空間解析幾何與向量代數(shù)已改

1、一、 向量代數(shù)（A:§7.1,§7.2；B:§7.1,§7.2,§7.3,§7.4）、內(nèi)容要求：（）理解空間直角坐標(biāo)系，掌握兩點(diǎn)間距離公式，中點(diǎn)公式，自學(xué)定比分點(diǎn)公式。（）理解向量的概念（向量，單位向量，模，方向角，方向余弦，分向量與投影）及其坐標(biāo)表達(dá)，了解向徑的坐標(biāo)表示與點(diǎn)坐標(biāo)表示之間的關(guān)系。（）掌握向量的線性運(yùn)算，數(shù)量積與向量積及其坐標(biāo)表示，自學(xué)混合積。（）學(xué)會(huì)用向量代數(shù)方法解決有關(guān)向量間位置關(guān)系的問(wèn)題。、基本題型：（）有關(guān)空間直角坐標(biāo)系下點(diǎn)坐標(biāo)的問(wèn)題。1（4¢）在空間直角坐標(biāo)系中，指出下列各點(diǎn)在哪個(gè)卦限？(A) (B)

2、 (C) (D) 解：（A） （B） （C） （D）2（6¢）若，則中點(diǎn)坐標(biāo)為， 5 .3.（7¢）求點(diǎn)關(guān)于（1）各坐標(biāo)面（2）各坐標(biāo)軸（3）坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)。 解：（1）（2）（3）4（4¢）若點(diǎn)的坐標(biāo)為，則向徑用坐標(biāo)可表示為或.5（8¢）一邊長(zhǎng)為的立方體放置在面上，其下底面的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，底面的頂點(diǎn)在軸和軸上，求它各頂點(diǎn)的坐標(biāo)。解：6（7¢）已知，且，求（1）；（2）線段的中點(diǎn)坐標(biāo)。解：（）有關(guān)向量概念及向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示。7（8¢）設(shè)已知兩點(diǎn)和，計(jì)算的模、方向余弦、方向角及單位向量。解：（1）模2，（2）（3）8（6&

3、#162;）若為向量的方向角，則 1 ； 2 .9.（6¢）設(shè)，和，求向量在軸上的投影及在軸上的分向量。解：（1）13， （2） (10（6¢）已知點(diǎn)的向徑為單位向量，且與軸的夾角為，另外兩個(gè)方向角相等，求點(diǎn)的坐標(biāo)。解：11.（6¢）已知向量與各坐標(biāo)軸成相等的銳角，若，求的坐標(biāo)。解：因?yàn)?，所?同理，故（）向量的數(shù)量積與向量積及其坐標(biāo)運(yùn)算。12（4¢）下列關(guān)系式錯(cuò)誤的是-（ D ）(A) (B) (C) (D) 13（7¢）設(shè)，求與解： ， 14.（7¢）設(shè)，求解：（）用向量的坐標(biāo)來(lái)判斷向量間的特殊位置關(guān)系，會(huì)求一向量在另一向量上的投

4、影。15確定下列各組向量間的位置關(guān)系：（1）（4¢）與（2）（4¢）與16（7¢）求向量在向量上的投影。 解：（）用向量積來(lái)計(jì)算有關(guān)平行四邊形和三角形的面積問(wèn)題。17（7¢）已知：，求的面積。 解：18（7¢）三頂點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別為，則如何用向量積的方法來(lái)求出的面積？ 解：19（7¢）試找出一個(gè)與同時(shí)垂直的向量。 解：=、綜合應(yīng)用題型：（）涉及到代數(shù)向量（即用坐標(biāo)表達(dá)式表示的具體向量）的綜合計(jì)算問(wèn)題。20（10¢）已知三點(diǎn)，（1）求；（2）求與同時(shí)垂直的單位向量。 解：（1） ， 故 （2）21（8¢

5、）已知，試在軸上求一點(diǎn)，使的面積最小。解：設(shè)，、提高題型：（）用“幾何向量”（即不涉及到坐標(biāo)表達(dá)式的向量）來(lái)處理有關(guān)向量問(wèn)題。22（7¢）已知：為單位向量，且滿足，求解： 故 23（7¢）設(shè)且，求；解：由易知 （）故 24（8¢）設(shè)，已知|，且，（1）若，求值。（2）為何值時(shí)，與為鄰邊的長(zhǎng)方形面積為？解：（1）由 得可討論：不論是否是， 都有25（7¢）設(shè)非零向量，求證：解： 二、平面方程（§7.5）、內(nèi)容要求：（）掌握平面的法向量及點(diǎn)法式方程，了解平面其它形式的方程。（）掌握平面與平面特殊位置關(guān)系，了解夾角算法。（）學(xué)會(huì)計(jì)算點(diǎn)到平面的距離。、

6、基本題型：（）三點(diǎn)式平面方程的求法，根據(jù)一般式方程指出平面的特殊位置。26（7¢）求過(guò)三點(diǎn)的平面方程。若不共線，你能給出過(guò)此三點(diǎn)的平面方程嗎？解： 因?yàn)槠矫娴姆ㄏ蛄繛?故 27指出下列平面方程的位置特點(diǎn)，并作示意圖：（1）（5¢）； （2）（5¢）； （3）（5¢）解：（1）過(guò)點(diǎn)且平行于坐標(biāo)面的平面。過(guò)軸且垂直于坐標(biāo)面的平面。 （3）截距分別為的平面。（）二平面垂直與平行的判定。28判定下列兩平面之間的位置關(guān)系：（1）（4¢）與（2）（4¢）與解 （1）平行； （2）垂直 （）二平面夾角的計(jì)算（夾角規(guī)定為0,）。29（4¢）

7、求兩平面和的夾角。解：， 故 （）點(diǎn)到平面距離的計(jì)算。30（4¢）點(diǎn)到平面的距離31（7¢）求與之間的距離。解： 在上取一點(diǎn)，由點(diǎn)到平面的距離公式得 （）用點(diǎn)法式方程建立與已知平面有關(guān)的未知平面方程32求滿足下列條件的平面方程：（1）（7¢）平行軸，且過(guò)點(diǎn)和解： 設(shè)所求平面為 ，將代入得 故所求平面為 （2）（7¢）過(guò)點(diǎn)且平行于平面解： ，即 （3）（7¢）過(guò)點(diǎn)和且垂直于平面解：所求平面為，于是有， 解得， 即三、直線方程（§7.6）、內(nèi)容要求：（）掌握直線的方向向量及對(duì)稱式方程，了解直線其它形式的方程。（）掌握直線與直線特殊位置關(guān)系

8、的條件。（）學(xué)會(huì)計(jì)算點(diǎn)到直線的距離。、基本題型：（）兩點(diǎn)式直線方程的計(jì)算。33（4¢）過(guò)點(diǎn)的直線方程為 （）一般式方程轉(zhuǎn)化為對(duì)稱式方程。34（7¢）用對(duì)稱式方程及參數(shù)式方程表示直線解：，取 得 故直線的對(duì)稱式方程為 直線參數(shù)式方程為 （）兩直平行或垂直的判定。35. 判別下列各直線之間的位置關(guān)系：（1）（4¢）與解：， 所以 （2）（4¢）與解：， 所以 （）點(diǎn)到直線距離的計(jì)算36（7¢）求原點(diǎn)到的距離。解：方法（1）化為參數(shù)方程 點(diǎn)（0，0，0）到直線上任意點(diǎn)的距離為（參數(shù)為的點(diǎn)） 方法（2）過(guò)點(diǎn)（0，0，0）與且直線垂直的平面方程為 將直線

9、化為參數(shù)式方程為代入直線的垂面方程，得 所以（0，0，0）在直線上的垂足為 所求距離為37（7¢）設(shè)是直線外一點(diǎn)，是直線上任意一點(diǎn)，且直線的方向向量為，試證：點(diǎn)到直線的距離解：（1）設(shè)， 又，四、平面與直線綜合題訓(xùn)練課、基本題型：（）直線與平面的交點(diǎn)計(jì)算。38（5¢）求直線與平面的交點(diǎn)。解：（1）令 代入平面得 ， 所求交點(diǎn)為 （）已知點(diǎn)在已知平面的投影計(jì)算。39（7¢）求點(diǎn)在平面上的投影。解：過(guò)且與垂直的直線方程為代入得，故在平面上的投影為（）直線與平面特殊位置關(guān)系的判定。40（4¢）設(shè)與，則-（ C ）（A） （B） （C） （D）與夾角為、綜合應(yīng)用

10、題型：（）涉及線面關(guān)系的綜合計(jì)算。41（7¢）求過(guò)點(diǎn)且與直線垂直的平面方程。解：所求平面方程為 即42（7¢）求過(guò)點(diǎn)且與兩平面和平行的直線方程。解：直線的方向向量為 故所直線方程為 43（7¢）求過(guò)點(diǎn)且通過(guò)的平面方程。解：在直線上取一點(diǎn)，所求平面方程為即 44（7¢）已知直線，直線，求過(guò)且平行的平面方程。解：在上任取一點(diǎn)，故所求平面方程為 即、提高題型：（）已知點(diǎn)在已知直線上的投影問(wèn)題。45（7¢）求點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)。解：直線的參數(shù)方程為.(*) 過(guò)點(diǎn)與且直線垂直的平面方程為.(*) 將(*) 代入 (*) 即得垂足為， 由得（）已知直線在已

11、知平面上投影直線方程的計(jì)算。46（7¢）求直線在平面上的投影直線方程.解： 過(guò)直線的平面束方程為即 由得 故直線在平面上的投影直線方程為五、曲面與曲線及其方程（A:§7.3, §7.4；B: §7.7, §7.8）、內(nèi)容要求：（）了解曲面方程的概念，*記憶常用二次曲面方程及其圖形（球面、橢球面、錐面、拋物面）。（）了解母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程；自學(xué)以坐標(biāo)軸為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)曲面的方程。（）了解曲線的一般式與參數(shù)式方程。*（）學(xué)會(huì)計(jì)算空間曲線在坐標(biāo)平面的投影方程。、基本題型：（）母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程與平面直角坐標(biāo)系下曲線方程的區(qū)別。47指出下

12、列方程在平面解析幾何中和空間解析幾何中分別表示什么圖形？（1）（5¢）； （2）（5¢）； （3）（5¢）； （4）（5¢）解：（1）直線; 平面（2）直線; 平面 （3）圓; 圓柱面方程 （4）拋物線; 拋物柱面*（）常用二次曲面的草圖畫法及圖形辨識(shí)。48說(shuō)出下列二次曲面的名稱，并作草圖：（1）（5¢）（2）（5¢）（3）（5¢）（4）（5¢）（5）（5¢）解：（1）（球面）（2）(旋轉(zhuǎn)橢球面)（3）（圓錐面）（4）（橢圓拋物面）（5）（旋轉(zhuǎn)拋物面）*（）空間曲線在坐標(biāo)平面上的投影方程計(jì)算。49（5&#

13、162;）求在面上的投影方程。解： 消去得 ，故在面上的投影方程為 、提高題型：（）旋轉(zhuǎn)曲面方程的計(jì)算（自學(xué)）。50（7¢）將坐標(biāo)面上的雙曲線分別繞軸和軸旋轉(zhuǎn)一周，求所生成的旋轉(zhuǎn)曲面方程。 解：繞軸所求旋轉(zhuǎn)曲面方程為 ，繞軸所求旋轉(zhuǎn)曲面方程為 51（4¢）方程在空間直角坐標(biāo)系中表示-（ C ）(A) 球面 (B) 非旋轉(zhuǎn)橢球面 (C) 旋轉(zhuǎn)橢球面 (D) 橢圓拋物面（）畫出各曲面所圍成的立體圖形（自學(xué)）。5253及第七章 測(cè)試題一、選擇題（7×4分）1. 點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為-（ ）（A） （B） （C） （D）2. 下列哪組角可以作為某個(gè)空間向量的方向角-（

14、）（A） （B） （C） （D）3. 在空間直角坐標(biāo)系下表示-（ ）（A）橢圓 （B）圓柱面 （C）橢圓柱面 （D）圓錐面4. 設(shè)為與同向的單位向量，則-（ ）（A） （B） （C） （D）5. 平面與面夾角為-（ ） （A） （B） （C） （D）6. 直線與平面的位置關(guān)系為-（ ）（A）平行 （B）垂直 （C）斜交 （D）在平面上7. 方程在空間解析幾何中表示-（ ）（A）旋轉(zhuǎn)橢球面（B）橢圓拋物面（C）旋轉(zhuǎn)拋物面（D）橢圓柱面二、填空題（3×4分）1. 過(guò)點(diǎn)且與坐標(biāo)面平行的平面方程為 2. 若，則3. 點(diǎn)到平面的距離為 三、計(jì)算題（4×7分）1. 試指出在平面直角坐標(biāo)系與空間直角坐標(biāo)系中分別表示什么圖形？解：故在平面直角坐標(biāo)系、空間直角坐標(biāo)系中分別表示點(diǎn)、過(guò)點(diǎn)且與軸平行的直線。2. 設(shè)求解：3. 求點(diǎn)在平面上的投影。解：過(guò)點(diǎn)且與平面垂直的直線方程為：其參數(shù)方程為 代入平面方程得故投影為4. 求的值，使直線與直線相互垂直。 解：令 得四、（9分）求平面被三個(gè)坐標(biāo)平面所截得的三角形面積（），并求該平面與三個(gè)坐標(biāo)平面所圍的立體體積。解：點(diǎn)到平面的距離為 五、（8