高考數學四川專用理一輪復習配套講義第6篇基本不等式

1、最新考綱1了解基本不等式的證明過程2會用基本不等式解決簡單的最大(小)值問題. 知 識 梳 理1基本不等式：(1)基本不等式成立的條件：a>0，b>0.(2)等號成立的條件：當且僅當ab時取等號(3)其中稱為正數a，b的算術平均數，稱為正數a，b的幾何平均數2幾個重要的不等式(1)重要不等式：a2b22ab(a，bR)當且僅當ab時取等號(2)ab2(a，bR)，當且僅當ab時取等號(3)2(a，bR)，當且僅當ab時取等號(4)2(a，b同號)，當且僅當ab時取等號3利用基本不等式求最值已知x0，y0，則(1)如果積xy是定值p，那么當且僅當xy時，xy有最小值是2(簡記：積定和

2、最小)(2)如果和xy是定值s，那么當且僅當xy時，xy有最大值是(簡記：和定積最大)辨 析 感 悟1對基本不等式的認識(1)當a0，b0時，.()(2)兩個不等式a2b22ab與成立的條件是相同的(×)2對幾個重要不等式的認識(3)(ab)24ab(a，bR)()(4).(×)(5)a2b2c2abbcca(a，b，cR)()3利用基本不等式確定最值(6)函數ysin x，x的最小值為4.(×)(7)(2014·福州模擬改編)若x3，則x的最小值為1.()(8)(2013·四川卷改編)已知函數f(x)4x(x0，a0)在x3時取得最小值，則a

3、36.()感悟·提升兩個防范一是在應用基本不等式求最值時，要把握不等式成立的三個條件，就是“一正各項均為正；二定積或和為定值；三相等等號能否取得”，若忽略了某個條件，就會出現錯誤對于公式ab2，ab2，要弄清它們的作用、使用條件及內在聯系，兩個公式也體現了ab和ab的轉化關系如(2)、(4)、(6)二是在利用不等式求最值時，一定要盡量避免多次使用基本不等式若必須多次使用，則一定要保證它們等號成立的條件一致.學生用書第103頁考點一利用基本不等式證明簡單不等式【例1】 已知x0，y0，z0.求證：8.證明x0，y0，z0，0，0，0，8.當且僅當xyz時等號成立規(guī)律方法 利用基本不等式

4、證明不等式是綜合法證明不等式的一種情況，證明思路是從已證不等式和問題的已知條件出發(fā)，借助不等式的性質和有關定理，經過逐步的邏輯推理最后轉化為需證問題【訓練1】 已知a0，b0，c0，且abc1.求證：9.證明a0，b0，c0，且abc1，3332229，當且僅當abc時，取等號考點二利用基本不等式求最值【例2】 (1)(2013·山東卷)設正實數x，y，z滿足x23xy4y2z0，則當取得最大值時，的最大值為()A0 B1 C.D3(2)(2014·廣州一模)已知1，(x0，y0)，則xy的最小值為()A1 B2 C4 D8審題路線(1)x23xy4y2z0變形得zx23x

5、y4y2代入變形后利用基本不等式取等號的條件把轉化關于的一元二次函數利用配方法求最大值解析(1)由x23xy4y2z0，得zx23xy4y2，.又x，y，z為正實數，4，當且僅當x2y時取等號，此時z2y2.221，當1，即y1時，上式有最大值1.(2)x0，y0，xy(xy)·42448.當且僅當，即xy4時取等號答案(1)B(2)D規(guī)律方法 條件最值的求解通常有兩種方法：一是消元法，即根據條件建立兩個量之間的函數關系，然后代入代數式轉化為函數的最值求解；二是將條件靈活變形，利用常數代換的方法構造和或積為常數的式子，然后利用基本不等式求解最值【訓練2】 (1)若正數x，y滿足x3y

6、5xy，則3x4y的最小值是()A.B.C5 D6(2)(2014·浙江十校聯考)若正數x，y滿足4x29y23xy30，則xy的最大值是()A.B.C2 D.解析(1)由x3y5xy可得1，3x4y(3x4y)5(當且僅當，即x1，y時，等號成立)，3x4y的最小值是5.(2)由x0，y0，得4x29y23xy2×(2x)×(3y)3xy(當且僅當2x3y時等號成立)，12xy3xy30，即xy2，xy的最大值為2.答案(1)C(2)C考點三基本不等式的實際應用【例3】(2014·濟寧期末)小王大學畢業(yè)后，決定利用所學專業(yè)進行自主創(chuàng)業(yè)經過市場調查，生產

7、某小型電子產品需投入年固定成本為3萬元，每生產x萬件，需另投入流動成本為W(x)萬元，在年產量不足8萬件時，W(x)x2x(萬元)在年產量不小于8萬件時，W(x)6x38(萬元)每件產品售價為5元通過市場分析，小王生產的商品能當年全部售完(1)寫出年利潤L(x)(萬元)關于年產量x(萬件)的函數解析式；(注：年利潤年銷售收入固定成本流動成本)(2)年產量為多少萬件時，小王在這一商品的生產中所獲利潤最大？最大利潤是多少？解(1)因為每件商品售價為5元，則x萬件商品銷售收入為5x萬元，依題意得，當0x8時，L(x)5x3x24x3；當x8時，L(x)5x335.所以L(x)(2)當0x8時，L(x

8、)(x6)29.此時，當x6時，L(x)取得最大值L(6)9萬元，當x8時，L(x)35352352015，此時，當且僅當x時，即x10時，L(x)取得最大值15萬元915，所以當年產量為10萬件時，小王在這一商品的生產中所獲利潤最大最大利潤為15萬元規(guī)律方法 (1)利用基本不等式解決實際問題時，應先仔細閱讀題目信息，理解題意，明確其中的數量關系，并引入變量，依題意列出相應的函數關系式，然后用基本不等式求解(2)在求所列函數的最值時，若用基本不等式時，等號取不到，可利用函數單調性求解【訓練3】 為響應國家擴大內需的政策，某廠家擬在2013年舉行促銷活動，經調查測算，該產品的年銷量(即該廠的年產

9、量)x萬件與年促銷費用t(t0)萬元滿足x4(k為常數)如果不搞促銷活動，則該產品的年銷量只能是1萬件已知2013年生產該產品的固定投入為6萬元，每生產1萬件該產品需要再投入12萬元，廠家將每件產品的銷售價格定為每件產品平均成本的1.5倍(產品成本包括固定投入和再投入兩部分)(1)將該廠家2013年該產品的利潤y萬元表示為年促銷費用t萬元的函數；(2)該廠家2013年的年促銷費用投入多少萬元時，廠家利潤最大？解(1)由題意有14，得k3，故x4.y××x(612x)t36xt36t27t(t0)(2)由(1)知：y27t27.5.由基本不等式2 6，當且僅當t，即t2.5時

10、等號成立，故y27t27.527.5621.5.當且僅當t時，等號成立，即t2.5時，y有最大值21.5.所以2013年的年促銷費用投入2.5萬元時，該廠家利潤最大，最大利潤為21.5萬元1基本不等式具有將“和式”轉化為“積式”和將“積式”轉化為“和式”的放縮功能，常常用于比較數(式)的大小或證明不等式，解決問題的關鍵是分析不等式兩邊的結構特點，選擇好利用基本不等式的切入點2連續(xù)使用公式時取等號的條件很嚴格，要求同時滿足任何一次的字母取值存在且一致教你審題7如何挖掘基本不等式中的“相等”【典例】(2013·天津卷)設ab2，b>0，則取得最小值為_審題一審條件：ab2，b0，轉

11、化為條件求最值問題；二審問題：轉化為“1”的代換；三審過程：利用基本不等式時取等號的條件解析因為ab2，所以211，當且僅當，a<0，即a2，b4時取等號，故的最小值為.答案反思感悟在求解含有兩個變量的代數式的最值問題時，通常的解決辦法是變量替換或常值“1”的替換，即由已知條件得到某個式子的值為常數，然后將欲求最值的代數式乘上常數，再對代數式進行變形整理，從而可利用基本不等式求最值【自主體驗】(2013·臺州一模)設x，y均為正實數，且1，則xy的最小值為()A4 B4C9 D16解析由1可化為xy8xy，x，y均為正實數，xy8xy82(當且僅當xy時等號成立)，即xy280

12、，解得4，即xy16，故xy的最小值為16.答案D對應學生用書P303基礎鞏固題組(建議用時：40分鐘)一、選擇題1(2014·泰安一模)若a，bR，且ab0，則下列不等式中，恒成立的是()Aab2 B.C.2 Da2b22ab解析因為ab0，即0，0，所以22.答案C2(2014·杭州一模)設a0，bab1，則的最小值是()A2 B. C4 D8解析由題意2224，當且僅當，即ab時，取等號，所以最小值為4.答案C3(2013·金華十校模擬)已知a0，b0，a，b的等比中項是1，且mb，na，則mn的最小值是()A3 B4 C5 D6解析由題意知：ab1，mb2

13、b，na2a，mn2(ab)44.答案B4(2012·陜西卷)小王從甲地到乙地的時速分別為a和b(a<b)，其全程的平均時速為v，則()Aa<v< BvC.<v< Dv解析設甲、乙兩地之間的距離為s.a<b，v<.又vaa>0，v>a.答案A5(2014·蘭州模擬)已知函數yx4(x1)，當xa時，y取得最小值b，則ab()A3 B2 C3 D8解析yx4x15，由x1，得x10，0，所以由基本不等式得yx15251，當且僅當x1，即(x1)29，所以x13，即x2時取等號，所以a2，b1，ab3.答案C二、填空題6(2

14、014·廣州模擬)若正實數a，b滿足ab2，則(12a)·(1b)的最小值為_解析(12a)(1b)52ab522ab，即a1，b2時取等號答案97已知x，yR，且滿足1，則xy的最大值為_解析x0，y0且12，xy，即當x，y2時取等號答案38函數ya1x(a0，a1)的圖象恒過定點A，若點A在直線mxny10(mn0)上，則的最小值為_解析ya1x恒過點A(1,1)，又A在直線上，mn2224，當且僅當mn時，取“”，的最小值為4.答案4三、解答題9已知a0，b0，ab1，求證：8.證明2，ab1，a0，b0，2224，8.10已知x>0，y>0，且2x5y

15、20.(1)求ulg xlg y的最大值；(2)求的最小值解(1)x>0，y>0，由基本不等式，得2x5y2.2x5y20，220，xy10，當且僅當2x5y時，等號成立因此有解得此時xy有最大值10.ulg xlg ylg(xy)lg 101.當x5，y2時，ulg xlg y有最大值1.(2)x>0，y>0，·，當且僅當時，等號成立由解得的最小值為.能力提升題組(建議用時：25分鐘)一、選擇題1已知x>0，y>0，且1，若x2y>m22m恒成立，則實數m的取值范圍是()A(，24，)B(，42，)C(2,4)D(4,2)解析x>0，

16、y>0且1，x2y(x2y)442 8，當且僅當，即x4，y2時取等號，(x2y)min8，要使x2y>m22m恒成立，只需(x2y)min>m22m恒成立，即8>m22m，解得4<m<2.答案D2(2014·鄭州模擬)已知正實數a，b滿足a2b1，則a24b2的最小值為()A. B4 C. D.解析因為1a2b2，所以ab，當且僅當a2b時取等號又因為a24b224ab.令tab，所以f(t)4t在單調遞減，所以f(t)minf.此時a2b.答案D二、填空題3(2014·南昌模擬)已知x0，y0，x3yxy9，則x3y的最小值為_解析由

17、已知，得xy9(x3y)，即3xy273(x3y)2，令x3yt，則t212t1080，解得t6，即x3y6.答案6三、解答題4(2013·泰安期末考試)小王于年初用50萬元購買一輛大貨車，第一年因繳納各種費用需支出6萬元，從第二年起，每年都比上一年增加支出2萬元，假定該車每年的運輸收入均為25萬元小王在該車運輸累計收入超過總支出后，考慮將大貨車作為二手車出售，若該車在第x年年底出售，其銷售價格為(25x)萬元(國家規(guī)定大貨車的報廢年限為10年)(1)大貨車運輸到第幾年年底，該車運輸累計收入超過總支出？(2)在第幾年年底將大貨車出售，能使小王獲得的年平均利潤最大？(利潤累計收入銷售收

18、入總支出)解(1)設大貨車到第x年年底的運輸累計收入與總支出的差為y萬元，則y25x6xx(x1)50(0x10，xN)，即yx220x50(0x10，xN)，由x220x500，解得105x105.而21053，故從第3年開始運輸累計收入超過總支出(2)因為利潤累計收入銷售收入總支出，所以銷售二手貨車后，小王的年平均利潤為y(25x)(x219x25)19，而191929，當且僅當x5時等號成立，即小王應當在第5年將大貨車出售，才能使年平均利潤最大方法強化練不等式(對應學生用書P305)(建議用時：75分鐘)一、選擇題1“|x|2”是“x2x60”的()A充分而不必要條件 B必要而不充分條件

19、C充要條件 D既不充分也不必要條件解析不等式|x|2的解集是(2,2)，而不等式x2x60的解集是(2,3)，于是當x(2,2)時，可得x(2,3)，反之則不成立，故選A.答案A2(2014·青島一模)若a，b是任意實數，且ab，則下列不等式成立的是()Aa2b2B.1Clg(ab)0 D.ab解析01，yx是減函數，又ab，ab.答案D3(2014·杭州二中調研)若不等式|8x9|7和不等式ax2bx2的解集相等，則實數a，b的值分別為()Aa8，b10 Ba4，b9Ca1，b9 Da1，b2解析據題意可得|8x9|7的解集是x|2x，故由x|2x是一元二次不等式ax2b

20、x2的解集，可知x12，x2是ax2bx20的兩個根，根據根與系數的關系可得x1x2，a4，x1x2，b9，故選B.答案B4(2013·浙江溫嶺中學模擬)下列命題錯誤的是()A若a0，b0，則B若，則a0，b0C若a0，b0，且，則abD若，且ab，則a0，b0解析若，且ab，則a0，b0或a0，b0或a0，b0.故D錯誤答案D5(2014·長沙診斷)已知實數x，y滿足不等式組則2xy的最大值是()A0 B3 C4 D5解析設z2xy，得y2xz，作出不等式對應的區(qū)域，平移直線y2xz，由圖象可知當直線經過點B時，直線的截距最大，由解得即B(1,2)，代入z2xy，得z2x

21、y4.答案C6(2013·北京海淀一模)設x，yR，且x4y40，則lg xlg y的最大值是()A40 B10 C4 D2解析x，yR，40x4y24，當x4y20時取等號， xy100，lg xlg ylg xylg 1002.答案D7某種生產設備購買時費用為10萬元，每年的設備管理費共計9千元，這種生產設備的維修費為第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，而且以后以每年2千元的增量逐年遞增，則這種生產設備最多使用多少年報廢最合算(即使用多少年的年平均費用最少)()A8 B9 C10 D11解析設使用x年的年平均費用為y萬元由已知，得y，即y1(xN*)由基本不等式知y123，

22、當且僅當，即x10時取等號因此使用10年報廢最合算，年平均費用為3萬元答案C8(2014·天水一模)實數x，y滿足若目標函數zxy取得最大值4，則實數a的值為()A4 B3 C2 D.解析作出可行域，由題意可知可行域為ABC內部及邊界，yxz，則z的幾何意義為直線在y軸上的截距，將目標函數平移可知當直線經過點A時，目標函數取得最大值4，此時A點坐標為(a，a)，代入得4aa2a，所以a2.答案C9(2014·湖州模擬)設x，y滿足約束條件若目標函數zaxby(a0，b0)的最大值為12，則的最小值為()A. B. C. D4解析不等式表示的平面區(qū)域如圖所示陰影部分當直線ax

23、byz(a0，b0)過直線xy20與直線3xy60的交點(4,6)時，目標函數zaxby(a0，b0)取得最大值12，即4a6b12，即2a3b6.所以·2(當且僅當ab時等號成立)答案A10(2014·金麗衢十二校聯考)已知任意非零實數x，y滿足3x24xy(x2y2)恒成立，則實數的最小值為()A4 B5 C.D.解析依題意，得3x24xy3x2x2(2y)24(x2y2)，因此有4，當且僅當x2y時取等號，即的最大值是4，結合題意得，故4，即的最小值是4.答案A二、填空題11(2013·煙臺模擬)已知關于x的不等式ax22xc>0的解集為，則不等式cx

24、22xa>0的解集為_解析由ax22xc>0的解集為知a<0，且，為方程ax22xc0的兩個根，由根與系數的關系得，×，解得a12，c2，cx22xa>0，即2x22x12<0，其解集為(2,3)答案(2,3)12(2014·武漢質檢)已知f(x)則不等式f(x)9的解集是_解析當x0時，由3x9得0x2.當x0時，由x9得2x0.故f(x)9的解集為(2,2)答案(2,2)13(2014·湖北七市聯考)點P(x，y)在不等式組表示的平面區(qū)域內，若點P(x，y)到直線ykx1(k0)的最大距離為2，則k_.解析在坐標平面內畫出題中的不

25、等式組表示的平面區(qū)域及直線ykx1的大概位置，如圖所示，因為k0，所以由圖可知，點(0,3)到直線ykx1的距離最大，因此2，解得k1(負值舍去)答案114(2013·湘潭診斷)已知向量a(x1,2)，b(4，y)，若ab，則9x3y的最小值為_解析由ab得a·b4(x1)2y0，即2xyx3y226.答案615(2014·寧波十校聯考)設a，b(0，)，ab，x，y(0，)，則，當且僅當時，上式取等號，利用以上結論，可以得到函數f(x)(x(0，)的最小值為_解析根據已知結論，f(x)25，當且僅當，即x(0，)時，f(x)取最小值為25.答案25三、解答題16

26、(2014·長沙模擬)已知f(x).(1)若f(x)>k的解集為x|x<3或x>2，求k的值；(2)若對任意x>0，f(x)t恒成立，求實數t的范圍解(1)f(x)>kkx22x6k<0，由已知其解集為x|x<3或x>2，得x13，x22是方程kx22x6k0的兩根，所以23，即k.(2)x>0，f(x)，由已知f(x)t對任意x>0恒成立，故實數t的取值范圍是.17(2013·廣州診斷)某單位決定投資3 200元建一倉庫(長方體狀)，高度恒定，它的后墻利用舊墻不花錢，正面用鐵柵，每米長造價40元，兩側墻砌磚，每米長造價4