第十章 統(tǒng)計(jì)量與參數(shù)估計(jì)

1、第十章 統(tǒng)計(jì)量與參數(shù)估計(jì)10.1 樣本與統(tǒng)計(jì)量 一. 總體與樣本 例1 欲了解一批燈泡的壽命X (小時)的分布情況，只能抽取n 個作破壞性試驗(yàn)，根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果來推斷X 的分布。 1總體與個體 研究對象的全體稱為總體。例1中，我們關(guān)心的是全體燈泡壽命的分布情況，即壽命X 的所有可能的取值及其概率分布。因此壽命X 是連續(xù)的隨機(jī)變量。一般地把我們關(guān)心的隨機(jī)變量X 稱為總體。組成總體的每個單元稱為個體。例1中，我們關(guān)心的是燈泡的壽命。所以個體也可理解為總體X 的取值。 2簡單隨機(jī)抽樣為了使抽樣具有充分的代表性，所以要求： （1）每個個體被抽到的機(jī)會均等； （2）每次抽取是獨(dú)立的（共抽取n 次）。這樣的抽

2、樣叫做簡單隨機(jī)抽樣。通常的抽樣都是無放回的，當(dāng)總體很大時，可以滿足獨(dú)立性。 3樣本 在總體中抽取n 個個體，稱為總體的一個樣本，記為 ( X1 , X2 , , Xn ) ，其中每次抽樣Xi ( i = 1 , 2 , , n )也都是隨機(jī)變量（解釋），共n 個隨機(jī)變量，加上括號，表示樣本是一個整體。 4樣本的容量 抽取的個體數(shù)n ，稱為樣本的容量。5獨(dú)立同分布 每次抽取的Xi 來自總體，應(yīng)該與總體X有相同的分布（概率密度相同），所以說樣本是一組具有獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量。 6樣本觀察值（樣本值） 樣本的測試結(jié)果記為 ( x1 , x2 , , xn ) ，是一組數(shù)據(jù)，在容易產(chǎn)生誤會時，大小寫要

3、分清，尤其在作理論分析時，一般都取大寫，作為隨機(jī)變量處理。二統(tǒng)計(jì)量 1三個重要統(tǒng)計(jì)量 （1）樣本均值： （2）樣本方差： （3）樣本標(biāo)準(zhǔn)差（又稱為樣本均方差 ）： 其中作為均值可以反映總體X的均值（不是等同），S 2 是數(shù)據(jù)與均值偏離值平方的平均，體現(xiàn)樣本的離散程度，因而可以反映總體X的方差。和s（計(jì)算值）可以利用函數(shù)計(jì)算器的統(tǒng)計(jì)功能快速得到（可安排多媒體課件演示）。 2統(tǒng)計(jì)量的概念統(tǒng)計(jì)量是含有樣本X1 , X2 , , Xn 的一個數(shù)學(xué)表達(dá)式，并且式中不含未知參數(shù)，因而可以在得到樣本值后立即算出它的數(shù)值來。在抽樣之前，統(tǒng)計(jì)量的值無法確定，抽樣測試之后，可以觀察到它的取值，因此統(tǒng)計(jì)量是隨機(jī)變量

4、，是由樣本派生出來的隨機(jī)變量。三抽樣分布統(tǒng)計(jì)量既然是隨機(jī)變量，當(dāng)然有它的概率分布，稱為抽樣分布。以下僅給出結(jié)論，結(jié)論都對正態(tài)總體而言。1樣本均值的分布（1）若總體，則（獨(dú)立同分布），于是作為線性函數(shù) （2）特別地，標(biāo)準(zhǔn)化以后，得。 2t 分布當(dāng)總體標(biāo)準(zhǔn)差未知時，U 不再是統(tǒng)計(jì)量，這時可用樣本標(biāo)準(zhǔn)差S 代替，但不再是正態(tài)分布，而是一種新的分布叫做服從于自由度的t 分布。它的密度曲線與正態(tài)曲線相類似 (見圖8)。 3分布 為了將樣本方差S 2和總體相比較、聯(lián)系。構(gòu)造出，叫做服從于自由度為的分布，也是一種新的分布。其密度曲線 (見圖9)在原點(diǎn)右側(cè)，這是因?yàn)榻y(tǒng)計(jì)量是不會出現(xiàn)負(fù)值的。 、是繼、后第二輪復(fù)

5、合而成的統(tǒng)計(jì)量，可以更有利于實(shí)際的應(yīng)用。四臨界值1設(shè)UN (0,1) ，有關(guān)U 的概率可查表。如果反過來，已知概率，求使或，倒查表得到的稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的右側(cè)臨界值，意為右側(cè)的概率為，又叫分位點(diǎn)，記為（見圖10）。若求使，則查表得到的是，稱為雙側(cè)臨界值 (見圖11)，意為對稱兩側(cè)的概率之和為，它們的概率意義分別是和。比如，。2t 分布和分布的右側(cè)臨界值記為和。括號內(nèi)的n 是自由度，不要與樣本容量相混淆，如,的概率意義為 (見圖12、13)t 分布表和分布表已直接編為臨界值表，不必“倒查表”。正態(tài)分布和t 分布的左側(cè)臨界值是對稱值 和（左側(cè)概率為），不必另行查表。而分布無對稱性，左側(cè)臨界值是（右

6、側(cè)概率是，左側(cè)概率當(dāng)然是）(見圖14)，需另行查表。分布的雙側(cè)臨界值(見圖15)是（左）和（右）。例2 求滿足以下概率式的臨界值并給出對應(yīng)的記號（1），則；（2），則；（3），則；（4），則；（5），則。例3 對于查表得到的和，給出它們的概率意義。解 ，。10.2 點(diǎn)估計(jì)一點(diǎn)估計(jì)的概念總體X 的分布類型往往是已知的，如，但它的參數(shù)不知道，要通過樣本來估計(jì)，稱為點(diǎn)估計(jì)。二樣本數(shù)字特征法用樣本的均值、方差來估計(jì)總體的均值、方差是很自然的，即，這里在字母上加一個“帽子”是為了表明這僅僅是估計(jì)值而非準(zhǔn)確值。這樣的估計(jì)方法稱為樣本數(shù)字特征法。 例1 某果園有1000株果樹，在采摘前欲估計(jì)果樹的產(chǎn)量，隨機(jī)

7、抽選了10株，產(chǎn)量（公斤）分別為 ：161， 68， 45， 102， 38， 87， 100， 92， 76， 90假設(shè)果樹的產(chǎn)量服從正態(tài)分布，試求果樹產(chǎn)量的均值與標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值，并估計(jì)一株果樹產(chǎn)量超過100公斤的概率。解 利用計(jì)算器的統(tǒng)計(jì)功能，可計(jì)算得到產(chǎn)量均值公斤，標(biāo)準(zhǔn)差公斤。于是即一株果樹產(chǎn)量超過100公斤的概率為0.34 。三估計(jì)量及其評選標(biāo)準(zhǔn)用來估計(jì)未知參數(shù)的統(tǒng)計(jì)量（如、）稱為估計(jì)量。一般的提法是：設(shè)是總體X 的未知參數(shù)，找一個統(tǒng)計(jì)量（表達(dá)式）來估計(jì)，即以的觀測值作為的估計(jì)值，則稱為的估計(jì)量。這里是未知的但客觀存在的固定常數(shù)，不是隨機(jī)變量，而是隨樣本值而變動的，是隨機(jī)變量。估計(jì)量不

8、是唯一的，可以通過多種途徑和方法去尋找、構(gòu)造，如矩估計(jì)法、最大似然估計(jì)法等，應(yīng)該制定一套評判標(biāo)準(zhǔn)來評價它們的優(yōu)劣。（1）無偏性設(shè)是的估計(jì)值，若，則稱是的無偏估計(jì)量。其統(tǒng)計(jì)意義是：是隨機(jī)變量，它的波動中心（均值）等于，即經(jīng)過多次抽樣，的觀察值將圍繞著變動，沒有“系統(tǒng)”誤差，當(dāng)然是較好的。和都分別是總體均值，總體方差的無偏估計(jì)，其中顯然，而的推導(dǎo)復(fù)雜，S 2 的表達(dá)式中，分母是而不是，正是為了滿足無偏性。（2）有效性對于多個無偏估計(jì)量，方差小的波動小，穩(wěn)定性好。即方差越小越好，設(shè)（都是無偏估計(jì)），若，則稱比有效。是的所有無偏估計(jì)中最有效的。10.3 區(qū)間估計(jì)一置信度與置信區(qū)間 有了點(diǎn)估計(jì)，還要進(jìn)一

9、步作誤差估計(jì)，數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的誤差估計(jì)必然具有概率特征，即要用概率去描述，要與概率相聯(lián)系。設(shè)是未知參數(shù)，希望確定一個區(qū)間( a , b ) ，使它包含的把握很大，寫成概率式，即 。取時，把握是0.95%。往往事先取定，稱為置信度。( a , b ) 稱為參數(shù)的置信區(qū)間，稱為置信下限，稱為置信上限。二正態(tài)總體的區(qū)間估計(jì)直接求置信區(qū)間難度較大，實(shí)際求解時，往往從已知的統(tǒng)計(jì)量入手。比如統(tǒng)計(jì)量分布已知，如果總體標(biāo)準(zhǔn)差已知，那么關(guān)于U 的不等式變形可得到關(guān)于的不等式，所以只需求A , B ，使即可。滿足此式的區(qū)間很多，其中“區(qū)間居中”是效果最好的，所謂“區(qū)間居中”是指區(qū)間左側(cè)和右側(cè)的概率相等，都等于。因?yàn)檎?/p>

10、態(tài)分布有對稱性，區(qū)間居中的概率公式是，于是可確定，將不等式變形可得（1）正態(tài)總體方差已知時，均值的置信區(qū)間按上面的公式，置信區(qū)間是注意：已知時，應(yīng)借助于U 統(tǒng)計(jì)量，要查正態(tài)分布表；置信區(qū)間有兩個端點(diǎn)，所以要找雙側(cè)臨界值（下標(biāo)帶有） 例2 設(shè)總體，測得n = 4 的樣本觀測值為：12.6，13.4，12.8，13.2，求的0.95置信區(qū)間。解 ,已知，采用U 統(tǒng)計(jì)量，查表得，計(jì)算，所以置信限為，置信區(qū)間為( 12.706 , 13.294 )。 （2）正態(tài)總體方差未知時，均值的置信區(qū)間未知，以S 代替，得到t 統(tǒng)計(jì)量，要查t 分布表；置信區(qū)間公式類似為例3 例2中設(shè), 未知，求的置信區(qū)間（?。?。

11、解 計(jì)算得， 。未知，采用t 統(tǒng)計(jì)量，查表得，所以置信限為置信區(qū)間為( 12.419 , 13.581 )。例3的信息量比例2少（未知），在同樣的置信度下置信區(qū)間比較寬，精度比較小是很自然的。 （3）正態(tài)總體方差及標(biāo)準(zhǔn)差的置信區(qū)間統(tǒng)計(jì)量就是為提取的信息而設(shè)計(jì)的，所以借助于統(tǒng)計(jì)量，由概率式及區(qū)間居中原理?？傻?，利用不等式變形，得到的置信區(qū)間是。的置信區(qū)間，只需將端點(diǎn)開平方即可 例4 設(shè)零件長度，抽取n = 16件零件測量，經(jīng)計(jì)算得， S 2 = 0.00507，求零件長度與標(biāo)準(zhǔn)差的置信區(qū)間（）。解 未知，求的置信區(qū)間應(yīng)采用統(tǒng)計(jì)量，查表得t0.025(15)=2.1315，置信限為均值的置信區(qū)間為( 12.049 , 12.125 )。求的置信區(qū)間，采用統(tǒng)計(jì)量，查表得，的置信區(qū)間為 開方后即標(biāo)準(zhǔn)差的置信區(qū)間：( 0.0526 , 0.1102 ) 三置信度