若直線與橢圓相離，則，解得（3）聯(lián)立消掉得因為直線與橢圓有兩個交點，則，解得設(shè)，由韋達定理，則，由弦長公式，則所以【例題2】【題干】已知橢圓，（1）求斜率為的平行弦中點的軌跡方程；（2）過的直線與橢圓相交于兩點，且關(guān)于點對稱

4、，求直線的方程；（3）過點的直線與橢圓相交，求直線被橢圓截得的弦中點的軌跡方程.【答案】（1），（2），（3）【解析】(1) 設(shè)平行弦中點坐標(biāo)為，弦與橢圓對應(yīng)的兩個交點為，兩式相減得化簡整理得又因為，代入上式，得.所以平行弦中點的軌跡方程為 (在橢圓內(nèi)的部分).（2）設(shè)，則兩式相減得曲線的范圍化簡整理得又因為關(guān)于點對稱，則所以故直線的方程為：（3）由點的位置結(jié)合橢圓方程可知直線的斜率必然存在，設(shè)弦中點坐標(biāo)為，則設(shè)直線與橢圓的兩交點分別為，則又兩式相減得化簡整理得由聯(lián)立化簡得， .所以弦中點的軌跡為：. 三、課堂運用【基礎(chǔ)】1.橢圓上有一動點,為橢圓的右焦點，若，則橢圓的方程為（ ）AB或 或【

5、答案】.【解析】依據(jù)題意易得，解得所以橢圓方程為：2.已知直線過橢圓的左焦點且與橢圓相交于兩點，橢圓的右焦點為，則的周長為（ ）【答案】【解析】如圖,因為在橢圓上，由橢圓的定義，則所以的周長所以選3. 橢圓的焦點分別為,點在橢圓上，若,則,.【答案】4；.【解析】由橢圓的定義，則,又因為，故為直角三角形，所以.4.已知,動點滿足,則點的軌跡方程為.【答案】【解析】因為,所以點的軌跡為橢圓，則，故橢圓方程為.5.若直線與橢圓有且只有一個交點，求實數(shù)的值.【答案】【解析】聯(lián)立消得因為直線與橢圓只有一個交點，則解得.【鞏固】1. 已知兩定點，動點滿足，則點的軌跡是（ ）圓 橢圓 雙曲線 拋物線【答案

6、】【解析】設(shè)，則，整理得，所以是橢圓，選.2.直線與橢圓相交于兩點，若，求的值.【答案】1【解析】聯(lián)立消去得恒成立，則設(shè)，由韋達定理，則，由弦長公式解得.【拔高】與曲線C:相交,若直線被曲線C所截得的線段長不大于,則直線的傾斜角的取值范圍是 ( )【答案】【解析】因為截得的線段長不大于，故直線不可能與軸重合，可設(shè)直線方程為聯(lián)立消去得，設(shè)直線與橢圓相交于兩點，則，整理得，解得所以，又，解得.選2. 已知橢圓，是過點且相互垂直的兩條直線，問實數(shù)為何值時，與橢圓都有公共點.【答案】【解析】由題知點在軸上運動，分兩種情形討論（1） 當(dāng)中有一條與軸平行時，則必有一條是軸，此時；（2） 當(dāng)中都不與軸平行時

7、，設(shè)，則.與橢圓有公共點，即有實數(shù)根，整理得解得.與橢圓有公共點，同理可得當(dāng)時，；又時，；而必有一個小于等于1，此時與橢圓不可能都有公共點.綜上所述時，.課程小結(jié)本講主要學(xué)習(xí)了下面的內(nèi)容：直線與橢圓的位置關(guān)系課后作業(yè)【基礎(chǔ)】1.橢圓的中心在原點，焦距為，一條準(zhǔn)線為，則該橢圓的方程為（ ）【答案】【解析】依題可設(shè)橢圓方程為，則，所以，橢圓方程為，故選與橢圓相交，則實數(shù)的取值范圍為（ ）【答案】【解析】把直線方程代入橢圓得，因為相交，所以，解得.故選與橢圓相交于兩點，則弦（ ）【答案】【解析】：聯(lián)立方程消去得，設(shè)則.選方程，橢圓，則直線與橢圓的位置關(guān)系為（ ）相交 相離 相切 無法判斷【答案】【解

8、析】已知直線過定點，定點代入橢圓則，過直線過橢圓內(nèi)部的點，所以直線與橢圓相交，選【鞏固】1.已知直線，橢圓，試問：當(dāng)取何值時，直線與橢圓：相交；相切；相離.【答案】；【解析】將代入橢圓消去得，當(dāng)，即時，直線與橢圓相切；當(dāng)，即時，直線與橢圓相切；當(dāng)，即時，直線與橢圓相離.2.是橢圓C：的短軸端點，點是橢圓上異于的任意一點，直線，與軸交點的橫坐標(biāo)分別為，求證：是定值.【答案】答案見解析【解析】證明：如圖，設(shè)，則直線的方程為：直線的方程為：由解得由解得，則又因為在橢圓上，則由解得代入式，得.所以是定值.3.過橢圓內(nèi)一點引一條弦，使弦被點平分，求這條弦所在的直線方程.【答案】【解析】法一：設(shè)直線與橢圓

9、的交點為A()，B（）,則-得，整理得所以，故直線方程為.法二：設(shè)所求直線方程為，代入橢圓方程并整理得：又設(shè)直線與橢圓的交點為A()，B（），則是方程的兩個根，于是，又為AB的中點，所以，解得，故所求直線方程為.【拔高】的離心率為，右頂點到左焦點的距離為（1） 求橢圓的方程.（2） 設(shè)直線與橢圓相交于兩點，令，求.【答案】（）（）【解析】（1），右頂點到左焦點的距離為，則，聯(lián)立解得，橢圓方程為.（2） 聯(lián)立消去得，因為直線與橢圓有兩個交點，所以解得設(shè)，則代入數(shù)據(jù)得所以，點為橢圓上的一動點，則到直線的距離的最大值和最小值分別為（ ）【答案】【解析】設(shè)點，則當(dāng)時，；當(dāng)時，選3.是橢圓不在坐標(biāo)軸上的

10、點，是它的兩個焦點，是的內(nèi)心，的延長線交于，則.【答案】【解析】法一：如圖,過作軸的垂線，垂足為,過作軸的垂線，垂足為，在中則代入數(shù)據(jù)得所以，又,則所以.法二：解法二：因為是的內(nèi)心，所以平分,平分,由角平分線定理，則,又由等比定理，則.4.為橢圓上一點，為橢圓的上頂點，為坐標(biāo)原點，若,則橢圓離心率的取值范圍為.【答案】【解析】依據(jù)題意，則，如圖則點的軌跡是以為直徑，為圓心的圓（1）又因為點在橢圓上，則（2）聯(lián)立（1）（2）消掉得，且，解得是橢圓上的一點（非頂點），過點作圓的兩條切線，切點分別為，直線分別與軸，軸交于兩點.（1）證明：四點共圓.（其中為坐標(biāo)原點）（2）求的最小值.【答案】（）答案見解析（）【解析】如圖.(1)證明：因為都與圓相切，是切點，則,即,所以四點共圓.（2）四點共圓，直徑為，設(shè)，則圓心為，圓的方程為-整理得，直線的方程為因為直線與軸交點分別為，則， ，又在橢圓上，則，所以.6. 已知，橢圓C以過點A（1，），兩個焦點為（1，0）（1，0）.（1）求橢圓C的方程；（2）E,F是橢圓C上的兩個動點，如果直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數(shù)，證明直線EF的斜率為定值，并