高中數(shù)學(xué)必修5數(shù)列經(jīng)典例題集錦

1、【典型例題】（一）研究等差等比數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)1. 研究通項(xiàng)的性質(zhì)例題1. 已知數(shù)列滿足. （1）求；（2）證明：.解：（1）. （2）證明：由已知，故，所以證得. 例題2. 數(shù)列的前項(xiàng)和記為（）求的通項(xiàng)公式；（）等差數(shù)列的各項(xiàng)為正，其前項(xiàng)和為，且，又成等比數(shù)列，求. 解：（）由可得，兩式相減得：，又故是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列（）設(shè)的公比為，由得，可得，可得故可設(shè)，又，由題意可得，解得等差數(shù)列的各項(xiàng)為正，例題3. 已知數(shù)列的前三項(xiàng)與數(shù)列的前三項(xiàng)對(duì)應(yīng)相同，且對(duì)任意的都成立，數(shù)列是等差數(shù)列. 求數(shù)列與的通項(xiàng)公式；是否存在，使得，請(qǐng)說(shuō)明理由. 點(diǎn)撥：（1）左邊相當(dāng)于是數(shù)列前n項(xiàng)和的形式，可以聯(lián)想

2、到已知求的方法，當(dāng)時(shí)，. （2）把看作一個(gè)函數(shù)，利用函數(shù)的思想方法來(lái)研究的取值情況. 解：（1）已知）時(shí)，）得，求得，在中令，可得得，所以N*）. 由題意，所以，數(shù)列的公差為，）. （2），當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，且，所以時(shí)，又，所以，不存在，使得. 例題4. 設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列an和bn滿足：an、bn、an+1成等差數(shù)列，bn、an+1、bn+1成等比數(shù)列，且a1 = 1， b1 = 2 ， a2 = 3 ，求通項(xiàng)an，bn解：依題意得：2bn+1 = an+1 + an+2a2n+1 = bnbn+1 an、bn為正數(shù)，由得，代入并同除以得：，為等差數(shù)列 b1 = 2 ， a2 = 3 ，當(dāng)n

3、2時(shí)，又a1 = 1，當(dāng)n = 1時(shí)成立，2. 研究前n項(xiàng)和的性質(zhì)例題5. 已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且. （1）求、的值及數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：（1）時(shí)，.而為等比數(shù)列，得，又，得，從而.又.（2），），得，.例題6. 數(shù)列是首項(xiàng)為1000，公比為的等比數(shù)列，數(shù)列滿足，（1）求數(shù)列的前項(xiàng)和的最大值；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和. 解：（1）由題意：，數(shù)列是首項(xiàng)為3，公差為的等差數(shù)列，由，得，數(shù)列的前項(xiàng)和的最大值為. （2）由（1）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，. 例題7. 已知遞增的等比數(shù)列滿足，且是，的等差中項(xiàng). （1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，求使成立的的最小值. 解：（1）設(shè)等比

4、數(shù)列的公比為q（q1），由a1q+a1q2+a1q3=28，a1q+a1q3=2（a1q2+2），得：a1=2，q=2或a1=32，q=（舍）an=2·2（n1）=2n（2），Sn=（1·2+2·22+3·23+n·2n）2Sn=（1·22+2·23+n·2n+1），Sn=2+22+23+2nn·2n+1=（n1）·2n+12，若Sn+n ·2n+130成立，則2n+132，故n4，n的最小值為5. 例題8. 已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，且成等差數(shù)列，. 函數(shù). （I）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

5、（II）設(shè)數(shù)列滿足，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn，試比較的大小. 解：（I）成等差數(shù)列，當(dāng)時(shí)，. 得：，當(dāng)n=1時(shí)，由得，又是以1為首項(xiàng)3為公比的等比數(shù)列，（II），比較的大小，只需比較與312 的大小即可. 當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，. 3. 研究生成數(shù)列的性質(zhì)例題9. （I）已知數(shù)列，其中，且數(shù)列為等比數(shù)列，求常數(shù)；（II）設(shè)、是公比不相等的兩個(gè)等比數(shù)列，證明數(shù)列不是等比數(shù)列. 解：（）因?yàn)閏n+1pcn是等比數(shù)列，故有（cn+1pcn）2=（ cn+2pcn+1）（cnpcn1），將cn=2n3n代入上式，得2n1+3n1p（2n3n）2=2n2+3n2p（2n+13n+1）·2n

6、+3np（2n13n1），即（2p）2n+（3p）3n2=（2p）2n+1+（3p）3n+1 （2p）2n1+（3p）3n1，整理得（2p）（3p）·2n·3n=0，解得p=2或p=3. （）設(shè)an、bn的公比分別為p、q，pq，cn=an+bn. 為證cn不是等比數(shù)列只需證c1·c3. 事實(shí)上，=（a1pb1q）2=p2q22a1b1pq，c1·c3=（a1b1）（a1 p2b1q2）= p2q2a1b1（p2q2）. 由于pq，p2q2>2pq，又a1、b1不為零，因此c1·c3，故cn不是等比數(shù)列. 例題10. n2（ n4）個(gè)正數(shù)

7、排成n行n列：其中每一行的數(shù)成等差數(shù)列，每一列的數(shù)成等比數(shù)列，并且所有公比相等已知a24=1，求S=a11 + a22 + a33 + + ann解：設(shè)數(shù)列的公差為d，數(shù)列（i=1，2，3，n）的公比為q則= a11 + （k1）d ， akk = a11 + （k1）dqk1依題意得：，解得：a11 = d = q = ±又n2個(gè)數(shù)都是正數(shù)，a11 = d = q = ，akk = ，兩式相減得：例題11. 已知函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)和，記（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，若，求的最小值；（3）求使不等式對(duì)一切均成立的最大實(shí)數(shù).解：（1）由題意得，解得，（2）由（1）得，得. ，設(shè)，則由

8、得隨的增大而減小時(shí)，又恒成立，（3）由題意得恒成立記，則是隨的增大而增大的最小值為，即.（二）證明等差與等比數(shù)列1. 轉(zhuǎn)化為等差等比數(shù)列.例題12. 數(shù)列中，且滿足，.求數(shù)列的通項(xiàng)公式；設(shè)，求；設(shè)=，是否存在最大的整數(shù)，使得對(duì)任意，均有成立？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. 解：（1）由題意，為等差數(shù)列，設(shè)公差為，由題意得，.（2）若，時(shí)，故（3），若對(duì)任意成立，即對(duì)任意成立，的最小值是，的最大整數(shù)值是7. 即存在最大整數(shù)使對(duì)任意，均有例題13. 已知等比數(shù)列與數(shù)列滿足N*. （1）判斷是何種數(shù)列，并給出證明；（2）若. 解：（1）設(shè)的公比為q，。所以是以為公差的等差數(shù)列. （2）所以

9、由等差數(shù)列性質(zhì)可得2. 由簡(jiǎn)單遞推關(guān)系證明等差等比數(shù)列例題14. 已知數(shù)列和滿足：，（），且是以為公比的等比數(shù)列. （I）證明：；（II）若，證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（III）求和：. 解法1：（I）證：由，有，. （II）證：，. 是首項(xiàng)為5，公比為的等比數(shù)列. （III）解：由（II）得，于是. 當(dāng)時(shí)，. 當(dāng)時(shí)，. 故解法2：（I）同解法1（I）. （II）證：，又，是首項(xiàng)為5，公比為的等比數(shù)列. （III）由解法1中（II）的類似方法得，. . 例題15. 設(shè)數(shù)列（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）設(shè)數(shù)列的公比，數(shù)列滿足，bn=f （bn1）（nN*，n2），求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）設(shè)，求數(shù)

10、列的前n項(xiàng)和n. （1）證明：由相減得：數(shù)列是等比數(shù)列（2）解：是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列，. . （3）解：時(shí)得：所以：. 例題16. 的各個(gè)頂點(diǎn)分別為，設(shè)為線段的中點(diǎn)，為線段OC的中點(diǎn)，為線段的中點(diǎn). 對(duì)每一個(gè)正整數(shù)為線段的中點(diǎn). 令的坐標(biāo)為，. （1）求及；（2）證明：（3）記，證明：是等比數(shù)列. （1）解：因?yàn)閥1=y2=y4=1，y3=，y5=，所以得a1=a2=a3=2. 又由，對(duì)任意的正整數(shù)n有an+1=an 恒成立，且a1=2，所以an為常數(shù)數(shù)列，an=2，（n為正整數(shù)）（2）證明：根據(jù)，及=an=2，易證得yn+4=1（3）證明：因?yàn)閎n+1=（1）（1）=，又由b1=1y

11、4=，所以bn是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列. 【模擬試題】一、填空題1. 在等差數(shù)列a中，已知a=2，a+a=13，則a+a+a等于=. 2. 已知數(shù)列的通項(xiàng)，則其前項(xiàng)和. 3. 首項(xiàng)為24的等差數(shù)列，從第10項(xiàng)開始為正，則公差的取值范圍是. 4. 在等比數(shù)列中，和是二次方程的兩個(gè)根，則的值為. 5. 等差數(shù)列an中，a1=1，a3+a5=14，其前n項(xiàng)和Sn=100，則n=. 6. 等差數(shù)列an的前m項(xiàng)和為30，前2m項(xiàng)的和為100，求它的前3m項(xiàng)的和為_7. 已知兩個(gè)等差數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為A和，且，=，若為正整數(shù)，n的取值個(gè)數(shù)為_。8. 已知數(shù)列對(duì)于任意，有，若，則. 9. 記數(shù)列所有項(xiàng)的

12、和為，第二項(xiàng)及以后各項(xiàng)的和為，第三項(xiàng)及以后各項(xiàng)的和為，第項(xiàng)及以后各項(xiàng)的和為，若，則等于. 10. 等差數(shù)列共有項(xiàng)，其中奇數(shù)項(xiàng)之和為319，偶數(shù)項(xiàng)之和為290，則其中間項(xiàng)為_.11. 等差數(shù)列中，若且，則的值為.12. 設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和. 已知，則等于. 13. 已知函數(shù)定義在正整數(shù)集上，且對(duì)于任意的正整數(shù)，都有，且，則_. 14. 三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，且，則b的取值范圍是. 15. 等差數(shù)列中，前項(xiàng)和為，首項(xiàng). （1）若，求（2）設(shè)，求使不等式的最小正整數(shù)的值. 點(diǎn)撥：在等差數(shù)列中知道其中三個(gè)就可以求出另外一個(gè)，由已知可以求出首項(xiàng)與公差，把分別用首項(xiàng)與公差，表示即可. 對(duì)于求和公式，采用哪一

13、個(gè)都可以，但是很多題目要視具體情況確定采用哪一個(gè)可能更簡(jiǎn)單一些. 例如：已知判斷的正負(fù). 問題2在思考時(shí)要注意加了絕對(duì)值時(shí)負(fù)項(xiàng)變正時(shí)，新的數(shù)列首項(xiàng)是多少，一共有多少項(xiàng). 16. 等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，. （I）求數(shù)列的通項(xiàng)與前項(xiàng)和為；（II）設(shè)（），求證：數(shù)列中任意不同的三項(xiàng)都不可能成為等比數(shù)列. 17. 在直角坐標(biāo)平面上有一點(diǎn)列，對(duì)一切正整數(shù)n，點(diǎn)位于函數(shù)的圖象上，且的橫坐標(biāo)構(gòu)成以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列. 求點(diǎn)的坐標(biāo)；設(shè)拋物線列中的每一條的對(duì)稱軸都垂直于軸，第條拋物線的頂點(diǎn)為，且過(guò)點(diǎn)，設(shè)與拋物線相切于的直線的斜率為，求：. 設(shè)，等差數(shù)列的任一項(xiàng)，其中是中的最大數(shù)，求的通項(xiàng)公式. 18. 已知

14、數(shù)列滿足，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足（nN*），證明：是等差數(shù)列.【試題答案】1. 422. 3. 4. 5. 106. 2107. ；5個(gè)解法一：點(diǎn)撥利用等差數(shù)列的求和公式及等差數(shù)列的性質(zhì)“若，則”解析：=解法2：點(diǎn)撥利用“若為等差數(shù)列，那么”這個(gè)結(jié)論，根據(jù)條件找出和的通項(xiàng). 解析：可設(shè)，則，則=由上面的解法2可知=，顯然只需使為正整數(shù)即可，故，共5個(gè). 點(diǎn)評(píng)：對(duì)等差數(shù)列的求和公式的幾種形式要熟練掌握，根據(jù)具體的情況能夠靈活應(yīng)用. 反思：解法2中，若是填空題，比例常數(shù)k可以直接設(shè)為1. 8. 49. 解：. 10. 解：依題意，中間項(xiàng)為，于是有解得.11. 解：由題設(shè)得，而，又，. 12. 解：，. 。13. 解：由知函數(shù)當(dāng)從小到大依次取值時(shí)對(duì)應(yīng)的一系列函數(shù)值組成一個(gè)等差數(shù)列，形成一個(gè)首項(xiàng)為2，公差為4的等差數(shù)列，. 14. 解：設(shè)，則有. 當(dāng)時(shí)，而，；當(dāng)時(shí)，即，而，則，故. 15. 解：（1）由，得：，又由. 即，得