高等數(shù)學(xué)2導(dǎo)數(shù)與微分

1、目錄第二章導(dǎo)數(shù)與微分1教學(xué)目的：1§2. 1 導(dǎo)數(shù)概念2一、引例21直線運(yùn)動(dòng)的速度22切線問(wèn)題3二、導(dǎo)數(shù)的定義31.函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)32求導(dǎo)數(shù)舉例53單側(cè)導(dǎo)數(shù):6四、導(dǎo)數(shù)的幾何意義7四、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系8§2. 2 函數(shù)的求導(dǎo)法則8一、函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則9二、反函數(shù)的求導(dǎo)法則11三、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則12§2. 3 高階導(dǎo)數(shù)16§2. 4隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)相關(guān)變化率19一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)19二、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)22§2. 5 函數(shù)的微分24一、微分的定義24二、微分的幾何意義26三

2、、基本初等函數(shù)的微分公式與微分運(yùn)算法則27四、微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用29教學(xué)目的： 1、理解導(dǎo)數(shù)和微分的概念與微分的關(guān)系和導(dǎo)數(shù)的幾何意義，會(huì)求平面曲線的切線方程和法線方程，了解導(dǎo)數(shù)的物理意義，會(huì)用導(dǎo)數(shù)描述一些物理量，理解函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的的關(guān)系。 2、熟練掌握導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，熟練掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，了解微分的四則運(yùn)算法則和一階微分形式的不變性，會(huì)求函數(shù)的微分。3、 了解高階導(dǎo)數(shù)的概念，會(huì)求某些簡(jiǎn)單函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)。4、 會(huì)求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。5、 會(huì)求隱函數(shù)和由參數(shù)方程確定的函數(shù)的一階、二階導(dǎo)數(shù)，會(huì)求反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。教學(xué)重點(diǎn)：1、導(dǎo)數(shù)和微分的概念與微分的關(guān)系；

3、2、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則； 3、基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式； 4、高階導(dǎo)數(shù)；6、 隱函數(shù)和由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。教學(xué)難點(diǎn)：1、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則； 2、分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)； 3、反函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 4、隱函數(shù)和由參數(shù)方程確定的導(dǎo)數(shù)。§2. 1 導(dǎo)數(shù)概念一、引例1直線運(yùn)動(dòng)的速度設(shè)一質(zhì)點(diǎn)在坐標(biāo)軸上作非勻速運(yùn)動(dòng),時(shí)刻t質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)為s,s是t的函數(shù): s=f(t),求動(dòng)點(diǎn)在時(shí)刻t0的速度.考慮比值, 這個(gè)比值可認(rèn)為是動(dòng)點(diǎn)在時(shí)間間隔t-t0內(nèi)的平均速度.如果時(shí)間間隔選較短,這個(gè)比值在實(shí)踐中也可用來(lái)說(shuō)明動(dòng)點(diǎn)在時(shí)刻t0的速度.但這樣做是不精確的,更確地應(yīng)當(dāng)這樣:令t-t0®0,

4、取比值的極限,如果這個(gè)極限存在,設(shè)為v,即,這時(shí)就把這個(gè)極限值v稱為動(dòng)點(diǎn)在時(shí)刻t 0的速度.2切線問(wèn)題設(shè)有曲線C及C上的一點(diǎn)M,在點(diǎn)M外另取C上一點(diǎn)N,作割線MN.當(dāng)點(diǎn)N沿曲線C趨于點(diǎn)M時(shí),如果割線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而趨于極限位置MT,直線就稱為曲線有點(diǎn)處的切線.設(shè)曲線C就是函數(shù)y=f(x)的圖形.現(xiàn)在要確定曲線在點(diǎn)M(x0, y0)(y0=f(x0)處的切線,只要定出切線的斜率就行了.為此,在點(diǎn)M外另取C上一點(diǎn)N(x, y),于是割線MN的斜率為,其中j為割線MN的傾角.當(dāng)點(diǎn)N沿曲線C趨于點(diǎn)M時(shí),x®x0.如果當(dāng)x® 0時(shí),上式的極限存在,設(shè)為k,即存在,則此極限k是割線斜率的極限

5、,也就是切線的斜率.這里k=tan a, 其中a是切線MT的傾角.于是,通過(guò)點(diǎn)M(x0, f(x0)且以k為斜率的直線MT便是曲線C在點(diǎn)M處的切線.二、導(dǎo)數(shù)的定義1. 函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)從上面所討論的兩個(gè)問(wèn)題看出,非勻速直線運(yùn)動(dòng)的速度和切線的斜率都?xì)w結(jié)為如下的極限:.令Dx=x-x0,則Dy=f(x0+Dx)-f(x0)= f(x)-f(x0),x®x0相當(dāng)于Dx®0,于是成為或.定義設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義,當(dāng)自變量x在x0處取得增量Dx(點(diǎn)x0+Dx仍在該鄰域內(nèi))時(shí),相應(yīng)地函數(shù)y取得增量Dy=f(x0+Dx)-f(x0);如果Dy與Dx之比當(dāng)

6、Dx®0時(shí)的極限存在,則稱函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo),并稱這個(gè)極限為函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù),記為,即,也可記為,或.函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)有時(shí)也說(shuō)成f(x)在點(diǎn)x0具有導(dǎo)數(shù)或?qū)?shù)存在.導(dǎo)數(shù)的定義式也可取不同的形式,常見(jiàn)的有,.在實(shí)際中,需要討論各種具有不同意義的變量的變化“快慢”問(wèn)題,在數(shù)學(xué)上就是所謂函數(shù)的變化率問(wèn)題.導(dǎo)數(shù)概念就是函數(shù)變化率這一概念的精確描述.如果極限不存在,就說(shuō)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處不可導(dǎo).如果不可導(dǎo)的原因是由于,也往往說(shuō)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)為無(wú)窮大.如果函數(shù)y=f(x)在開(kāi)區(qū)間I內(nèi)的每點(diǎn)處都可導(dǎo),就稱函數(shù)f(x)在開(kāi)區(qū)間I內(nèi)可導(dǎo),

7、這時(shí),對(duì)于任一xÎI,都對(duì)應(yīng)著f(x)的一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)值.這樣就構(gòu)成了一個(gè)新的函數(shù),這個(gè)函數(shù)叫做原來(lái)函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù),記作,或.導(dǎo)函數(shù)的定義式:=. f¢(x0)與f¢(x)之間的關(guān)系:函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f¢(x)就是導(dǎo)函數(shù)f ¢(x)在點(diǎn)x=x0處的函數(shù)值,即.導(dǎo)函數(shù)f ¢(x)簡(jiǎn)稱導(dǎo)數(shù),而f¢(x0)是f(x)在x0處的導(dǎo)數(shù)或?qū)?shù)f¢(x)在x0處的值.左右導(dǎo)數(shù): 所列極限存在, 則定義f(x)在的左導(dǎo)數(shù):;f(x)在的右導(dǎo)數(shù):.如果極限存在, 則稱此極限值為函數(shù)在x0的左導(dǎo)數(shù).如果極限存在,

8、 則稱此極限值為函數(shù)在x0的右導(dǎo)數(shù).導(dǎo)數(shù)與左右導(dǎo)數(shù)的關(guān)系: Û.2求導(dǎo)數(shù)舉例例1求函數(shù)f(x)=C（C為常數(shù)）的導(dǎo)數(shù).解:.即 (C ) ¢=0.例2.求的導(dǎo)數(shù).解: .例3.求的導(dǎo)數(shù).解:.例2求函數(shù)f(x)=xn(n為正整數(shù))在x=a處的導(dǎo)數(shù).解:f¢(a)(xn-1+axn-2+ ××× +an-1)=nan-1.把以上結(jié)果中的a換成x得f¢(x)=nxn-1,即 (xn)¢=nxn-1.(C)¢=0,.更一般地,有(xm)¢=mxm-1,其中m為常數(shù).例3求函數(shù)f(x)=sin x的導(dǎo)數(shù)

9、.解:f¢(x) .即 (sin x)¢=cos x.用類似的方法,可求得 (cos x )¢=-sin x.例4求函數(shù)f(x)= a x(a>0,a¹1) 的導(dǎo)數(shù).解:f¢(x).特別地有(ex)=ex.例5求函數(shù)f(x)=logax (a>0,a¹1) 的導(dǎo)數(shù).解: .解:.即 .:特殊地., .3單側(cè)導(dǎo)數(shù):極限存在的充分必要條件是及都存在且相等. f(x)在處的左導(dǎo)數(shù):,f(x)在處的右導(dǎo)數(shù):.導(dǎo)數(shù)與左右導(dǎo)數(shù)的關(guān)系:函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)的充分必要條件是左導(dǎo)數(shù)左導(dǎo)數(shù)f¢-(x0) 和右導(dǎo)數(shù)f¢

10、+(x0)都存在且相等.如果函數(shù)f(x)在開(kāi)區(qū)間(a, b)內(nèi)可導(dǎo),且右導(dǎo)數(shù)f¢+(a) 和左導(dǎo)數(shù)f¢-(b)都存在,就說(shuō)f(x)有閉區(qū)間a, b上可導(dǎo).例6求函數(shù)f(x)=|x|在x=0處的導(dǎo)數(shù).解:, 因?yàn)閒¢-(0)¹ f¢+(0),所以函數(shù)f(x)=|x|在x=0處不可導(dǎo).四、導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f¢(x0)在幾何上表示曲線y=f(x)在點(diǎn)M(x0, f(x0)處的切線的斜率,即 f¢(x 0)=tan a,其中a是切線的傾角.如果y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)為無(wú)窮大,這時(shí)曲線y=f(x)的

11、割線以垂直于x軸的直線x=x0為極限位置,即曲線y=f(x)在點(diǎn)M(x0, f(x0)處具有垂直于x軸的切線x=x0.:由直線的點(diǎn)斜式方程,可知曲線y=f(x)在點(diǎn)M(x0, y0)處的切線方程為y-y0=f¢(x0)(x-x0).過(guò)切點(diǎn)M(x0, y0)且與切線垂直的直線叫做曲線y=f(x)在點(diǎn)M處的法線如果f¢(x0)¹0,法線的斜率為,從而法線方程為.例8.求等邊雙曲線在點(diǎn)處的切線的斜率,并寫出在該點(diǎn)處的切線方程和法線方程.解:,所求切線及法線的斜率分別為,.所求切線方程為,即4x+y-4=0.所求法線方程為,即2x-8y+15=0.例9 求曲線的通過(guò)點(diǎn)(0

12、,-4)的切線方程.解設(shè)切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x0, 則切線的斜率為.于是所求切線的方程可設(shè)為.根據(jù)題目要求,點(diǎn)(0,-4)在切線上,因此,解之得x0=4.于是所求切線的方程為, 即3x-y-4=0.四、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系 設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo), 即存在. 則.這就是說(shuō), 函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處是連續(xù)的. 所以,如果函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x處可導(dǎo), 則函數(shù)在該點(diǎn)必連續(xù). 另一方面,一個(gè)函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)卻不一定在該點(diǎn)處可導(dǎo).x 例7 函數(shù)在區(qū)間(-¥, +¥)內(nèi)連續(xù), 但在點(diǎn)x=0處不可導(dǎo). 這是因?yàn)楹瘮?shù)在點(diǎn)x=0處導(dǎo)數(shù)為無(wú)窮大.§2. 2函數(shù)的求導(dǎo)法則

13、一、函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則定理1如果函數(shù)u=u(x)及v=v(x)在點(diǎn)x具有導(dǎo)數(shù),那么它們的和、差、積、商(除分母為零的點(diǎn)外)都在點(diǎn)x具有導(dǎo)數(shù), 并且 u(x) ±v(x)¢=u¢(x) ±v¢(x) ; u(x)×v(x)¢=u¢(x)v(x)+u(x)v¢(x);.證明 (1)=u¢(x)±v¢(x). 法則(1)可簡(jiǎn)單地表示為 (u±v)¢=u¢±v¢.(2)=u¢(x)v(x)+u(x)v¢

14、(x),其中v(x+h)=v(x)是由于v¢(x)存在,故v(x)在點(diǎn)x連續(xù). 法則(2)可簡(jiǎn)單地表示為 (uv)¢=u¢v+uv¢.(3) .法則(3)可簡(jiǎn)單地表示為. (u±v)¢=u¢±v¢, (uv)¢=u¢v+uv¢,.定理1中的法則(1)、(2)可推廣到任意有限個(gè)可導(dǎo)函數(shù)的情形. 例如, 設(shè)u=u(x)、v=v(x)、w=w(x)均可導(dǎo), 則有(u+v-w)¢=u¢+v¢-w¢. (uvw)¢=(uv)w¢

15、;=(uv)¢w+(uv)w¢ =(u¢v+uv¢)w+uvw¢=u¢vw+uv¢w+uvw¢.即 (uvw)¢ =u¢vw+uv¢w+uvw¢.在法則(2)中, 如果v=C(C為常數(shù)),則有 (Cu)¢=Cu¢.例1y=2x 3-5x 2+3x-7,求y¢解:y¢=(2x 3-5x 2+3x-7)¢= (2x 3)¢-(5x 2)¢+(3x)¢-(7)¢= 2 (x 3)¢-

16、 5( x 2)¢+ 3( x)¢=2×3x 2-5×2x+3=6x 2-10x+3.例2.,求f¢(x)及.解:,.例3y=ex(sin x+cos x),求y¢.解:y¢=(ex)¢(sin x+cos x)+ ex(sin x+cos x)¢= ex(sin x+cos x)+ ex(cos x-sin x)=2excos x.例4y=tan x,求y¢.解: .即 (tan x)¢=sec2x.例5y=sec x,求y¢.解:=sec x tan x.即 (sec x

17、)¢=sec x tan x.用類似方法,還可求得余切函數(shù)及余割函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式: (cot x)¢=-csc2x, (csc x)¢=-csc x cot x.二、反函數(shù)的求導(dǎo)法則定理2 如果函數(shù)x=f(y)在某區(qū)間Iy內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)且f¢(y)¹0, 那么它的反函數(shù)y=f-1(x)在對(duì)應(yīng)區(qū)間Ix=x|x=f(y),yÎIy內(nèi)也可導(dǎo), 并且. 或.簡(jiǎn)要證明: 由于x=f(y)在Iy內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)(從而連續(xù)), 所以x=f(y)的反函數(shù)y=f-1(x)存在,且f-1(x)在Ix內(nèi)也單調(diào)、連續(xù). 任取xÎIx, 給x以增量Dx(Dx

18、¹0,x+DxÎIx), 由y=f-1(x)的單調(diào)性可知Dy=f-1(x+Dx)-f-1(x)¹0,于是.因?yàn)閥=f-1(x)連續(xù), 故從而. 上述結(jié)論可簡(jiǎn)單地說(shuō)成: 反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù).例6設(shè)x=sin y,為直接函數(shù), 則y=arcsin x是它的反函數(shù). 函數(shù)x=sin y在開(kāi)區(qū)間內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo), 且(sin y)¢=cos y>0.因此, 由反函數(shù)的求導(dǎo)法則, 在對(duì)應(yīng)區(qū)間Ix=(-1,1)內(nèi)有.類似地有:.例7設(shè)x=tan y,為直接函數(shù), 則y=arctan x是它的反函數(shù). 函數(shù)x=tan y在區(qū)間內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo), 且(ta

19、n y)¢=sec2y¹0.因此, 由反函數(shù)的求導(dǎo)法則, 在對(duì)應(yīng)區(qū)間Ix=(-¥,+¥)內(nèi)有 .類似地有:.例8設(shè)x=ay(a>0,a¹1)為直接函數(shù), 則y=logax是它的反函數(shù). 函數(shù)x=ay在區(qū)間Iy=(-¥,+¥)內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo), 且(ay)¢=ayln a¹0.因此, 由反函數(shù)的求導(dǎo)法則, 在對(duì)應(yīng)區(qū)間Ix=(0,+¥)內(nèi)有 .到目前為止, 所基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)我們都求出來(lái)了, 那么由基本初等函數(shù)構(gòu)成的較復(fù)雜的初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)如可求呢？如函數(shù)lntan x、的導(dǎo)數(shù)怎樣求？三、復(fù)合函數(shù)

20、的求導(dǎo)法則定理3如果u=g(x)在點(diǎn)x可導(dǎo), 函數(shù)y=f(u)在點(diǎn)u=g(x)可導(dǎo), 則復(fù)合函數(shù)y=fg(x)在點(diǎn)x可導(dǎo), 且其導(dǎo)數(shù)為或.證明: 當(dāng)u=g(x)在x的某鄰域內(nèi)為常數(shù)時(shí),y=fj(x)也是常數(shù), 此時(shí)導(dǎo)數(shù)為零, 結(jié)論自然成立. 當(dāng)u=g(x)在x的某鄰域內(nèi)不等于常數(shù)時(shí),Du¹0, 此時(shí)有,= f¢(u)×g¢(x).簡(jiǎn)要證明:.例9 , 求. 解 函數(shù)可看作是由y=eu,u=x3復(fù)合而成的, 因此. 例10 , 求. 解 函數(shù)是由y=sin u,復(fù)合而成的,因此.對(duì)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)比較熟練后, 就不必再寫出中間變量,例11lnsin x, 求

21、.解:.例12, 求.解:.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可以推廣到多個(gè)中間變量的情形. 例如, 設(shè)y=f(u),u=j(v),v=y(x), 則.例13y=lncos(ex), 求.解:.例14, 求.解:. 例15設(shè)x>0, 證明冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 (xm)¢=mxm-1.解 因?yàn)閤m=(e ln x)m=em ln x, 所以 (xm)¢=(em ln x)¢= em ln x×(m ln x)¢= em ln x×mx-1=mxm-1.四、基本求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)公式1基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(1)(C)¢=0,(2)(xm)

22、2;=mxm-1,(3)(sin x)¢=cos x,(4)(cos x)¢=-sin x,(5)(tan x)¢=sec2x,(6)(cot x)¢=-csc2x,(7)(sec x)¢=sec x×tan x,(8)(csc x)¢=-csc x×cot x,(9)(ax)¢=ax ln a,(10)(ex)¢=ex,(11),(12),(13),(14) .(15),(16). 2函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則設(shè)u=u(x),v=v(x)都可導(dǎo), 則(1)(u±v)¢=

23、u¢±v¢,(2)(Cu)¢=Cu¢,(3)(uv)¢=u¢×v+u×v¢,(4).3反函數(shù)的求導(dǎo)法則設(shè)x=f(y)在區(qū)間Iy內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)且f¢(y)¹0, 則它的反函數(shù)y=f-1(x)在Ix=f(Iy)內(nèi)也可導(dǎo), 并且 . 或.4復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 設(shè)y=f(x),而u=g(x)且f(u)及g(x)都可導(dǎo), 則復(fù)合函數(shù)y=fg(x)的導(dǎo)數(shù)為或y¢(x)=f¢(u)×g¢(x).例16.求雙曲正弦sh x的導(dǎo)數(shù). 解: 因?yàn)? 所以,即

24、 (sh x)¢=ch x.類似地, 有(ch x)¢=sh x.例17.求雙曲正切th x的導(dǎo)數(shù). 解: 因?yàn)? 所以.例18.求反雙曲正弦arsh x的導(dǎo)數(shù). 解: 因?yàn)? 所以.由, 可得.由, 可得.類似地可得,.例19y=sin nx×sinnx (n為常數(shù)), 求y¢.解:y¢=(sin nx)¢ sinnx + sin nx× (sinnx)¢=ncos nx×sinnx+sin nx×n× sinn-1x×(sin x )¢=ncos nx×

25、;sinnx+n sinn-1x× cos x=n sinn-1x× sin(n+1)x.§2. 3 高階導(dǎo)數(shù)一般地, 函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)y¢=f¢(x)仍然是x的函數(shù). 我們把y¢=f¢(x)的導(dǎo)數(shù)叫做函數(shù)y=f(x)的二階導(dǎo)數(shù), 記作 y¢¢、f¢¢(x)或,即 y¢¢=(y¢)¢,f¢¢(x)=f¢(x)¢,.相應(yīng)地, 把y=f(x)的導(dǎo)數(shù)f¢(x)叫做函數(shù)y=f(x)的一階導(dǎo)數(shù).類似地

26、, 二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù), 叫做三階導(dǎo)數(shù), 三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做四階導(dǎo)數(shù),×××, 一般地,(n-1)階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做n 階導(dǎo)數(shù), 分別記作 y¢¢¢,y (4),×××,y (n)或,×××,.函數(shù)f(x)具有n階導(dǎo)數(shù), 也常說(shuō)成函數(shù)f(x)為n階可導(dǎo). 如果函數(shù)f(x)在點(diǎn)x 處具有n階導(dǎo)數(shù), 那么函數(shù)f(x)在點(diǎn)x的某一鄰域內(nèi)必定具有一切低于n階的導(dǎo)數(shù). 二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱高階導(dǎo)數(shù).y¢稱為一階導(dǎo)數(shù),y¢¢,y¢¢

27、2;,y (4),×××,y(n)都稱為高階導(dǎo)數(shù). 例1y=ax+b, 求y¢¢.解:y¢=a,y¢¢=0.例2s=sin w t, 求s¢¢.解:s¢=w cos w t,s¢¢=-w 2sin w t.例3證明: 函數(shù)滿足關(guān)系式y(tǒng) 3y¢¢+1=0.證明: 因?yàn)?所以y 3y¢¢+1=0.例4求函數(shù)y=ex的n階導(dǎo)數(shù). 解;y¢=ex,y¢¢=ex,y¢¢¢=ex

28、,y( 4)=ex,一般地, 可得y( n)=ex,即(ex)(n)=ex.例5求正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù).解:y=sin x,一般地, 可得, 即. 用類似方法, 可得. 例6求對(duì)函數(shù)ln(1+x)的n階導(dǎo)數(shù)解:y=ln(1+x),y¢=(1+x)-1,y¢¢=-(1+x)-2,y¢¢¢=(-1)(-2)(1+x)-3,y(4)=(-1)(-2)(-3)(1+x)-4,一般地, 可得y(n)=(-1)(-2)×××(-n+1)(1+x)-n,即.例6求冪函數(shù)y=xm(m是任意常數(shù))的n階導(dǎo)數(shù)公式.

29、解:y¢=mxm-1,y¢¢=m(m-1)xm-2,y¢¢¢=m(m-1)(m-2)xm-3,y ( 4)=m(m-1)(m-2)(m-3)xm-4,一般地, 可得y (n)=m(m-1)(m-2) ××× (m-n+1)xm-n,即 (xm)(n) =m(m-1)(m-2) ××× (m-n+1)xm-n.當(dāng)m=n時(shí), 得到 (xn)(n) = m(m-1)(m-2) ××× 3 × 2 × 1=n! .而 (xn)( n+

30、1)=0 . 如果函數(shù)u=u(x)及v=v(x)都在點(diǎn)x處具有n階導(dǎo)數(shù), 那么顯然函數(shù)u(x)±v(x)也在點(diǎn)x 處具有n階導(dǎo)數(shù), 且 (u±v)(n)=u(n)+v(n). (uv)¢=u¢v+uv¢ (uv)¢¢=u¢¢v+2u¢v¢+uv¢¢, (uv)¢¢¢=u¢¢¢v+3u¢¢v¢+3u¢v¢¢+uv¢¢¢,

31、用數(shù)學(xué)歸納法可以證明,這一公式稱為萊布尼茨公式.例8y=x2e2x, 求y(20). 解: 設(shè)u=e2x,v=x2, 則 (u)(k)=2ke2x(k=1, 2, ××× , 20), v¢=2x,v¢¢=2,(v)(k) =0 (k=3, 4, ××× , 20),代入萊布尼茨公式, 得 y (20)=(uv)(20)=u(20)×v+C 201u(19)×v¢+C 202u(18)×v¢¢=220e2x ×x2+20 ×

32、219e2x × 2x218e2x× 2=220e2x (x2+20x+95).§2.4隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 相關(guān)變化率一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)顯函數(shù): 形如y=f(x)的函數(shù)稱為顯函數(shù). 例如y=sin x,y=ln x+ex.隱函數(shù): 由方程F(x,y)=0所確定的函數(shù)稱為隱函數(shù).例如, 方程x+y3 -1=0確定的隱函數(shù)為y.如果在方程F(x,y)=0中, 當(dāng)x取某區(qū)間內(nèi)的任一值時(shí), 相應(yīng)地總有滿足這方程的唯一的y值存在, 那么就說(shuō)方程F(x,y)=0在該區(qū)間內(nèi)確定了一個(gè)隱函數(shù).把一個(gè)隱函數(shù)化成顯函數(shù), 叫做隱函數(shù)的顯化. 隱函數(shù)的顯化有時(shí)是有困

33、難的, 甚至是不可能的. 但在實(shí)際問(wèn)題中, 有時(shí)需要計(jì)算隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù), 因此, 我們希望有一種方法, 不管隱函數(shù)能否顯化, 都能直接由方程算出它所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)來(lái).例1求由方程ey+xy-e=0 所確定的隱函數(shù)y的導(dǎo)數(shù).解: 把方程兩邊的每一項(xiàng)對(duì)x求導(dǎo)數(shù)得(ey)¢+(xy)¢-(e)¢=(0)¢,即ey×y¢+y+xy¢=0,從而(x+ey¹0).例2求由方程y5+2y-x-3x7=0 所確定的隱函數(shù)y=f(x)在x=0處的導(dǎo)數(shù)y¢|x=0.解:把方程兩邊分別對(duì)x求導(dǎo)數(shù)得5y&#

34、215;y¢+2y¢-1-21x 6=0,由此得.因?yàn)楫?dāng)x=0時(shí), 從原方程得y=0, 所以.例3.求橢圓在處的切線方程.解:把橢圓方程的兩邊分別對(duì)x求導(dǎo), 得.從而.當(dāng)x=2時(shí), 代入上式得所求切線的斜率.所求的切線方程為, 即.解:把橢圓方程的兩邊分別對(duì)x求導(dǎo), 得.將x=2, 代入上式得,于是k=y¢|x=2.所求的切線方程為, 即.例4求由方程所確定的隱函數(shù)y的二階導(dǎo)數(shù).解:方程兩邊對(duì)x求導(dǎo), 得,于是.上式兩邊再對(duì)x求導(dǎo), 得.對(duì)數(shù)求導(dǎo)法: 這種方法是先在y=f(x)的兩邊取對(duì)數(shù), 然后再求出y的導(dǎo)數(shù).設(shè)y=f(x), 兩邊取對(duì)數(shù), 得ln y= ln

35、f(x),兩邊對(duì)x 求導(dǎo), 得,y¢=f(x)×ln f(x)¢.對(duì)數(shù)求導(dǎo)法適用于求冪指函數(shù)y=u(x)v(x)的導(dǎo)數(shù)及多因子之積和商的導(dǎo)數(shù).例5求y=x sin x(x>0)的導(dǎo)數(shù).解法一: 兩邊取對(duì)數(shù), 得ln y=sin x× ln x,上式兩邊對(duì)x 求導(dǎo), 得,于是.解法二:這種冪指函數(shù)的導(dǎo)數(shù)也可按下面的方法求:y=x sin x=e sin x·ln x,.例6.求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解: 先在兩邊取對(duì)數(shù)(假定x>4), 得ln yln(x-1)+ln(x-2)-ln(x-3)-ln(x-4),上式兩邊對(duì)x求導(dǎo), 得,于是.當(dāng)x&

36、lt;1時(shí),;當(dāng)2<x<3時(shí),;用同樣方法可得與上面相同的結(jié)果.注: 嚴(yán)格來(lái)說(shuō), 本題應(yīng)分x>4,x<1, 2<x<3三種情況討論, 但結(jié)果都是一樣的.二、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系是由參數(shù)方程確定的. 則稱此函數(shù)關(guān)系所表達(dá)的函數(shù)為由參數(shù)方程所確定的函數(shù).在實(shí)際問(wèn)題中, 需要計(jì)算由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù). 但從參數(shù)方程中消去參數(shù)t有時(shí)會(huì)有困難. 因此, 我們希望有一種方法能直接由參數(shù)方程算出它所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù).設(shè)x=j(t)具有單調(diào)連續(xù)反函數(shù)t=j-1(x), 且此反函數(shù)能與函數(shù)y=y(t)構(gòu)成復(fù)合函數(shù)y=yj-1(x) , 若x=

37、j(t)和y=y(t)都可導(dǎo), 則,即或.若x=j(t)和y=y(t)都可導(dǎo), 則.例7.求橢圓在相應(yīng)于點(diǎn)處的切線方程.解:.所求切線的斜率為.切點(diǎn)的坐標(biāo)為,.切線方程為,即 bx+ayab=0.例8拋射體運(yùn)動(dòng)軌跡的參數(shù)方程為,求拋射體在時(shí)刻t的運(yùn)動(dòng)速度的大小和方向.y=v2t-gt 2解:先求速度的大小.速度的水平分量與鉛直分量分別為x¢(t)=v1,y¢(t)=v2-gt,所以拋射體在時(shí)刻t的運(yùn)動(dòng)速度的大小為.再求速度的方向,設(shè)a是切線的傾角, 則軌道的切線方向?yàn)?已知x=j(t), y=y(t), 如何求二階導(dǎo)數(shù)y¢¢?由x=j(t),.例9計(jì)算由

38、擺線的參數(shù)方程所確定的函數(shù)y=f(x)的二階導(dǎo)數(shù).解:(t¹2np,n為整數(shù)).(t¹2np,n為整數(shù)).三、相關(guān)變化率 設(shè)x=x(t)及y=y(t)都是可導(dǎo)函數(shù), 而變量x與y間存在某種關(guān)系, 從而變化率與間也存在一定關(guān)系. 這兩個(gè)相互依賴的變化率稱為相關(guān)變化率. 相關(guān)變化率問(wèn)題就是研究這兩個(gè)變化率之間的關(guān)系, 以便從其中一個(gè)變化率求出另一個(gè)變化率. 例10一氣球從離開(kāi)觀察員500f處離地面鉛直上升, 其速度為140m/min(分). 當(dāng)氣球高度為500m時(shí), 觀察員視線的仰角增加率是多少？ 解 設(shè)氣球上升t(秒)后, 其高度為h, 觀察員視線的仰角為a, 則.其中a及h

39、都是時(shí)間t的函數(shù). 上式兩邊對(duì)t求導(dǎo), 得. 已知(米/秒). 又當(dāng)h=500(米)時(shí),tan a=1,sec2a=2. 代入上式得,所以 (弧度/秒).即觀察員視線的仰角增加率是每秒0.14弧度.§2. 5 函數(shù)的微分一、微分的定義引例 函數(shù)增量的計(jì)算及增量的構(gòu)成. 一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響, 其邊長(zhǎng)由x0變到x0+Dx, 問(wèn)此薄片的面積改變了多少？ 設(shè)此正方形的邊長(zhǎng)為x, 面積為A, 則A是x的函數(shù):A=x2. 金屬薄片的面積改變量為DA=(x0+Dx)2-(x0)2=2x0Dx+(Dx)2. 幾何意義: 2x0Dx表示兩個(gè)長(zhǎng)為x0寬為Dx的長(zhǎng)方形面積;(Dx)2表示邊

40、長(zhǎng)為Dx的正方形的面積.數(shù)學(xué)意義: 當(dāng)Dx®0時(shí),(Dx)2是比Dx高階的無(wú)窮小, 即(Dx)2=o(Dx);2x0Dx是Dx的線性函數(shù), 是DA的主要部分, 可以近似地代替DA.定義 設(shè)函數(shù)y=f(x)在某區(qū)間內(nèi)有定義,x0及x0+Dx在這區(qū)間內(nèi), 如果函數(shù)的增量Dy=f(x0+Dx)-f(x0)可表示為Dy=ADx+o(Dx),其中A是不依賴于Dx的常數(shù), 那么稱函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0是可微的, 而ADx叫做函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0相應(yīng)于自變量增量Dx的微分, 記作 dy, 即dy=ADx.函數(shù)可微的條件:函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0可微的充分必要條件是函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0可導(dǎo), 且當(dāng)

41、函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0可微時(shí), 其微分一定是dy=f¢(x0)Dx.證明: 設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0可微, 則按定義有Dy=ADx+o(Dx),上式兩邊除以Dx, 得.于是, 當(dāng)Dx®0時(shí), 由上式就得到.因此, 如果函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0可微, 則f(x)在點(diǎn)x0也一定可導(dǎo), 且A=f¢(x0). 反之, 如果f(x)在點(diǎn)x0可導(dǎo), 即存在, 根據(jù)極限與無(wú)窮小的關(guān)系, 上式可寫成,其中a®0(當(dāng)Dx®0), 且A=f(x0)是常數(shù),aDx=o(Dx). 由此又有Dy=f¢(x0)Dx+aDx.因且f¢(x0)不依賴于Dx, 故上

42、式相當(dāng)于Dy=ADx+o(Dx),所以f(x)在點(diǎn)x0也是可導(dǎo)的.簡(jiǎn)要證明: 一方面. 別一方面.以微分dy近似代替函數(shù)增量 Dy的合理性: 當(dāng)f¢(x0)¹0時(shí), 有.Dy=dy+o(dy).結(jié)論: 在f¢(x0)¹0的條件下, 以微分dy=f¢(x0)Dx近似代替增量Dy=f(x0+Dx)-f(x0)時(shí), 其誤差為o(dy). 因此, 在|Dx|很小時(shí), 有近似等式Dydy.函數(shù)y=f(x)在任意點(diǎn)x的微分, 稱為函數(shù)的微分, 記作dy或df(x), 即dy=f¢(x)Dx,例如d cos x=(cos x)¢Dx=-s

43、in xDx;dex=(ex)¢Dx=exDx.例1 求函數(shù)y=x2在x=1和x=3處的微分.解 函數(shù)y=x2在x=1處的微分為dy=(x2)¢|x=1Dx=2Dx;函數(shù)y=x2在x=3處的微分為dy=(x2)¢|x=3Dx=6Dx.例2求函數(shù)y=x3當(dāng)x=2,Dx=0. 02時(shí)的微分. 解: 先求函數(shù)在任意點(diǎn)x的微分dy=(x3)¢Dx=3x2Dx.再求函數(shù)當(dāng)x=2,Dx=0. 02時(shí)的微分dy|x=2, Dx=3x2| x=2, Dx=3´22´=.自變量的微分: 因?yàn)楫?dāng)y=x時(shí),dy=dx=(x)¢Dx=Dx, 所以通

44、常把自變量x的增量Dx稱為自變量的微分, 記作dx, 即dx=Dx. 于是函數(shù)y=f(x)的微分又可記作dy=f¢(x)dx.從而有.這就是說(shuō), 函數(shù)的微分dy與自變量的微分dx之商等于該函數(shù)的導(dǎo)數(shù). 因此, 導(dǎo)數(shù)也叫做“微商”.二、微分的幾何意義當(dāng)Dy是曲線y=f(x)上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)的增量時(shí),dy就是曲線的切線上點(diǎn)縱坐標(biāo)的相應(yīng)增量. 當(dāng)|Dx|很小時(shí),|Dy-dy|比|Dx|小得多. 因此在點(diǎn)M的鄰近, 我們可以用切線段來(lái)近似代替曲線段.三、基本初等函數(shù)的微分公式與微分運(yùn)算法則 從函數(shù)的微分的表達(dá)式dy=f¢(x)dx可以看出, 要計(jì)算函數(shù)的微分, 只要計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù),

45、再乘以自變量的微分. 因此, 可得如果下的微分公式和微分運(yùn)算法則. 1. 基本初等函數(shù)的微分公式導(dǎo)數(shù)公式: 微分公式:(xm)¢=m xm-1d (xm)=m xm-1dx(sin x)¢=cos xd (sin x)=cos xdx(cos x)¢=-sin xd (cos x)=-sin xdx(tan x)¢=sec 2xd (tan x)=sec 2xdx(cot x)¢=-csc 2xd (cot x)=-csc 2xdx(sec x)¢=sec x tan xd (sec x)=sec x tan xdx(csc x)&#

46、162;=-csc x cot xd (csc x)=-csc x cot xdx(ax )¢=axln ad (ax )=axln adx(ex)=exd (ex)=exdx2.函數(shù)和、差、積、商的微分法則求導(dǎo)法則:微分法則:(u±v)¢=u¢±v¢d(u±v)=du±dv(Cu)¢=Cu¢d(Cu)=Cdu(u×v)¢=u¢v+uv¢d(u×v)=vdu+udv證明乘積的微分法則:根據(jù)函數(shù)微分的表達(dá)式,有d(uv)=(uv)¢dx.

47、再根據(jù)乘積的求導(dǎo)法則,有(uv)¢=u¢v+uv¢.于是d(uv)=(u¢v+uv¢)dx=u¢vdx+uv¢dx.由于u¢dx=du,v¢dx=dv,所以d(uv)=vdu+udv.3.復(fù)合函數(shù)的微分法則設(shè)y=f(u)及u=j(x)都可導(dǎo),則復(fù)合函數(shù)y=fj(x)的微分為dy=y¢xdx=f¢(u)j¢(x)dx.于由j¢(x)dx=du,所以,復(fù)合函數(shù)y=fj(x)的微分公式也可以寫成dy=f¢(u)du或dy=y¢udu.由此可見(jiàn),無(wú)論u是

48、自變量還是另一個(gè)變量的可微函數(shù),微分形式dy=f¢(u)du保持不變.這一性質(zhì)稱為微分形式不變性.這性質(zhì)表示,當(dāng)變換自變量時(shí),微分形式dy=f¢(u)du并不改變.例3y=sin(2x+1),求dy.解:把2x+1看成中間變量u,則 dy=d(sin u)=cos udu=cos(2x+1)d(2x+1)=cos(2x+1)×2dx=2cos(2x+1)dx.在求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí),可以不寫出中間變量.例4.,求dy.解:.例5y=e1-3xcos x, 求dy.解: 應(yīng)用積的微分法則, 得 dy=d(e1-3xcos x)=cos xd(e1-3x)+e1-3xd

49、(cos x)=(cos x)e1-3x(-3dx)+e1-3x(-sin xdx)=-e1-3x(3cos x+sin x)dx.例6在括號(hào)中填入適當(dāng)?shù)暮瘮?shù), 使等式成立. (1)d( )=xdx; (2) d( )=cos wtdt.解:(1)因?yàn)閐(x2)=2xdx, 所以, 即.一般地, 有(C為任意常數(shù)). (2)因?yàn)閐(sin wt)=w cos w tdt, 所以.因此(C為任意常數(shù)).四、微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用 1函數(shù)的近似計(jì)算在工程問(wèn)題中, 經(jīng)常會(huì)遇到一些復(fù)雜的計(jì)算公式. 如果直接用這些公式進(jìn)行計(jì)算, 那是很費(fèi)力的. 利用微分往往可以把一些復(fù)雜的計(jì)算公式改用簡(jiǎn)單的近似公式來(lái)代替.如果函數(shù)y=