相似理論講義2003

1、一、理論分析法1二、試驗方法2§2 物理現(xiàn)象的數(shù)學(xué)描述單值條件2§3 相似的概念3一、幾何相似3二、運動相似4三、力相似：4§4 相似第一定理（相似性質(zhì)）5一、相似指標5二、相似準則：6三、相似第一定理6§5 相似第二定理（相似條件）7§6 相似第三定理7§7 方程分析法求相似準則9一、相似轉(zhuǎn)換法9二、積分類比法11三、相似函數(shù)和非相似函12§8 因次分析法求相似準則13一、因次的概念：13二、因次分析法求相似準則14三、獨立相似準則的完整集合16四、用矩陣求相似準則（因次分析法求相似準則的規(guī)格化）18§9 相似準

2、則形式的選擇和試驗數(shù)據(jù)的處理21一、相似準則的轉(zhuǎn)換21二、試驗數(shù)據(jù)的處理21§10 模型試驗的局限；近似模型試驗22相 似 理 論模型試驗的理論基礎(chǔ)§1 引言 人們研究自然現(xiàn)象的規(guī)律的方法,概括起來有兩種：理論分析法（數(shù)學(xué)分析法）和實驗方法。這兩種方法不是截然分開的。理論分析是建立在前人根據(jù)試驗得到的基本定律的基礎(chǔ)上，實驗方法中也離不開理論分析。一、理論分析法 理論分析法是在自然科學(xué)的各種定律基礎(chǔ)上，以數(shù)學(xué)為主要工具，把自然規(guī)律（各物理量之間的關(guān)系）用數(shù)學(xué)方程式表達出來。對于運動看，變化著的現(xiàn)象，將其中的某一微元抽出來進行分析，建立起微分方程，給出邊界條件、初始條件，這個方

3、程的解就是表征現(xiàn)象的各物理量之間的關(guān)系式。 這種方法的優(yōu)點是嚴格，準確，通用性強。 這種方法的缺點是：對于復(fù)雜的微分方程，求解往往是非常困難的； 對于很多錯綜復(fù)雜的現(xiàn)象，甚至不能列出微分方程。這些缺點使理論分析受到局限。二、試驗方法1）直接試驗 直接試驗就是用原型進行試驗。其優(yōu)點是直觀。但是，試驗結(jié)果只能應(yīng)用于完全相同的現(xiàn)象，推廣受到局限；對于有些現(xiàn)象無法進行直接試驗,如還沒有建造出的設(shè)備設(shè)施、對于已建造出的設(shè)備但受到條件的限制（尺寸太大或太小，溫度、壓力的限制）、對造價高的設(shè)備作破壞性試驗、一些不常發(fā)生的自然現(xiàn)象（如地震）等，都是難于應(yīng)用直接試驗法的。2）模型試驗 模型試驗是通過模型來研究原

4、型。模型應(yīng)該根據(jù)需要，在形態(tài)、工作規(guī)律、信息傳遞規(guī)律和原型相似。 模型分類： a參觀用模型供參觀、教學(xué)用。一般僅保持外形、活動狀態(tài)的相似。 b定性分析用的簡易模型它體現(xiàn)設(shè)想，幫助構(gòu)思，供分析討論用。一般僅保持外形、活動狀態(tài)相似。c定量研究用的模型分物理模型和數(shù)學(xué)模型。物理模型是供研究某種現(xiàn)象用的模型。它保持工作規(guī)律相似，物理本質(zhì)不變，與原型比較僅是物理量大小比例不同。數(shù)學(xué)模型是供研究某系統(tǒng)在改變輸入信息后，工作過程的變化的模型。它保持信息傳遞規(guī)律相似。它和原型所進行的物理過程本質(zhì)不同，但信息傳遞按同一規(guī)律進行。如計算機模擬。本課程討論的模型試驗是指“定量研究用的物理模型?！币竽Ｐ捅ＷC工作規(guī)律

5、相似，所反映的現(xiàn)象物理本質(zhì)不變。而不僅僅是外形尺寸，活動狀態(tài)相似。因此，模型試驗所說的“模型”是指的模型現(xiàn)象，而不僅是一個物體的模型。模型試驗的優(yōu)點：（1）試驗結(jié)果可以推廣到一切相似的現(xiàn)象；（2）經(jīng)濟性好，節(jié)約人力、物力、時間。如阿波羅指令倉有關(guān)外殼剛度與減速度試驗，實物試驗費需50萬美元，模型試驗費只需9千美元，下降約15倍。土星V運截火箭實物試驗費1000萬美元，模型試驗費50萬美元，下降約20倍；（3）可以對直接試驗無法進行的現(xiàn)象進行試驗；（4）可以嚴格控制試驗條件，突出主要因素；（5）可以反復(fù)再現(xiàn)試驗。由于這些優(yōu)點，模型試驗廣泛應(yīng)用于各個科學(xué)領(lǐng)域。在汽車的研究中，模型試驗應(yīng)用于研究汽車

6、的空氣阻力，汽車的碰撞、輪胎在各種土壤條件下的牽引性能等方面。本章的內(nèi)容主要是討論怎樣設(shè)計模型和怎樣整理和推廣試驗結(jié)果。§2 物理現(xiàn)象的數(shù)學(xué)描述 單值條件現(xiàn)象，常用各種物理量來表征。任何現(xiàn)象都有其客規(guī)律。當人們認識到這個規(guī)律時，都可以把表征這個現(xiàn)象的各種物理量及其它參量組成一組數(shù)學(xué)方程式，一般是一組微分方程式。具體運用這個規(guī)律時，需要把方程解出來。由微分方程可得到通解。這個方程組或其通解反映了各物理量間的關(guān)系，是用數(shù)學(xué)形式對這種類型的現(xiàn)象的一種描述。它適合于一切這種類型的現(xiàn)象。kcmF例如：對于圖示振動系統(tǒng)，可根據(jù)牛頓第二定律，列出描述系統(tǒng)運動現(xiàn)象的微分方程：解這個方程，得描述物體位

7、移規(guī)律的通解： x1方程對應(yīng)的齊式方程的通解； x2方程的一個特解這個微分方程和這個能解適合于一切如圖示系統(tǒng)的運動現(xiàn)象。這種現(xiàn)象有無數(shù)多個。每個具體的現(xiàn)象有它獨有的特性，或是無阻尼的、欠阻力的、過阻尼的，或是自由振動、衰減振動、受迫振動等等。上面這個方程包括了這些現(xiàn)象，但要區(qū)分或要描述某一個具體現(xiàn)象，還要給出附加條件。這個附加條件和方程組一起，才能描述個別的、具體的某一特定現(xiàn)象。能從服從于同一方程組的無數(shù)現(xiàn)象，單一地劃分出某一具體現(xiàn)象的附加條件，叫單值條件。單值條件是同類現(xiàn)象中各個現(xiàn)象相互區(qū)別的標志。單值條件一給定，具體現(xiàn)象即確定。如給出上述振動現(xiàn)象的單值條件：， ， ， 時： ， ， 就描述

8、了一個具體的振動現(xiàn)象（一個零初始狀態(tài)的受迫振動現(xiàn)象）。單值條件包括：空間(幾何)條件:參與現(xiàn)象的物體的幾何形狀尺寸大小。如懸臂梁的長度和受力位置。物理條件:參與現(xiàn)象的物理介質(zhì)的物理性質(zhì)。如振動體的質(zhì)量m；流體的密度邊界條件條件：發(fā)生在現(xiàn)象邊界的對象有影響的約束情況。如懸臂梁的一端轉(zhuǎn)角為零。初始條件：現(xiàn)象的初狀態(tài)。這個初始狀態(tài)直接影響現(xiàn)象的演變過程。如自由振動和衰減振動現(xiàn)象的初始狀態(tài)決定了振幅A和初相位角。把同類現(xiàn)象作為一個集合，其中每一個具體現(xiàn)象就是這集合的元素，而相似現(xiàn)象是這個集合的一個子集。如上述振動系統(tǒng)，每一種不同的單值條件的取值都是同類現(xiàn)象的一個具體現(xiàn)象；而根據(jù)相似的概念，相似現(xiàn)象的每

9、一單值條件物理量都應(yīng)是成比例的，而不是任意取的。（下一節(jié)將講述這些比例是有一定約束關(guān)系的）。因此，在模型試驗中，控制試驗條件就是控制單值條件，以使模型與原型相似，試驗結(jié)果才有意義。在實際中，由于現(xiàn)象的規(guī)律往往是不知道的，單值條件也不知道。準確地判定單值條件，是很重要的，也是很困難的。綜上所述，有以下幾點： 單值條件是指表征現(xiàn)象的一些(不是全部)物理量。 在同一類現(xiàn)象中，單值條件一給定，具體現(xiàn)象即確定，非單值條件物理量也由現(xiàn)象的規(guī)律而被確定。由于單值條件物理量和非單值條件物理量之間有這種從屬關(guān)系，我們稱單值條件物理量叫“定性量”；稱非單值條件物理量叫“非定性量”。 哪些物理量是單值條件還與研究的

10、問題有關(guān).如研究應(yīng)力與撓度的關(guān)系時,應(yīng)力和撓度都可以分別作為單值條件。§3 相似的概念一、幾何相似相似的概念首先出現(xiàn)在幾何學(xué)里。兩個相似三角形的對應(yīng)尺寸不同，但形狀一樣。相似三角形的性質(zhì)（相似性質(zhì)）：各對應(yīng)線段的比例相等，各對應(yīng)角相等，即： Cl相似倍數(shù) , , 反過來講，滿足“相似條件”的兩個三角形是相似三角形。此條件為：“相似性質(zhì)”是指彼此已相似的現(xiàn)象具有的性質(zhì)；“相似條件”是指滿足此條件，現(xiàn)象就彼此相似。幾何學(xué)中的相似概念可推廣到其它物理概念中。yx0。s”yx0。s幾何相似（空間相似）：指對應(yīng)尺寸不同，但形狀一樣的幾何體。它表現(xiàn)為所有對應(yīng)線段都成一定比例，所有對應(yīng)角都相等。二

11、、運動相似物體的運動現(xiàn)象可以用路程S、時間T、速度V等物理量來描述。運動相似就是指這些表征運動現(xiàn)象的物理量分別相似。1”t2”s12ts(a) 時間相似：指對應(yīng)的時間間隔的比值相等：Ct是時間的相似倍數(shù)。（b）速度相似：指速度場的幾何相似。表現(xiàn)為在對應(yīng)時刻上各對應(yīng)點速度的方向一致，大小成比例：VV ”）（C）運動軌跡幾何相似：表現(xiàn)為軌跡曲線每對應(yīng)點的坐標值成比例，斜率相等：三、力相似：力相似指力場的幾何相似。表現(xiàn)為對應(yīng)點上的作用力方向一致，大小成一定比例。首先，受力體應(yīng)該是幾何相似。否則就無所謂對應(yīng)點了。分布載荷表現(xiàn)為力場幾何重力場幾何相似力多邊形幾何相似相似，集中載荷表現(xiàn)為力多邊形幾何相似。

12、若力隨時間變化，還需時間相似，即對應(yīng)時刻的力方向一致，大小成一定比例。此外，還有溫度相似、濃度相似等等?，F(xiàn)象相似是指在對應(yīng)時刻、對應(yīng)點上描述這類現(xiàn)象的所有同名物理量各自成一定比例關(guān)系，若是向量則方向一致。由此可知相似只能是同類現(xiàn)象,這些現(xiàn)象能用相同的微分方程描述；現(xiàn)象相似首先在空間要幾何相似和時間相似。 同類現(xiàn)象能用相同的關(guān)系方程式或微分方程式描述。兩相似現(xiàn)象的同名物理量的比例值，稱為相似倍數(shù)。相似倍數(shù)是一個常數(shù)。§4 相似第一定理（相似性質(zhì)） 本節(jié)研究彼此相似的現(xiàn)象具有什么性質(zhì)的問題。相似第一定理的內(nèi)容就是說明什么是相似現(xiàn)象的相似性質(zhì)。一、相似指標以物體受力產(chǎn)生加速度這種現(xiàn)象為例：

13、表征兩個現(xiàn)象 的物理量分別為F、m、a和F、m、a。描述第一個現(xiàn)象的運動方程式為： F=ma （1） 描述第二個現(xiàn)象的運動方程式為 ： F=ma （2）設(shè)這兩個現(xiàn)象相似。根據(jù)相似的概念，知道它們的同名物理量成比例： （3）或 代入（1）式，則描述第一個現(xiàn)象的運動方程式為： （1*）因為相似現(xiàn)象是同類現(xiàn)象，描述它們的方程式應(yīng)完全一致，因此比較（1*）式和（2）式得：此式表明，各物理量的相似倍數(shù)不是任意的，是受到這個式子的約束的。（這是由于兩個現(xiàn)象都遵從于同一規(guī)律，各物理量間都有確定的函數(shù)關(guān)系）。這種約束關(guān)系用C表示，即： （4）C稱為“相似指標”。對于相似現(xiàn)象，C=1 。C1的，就不是相似現(xiàn)象。

14、C所表示的約束關(guān)系是由這類現(xiàn)象的自然規(guī)律所確定的，具體的說就是由描述這類現(xiàn)象的方程所表達的各物理量間的函數(shù)關(guān)系所確定。C在一定程度上表達了各物理量之間的關(guān)系（即現(xiàn)象的規(guī)律）。 相似現(xiàn)象的相似指標C的個數(shù)一般有若干個。二、相似準則：將（3）式代入（4）式，得整理后,這種約束關(guān)系就表示成另外一種形式：此式表明：由描述兩現(xiàn)象的物理量組成的這個綜合量對應(yīng)相等。（“對應(yīng)”是指這些物理量是在對應(yīng)時刻、對應(yīng)幾何點上的取值）。這個綜合量稱為“相似準則”，用符號(或)表示:或 (不變量)相似準則是表征某一現(xiàn)象的物理量組成的綜合量。其中的物理量不一定是表征現(xiàn)象的全部物理量。相似準則的特點因次為1，是無因次量（無量

15、綱）。反之，由表征現(xiàn)象的物理量組成的無因次量就是相似準則。必須注意：相似準則包含的物理量屬同一個現(xiàn)象；（如）相似準則中各物理量取值應(yīng)是同一時刻同一點上的值（ 如 腳標i表示時刻時的取值）； 相似準則是時間和空間的函數(shù),不是常數(shù)，即同一現(xiàn)象的同一準則在不同點、不同時刻的值一般不同（如 ）。（相似倍數(shù)在任意時刻、任意點都是一定值，是常數(shù)const）。全由定性量組成的相似準則稱“定性準則”；不全由定性量組成的相似準則稱“非定性準則”。三、相似第一定理相似第一定理：“彼此相似的現(xiàn)象，其相似指標為1?！被颉氨舜讼嗟默F(xiàn)象，其似準則的數(shù)值相等?！毕嗨频谝欢ɡ肀硎隽讼嗨片F(xiàn)象的性質(zhì)。此定理包含了如下內(nèi)容（根據(jù)相

16、似的概念，“彼此相似的現(xiàn)象”一句表明了、內(nèi)容）：相似現(xiàn)象屬于同一類現(xiàn)象，它們都可被文字上完全相同的方程式（包括描述單值條例的方程式）所描述。相似倍數(shù)的同名物理量各自成比例關(guān)系，相似倍數(shù)是常數(shù)。相似倍數(shù)不全都能任意取值，而是彼此有一定的約束關(guān)系。§5 相似第二定理（相似條件）相似第二定理：“凡同類現(xiàn)象，當單值條件相似，而且由單值條件物理量組成的相似準則在數(shù)值上相等，則這些現(xiàn)象就必定相似?！贝硕ɡ碚f明了相似條件： 是同類現(xiàn)象； 全部單值條件分別對應(yīng)相似； 定性準則相等。由條件“定性準則相等”，經(jīng)代換整理可得由定性量（單值條件物理量）的相似倍數(shù)組成的相似指標等于1，限制了條件“單值條件相似

17、”的相似倍數(shù)不能任意取值。條件的意義就在于此。第二定理的條件是相似的充要條件：充分條件：若單值條件條件相似，非單值條件按現(xiàn)象的規(guī)律也就自行相似了。這樣，全部物理量都成比例，現(xiàn)象相似。單值條件確定（單值條件相似）現(xiàn)象確定（現(xiàn)象相似）非單值條件確定（非單值條件相似）必要條件：由第一定理可知，若相似現(xiàn)象，則全部參數(shù)成比例，相似準則相等，即滿足條件。（第一定理本身就可看作是必要條件）。從“相似性質(zhì)”和“相似條件”的意義出發(fā)，相似第一、第二定理又分別稱為“相似正定理”和“相似逆定理”。第二定理的指導(dǎo)意義：是模型設(shè)計的原則。§6 相似第三定理相似第三定理（又叫定理、巴金漢定理）：“描述現(xiàn)象的物理

18、量關(guān)系方程式，可以轉(zhuǎn)化為相似準則之間的關(guān)系式 ）?！保┓Q為“準則關(guān)系式”。相似第三定理可以證明。（證明略）說明：“物理關(guān)系式”要是完整的物理方程?！巴暾摹笔侵阜匠痰囊虼魏椭C或方程具有因次齊次性：（a）每項的因次相同。同因次的量相加、減才有物理意義。（b）方程適合于任何單位制。物理量不管取哪種單制（工程制、cgs制、國際制、英制），只要單位是統(tǒng)一的（屬同一單位制），方程都永遠成立。 例如： F=ma 因次上齊次，是一完整的物理方程。而當m=1時，F(xiàn)=a。F=a這個方程在因次上不和諧，不是完整的物理方程。又例如： 因次上齊次，是一完整的物理方程。而當取g=9.8時， （k是一常數(shù)）。這個方程在因

19、次上不和諧，不是完整的物理方程。對一些限定了物理量單位的方程，因次上不是齊次的。如1摩爾理想氣體的狀態(tài)方程PV=RT 是一個完整的物理方程，但 PV=8.31T （P帕 V T開）×T(大氣壓 V升 T開)因次沒有齊次性，不是一個完整的物理方程。（2）均是表征現(xiàn)象的物理量組成的相似準則，包括定性準則和非定性準則。相似準則是無因次量，所以，不管選擇哪種單位制，準則關(guān)系式中的各變量在數(shù)值數(shù)上都是不變的。準則關(guān)系式是描述物理量之間關(guān)系的另一種形式。是微分方程的解。相似現(xiàn)象的準則數(shù)值相等，因此它們的準則關(guān)系式在形式上和數(shù)值上完全相同。所以說，準則關(guān)系式適用于一切相似現(xiàn)象。這就為我們提供了模型

20、試驗結(jié)果推廣的依據(jù)。定性量給定后，現(xiàn)象就被確定，非定性量也隨之確定了。定性量給定后，定性準則被確定，非定性準則也隨之被確定，由于這種關(guān)系，我們把準則關(guān)系式表示成由此可以研究隨變化的規(guī)律。研究的目的主要是在于研究其中的非定性量。以粘性不可壓縮流液體的穩(wěn)定等溫流動為例，來說明如何利用準則關(guān)系式來整理、推廣試驗結(jié)果和利用準則關(guān)系式的優(yōu)點。研究的問題：流體壓力p的規(guī)律。P是非定性量，l（幾何尺寸）、（流體密度）、（流體動力粘度）、g（重力加度）、v（流體速度）是單值條件物理量。（如果研究流速v的規(guī)律，則V是非定性量）。已知的三個相似準則 、 、 中， 是非定性準則，則準則關(guān)系式為 ， 即 或試驗的目的

21、就是要找出函數(shù)關(guān)系。試驗時，可通過改變V來改變Re、Fr的值。每一Re、Fr的值對應(yīng)一個Eu的值，在座標上描下這些點。用曲線擬合這些點，這個曲線就是準則關(guān)系曲線，也就是要找的函數(shù)關(guān)系。和按有因次的物理量整理試驗結(jié)果比較，準則關(guān)系式有如下優(yōu)點：減少了試驗的內(nèi)容。如果不按準則關(guān)系式組織試驗，就要分別探討l、對的影響。而上例只需探討Re、Fr對Eu的影響。只用改變v來改變Re、Fr意味著只需要一種試驗設(shè)備和一種流體就行了。(2)便于控制。要想控制、改變、是較困難的，但按準則關(guān)系式只需要控制Re和Fr就行了，這可以通過控制易于控制的V來達到。試驗結(jié)果同樣能反映、和P的關(guān)系。（3）反映了現(xiàn)象的本質(zhì)。按有

22、因次量整理試驗結(jié)果，得到的是、等關(guān)系式，不能反映現(xiàn)象的本質(zhì)，只反映了p分別和其它量的關(guān)系。相似三定理是相似理論的主要內(nèi)容，構(gòu)成了模型試驗的理論基礎(chǔ)： 怎樣由原型設(shè)計模型?由第二定理知：必須保證單值條件相似、定性準則相等的相似條件。 試驗時測哪些數(shù)據(jù)?由第一定理可知：應(yīng)該測量（這里的“測量”還有“控制”的意思）相似準則中包含的所有物理量。因為相似準則體現(xiàn)了模型和原型的聯(lián)系。 試驗結(jié)果如何處理？由第三定理可知：應(yīng)該整理成準則關(guān)系式。這樣就可以推廣到一切相似現(xiàn)象。§7 方程分析法求相似準則方程分析法有相似轉(zhuǎn)換法和積分類比法兩種。它是根據(jù)已知的微分方程組和單值條件來求相似準則。既然方程都知道

23、了，為什么還要作試驗？這是因為有時方程很復(fù)雜，求解非常困難，只得依靠試驗來求解。有時得到的方程式在建立過程中，為了簡便起見，作了許多假設(shè)，這時就僅是利用這個假設(shè)的方程來求相似準則而己。Fkx一、相似轉(zhuǎn)換法（例）圖示系統(tǒng)，求相似準則。m解：1 寫出方程式和初始條件：方程式 初始條件:t=0時,(單值條件只需寫出那些隨現(xiàn)象的進行而要發(fā)生變化的物理量，即初始條件。)（2）寫出相似倍數(shù)表示式， ， ， ， ， ； (3)相似轉(zhuǎn)換第一現(xiàn)象： （1）第二現(xiàn)象： （2）由相似倍數(shù)表示式有， ，, , , 代入（1）式得：（注意d(cx)=cdx d(cx)=cdd(cx)）到 （1*）比較（1*）、（2）式

24、有 （3）同樣地、由兩個現(xiàn)象的單值條件： ， 得 （4）（注意：（1*）式右端為0；左端每一項都有一個相似倍數(shù)因子。（3）和（4）式可以等于任意值，也可以等于1，但不恒等于1，故不能在右邊寫“=1”。若等于1時，不能將、等誤認為是相似指標。這可容易地用因次等于1證明、kx、F等不是相似準則。）由（3）、（4）式有 得相似指標 相似準則 描述此現(xiàn)象的物理量m、k、t、F、x中，前五個是定性量，只有是定性準則。在這些物理量中，往往容易漏掉。所以應(yīng)該特別注意初始條件的物理量和由初始條件得到的相似準則，不要遺漏了。在以上準則中，因，故 、和中只有（任意）兩個是獨立的。對于相似現(xiàn)象，只要獨立的相似準則相

25、等了，由獨立相似準則導(dǎo)出的相似準則自然也就是相等的。因此在模型試驗中，只需要討論獨立的相似準則。在用方程法求相似準則時，只討論（3）式中某1個量分別和其它量相等的情況，其它量相等則不需討論。二、積分類比法描述相似現(xiàn)象的方程是完全一樣的。方程式中，任意對應(yīng)的兩項比值應(yīng)該相等。由于方程的因次是諧和的，即各項的因次相同，所以任意兩項的比值是無因次量。因而這個比值就是一個相似準則。如 的任意對應(yīng)兩項之比相等： 、 第一個等式是一個相似準則，第二個等式里有微分符號。下面講怎樣處理微分符號。設(shè) （有腳標）表示同一現(xiàn)象的第個狀態(tài)的u值。常數(shù)取極限，由于常數(shù)的極限等于它本身，有即同理 即 以上三個式子說明：相

26、似現(xiàn)象的有微分號的對應(yīng)量之比，等于去掉微分或偏微分符號“”“”相應(yīng)量之比。（注意：上式得不出的結(jié)論，因為u和t不是對應(yīng)項。和才是對應(yīng)量。）因此： 去掉“d”符號： 即 由的結(jié)果可知，直接將兩項比值中的微分符號去掉，就得到相似準則了。將積分類比法歸納成以下步驟：1）寫出現(xiàn)象的微分方程組和初始條件；（不需要分別寫出兩個現(xiàn)象的方程和初始條件了）2）用方程式中的任一項（只需一項，如果用了兩項，得出的相似準則將有不獨立的）除以其它各項（性質(zhì)相同的項僅取其中一項）；3）所有微分量用相應(yīng)量代替；沿各座標的分量用總量代替（如速度分量、用總量V代替）；座標量用定性尺寸代替（如長x、寬y、高z等幾何量用一個定性尺

27、寸L代替）。三、相似函數(shù)和非相似函數(shù)討論相似函數(shù)和非相似函數(shù)，可以說明模型試驗的局限性。例1：由方程式 （k、e是常數(shù)）求相似指標。解：相似倍數(shù) ， 則第一個式子為 和第二個式子比較，得：各相似倍數(shù)都等于1，意味著不能得到相似的模型，不能進行模型試驗。例2：有 （1） （、是常數(shù)） （2）用相似轉(zhuǎn)換法：將相似倍數(shù)代入得（1）式： （3）比較得（1）、（3）式，有 。 說明不能進行模式模型試驗。用積分類比法：由任意兩項之比相等，有 ， ；即 ， ；得 ， 。即有 ， 。與用相似轉(zhuǎn)換法得到的結(jié)論相同。（若B=0，則得 。 說明可進行模型試驗，是相似函數(shù)。） 以上兩個函數(shù)式都不能得出相似倍數(shù)，的約束

28、關(guān)系，即不能得到相似指標。我們稱能用方程分析法得到相似指標的函數(shù)式叫“相似函數(shù)”，不能用方程分析法得到相似指標的函數(shù)式叫“非相似函數(shù)”。§8 因次分析法求相似準則 在多數(shù)情況下，各物理量之間關(guān)系是末知的，寫不出方程式來。只能寫出不定函數(shù)式：f（a，b，c，）=0 a，b，c，是表征現(xiàn)象的物理量這時，就只有用因次分析法來找相似準則。因次分析法有很多用途，找相似準則只是其中的一個。由于因次分析法在找相似準則中的重要作用，因次分析和模型試驗結(jié)下了不解之緣。一、因次的概念：“因次”又叫“量綱”。我們這里把物理量單位的種類（性質(zhì)）叫因次。種類：長度、質(zhì)量、溫度、時間、，就是不同的種類。它們有各

29、自的因次。用分別L、M、t、T表示。物理量單位：除了指明物理量所屬種類外，還涉及到大小的問題。如米、市尺、英寸、等等，都是長度單位，是屬“長度”這個種類的，它們的每1單位大小不同。它們的因次都是長度的因次L。因此，因次只涉及物理量的性質(zhì)，而不涉及它的大小。物理量分“基本量”和“導(dǎo)出量”；現(xiàn)象可由基本物理量表征，也可用導(dǎo)出物理量表征。相應(yīng)地，物理量單位分“基本單位”和“導(dǎo)出單位”，物理量因次分“基本因次”和“導(dǎo)出因次”。 導(dǎo)出量是由基本量導(dǎo)出的，可由基本量表示；導(dǎo)出單位是由基本單位導(dǎo)出的，可由基本單位表示；導(dǎo)出因次是由基本單位導(dǎo)出的，可由基本因次表示。例如：由基本量長度、時間、質(zhì)量導(dǎo)出力，導(dǎo)出量

30、力可由基本量表示為；由基本單位m（米）、S（秒）、Kg（千克）導(dǎo)出N（牛），導(dǎo)出單位N可由基本單位表示為；由基本因次L、T、M導(dǎo)出F，導(dǎo)出因次F可由基本因次表示為L·M· T-2 ，或L ·M · T-2，或LMT-2。所謂“基本量（或基本因次）”和“導(dǎo)出量（或?qū)С鲆虼危笔窍鄬Φ?，可以取任意的量（或因次）為基本量（或基本因次）。但基本量（或基本因次）必須互相獨立，即任何基本量（或基本因次）不能由其它基本量（或基本因次）?dǎo)出，（如可以取L、F、不能取L、T、V），但必須完整，即任何其它量（或因次）都可由基本量（或基本因次）導(dǎo)出。國際單位制規(guī)定了七個基本單

31、位：m（米）、Kg（千克）、S（秒）、A（安培）、K（開爾文）、mol（摩爾）、cd（坎德拉）。在力學(xué)中，我們常以長度、質(zhì)量、時間、作為基本量，相應(yīng)地，取L、M、T作為基本因次。其它物理量的因次，可由基本因次表示： A=LMT或 A=L M T任何物理量的因次都是基本因次的冪乘積。例如： 速度 V=LT-1M 0=LT-1角加速度 =L0T-2M0=T-2角度 因次為1 （以弧度來理解）可按物理量間的關(guān)系式寫出因次，如：振動頻率 相似準則是無因次量， ，又稱其因次為1。二、因次分析法求相似準則根據(jù) 相似準則是表征現(xiàn)象的各物理量的冪的乘積，即； 相似準則的因次為1 (); 由表征某一現(xiàn)象的物理量

32、組成的無因次量是相似準則。在已知表征現(xiàn)象的全部物理量的條件下，就可求得相似準則。例：求物體受力產(chǎn)生運動的現(xiàn)象的相似準則。解： 1）寫出描述現(xiàn)象的全部物理量：m、F、v、t ；2）寫出相似準則通式及其因次 準則通式 =準則通式的因次 將其因次表示為基本因次的形式： , , , 3）根據(jù)=1 解出準則通式中的末知指數(shù) 由 得方程組：解方程組，得有無窮多組解。其基礎(chǔ)解只有一組。其余的解都是基礎(chǔ)解的線性組合。令 ， 得一基礎(chǔ)解： ， ， ， 4）寫出相似準則將方程的解代入準則通式，得到相似準則。（此準則稱為牛頓準則）5）驗算驗算是否為1，如果為1，說明正確。如果不為1，就錯了，應(yīng)檢查物理量的因次是否弄

33、錯、解方程組是否出錯。如果又令，則， ， ，這一組解是基礎(chǔ)解的線性組合，由此得到的準則，是不獨立的。所以，相似獨立準則的個數(shù)和基礎(chǔ)解的個數(shù)相等。 由這個例子可以看出用因次分析法求相似準則的主要過程就是由“根據(jù)”寫出相似準則的通式，再由“根據(jù)”解出通式中的未知數(shù)，。在實際中，要找出表征現(xiàn)象的全部物理量往往是困難的。物理量。多了或少了，對結(jié)果都有影響。例如，在上例中，若多一個物理量加速度a，將得到兩個相似準則， 。如果經(jīng)過試驗，將得到結(jié)果：1，那就找到了F、m、a、之間的關(guān)系，但這個關(guān)系是我們早已知熟知的，由此是沒有什么意義的，反而增加了試驗的內(nèi)容。所以，要注意判斷哪些是不獨立的物理量（即可由另外

34、的物理量推導(dǎo)得出），在解題的第一步驟中就不應(yīng)將它們列入。例如，對于同一物體的速度V、a、x、t中，就只有兩個量是獨立的。若將它們都代入，就將得到， 或等沒有意義的相似準則。又如，如果將表征同一物體的幾何尺寸a、b、c都列入，將得到相似準則、或。這些準則的物理意義是兩相似現(xiàn)象中的這個物體的對應(yīng)尺寸成比例。但只要我們保證了物體的幾何相似，這些準則對試驗來說就是沒有多大意義的。通常，對這些有相同意義的物理量只需取其中一個就行了。但對于相似準則（是單值條件），則是必要的，它表示了對初始條件的限制。在描述現(xiàn)象的方程中，有時存在有因次的常數(shù)，如氣體常數(shù)R。在因次分析中考慮物理量時，往往容量漏掉有因次的常數(shù)

35、，從而造成錯誤?？傊?，用因次分析法時，必須對所研究的現(xiàn)象的物理實質(zhì)有必要的了解，才能正確確定參與現(xiàn)象的物理量。如果了解甚少，就只有經(jīng)過反復(fù)試驗來判斷所確定的物理量是否全面、正確。三、獨立相似準則的完整集合1. 獨立相似準則表征現(xiàn)象的物理量組成的無因次量都是相似準則。相似準則的加、減、乘、除、冪都是無因次量，亦都是相似準則。相似準則一般不用有加、減號形式，且乘、除實質(zhì)上是指數(shù)為1的冪的乘積，所以說“相似準則的冪的乘積也是相似準則”。由此可知，一類相似現(xiàn)象的相似準則有無窮多個。但其中有些準則可以由其它一些準則的冪的乘積來表示。所謂獨立，是指準則之間的關(guān)系。單獨一個，談獨立沒有意義。相似準則之間相互

36、獨立，是指這些準則中的任何一個都不是其它準則的冪的乘積，即不能相互轉(zhuǎn)換。例如：設(shè)，1，2，3 相互獨立。則1，2，是不獨立的，其中任意兩個獨立的；,=是獨立的，其中任意兩個也是是獨立的。 2獨立相似準則的完整集合由上例，,是獨立的，,，也是獨立的，這種獨立的準則集合可能包括最大的獨立準則個數(shù)，就是所要討論的獨立相似準則的完整性。若,是現(xiàn)象的獨立相似準則，而且現(xiàn)象的其它任何相似準則都可以表示為這些準則的冪的乘積，則稱,為該現(xiàn)象的獨立相似準則的一個完整集合。完整集合有無窮多個。每一個完整集合的相似準則數(shù)都為。若這個集合的相似準則數(shù)則不獨立；若準則數(shù),則不完整，其它準則中就必定有些準則不能用這個集合

37、中的準則的冪的積來表示。無窮多個完整集合中的任何一個完整集合，都可以代表這個現(xiàn)象的全部(無窮多個)相似準則，因此求相似準則就是要求出一個獨立相似準則的完整集合。3.求獨立相似準則的完整集合的準則數(shù)目先確定完整集合中獨立準則的個數(shù),再找出個互相獨立相似準則。這個相似準則就是一個獨立相似準則的完整集合。設(shè)表征某現(xiàn)象的物理量,共n個。其因次為=1,2,n相似準則通式 , 相似準則的因次 定理：齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩時，只有唯一零解；當時，有無窮多組解，每組基礎(chǔ)解系包含個解向量?；A(chǔ)解系 ：1.k個解向量（將解看成是n維向量）線性無關(guān)；2.任意解向量是基礎(chǔ)解向量的線性組合?；A(chǔ)解不是唯一的，但其

38、解向量的個數(shù)是一致的。如果有不完全為零的數(shù),存在,使，那么線性相關(guān)；如不存在,也就是只有當,都是零時上式才成立,那么線性無關(guān)。（為解向量，即 ）秩是矩陣中不為零的子式的最高階數(shù)。系數(shù)矩陣 若矩陣的秩為r，則方程組基礎(chǔ)解解向量 個數(shù)。 方程組的解就是相似準則中物理量的指數(shù)。若有幾組解線性相關(guān)，則對應(yīng)的相似準則就不是互相獨立的。若有幾組解線性無關(guān)，則對應(yīng)的相似準則是互相獨立的?；A(chǔ)解是解的最大線性無關(guān)組，因此，它所對應(yīng)的個獨立準則就是一個完整集合。 所以，可知一個完整集合的獨立準則數(shù)和方程組的基礎(chǔ)解個數(shù)相等。即 獨立準則數(shù)=物理量個數(shù)秩（）一般基本因次都有三個，方程組有3個等式，系數(shù)矩陣有3行，所

39、以秩不大于3。大多數(shù)情況下，=3。特別是如果物理量中有因次分別為或、的三個物理量（“長度、時間、質(zhì)量”或“長度、時間、力”），那么系數(shù)矩陣中必然有一個三階子式： 1 0 0 1 1 0 對應(yīng)L 0 1 0 或 0 1 0 對應(yīng)M 0 0 1 0 -2 1 對應(yīng)T不等于零，系數(shù)矩陣的秩=3。對于方程分析法，獨立準則數(shù)m = 不同類項數(shù)1四、用矩陣求相似準則（因次分析法求相似準則的規(guī)格化）例：不可壓縮液體的等溫穩(wěn)定流動解：1考察表征現(xiàn)象的物理量： 2寫出各物理量的因次：，3寫出因次矩陣 p g物理量物理量的指數(shù)L -1 -1 1 1 1 -3M 1 1 0 0 0 1T -2 -1 -2 -1 0

40、 0 右下角是一個矩陣，就是方程組的系數(shù)矩陣。4計算秩和獨立相似準則的個數(shù)計算矩陣的秩：右邊的三階子式 +1 +1 -3 0 0 0 0, -1 0 0 由此可知相似準則的一個完整集合有（63= 3 ）個相似準則。 5寫出方程式組： -1-2+3+4+5-36=01+2 +6=0 -21-2-23-4=0解方程組： （后個末知數(shù)用其余未知數(shù)表示）4=-21-22-236=-1-24=-21-2-236求相似準則 （n）個 g v l 1 2 3 4 5 6 1 1 0 0 -2 0 -1 (令1=1,2=0,3=0，則4=2,5=0，6=-1)（n ）個2 0 1 0 -1 -1 -1右下角是

41、方程組的解矩陣3 0 0 1 -2 1 0寫出相似準則: ， ， 。這是一個獨立相似準則的完整集合。在求相似準則時，應(yīng)注意： 因次矩陣和上面這個表格中，物理量排列的次序不同，得到的相似準則的形式就不同，結(jié)果是另外的完整集合。從上面這個表格可以看出,左邊三個物理量只在完整集合中的一個準則中出現(xiàn)，而且在準則中其冪為1。由此,我們可以合理地安排物理量的排列次序,以便進行試驗和整理試驗結(jié)果： a）盡量使每個非定性準則中僅含一個非定性量。一般非定性量是被研究的量。于是，盡可能將量非定性量排在前面。b）盡量使每個定性準則中只含一個易調(diào)節(jié)的定性量。于是，盡可能將易調(diào)節(jié)量排在前面。c）可能忽略的量排在前面，只

42、在準則集合中出現(xiàn)一次。 有時會出現(xiàn)有不重復(fù)的因次的情況，如研究氣體時，有物理量 P、V、T，只有T是溫度因次。誰和它組成無因次量的準則呢？這時就需要考慮是否還有一個含有因次的常數(shù)？（這個常數(shù)是R） 無因次物理量本身就是一個相似準則,如摩擦系數(shù)、角度等。 例如：對于不可壓縮液體的等溫穩(wěn)定流動，p是非定性量，其余是定性量，定性量中v容易調(diào)節(jié)。試驗結(jié)果整理為：，） 即 ，Eu只含一個非定性量，就可整理為： ，Eu，Re，F(xiàn)r 都含有易調(diào)節(jié)量V。一變動V，三個準則的值都要變動。如果將p、v、l、排在前面，就得 p v1 1 0 0 2 0 1 0 3 0 0 1 這時若調(diào)節(jié)v，只變動2，若變動l，只變

43、動3 。這樣，整理試驗結(jié)果 ， 就方便多了。例：在彈性范圍內(nèi)，求獨立相似準則的完整集合。解：1、描述現(xiàn)象的物理量：力P、彈性模量E，幾何尺寸、撓度y、應(yīng)力、轉(zhuǎn)角。定性量 非定性量2物理量的因次：，3因次矩陣：（將易調(diào)節(jié)的定性量P、非定性量、無因次量排在前面） P y E 1 2 3 4 5 6 L 1 -1 1 0 -1 1 M 1 1 0 0 1 0 T -2 -2 0 0 -2 04因次矩陣（系數(shù)矩陣）的秩=2（第三、四行線性相關(guān)）。獨立相似準則完整集合的準則個數(shù)5解方程組1-2+3+5+6=0 1+2 +5 =0 -21-22 -25 =0得5= -1-26=-21-36求相似準則 個個 E 1 2 3 4 5 61 1 0 0 0 -1 -2定性推則2 0 1 0 0 -1 03 0 0 1 0 0 -1非定性準則4 0 0 0 1 0 0 事實上，無因次量本身就是一個相似準則，可直接寫出（不必將列入上面的矩陣中），即 。 說明 ，兩現(xiàn)象的轉(zhuǎn)角相等。若將列在后個內(nèi)，前（n-）個取任何值都不能約束的指數(shù)取值，即的指數(shù)可取任意值。但è不能全都取