高考數(shù)學四川專用理一輪復習配套講義第6篇基本不等式

1、最新考綱1了解基本不等式的證明過程2會用基本不等式解決簡單的最大(小)值問題. 知 識 梳 理1基本不等式：(1)基本不等式成立的條件：a>0，b>0.(2)等號成立的條件：當且僅當ab時取等號(3)其中稱為正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，稱為正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)2幾個重要的不等式(1)重要不等式：a2b22ab(a，bR)當且僅當ab時取等號(2)ab2(a，bR)，當且僅當ab時取等號(3)2(a，bR)，當且僅當ab時取等號(4)2(a，b同號)，當且僅當ab時取等號3利用基本不等式求最值已知x0，y0，則(1)如果積xy是定值p，那么當且僅當xy時，xy有最小值是2(簡記：積定和

2、最小)(2)如果和xy是定值s，那么當且僅當xy時，xy有最大值是(簡記：和定積最大)辨 析 感 悟1對基本不等式的認識(1)當a0，b0時，.()(2)兩個不等式a2b22ab與成立的條件是相同的(×)2對幾個重要不等式的認識(3)(ab)24ab(a，bR)()(4).(×)(5)a2b2c2abbcca(a，b，cR)()3利用基本不等式確定最值(6)函數(shù)ysin x，x的最小值為4.(×)(7)(2014·福州模擬改編)若x3，則x的最小值為1.()(8)(2013·四川卷改編)已知函數(shù)f(x)4x(x0，a0)在x3時取得最小值，則a

3、36.()感悟·提升兩個防范一是在應用基本不等式求最值時，要把握不等式成立的三個條件，就是“一正各項均為正；二定積或和為定值；三相等等號能否取得”，若忽略了某個條件，就會出現(xiàn)錯誤對于公式ab2，ab2，要弄清它們的作用、使用條件及內(nèi)在聯(lián)系，兩個公式也體現(xiàn)了ab和ab的轉(zhuǎn)化關(guān)系如(2)、(4)、(6)二是在利用不等式求最值時，一定要盡量避免多次使用基本不等式若必須多次使用，則一定要保證它們等號成立的條件一致.學生用書第103頁考點一利用基本不等式證明簡單不等式【例1】 已知x0，y0，z0.求證：8.證明x0，y0，z0，0，0，0，8.當且僅當xyz時等號成立規(guī)律方法 利用基本不等式

4、證明不等式是綜合法證明不等式的一種情況，證明思路是從已證不等式和問題的已知條件出發(fā)，借助不等式的性質(zhì)和有關(guān)定理，經(jīng)過逐步的邏輯推理最后轉(zhuǎn)化為需證問題【訓練1】 已知a0，b0，c0，且abc1.求證：9.證明a0，b0，c0，且abc1，3332229，當且僅當abc時，取等號考點二利用基本不等式求最值【例2】 (1)(2013·山東卷)設(shè)正實數(shù)x，y，z滿足x23xy4y2z0，則當取得最大值時，的最大值為()A0 B1 C.D3(2)(2014·廣州一模)已知1，(x0，y0)，則xy的最小值為()A1 B2 C4 D8審題路線(1)x23xy4y2z0變形得zx23x

5、y4y2代入變形后利用基本不等式取等號的條件把轉(zhuǎn)化關(guān)于的一元二次函數(shù)利用配方法求最大值解析(1)由x23xy4y2z0，得zx23xy4y2，.又x，y，z為正實數(shù)，4，當且僅當x2y時取等號，此時z2y2.221，當1，即y1時，上式有最大值1.(2)x0，y0，xy(xy)·42448.當且僅當，即xy4時取等號答案(1)B(2)D規(guī)律方法 條件最值的求解通常有兩種方法：一是消元法，即根據(jù)條件建立兩個量之間的函數(shù)關(guān)系，然后代入代數(shù)式轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值求解；二是將條件靈活變形，利用常數(shù)代換的方法構(gòu)造和或積為常數(shù)的式子，然后利用基本不等式求解最值【訓練2】 (1)若正數(shù)x，y滿足x3y

6、5xy，則3x4y的最小值是()A.B.C5 D6(2)(2014·浙江十校聯(lián)考)若正數(shù)x，y滿足4x29y23xy30，則xy的最大值是()A.B.C2 D.解析(1)由x3y5xy可得1，3x4y(3x4y)5(當且僅當，即x1，y時，等號成立)，3x4y的最小值是5.(2)由x0，y0，得4x29y23xy2×(2x)×(3y)3xy(當且僅當2x3y時等號成立)，12xy3xy30，即xy2，xy的最大值為2.答案(1)C(2)C考點三基本不等式的實際應用【例3】(2014·濟寧期末)小王大學畢業(yè)后，決定利用所學專業(yè)進行自主創(chuàng)業(yè)經(jīng)過市場調(diào)查，生產(chǎn)

7、某小型電子產(chǎn)品需投入年固定成本為3萬元，每生產(chǎn)x萬件，需另投入流動成本為W(x)萬元，在年產(chǎn)量不足8萬件時，W(x)x2x(萬元)在年產(chǎn)量不小于8萬件時，W(x)6x38(萬元)每件產(chǎn)品售價為5元通過市場分析，小王生產(chǎn)的商品能當年全部售完(1)寫出年利潤L(x)(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量x(萬件)的函數(shù)解析式；(注：年利潤年銷售收入固定成本流動成本)(2)年產(chǎn)量為多少萬件時，小王在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤最大？最大利潤是多少？解(1)因為每件商品售價為5元，則x萬件商品銷售收入為5x萬元，依題意得，當0x8時，L(x)5x3x24x3；當x8時，L(x)5x335.所以L(x)(2)當0x8時，L(x

8、)(x6)29.此時，當x6時，L(x)取得最大值L(6)9萬元，當x8時，L(x)35352352015，此時，當且僅當x時，即x10時，L(x)取得最大值15萬元915，所以當年產(chǎn)量為10萬件時，小王在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤最大最大利潤為15萬元規(guī)律方法 (1)利用基本不等式解決實際問題時，應先仔細閱讀題目信息，理解題意，明確其中的數(shù)量關(guān)系，并引入變量，依題意列出相應的函數(shù)關(guān)系式，然后用基本不等式求解(2)在求所列函數(shù)的最值時，若用基本不等式時，等號取不到，可利用函數(shù)單調(diào)性求解【訓練3】 為響應國家擴大內(nèi)需的政策，某廠家擬在2013年舉行促銷活動，經(jīng)調(diào)查測算，該產(chǎn)品的年銷量(即該廠的年產(chǎn)

9、量)x萬件與年促銷費用t(t0)萬元滿足x4(k為常數(shù))如果不搞促銷活動，則該產(chǎn)品的年銷量只能是1萬件已知2013年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為6萬元，每生產(chǎn)1萬件該產(chǎn)品需要再投入12萬元，廠家將每件產(chǎn)品的銷售價格定為每件產(chǎn)品平均成本的1.5倍(產(chǎn)品成本包括固定投入和再投入兩部分)(1)將該廠家2013年該產(chǎn)品的利潤y萬元表示為年促銷費用t萬元的函數(shù)；(2)該廠家2013年的年促銷費用投入多少萬元時，廠家利潤最大？解(1)由題意有14，得k3，故x4.y××x(612x)t36xt36t27t(t0)(2)由(1)知：y27t27.5.由基本不等式2 6，當且僅當t，即t2.5時

10、等號成立，故y27t27.527.5621.5.當且僅當t時，等號成立，即t2.5時，y有最大值21.5.所以2013年的年促銷費用投入2.5萬元時，該廠家利潤最大，最大利潤為21.5萬元1基本不等式具有將“和式”轉(zhuǎn)化為“積式”和將“積式”轉(zhuǎn)化為“和式”的放縮功能，常常用于比較數(shù)(式)的大小或證明不等式，解決問題的關(guān)鍵是分析不等式兩邊的結(jié)構(gòu)特點，選擇好利用基本不等式的切入點2連續(xù)使用公式時取等號的條件很嚴格，要求同時滿足任何一次的字母取值存在且一致教你審題7如何挖掘基本不等式中的“相等”【典例】(2013·天津卷)設(shè)ab2，b>0，則取得最小值為_審題一審條件：ab2，b0，轉(zhuǎn)

11、化為條件求最值問題；二審問題：轉(zhuǎn)化為“1”的代換；三審過程：利用基本不等式時取等號的條件解析因為ab2，所以211，當且僅當，a<0，即a2，b4時取等號，故的最小值為.答案反思感悟在求解含有兩個變量的代數(shù)式的最值問題時，通常的解決辦法是變量替換或常值“1”的替換，即由已知條件得到某個式子的值為常數(shù)，然后將欲求最值的代數(shù)式乘上常數(shù)，再對代數(shù)式進行變形整理，從而可利用基本不等式求最值【自主體驗】(2013·臺州一模)設(shè)x，y均為正實數(shù)，且1，則xy的最小值為()A4 B4C9 D16解析由1可化為xy8xy，x，y均為正實數(shù)，xy8xy82(當且僅當xy時等號成立)，即xy280

12、，解得4，即xy16，故xy的最小值為16.答案D對應學生用書P303基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時：40分鐘)一、選擇題1(2014·泰安一模)若a，bR，且ab0，則下列不等式中，恒成立的是()Aab2 B.C.2 Da2b22ab解析因為ab0，即0，0，所以22.答案C2(2014·杭州一模)設(shè)a0，bab1，則的最小值是()A2 B. C4 D8解析由題意2224，當且僅當，即ab時，取等號，所以最小值為4.答案C3(2013·金華十校模擬)已知a0，b0，a，b的等比中項是1，且mb，na，則mn的最小值是()A3 B4 C5 D6解析由題意知：ab1，mb2

13、b，na2a，mn2(ab)44.答案B4(2012·陜西卷)小王從甲地到乙地的時速分別為a和b(a<b)，其全程的平均時速為v，則()Aa<v< BvC.<v< Dv解析設(shè)甲、乙兩地之間的距離為s.a<b，v<.又vaa>0，v>a.答案A5(2014·蘭州模擬)已知函數(shù)yx4(x1)，當xa時，y取得最小值b，則ab()A3 B2 C3 D8解析yx4x15，由x1，得x10，0，所以由基本不等式得yx15251，當且僅當x1，即(x1)29，所以x13，即x2時取等號，所以a2，b1，ab3.答案C二、填空題6(2

14、014·廣州模擬)若正實數(shù)a，b滿足ab2，則(12a)·(1b)的最小值為_解析(12a)(1b)52ab522ab，即a1，b2時取等號答案97已知x，yR，且滿足1，則xy的最大值為_解析x0，y0且12，xy，即當x，y2時取等號答案38函數(shù)ya1x(a0，a1)的圖象恒過定點A，若點A在直線mxny10(mn0)上，則的最小值為_解析ya1x恒過點A(1,1)，又A在直線上，mn2224，當且僅當mn時，取“”，的最小值為4.答案4三、解答題9已知a0，b0，ab1，求證：8.證明2，ab1，a0，b0，2224，8.10已知x>0，y>0，且2x5y

15、20.(1)求ulg xlg y的最大值；(2)求的最小值解(1)x>0，y>0，由基本不等式，得2x5y2.2x5y20，220，xy10，當且僅當2x5y時，等號成立因此有解得此時xy有最大值10.ulg xlg ylg(xy)lg 101.當x5，y2時，ulg xlg y有最大值1.(2)x>0，y>0，·，當且僅當時，等號成立由解得的最小值為.能力提升題組(建議用時：25分鐘)一、選擇題1已知x>0，y>0，且1，若x2y>m22m恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是()A(，24，)B(，42，)C(2,4)D(4,2)解析x>0，

16、y>0且1，x2y(x2y)442 8，當且僅當，即x4，y2時取等號，(x2y)min8，要使x2y>m22m恒成立，只需(x2y)min>m22m恒成立，即8>m22m，解得4<m<2.答案D2(2014·鄭州模擬)已知正實數(shù)a，b滿足a2b1，則a24b2的最小值為()A. B4 C. D.解析因為1a2b2，所以ab，當且僅當a2b時取等號又因為a24b224ab.令tab，所以f(t)4t在單調(diào)遞減，所以f(t)minf.此時a2b.答案D二、填空題3(2014·南昌模擬)已知x0，y0，x3yxy9，則x3y的最小值為_解析由

17、已知，得xy9(x3y)，即3xy273(x3y)2，令x3yt，則t212t1080，解得t6，即x3y6.答案6三、解答題4(2013·泰安期末考試)小王于年初用50萬元購買一輛大貨車，第一年因繳納各種費用需支出6萬元，從第二年起，每年都比上一年增加支出2萬元，假定該車每年的運輸收入均為25萬元小王在該車運輸累計收入超過總支出后，考慮將大貨車作為二手車出售，若該車在第x年年底出售，其銷售價格為(25x)萬元(國家規(guī)定大貨車的報廢年限為10年)(1)大貨車運輸?shù)降趲啄昴甑祝撥囘\輸累計收入超過總支出？(2)在第幾年年底將大貨車出售，能使小王獲得的年平均利潤最大？(利潤累計收入銷售收

18、入總支出)解(1)設(shè)大貨車到第x年年底的運輸累計收入與總支出的差為y萬元，則y25x6xx(x1)50(0x10，xN)，即yx220x50(0x10，xN)，由x220x500，解得105x105.而21053，故從第3年開始運輸累計收入超過總支出(2)因為利潤累計收入銷售收入總支出，所以銷售二手貨車后，小王的年平均利潤為y(25x)(x219x25)19，而191929，當且僅當x5時等號成立，即小王應當在第5年將大貨車出售，才能使年平均利潤最大方法強化練不等式(對應學生用書P305)(建議用時：75分鐘)一、選擇題1“|x|2”是“x2x60”的()A充分而不必要條件 B必要而不充分條件

19、C充要條件 D既不充分也不必要條件解析不等式|x|2的解集是(2,2)，而不等式x2x60的解集是(2,3)，于是當x(2,2)時，可得x(2,3)，反之則不成立，故選A.答案A2(2014·青島一模)若a，b是任意實數(shù)，且ab，則下列不等式成立的是()Aa2b2B.1Clg(ab)0 D.ab解析01，yx是減函數(shù)，又ab，ab.答案D3(2014·杭州二中調(diào)研)若不等式|8x9|7和不等式ax2bx2的解集相等，則實數(shù)a，b的值分別為()Aa8，b10 Ba4，b9Ca1，b9 Da1，b2解析據(jù)題意可得|8x9|7的解集是x|2x，故由x|2x是一元二次不等式ax2b

20、x2的解集，可知x12，x2是ax2bx20的兩個根，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得x1x2，a4，x1x2，b9，故選B.答案B4(2013·浙江溫嶺中學模擬)下列命題錯誤的是()A若a0，b0，則B若，則a0，b0C若a0，b0，且，則abD若，且ab，則a0，b0解析若，且ab，則a0，b0或a0，b0或a0，b0.故D錯誤答案D5(2014·長沙診斷)已知實數(shù)x，y滿足不等式組則2xy的最大值是()A0 B3 C4 D5解析設(shè)z2xy，得y2xz，作出不等式對應的區(qū)域，平移直線y2xz，由圖象可知當直線經(jīng)過點B時，直線的截距最大，由解得即B(1,2)，代入z2xy，得z2x

21、y4.答案C6(2013·北京海淀一模)設(shè)x，yR，且x4y40，則lg xlg y的最大值是()A40 B10 C4 D2解析x，yR，40x4y24，當x4y20時取等號， xy100，lg xlg ylg xylg 1002.答案D7某種生產(chǎn)設(shè)備購買時費用為10萬元，每年的設(shè)備管理費共計9千元，這種生產(chǎn)設(shè)備的維修費為第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，而且以后以每年2千元的增量逐年遞增，則這種生產(chǎn)設(shè)備最多使用多少年報廢最合算(即使用多少年的年平均費用最少)()A8 B9 C10 D11解析設(shè)使用x年的年平均費用為y萬元由已知，得y，即y1(xN*)由基本不等式知y123，

22、當且僅當，即x10時取等號因此使用10年報廢最合算，年平均費用為3萬元答案C8(2014·天水一模)實數(shù)x，y滿足若目標函數(shù)zxy取得最大值4，則實數(shù)a的值為()A4 B3 C2 D.解析作出可行域，由題意可知可行域為ABC內(nèi)部及邊界，yxz，則z的幾何意義為直線在y軸上的截距，將目標函數(shù)平移可知當直線經(jīng)過點A時，目標函數(shù)取得最大值4，此時A點坐標為(a，a)，代入得4aa2a，所以a2.答案C9(2014·湖州模擬)設(shè)x，y滿足約束條件若目標函數(shù)zaxby(a0，b0)的最大值為12，則的最小值為()A. B. C. D4解析不等式表示的平面區(qū)域如圖所示陰影部分當直線ax

23、byz(a0，b0)過直線xy20與直線3xy60的交點(4,6)時，目標函數(shù)zaxby(a0，b0)取得最大值12，即4a6b12，即2a3b6.所以·2(當且僅當ab時等號成立)答案A10(2014·金麗衢十二校聯(lián)考)已知任意非零實數(shù)x，y滿足3x24xy(x2y2)恒成立，則實數(shù)的最小值為()A4 B5 C.D.解析依題意，得3x24xy3x2x2(2y)24(x2y2)，因此有4，當且僅當x2y時取等號，即的最大值是4，結(jié)合題意得，故4，即的最小值是4.答案A二、填空題11(2013·煙臺模擬)已知關(guān)于x的不等式ax22xc>0的解集為，則不等式cx

24、22xa>0的解集為_解析由ax22xc>0的解集為知a<0，且，為方程ax22xc0的兩個根，由根與系數(shù)的關(guān)系得，×，解得a12，c2，cx22xa>0，即2x22x12<0，其解集為(2,3)答案(2,3)12(2014·武漢質(zhì)檢)已知f(x)則不等式f(x)9的解集是_解析當x0時，由3x9得0x2.當x0時，由x9得2x0.故f(x)9的解集為(2,2)答案(2,2)13(2014·湖北七市聯(lián)考)點P(x，y)在不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)，若點P(x，y)到直線ykx1(k0)的最大距離為2，則k_.解析在坐標平面內(nèi)畫出題中的不

25、等式組表示的平面區(qū)域及直線ykx1的大概位置，如圖所示，因為k0，所以由圖可知，點(0,3)到直線ykx1的距離最大，因此2，解得k1(負值舍去)答案114(2013·湘潭診斷)已知向量a(x1,2)，b(4，y)，若ab，則9x3y的最小值為_解析由ab得a·b4(x1)2y0，即2xyx3y226.答案615(2014·寧波十校聯(lián)考)設(shè)a，b(0，)，ab，x，y(0，)，則，當且僅當時，上式取等號，利用以上結(jié)論，可以得到函數(shù)f(x)(x(0，)的最小值為_解析根據(jù)已知結(jié)論，f(x)25，當且僅當，即x(0，)時，f(x)取最小值為25.答案25三、解答題16

26、(2014·長沙模擬)已知f(x).(1)若f(x)>k的解集為x|x<3或x>2，求k的值；(2)若對任意x>0，f(x)t恒成立，求實數(shù)t的范圍解(1)f(x)>kkx22x6k<0，由已知其解集為x|x<3或x>2，得x13，x22是方程kx22x6k0的兩根，所以23，即k.(2)x>0，f(x)，由已知f(x)t對任意x>0恒成立，故實數(shù)t的取值范圍是.17(2013·廣州診斷)某單位決定投資3 200元建一倉庫(長方體狀)，高度恒定，它的后墻利用舊墻不花錢，正面用鐵柵，每米長造價40元，兩側(cè)墻砌磚，每米長造價4