高中數(shù)學(xué)高考總復(fù)習(xí)橢圓習(xí)題及詳解

1、一、選擇題1設(shè)0<2，若方程x2siny2cos1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則的取值范圍是()A. B.C. D.答案C解析化為1，>>0，故選C.2(文)(2010·瑞安中學(xué))已知雙曲線C的焦點(diǎn)、頂點(diǎn)分別恰好是橢圓1的長軸端點(diǎn)、焦點(diǎn)，則雙曲線C的漸近線方程為()A4x±3y0 B3x±4y0C4x±5y0 D5x±4y0答案A解析由題意知雙曲線C的焦點(diǎn)(±5,0)，頂點(diǎn)(±3，0)，a3，c5，b4，漸近線方程為y±x，即4x±3y0.(理)(2010·廣東中山)若橢圓1過拋物

2、線y28x的焦點(diǎn)，且與雙曲線x2y21，有相同的焦點(diǎn)，則該橢圓的方程是()A.1 B.y21C.1 Dx21答案A解析拋物線y28x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0)，則依題意知橢圓的右頂點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,0)，又橢圓與雙曲線x2y21有相同的焦點(diǎn)，a2，c，c2a2b2，b22，橢圓的方程為1.3分別過橢圓1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)F1、F2作兩條互相垂直的直線l1、l2，它們的交點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部，則橢圓的離心率的取值范圍是()A(0,1) B.C. D.答案B解析依題意，結(jié)合圖形可知以F1F2為直徑的圓在橢圓的內(nèi)部，c<b，從而c2<b2a2c2，a2>2c2，即e2<

3、;，又e>0，0<e<，故選B.4橢圓1的焦點(diǎn)為F1、F2，橢圓上的點(diǎn)P滿足F1PF260°，則F1PF2的面積是()A. B.C. D.答案A解析由余弦定理：|PF1|2|PF2|22|PF1|·|PF2|·cos60°|F1F2|2.又|PF1|PF2|20，代入化簡得|PF1|·|PF2|，SF1PF2|PF1|·|PF2|·sin60°.5(2010·濟(jì)南市模擬)若橢圓1(a>b>0)的離心率為，則雙曲線1的漸近線方程為()Ay±x By±2xCy

4、±4x Dy±x答案A解析由橢圓的離心率e，故雙曲線的漸近線方程為y±x，選A.6(文)(2010·南昌市模考)已知橢圓E的短軸長為6，焦點(diǎn)F到長軸的一個(gè)端點(diǎn)的距離等于9，則橢圓E的離心率等于()A. B.C. D.答案A解析設(shè)橢圓的長半軸長，短半軸長，半焦距分別為a、b、c，則由條件知，b6，ac9或ac9，又b2a2c2(ac)(ac)36，故，e.(理)(2010·北京崇文區(qū))已知點(diǎn)F，A分別是橢圓1(a>b>0)的左焦點(diǎn)、右頂點(diǎn)，B(0，b)滿足·0，則橢圓的離心率等于()A. B.C. D.答案B解析(c，b)，

5、(a，b)，·0，acb20，b2a2c2，a2acc20，e2e10，e>0，e.7(2010·浙江金華)若點(diǎn)P為共焦點(diǎn)的橢圓C1和雙曲線C2的一個(gè)交點(diǎn)，F(xiàn)1、F2分別是它們的左、右焦點(diǎn)設(shè)橢圓離心率為e1，雙曲線離心率為e2，若·0，則()A2 B.C. D3答案A解析設(shè)橢圓的長半軸長為a，雙曲線的實(shí)半軸長為a，焦距為2c，則由條件知|PF1|PF2|2a，|PF1|PF2|2a，將兩式兩邊平方相加得：|PF1|2|PF2|22(a2a2)，又|PF1|2|PF2|24c2，a2a22c2，2.8(2010·重慶南開中學(xué))已知橢圓1的左右焦點(diǎn)分別

6、為F1、F2，過F2且傾角為45°的直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn)，以下結(jié)論中：ABF1的周長為8；原點(diǎn)到l的距離為1；|AB|；正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為()A3B2C1D0答案A解析a2，ABF1的周長為|AB|AF1|BF1|AF1|AF2|BF1|BF2|4a8，故正確；F2(，0)，l：yx，原點(diǎn)到l的距離d1，故正確；將yx代入1中得3x24x0，x10，x2，|AB|，故正確9(文)(2010·北京西城區(qū))已知圓(x2)2y236的圓心為M，設(shè)A為圓上任一點(diǎn)，N(2,0)，線段AN的垂直平分線交MA于點(diǎn)P，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是()A圓 B橢圓C雙曲線 D拋物線答案B解析點(diǎn)P在線段

7、AN的垂直平分線上，故|PA|PN|，又AM是圓的半徑，|PM|PN|PM|PA|AM|6>|MN|，由橢圓定義知，P的軌跡是橢圓(理)F1、F2是橢圓1(a>b>0)的兩焦點(diǎn)，P是橢圓上任一點(diǎn)，過一焦點(diǎn)引F1PF2的外角平分線的垂線，則垂足Q的軌跡為()A圓B橢圓C雙曲線D拋物線答案A解析PQ平分F1PA，且PQAF1，Q為AF1的中點(diǎn)，且|PF1|PA|，|OQ|AF2|(|PA|PF2|)a，Q點(diǎn)軌跡是以O(shè)為圓心，a為半徑的圓10(文)(2010·遼寧沈陽)過橢圓C：1(a>b>0)的左頂點(diǎn)A的斜率為k的直線交橢圓C于另一個(gè)點(diǎn)B，且點(diǎn)B在x軸上的射

8、影恰好為右焦點(diǎn)F，若<k<，則橢圓離心率的取值范圍是()A. B.C. D.答案C解析點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是c，故B的坐標(biāo)，已知k，B.斜率k.由<k<，解得<e<.(理)(2010·寧波余姚)如果AB是橢圓1的任意一條與x軸不垂直的弦，O為橢圓的中心，e為橢圓的離心率，M為AB的中點(diǎn)，則kAB·kOM的值為()Ae1 B1eCe21 D1e2答案C解析設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，中點(diǎn)M(x0，y0)，由點(diǎn)差法，1，1，作差得，kAB·kOM·e21.故選C.二、填空題11(文)過橢圓C：1(a>b>0)

9、的一個(gè)頂點(diǎn)作圓x2y2b2的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，若AOB90°(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則橢圓C的離心率為_答案解析因?yàn)锳OB90°，所以AOF45°，所以，所以e21，即e.(理)(2010·揭陽市模擬)若橢圓1(a>b>0)與曲線x2y2a2b2無公共點(diǎn)，則橢圓的離心率e的取值范圍是_答案解析易知以半焦距c為半徑的圓在橢圓內(nèi)部，故b>c，b2>c2，即a2>2c2，<.12(2010·南充市)已知ABC頂點(diǎn)A(4,0)和C(4,0)，頂點(diǎn)B在橢圓1上，則_.答案解析易知A，C為橢圓的焦點(diǎn)，故|BA|BC|

10、2×510，又AC8，由正弦定理知，.13(文)若右頂點(diǎn)為A的橢圓1(a>b>0)上存在點(diǎn)P(x，y)，使得·0，則橢圓離心率的范圍是_答案<e<1解析在橢圓1上存在點(diǎn)P，使·0，即以O(shè)A為直徑的圓與橢圓有異于A的公共點(diǎn)以O(shè)A為直徑的圓的方程為x2axy20與橢圓方程b2x2a2y2a2b2聯(lián)立消去y得(a2b2)x2a3xa2b20，將a2b2c2代入化為(xa)(c2xab2)0，xa，x，由題設(shè)<a，<1.即e>，0<e<1，<e<1.(理)已知A(4,0)，B(2,2)是橢圓1內(nèi)的點(diǎn)，M是橢

11、圓上的動(dòng)點(diǎn)，則|MA|MB|的最大值是_答案102解析如圖，直線BF與橢圓交于M1、M2.任取橢圓上一點(diǎn)M，則|MB|BF|MA|MF|MA|2a|M1A|M1F|M1A|M1B|BF|MB|MA|M1B|M1A|2a|BF|.同理可證|MB|MA|M2B|M2A|2a|BF|，102|MB|MA|102.14(文)已知實(shí)數(shù)k使函數(shù)ycoskx的周期不小于2，則方程1表示橢圓的概率為_答案解析由條件2，k，當(dāng)0<k且k3時(shí)，方程1表示橢圓，概率P.(理)(2010·深圳市調(diào)研)已知橢圓M：1(a>0，b>0)的面積為ab，M包含于平面區(qū)域：內(nèi)，向內(nèi)隨機(jī)投一點(diǎn)Q，點(diǎn)Q

12、落在橢圓M內(nèi)的概率為，則橢圓M的方程為_答案1解析平面區(qū)域：是一個(gè)矩形區(qū)域，如圖所示，依題意及幾何概型，可得，即ab2.因?yàn)?<a2,0<b，所以a2，b.所以，橢圓M的方程為1.三、解答題15(文)(2010·山東濟(jì)南市模擬)已知橢圓C：1(a>b>0)的長軸長為4.(1)若以原點(diǎn)為圓心、橢圓短半軸為半徑的圓與直線yx2相切，求橢圓C的焦點(diǎn)坐標(biāo)；(2)若點(diǎn)P是橢圓C上的任意一點(diǎn)，過焦點(diǎn)的直線l與橢圓相交于M，N兩點(diǎn)，記直線PM，PN的斜率分別為kPM、kPN，當(dāng)kPM·kPN時(shí)，求橢圓的方程解析(1)圓x2y2b2與直線yx2相切，b，得b.又2a

13、4，a2，a24，b22，c2a2b22，兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為(，0)，(，0)(2)由于過原點(diǎn)的直線l與橢圓相交的兩點(diǎn)M，N關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，不妨設(shè)：M(x0，y0)，N(x0，y0)，P(x，y)，由于M，N，P在橢圓上，則它們滿足橢圓方程，即有1，1.兩式相減得：.由題意可知直線PM、PN的斜率存在，則kPM，kPN，kPM·kPN·，則，由a2得b1，故所求橢圓的方程為y21.(理)(2010·北京東城區(qū))已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)F(2,0)，且長軸長與短軸長的比是2.(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)點(diǎn)M(m,0)在橢圓C的長軸上，點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn)當(dāng)|

14、最小時(shí)，點(diǎn)P恰好落在橢圓的右頂點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍解析(1)設(shè)橢圓C的方程為1(a>b>0)由題意，解得a216，b212.所以橢圓C的方程為1.(2)設(shè)P(x，y)為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，由于橢圓方程為1，故4x4.因?yàn)?xm，y)，所以|2(xm)2y2(xm)212×.x22mxm212(x4m)2123m2.因?yàn)楫?dāng)|最小時(shí)，點(diǎn)P恰好落在橢圓的右頂點(diǎn)，即當(dāng)x4時(shí)，|2取得最小值而x4,4，故有4m4，解得m1.又點(diǎn)M在橢圓的長軸上，即4m4.故實(shí)數(shù)m的取值范圍是m1,416(2010·遼寧文，20)設(shè)F1，F(xiàn)2分別為橢圓C：1(ab0)的左、右焦點(diǎn)，過F2的直線

15、l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，直線l的傾斜角為60°，F(xiàn)1到直線l的距離為2.(1)求橢圓C的焦距；(2)如果2，求橢圓C的方程解析(1)設(shè)焦距為2c，則F1(c,0)，F(xiàn)2(c,0)kltan60°l的方程為y(xc)即：xyc0F1到直線l的距離為2c2c2橢圓C的焦距為4(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)由題可知y10，y20直線l的方程為y(x2)由消去x得，(3a2b2)y24b2y3b2(a24)0由韋達(dá)定理可得2，y12y2，代入得得·又a2b24 由解得a29b25橢圓C的方程為1.17(文)(2010·安徽文)橢圓E經(jīng)過點(diǎn)A(2,

16、3)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在x軸上，離心率e.(1)求橢圓E的方程；(2)求F1AF2的角平分線所在直線的方程解析(1)由題意可設(shè)橢圓方程為1(a>b>0)e，即，a2c又b2a2c23c2橢圓方程為橢圓過點(diǎn)A(2,3)1，解得c24，橢圓方程為1.(2)法一：由(1)知F1(2,0)，F(xiàn)2(2,0)，直線AF1的方程y(x2)，即3x4y60，直線AF2的方程為x2.設(shè)P(x，y)為角平分線上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到兩直線的距離相等即|x2|3x4y65(x2)或3x4y65(2x)即x2y80或2xy10.由圖形知，角平分線的斜率為正數(shù)，故所求F1AF2的平分線所在直線方程

17、為2xy10.法二：設(shè)AM平分F1AF2，則直線AF1與直線AF2關(guān)于直線AM對(duì)稱由題意知直線AM的斜率存在且不為0，設(shè)為k.則直線AM方程y3k(x2)由(1)知F1(2,0)，F(xiàn)2(2,0)，直線AF1方程為y(x2)，即3x4y60設(shè)點(diǎn)F2(2,0)關(guān)于直線AM的對(duì)稱點(diǎn)F2(x0，y0)，則解之得F2(，)直線AF1與直線AF2關(guān)于直線AM對(duì)稱，點(diǎn)F2在直線AF1上即3×4×60.解得k或k2.由圖形知，角平分線所在直線方程斜率為正，k(舍去)故F1AF2的角平分線所在直線方程為2xy10.法三：A(2,3)，F(xiàn)1(2,0)，F(xiàn)2(2,0)，(4，3)，(0，3)，(

18、4，3)(0，3)(1,2)，kl2，l：y32(x2)，即2xy10.點(diǎn)評(píng)因?yàn)閘為F1AF2的平分線，與的單位向量的和與l共線從而可由、的單位向量求得直線l的一個(gè)方向向量，進(jìn)而求出其斜率(理)(2010·湖北黃岡)已知點(diǎn)A(1,1)是橢圓1(a>b>0)上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓的兩焦點(diǎn)，且滿足|AF1|AF2|4.(1)求橢圓的兩焦點(diǎn)坐標(biāo)；(2)設(shè)點(diǎn)B是橢圓上任意一點(diǎn)，如果|AB|最大時(shí)，求證A、B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)O不對(duì)稱；(3)設(shè)點(diǎn)C、D是橢圓上兩點(diǎn)，直線AC、AD的傾斜角互補(bǔ)，試判斷直線CD的斜率是否為定值？若是定值，求出定值；若不是定值，說明理由解析(1)由橢圓定義知：2a