擺線(xiàn)針輪行星傳動(dòng)共軛嚙合理論_圖文

1、中國(guó)科學(xué) E輯: 技術(shù)科學(xué) 2008年 第38卷 第1期: 148 160 中國(guó)科學(xué)雜志社SCIENCE IN CHINA PRESS擺線(xiàn)針輪行星傳動(dòng)共軛嚙合理論陳兵奎*, 房婷婷, 李朝陽(yáng), 王淑妍重慶大學(xué)機(jī)械傳動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 重慶 400044 * E-mail: bkchen收稿日期: 2006-11-29; 接受日期: 2007-04-03 國(guó)家科技支撐計(jì)劃資助項(xiàng)目(批準(zhǔn)號(hào): 2006BAF01B08摘要 根據(jù)微分幾何和齒輪嚙合原理, 由針齒及給定的運(yùn)動(dòng), 建立了少齒差行星傳動(dòng)的嚙合方程及齒廓的通用方程; 推導(dǎo)了擺線(xiàn)針輪行星傳動(dòng)的正確嚙合條件、嚙合線(xiàn)、重合度和嚙合端點(diǎn)的計(jì)算公式;

2、詳細(xì)研究了針輪與行星輪為正、負(fù)一齒差、二齒差、三齒差等典型少齒差行星傳動(dòng)的共軛嚙合理論. 提出了形成內(nèi)擺線(xiàn)和外擺線(xiàn)的通用方法包絡(luò)法. 同時(shí), 給出了擺線(xiàn)針輪行星傳動(dòng)的正確嚙合條件, 并討論了嚙合線(xiàn)和重合度. 研究結(jié)果對(duì)于擺線(xiàn)針輪行星傳動(dòng)的設(shè)計(jì), 加工具有重要意義, 并對(duì)其他少齒差行星傳動(dòng)的嚙合理論研究具有參考價(jià)值.關(guān)鍵詞針輪 擺線(xiàn) 共軛齒廓 嚙合方程 包絡(luò)法 重合度 嚙合線(xiàn)擺線(xiàn)針輪行星傳動(dòng)具有傳動(dòng)比大、結(jié)構(gòu)緊湊、承載能力大和傳動(dòng)效率高等突出的優(yōu)點(diǎn), 廣泛應(yīng)用于機(jī)械、礦山、冶金、化工、紡織、國(guó)防工業(yè)等工業(yè)領(lǐng)域. 該傳動(dòng)嚙合齒數(shù)多, 誤差平均效應(yīng)顯著, 傳動(dòng)精度高, 且沒(méi)有柔性構(gòu)件, 扭轉(zhuǎn)剛度高,

3、 近年來(lái)在精密傳動(dòng)領(lǐng)域受到了廣泛關(guān)注. 此外, 基于擺線(xiàn)針輪行星傳動(dòng)原理的擺線(xiàn)齒輪泵由于嚙合過(guò)程平穩(wěn)、脈動(dòng)小、噪聲低, 也得到了各國(guó)的重視.擺線(xiàn)針輪行星嚙合傳動(dòng)的理論通常描述為: 外擺法和內(nèi)擺法形成短幅擺線(xiàn); 短幅擺線(xiàn)和針齒滿(mǎn)足齒廓嚙合定律; 連續(xù)傳動(dòng)條件1,2. 與漸開(kāi)線(xiàn)等齒輪共軛嚙合傳動(dòng)的理論相比, 該理論存在以下問(wèn)題: ( 缺乏嚴(yán)密的數(shù)學(xué)推導(dǎo), 嚙合方程、嚙合線(xiàn)等與傳動(dòng)特性密切聯(lián)系的問(wèn)題沒(méi)有相應(yīng)的闡述; ( 理論不成體系, 如一齒差、多齒差行星傳動(dòng)通常是分別論述3, 沒(méi)有反應(yīng)內(nèi)齒輪齒廓確定為針齒后其共軛齒廓的實(shí)質(zhì); ( 有自相矛盾的結(jié)論, 如連續(xù)傳動(dòng)條件為針輪比擺線(xiàn)輪多一齒, 而實(shí)際上二

4、齒差、三齒差完全能夠正確嚙合傳動(dòng); ( 概念不清晰, 對(duì)于正確嚙合條件、重合度等未給出明確的定義及計(jì)算方法.近年來(lái)不少學(xué)者在擺線(xiàn)齒輪嚙合傳動(dòng)理論方面做了有益的工作. 李力行等4推導(dǎo)了綜合考慮移距修形、等距修形及轉(zhuǎn)角修形的擺線(xiàn)輪齒形通用方程式. Litvin等510根據(jù)齒輪嚙合原148中國(guó)科學(xué) E 輯: 技術(shù)科學(xué) 2008年 第38卷 第1期理運(yùn)動(dòng)學(xué)法推導(dǎo)了擺線(xiàn)齒輪泵、Roots Blower等的共軛嚙合方程、多段共軛齒形包絡(luò)生成方法等. Joong-Ho Shin等11,12利用普通平面機(jī)構(gòu)的速度瞬心的三心定理, 通過(guò)針齒上嚙合點(diǎn)的位置和坐標(biāo)變換得到擺線(xiàn)輪的齒廓曲線(xiàn)方程. Lai13,14根據(jù)

5、曲面單參數(shù)的包絡(luò)方法建立了擺線(xiàn)針輪傳動(dòng)的嚙合方程. 然而, 上述研究局限于建立一齒差擺線(xiàn)針輪傳動(dòng)嚙合方程及計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)方法, 未見(jiàn)擺線(xiàn)針輪少齒差行星傳動(dòng)統(tǒng)一理論及關(guān)于嚙合特性的深入分析. 本文將根據(jù)齒輪嚙合原理, 由圓柱針齒及給定的運(yùn)動(dòng), 建立行星輪共軛嚙合齒廓的通用方程, 并系統(tǒng)分析擺線(xiàn)針輪嚙合傳動(dòng)的特性.1 針齒的共軛齒形1.1 坐標(biāo)系的建立圖1中, 件1為針輪, 件2為行星輪. 在針輪與行星輪的中心分別建立與之固連的動(dòng)坐標(biāo)系O b x 1y 1及O g x 2y 2, 在針輪中心建立整體固定坐標(biāo)系OXY . 在初始位置, X 和x 1軸重合, x2軸與X 軸平行. 針齒中心分布圓半徑為R

6、Z , 針齒的半徑為r Z . 針輪與行星輪的齒數(shù)分別為Z b 和Z g , 兩輪中心距(輸入轉(zhuǎn)臂軸承的偏心距 為e . 為簡(jiǎn)化問(wèn)題的討論, 采用轉(zhuǎn)臂(曲柄 O b O g 固定法. 將行星輪繞z 2軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a 角, 根據(jù)相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系, 針輪將隨行星輪繞z 1軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)b 角 .圖1 坐標(biāo)系的建立1.2 嚙合方程針齒齒廓在O b x 1y 1中的方程為(1=x 1i 1+y 1j 1=r Z cos i 1+(r Z sin +R Z j 1, (1149陳兵奎等: 擺線(xiàn)針輪行星傳動(dòng)共軛嚙合理論式中: 為角參量.根據(jù)齒輪嚙合原理的運(yùn)動(dòng)學(xué)方法, 嚙合方程為其中, n 1為針齒嚙合點(diǎn)處的法線(xiàn)

7、矢量, 在坐標(biāo)軸x 1和y 1上的投影為n x 1=d y 1d =r Z cos , n y 1=d x 1=r Z sin ,(12v 1為嚙合點(diǎn)處針輪與行星輪的相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度矢量,(12(, b =n 1v 1=0, (2(12(1(2(2v 1=v 1v 1=(11×(1+(2×e ,(式中(1(2(2(2v 1=(1×(1, v 1=1×(1+e ×(2, (1=1k 1, 1=(2=2k 2.以上各式中i 1, j 1, k 1分別為坐標(biāo)軸x 1, y 1, z 1的單位矢量.將相關(guān)表達(dá)式代入(2式, 計(jì)算化簡(jiǎn)后得嚙合函數(shù)(, b =

8、cos (+b cos =0, (3其中為系數(shù), 且H H=ei gb R Z i gb 1. (4(1.3 行星輪的齒廓方程(2在坐標(biāo)系O g x 2a y 2a 中, 與針齒齒廓(1相共軛的行星輪齒廓(2由下式確定:(2(1=M 21,(5 , 0, =(b 式中M 21=M 20M 01, 為從O b x 1b y 1b 到O g x 2a y 2a 的變換矩陣.由O b x 1b y 1b 到OXY 的變換矩陣為M 01cos b=sin b 0sin bcos b00. (6 1由OXY 到O g x 2a y 2a 的變換矩陣為M 20cos a=sin a 0sin a cos

9、a 0e sin a e cos a . (71H, 由i gb 令a b =b =a b =Z b Z g , 可得Z b Z g , b =Z g b (Z b Z g , a =Z b b于是150中國(guó)科學(xué) E 輯: 技術(shù)科學(xué) 2008年 第38卷 第1期cos b =sin b 0sin b cos b 0e sin Z b be cos Z b b 1(Z b Z g (8 . (Z b Z g M 21根據(jù)三角函數(shù)公式解嚙合函數(shù)(3, 有sin =±( cos b 1cos =±sin (9將(1, (8, (9式帶入(5式得到行星輪的齒廓方程(2的一般表達(dá)式x

10、 =R sin e sin Z Z Z +r cos ,Z b b g Z 2b b(10 e cos Z b b Z b Z g r Z sin . y 2=R Z cos b(其中sin (Z Z (11sin =± cos Z (Z Z +cos cos =±sin Z b b bgbb bbgb1.4 短幅擺線(xiàn)形成的包絡(luò)法由方程(10可看出, 前述方法推導(dǎo)出的齒廓曲線(xiàn)方程與短幅外擺線(xiàn)等距曲線(xiàn)的方程形式上接近, 現(xiàn)引入當(dāng)量齒輪的概念, 令當(dāng)量擺線(xiàn)輪的齒數(shù)Z d =Z g (Z b Z g , 與其嚙合的當(dāng)量針H H輪齒數(shù)為Z e =i gb Z d =i gb Z g

11、 Z b Z g =Z b(Z b Z g . 定義當(dāng)量擺線(xiàn)輪的變幅系數(shù)K 1=, 由(4式得H H1 =eZ b R z (Z b Z g =eZ e R z =r b R z =e Z e R z =K 1, (12 =ei gb R z (i gb式中e 為當(dāng)量擺線(xiàn)輪的短幅擺線(xiàn)的偏心距, r b 為針輪的節(jié)圓半徑, 因此有e sin (Z e b +r Z cos , x 2=R Z sin b(13 y R cos e cos Z r sin . =(Z b e b Z 2式中 sin b cos =±K 1sin (Z e b +cos b sin =±K 1co

12、s (Z e b (14(13式與普通短幅擺線(xiàn)等距曲線(xiàn)的方程相同, 由此可知前述方法推導(dǎo)出的行星輪齒廓是短幅擺線(xiàn)的等距線(xiàn). 當(dāng)r Z =0時(shí), 將得到理論短幅擺線(xiàn); 當(dāng)針輪齒數(shù)大于擺線(xiàn)輪齒數(shù)時(shí), (14式等號(hào)右邊取“正”, 短幅擺線(xiàn)向內(nèi)等距, 獲得短幅外擺線(xiàn)的等距線(xiàn), 形成普通的針齒擺線(xiàn)行星傳動(dòng); 當(dāng)針輪齒數(shù)小于擺線(xiàn)輪齒數(shù)時(shí), (14式等號(hào)右邊取“負(fù)”, 短幅擺線(xiàn)向外等距, 獲得短幅內(nèi)擺151陳兵奎等: 擺線(xiàn)針輪行星傳動(dòng)共軛嚙合理論線(xiàn)的等距線(xiàn), 可形成內(nèi)擺線(xiàn)針輪行星傳動(dòng).上述通過(guò)推導(dǎo)與針齒共軛嚙合的曲線(xiàn)獲得短幅擺線(xiàn)方程的方法, 我們稱(chēng)之為短幅擺線(xiàn)形成的包絡(luò)法. 無(wú)論短幅外擺線(xiàn)或短幅內(nèi)擺線(xiàn), 只

13、要給針齒施加相應(yīng)運(yùn)動(dòng), 都能通過(guò)包絡(luò)法得到, 因此包絡(luò)法是一種形成短幅擺線(xiàn)的通用方法.2 擺線(xiàn)針輪行星傳動(dòng)中若干性質(zhì)分析2.1 正確嚙合條件由上節(jié)針齒的共軛齒形的推導(dǎo)過(guò)程及(12式可以得到如下結(jié)論: 對(duì)于給定的針輪及中心距, 一個(gè)擺線(xiàn)輪與之正確嚙合的必要條件為: e =e , 即針輪與擺線(xiàn)輪的中心距必須等于短幅擺線(xiàn)的偏心距. 事實(shí)上, 該條件也是擺線(xiàn)針輪正確嚙合的充分條件.針輪節(jié)圓的齒距為p tb =2r b Z e , 且由于K 1=r b R Z , 所以p tb =2r b Z e =2K 1R z Z e .擺線(xiàn)輪節(jié)圓的齒距為p tg =2 e =2 e =2K 1R z Z e ,

14、因此p tg =p tb , 即擺線(xiàn)輪與針輪在節(jié)圓上的齒距相等, 擺線(xiàn)輪與針輪可實(shí)現(xiàn)正確連續(xù)嚙合.當(dāng)Z b Z g =1時(shí), Z b =2 r b p tb =2(r g +e 2e =r g /e +1, 顯然, r g /e 為整數(shù), 擺線(xiàn)輪齒廓為連續(xù)完整的曲線(xiàn). 由(12式, 容易得到e =K 1R z Z e =K 1R z (Z b Z g Z b . (15根據(jù)以上論述, 我們將少齒差擺線(xiàn)針輪傳動(dòng)中基本幾何參數(shù)之間的關(guān)系式列表如下:表1 基本幾何參數(shù)關(guān)系式名稱(chēng) 短幅系數(shù)K 1 針輪節(jié)圓半徑 擺線(xiàn)輪節(jié)圓半徑偏心距符號(hào) K 1計(jì)算公式K 1=r b eZ b=R Z R Z (Z b

15、Z g eZ bZ b Z g =K 1R Z Z g Z br b r b =K 1R Z =r gZ g Z br b =eZ gr g eZ b Z ge =r b r g =r =K 1R Z (Z b Z g Z b外嚙合形成法的滾圓半徑 rR Z (Z b Z g e= K 1Z b的取值范圍 2.2 擺線(xiàn)輪齒廓方程中參數(shù)b為了保證正反轉(zhuǎn)傳動(dòng)特性的一致, 擺線(xiàn)行星輪的左右齒廓應(yīng)具有對(duì)稱(chēng)性. 擺線(xiàn)輪一個(gè)輪齒的對(duì)稱(chēng)中軸與擺線(xiàn)齒廓起始線(xiàn)的夾角大小0=/Z g , 令對(duì)稱(chēng)中軸的直線(xiàn)方程為y =kx , 其斜率k =tan(/20 =ctan 0, 所以y =x ctan(/Z g .152

16、中國(guó)科學(xué) E 輯: 技術(shù)科學(xué) 2008年 第38卷 第1期將(10式代入對(duì)稱(chēng)中軸的直線(xiàn)方程, 得±r Z e cos Z b b R Z cos b(Z b Z g R sin e sin Z Z Z ±Z b b b b g ctan(/Z g . =r Z ( (16用數(shù)值計(jì)算方法可解得上式中與對(duì)稱(chēng)中軸及擺線(xiàn)輪齒廓的交點(diǎn)(即擺線(xiàn)輪齒頂 相對(duì)應(yīng)的, 令其為max , 只需在擺線(xiàn)輪齒廓曲線(xiàn)方程式中取b 0,max , 即可作出擺線(xiàn)輪一個(gè)輪齒b一側(cè)的齒廓曲線(xiàn), 再根據(jù)齒廓曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性, 得到擺線(xiàn)輪左右齒廓曲線(xiàn). 需要指出的是, 當(dāng)針輪和擺線(xiàn)輪為一齒差時(shí), 擺線(xiàn)輪齒廓為連續(xù)完整

17、的變幅擺線(xiàn); 當(dāng)針輪和擺線(xiàn)輪為二齒差及其他齒差數(shù)時(shí), 擺線(xiàn)輪的齒廓僅為變幅擺線(xiàn)的一段, 考慮到齒頂不能為尖點(diǎn), 實(shí)際的max 應(yīng)根據(jù)齒頂圓確定.2.3 擺線(xiàn)針輪行星傳動(dòng)的兩次接觸將嚙合函數(shù)(, b =K 1cos (+b cos =0進(jìn)行變換得針齒轉(zhuǎn)角函數(shù)=arctan (K 1cos b 1K 1sin b , b n (n =0,1, 2, . (17針齒轉(zhuǎn)角函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)為d b =K 12+K 1cos b(K212K 1cos b +1, (18二階導(dǎo)數(shù)為d 2d b 2=K 1sin b K 121(K212K 1cos b +1. (192取短幅系數(shù)K 1=0.75, 作出(17

18、(19式的函數(shù)圖像如圖 24所示.圖2 針齒轉(zhuǎn)角函數(shù)圖形圖3 針齒轉(zhuǎn)角函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)圖形153陳兵奎等: 擺線(xiàn)針輪行星傳動(dòng)共軛嚙合理論 圖4 針齒轉(zhuǎn)角函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)圖形結(jié)合圖24可知, 針齒轉(zhuǎn)角函數(shù)以2為周期, 且函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng). 當(dāng)b (0, 時(shí), f (b 0, 原函數(shù)圖像上凸, 當(dāng)b (, 2時(shí), f (b 0, 原函數(shù)圖像下凹, 原函數(shù)分別在f (b =0時(shí)(即A 和B 點(diǎn) 取得極值max . max 為針齒的嚙合端點(diǎn), 即針齒轉(zhuǎn)過(guò)的最大角度,說(shuō)明針齒上只有一部分齒廓參與嚙合傳動(dòng). 因?yàn)?的極值點(diǎn)對(duì)應(yīng)于其一階導(dǎo)數(shù)f (b =0的點(diǎn), 所以擺線(xiàn)針輪行星傳動(dòng)的針齒嚙合端點(diǎn)由以下方程組確定:

19、max =arctan (K 1cos b 1K 1sin b , 22+=cos 12cos 0. K K K K 1111b b (解該方程組得 max = (20由圖2可得, 當(dāng)b (0, 或b (, 2時(shí), 只要max , 取任一值, 均有兩個(gè)不同的b值與其對(duì)應(yīng), 即針齒齒廓上一點(diǎn)在傳動(dòng)過(guò)程中將分別與擺線(xiàn)輪齒廓上的兩點(diǎn)(凹、凸齒 產(chǎn)生接觸. 由于針齒只有一部分齒廓參與嚙合, 所以針齒始終重復(fù)著由嚙合端點(diǎn)0°轉(zhuǎn)至max , 再反向轉(zhuǎn)回0°的運(yùn)動(dòng), 在兩零點(diǎn)處, 針齒上的這點(diǎn)分別與擺線(xiàn)輪的凸、凹齒接觸, 此過(guò)程表明擺線(xiàn)針輪傳動(dòng)過(guò)程中針齒存在兩次接觸現(xiàn)象15.2.4 嚙合

20、線(xiàn)方程2.4.1 坐標(biāo)系OXY 中的嚙合線(xiàn)方程擺線(xiàn)針輪共軛嚙合副在坐標(biāo)系OXY 中的嚙合線(xiàn)方程由下式確定:將(1, (6和(9式代入上式可得(1=M 01,(21 , 0. =(b x =R sin Z Z Z +r cos ,Z b g Z g b(22 Z b Z g +r Z sin , y =R Z cos Z g b(154中國(guó)科學(xué) E 輯: 技術(shù)科學(xué) 2008年 第38卷 第1期其中,cos =±sin Z g b /(Z b Z g sin =Z g ±K 1cos Z g bZb (23 當(dāng)r Z =0時(shí), 嚙合線(xiàn)方程簡(jiǎn)化為圓的方程. 2.4.2 坐標(biāo)系O

21、b x 1y 1中的嚙合線(xiàn)方程擺線(xiàn)針輪共軛嚙合副在坐標(biāo)系O b x 1y 1中的嚙合線(xiàn), 就是針齒上滿(mǎn)足嚙合函數(shù)的點(diǎn)的集合, 因此聯(lián)立針齒齒廓方程及嚙合函數(shù)即可得到所求嚙合線(xiàn)的方程其中sin =x 1=r Z cos ,(24 y =r sin +R , Z 1Z ±K 1cos Z g bcos =1Z b Z g (25(23和(25式等號(hào)右邊正、負(fù)號(hào)的選用方法與(14式相同. 顯然, 該嚙合線(xiàn)就是針齒齒廓的一部分.2.5 重合度根據(jù)齒輪嚙合原理中重合度的概念, 擺線(xiàn)針輪行星傳動(dòng)的重合度可定義為: 擺線(xiàn)輪齒單0,max 的嚙合過(guò)程中, 同時(shí)參與嚙合的齒數(shù). 由于擺線(xiàn)針輪行星側(cè)齒面

22、從齒根到齒頂(b傳動(dòng)的嚙合線(xiàn)為曲線(xiàn), 計(jì)算較困難, 我們將依據(jù)嚙合線(xiàn)所對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)角計(jì)算其重合度為.式中b =Z g max=b /A , (26(Z b Z g , 為嚙合線(xiàn)所對(duì)應(yīng)的針輪的轉(zhuǎn)角, max 由(16式確定;A =2Z b ,為針輪相鄰針齒之間的夾角, 因此重合度計(jì)算式為=b A =Z b Z g max 2(Z b Z g . (27當(dāng)針輪與擺線(xiàn)輪為一齒差時(shí), 由于max =Z g , 因此重合度為=b A =Z b 2.當(dāng)針輪與擺線(xiàn)輪為二齒差時(shí), 由(16式解得max , 將其代入=Z b Z g max 4計(jì)算即可. 三齒差的重合度計(jì)算方法與二齒差相同, 其計(jì)算式為=Z b Z

23、 g max 6.155陳兵奎等: 擺線(xiàn)針輪行星傳動(dòng)共軛嚙合理論3 典型擺線(xiàn)針輪少齒差行星傳動(dòng)共軛嚙合理論3.1 一齒差擺線(xiàn)針輪行星傳動(dòng)3.1.1 擺線(xiàn)輪的齒廓曲線(xiàn)方程令(10和(11式中的Z b Z g =1即可得到一齒差擺線(xiàn)輪的齒廓曲線(xiàn)方程其中 e sin Z b b +r Z cos , x 2=R Z sin bmax , (28 0,b cos cos ' sin , =y R e Z r Z b b b Z 2 cos =sin = (290,16.36°代入(28取Z g =11, R Z =90, r Z =7, e =4代入(16式解出max =16.36&

24、#176;, 將b和(29式, 并由擺線(xiàn)齒廓曲線(xiàn)的周期性可作出如圖5所示的一齒差擺線(xiàn)輪齒廓曲線(xiàn)圖及圖6所示的一齒差擺線(xiàn)針輪行星傳動(dòng)嚙合簡(jiǎn)圖 . 圖5 一齒差擺線(xiàn)輪齒廓曲線(xiàn) 圖6 一齒差擺線(xiàn)針輪行星傳動(dòng)嚙合圖3.1.2 嚙合線(xiàn)方程令(22和(23式中的Z b Z g =1, 得到坐標(biāo)系OXY 中的嚙合線(xiàn)方程其中 +r Z cos , x =R Z sin Z g b0, max , (30 b y =R Z cos Z g b +r Z sin ,sin Z K cos Z cos = sin = (31156中國(guó)科學(xué) E 輯: 技術(shù)科學(xué) 2008年 第38卷 第1期令(24和(25式中的Z b

25、 Z g =1, 得到坐標(biāo)系O b x 1y 1中的嚙合線(xiàn)方程其中 sin =1K cos Z K sin Z 0, max . bx 1=r Z cos ,(32 =+y r sin R , 1Z Zcos =(33取與3.1.1節(jié)相同的參數(shù)作圖, 得到如圖7和8所示的坐標(biāo)系OXY 及O b x 1y 1中的嚙合線(xiàn)圖形. 圖8中的粗實(shí)線(xiàn)表示作出的嚙合線(xiàn), 由該圖可知, 針齒上僅有一部分齒廓參與嚙合, 其滾動(dòng)的最大角度max 可以通過(guò)解(20式求得 . 圖7 坐標(biāo)系OXY 中的嚙合線(xiàn)圖形 圖8 坐標(biāo)系O b x 1y 1中的嚙合線(xiàn)圖形3.2 二齒差擺線(xiàn)針輪行星傳動(dòng)與求一齒差擺線(xiàn)輪齒廓曲線(xiàn)及嚙合

26、線(xiàn)方程的方法相同, 對(duì)于二齒差擺線(xiàn)針輪行星傳動(dòng), 只需將統(tǒng)一表達(dá)式中的齒差數(shù)項(xiàng)取2即可. 需要注意的是, 任何齒差數(shù)的擺線(xiàn)輪齒廓曲線(xiàn)及嚙合線(xiàn)方程都需根據(jù)(16式確定的max 對(duì)其進(jìn)行限制, 與一齒差表示相同, 在此不再贅述, 只取一例作嚙合簡(jiǎn)圖及嚙合線(xiàn)圖形.取R Z =90, 7,r Z = e =4, Z g =22代入(16式解出max =8.77°, 可作出如圖9所示的二齒差157陳兵奎等: 擺線(xiàn)針輪行星傳動(dòng)共軛嚙合理論 擺線(xiàn)針輪行星傳動(dòng)嚙合簡(jiǎn)圖及圖 10 所示的在坐標(biāo)系 OXY 中的嚙合線(xiàn)圖形, 且由(27式可計(jì)算 出其重合度為 6.43. 由(20式可知少齒差擺線(xiàn)針輪行星傳

27、動(dòng)的針齒都具有僅一部分齒廓參與嚙 合的性質(zhì), 其嚙合線(xiàn)方程在坐標(biāo)系 Ob x1 y1 中的圖形與圖 8 類(lèi)似. 圖9 二齒差擺線(xiàn)針輪行星傳動(dòng)嚙合圖 圖 10 坐標(biāo)系 OXY 中的嚙合線(xiàn)圖形 3.3 三齒差擺線(xiàn)針輪行星傳動(dòng) 求擺線(xiàn)輪齒廓曲線(xiàn)方程及嚙合線(xiàn)方程的 方法與一、二齒差相同 . 取一例作其嚙合簡(jiǎn)圖 及坐標(biāo)系 OXY 中的嚙合線(xiàn)圖形. 取 RZ = 90, rZ = 7, e = 4, Z g = 33 代 入 (16 式解出 max = 5.22°, 可作出如圖 11 所示的三 齒差擺線(xiàn)針輪行星傳動(dòng)嚙合簡(jiǎn)圖及圖 12 所示 的在坐標(biāo)系 OXY 中的嚙合線(xiàn)圖形, 并由 (27式 可

28、得其重合度為 5.74 . 3.4 負(fù)一齒差擺線(xiàn)針輪行星傳動(dòng) 令 (10 和 (11 式中的 Z b Z g = 1, 且由于 圖 11 三齒差擺線(xiàn)針輪行星傳動(dòng)嚙合圖 負(fù)齒差擺線(xiàn)輪齒廓曲線(xiàn)是其理論曲線(xiàn)的外等距 線(xiàn) , 因此 (11 式等號(hào)右取 “ 負(fù) ” 即可得到負(fù)一齒 差擺線(xiàn)輪的齒廓曲線(xiàn)方程. 取 RZ = 120, rZ = 10, e = 5, Z g = 16 代入 (16 式解出 max = 11.25°, 可作出如圖 13 所示的負(fù) 一齒差擺線(xiàn)輪齒廓曲線(xiàn), 圖 14 所示的嚙合簡(jiǎn)圖及圖 15 和 16 所示的不同坐標(biāo)系中的嚙合線(xiàn)圖形. 158 中國(guó)科學(xué) E 輯: 技術(shù)科學(xué)

29、 2008 年 第 38 卷 第 1 期 圖 16 中, 粗實(shí)線(xiàn)部分表示作出的嚙合線(xiàn). 由上兩嚙合線(xiàn)圖形可看出, 負(fù)齒差擺線(xiàn)輪與正 齒差擺線(xiàn)輪不同, 它的實(shí)際齒廓是其理論齒廓 曲線(xiàn)的外等距線(xiàn) , 同樣的, 針齒上也只有一部 分參與嚙合. 上述嚙合理論研究揭示了擺線(xiàn)針輪傳動(dòng) 共軛嚙合的實(shí)質(zhì), 其結(jié)果對(duì)于該類(lèi)傳動(dòng)特別是 二齒或多齒差擺線(xiàn)針輪傳動(dòng)的幾何參數(shù)設(shè)計(jì) 計(jì)算、多齒差嚙合特性分析、受力計(jì)算以及擺 線(xiàn)輪的加工等具有重要的意義. 圖 12 坐標(biāo)系 OXY 中的嚙合線(xiàn)圖形 圖 13 負(fù)一齒差擺線(xiàn)輪齒廓曲線(xiàn) 圖 14 負(fù)一齒差擺線(xiàn)針輪行星傳動(dòng)嚙合圖 圖 15 坐標(biāo)系 OXY 中的嚙合線(xiàn)圖形 圖 16

30、坐標(biāo)系 Obx1y1 中的嚙合線(xiàn)圖形 159 陳兵奎等: 擺線(xiàn)針輪行星傳動(dòng)共軛嚙合理論 4 結(jié)論 ( 根據(jù)齒輪嚙合原理的運(yùn)動(dòng)學(xué)方法, 由針齒齒廓及給定運(yùn)動(dòng)建立了適用于一齒差及多 齒差的擺線(xiàn)針輪行星傳動(dòng)的嚙合函數(shù) , 并得到了擺線(xiàn)輪齒廓的統(tǒng)一方程 , 給出了齒廓方程參 數(shù)的確定方法. ( 由擺線(xiàn)輪齒廓的統(tǒng)一方程 , 取不同參數(shù)可分別得到理論擺線(xiàn)、短幅外擺線(xiàn)、短幅內(nèi) 擺線(xiàn), 從而提出了形成擺線(xiàn)的通用方法包絡(luò)法. ( 擺線(xiàn)針輪行星傳動(dòng)的針齒齒廓存在兩次接觸現(xiàn)象, 其嚙合的端點(diǎn)僅與變幅系數(shù)有關(guān), 且隨變幅系數(shù)的增大針齒的接觸弧長(zhǎng)增加; 擺線(xiàn)針輪行星傳動(dòng)正確嚙合的充要條件為針輪與 擺線(xiàn)輪的中心距等于短幅

31、擺線(xiàn)的偏心距 ; 擺線(xiàn)針輪行星傳動(dòng)的重合度可通過(guò)嚙合線(xiàn)所對(duì)應(yīng)的 針輪轉(zhuǎn)角與相鄰針齒夾角的比值進(jìn)行計(jì)算 , 一齒差擺線(xiàn)針輪行星傳動(dòng)的重合度為針齒的一半, 多齒差的重合度與變幅系數(shù)、針齒半徑等參數(shù)相關(guān). ( 本文所建立的理論對(duì)于少齒差擺線(xiàn)針輪行星傳動(dòng)的設(shè)計(jì)、加工以及其他少齒差行星 傳動(dòng)的共軛嚙合理論的研究具有參考價(jià)值. 參考文獻(xiàn) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 李特文. 齒輪嚙合原理. 第 2 版. 上海: 上海科學(xué)技術(shù)出版社, 1984. 12 饒振綱. 行星傳動(dòng)機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì). 第 2 版. 北京: 國(guó)防工業(yè)出版社, 1994. 6 高興岐. 多齒差擺線(xiàn)針輪行

32、星傳動(dòng)的齒形及嚙合特性的理論分析. 機(jī)械傳動(dòng), 2000, 4(4: 1112 李力行, 洪淳赫. 擺線(xiàn)針輪行星傳動(dòng)中擺線(xiàn)輪齒形通用方程式的研究. 大連鐵道學(xué)院學(xué)報(bào), 1992, 13(1: 7 12 Litvin F L, Demenego A, Vecchiato D. Formation by branches of envelope to parametric families of surfaces and curves. Comput Meth Appl Mech Eng, 2001, 190: 45874608 Litvin F L, Egelja A M, Donno M D. Computerized determination of singularities and envelopes to families of contact lines on gear tooth surfaces. Comput Meth Appl Mech Eng, 1998, 158: 2324 L