BS模型在資產(chǎn)評(píng)估中的應(yīng)用

1、B-S模型在資產(chǎn)評(píng)估中的應(yīng)用主講老師  趙強(qiáng)一、Black-Scholes模型介紹一Black-Scholes模型介紹Black-Scholes模型是Fisher Black和Myron Scholes首先提出了一種估算期權(quán)價(jià)值的方法：Black-Scholes模型即：B-S模型。除此之外，期權(quán)價(jià)值還可以采用以下方法估算：1二項(xiàng)式定價(jià)模型方法；2風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)方法。期權(quán)定價(jià)存在多種方法中，B-S模型最為常用。二B-S模型的適用前提B-S模型是建立在以下假設(shè)基礎(chǔ)上的：1股票價(jià)格是一個(gè)隨機(jī)變量服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布；2在期權(quán)有效期內(nèi)，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率是恒定的；3市場(chǎng)無(wú)摩擦，即不存在稅收和交易

2、成本，所有證券完全可分割；4該期權(quán)是歐式期權(quán)，即在期權(quán)到期前不可實(shí)施；5不存在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利時(shí)機(jī)；6證券交易是持續(xù)的；7投資者能夠以無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率借貸。設(shè)：為股票每年投資回報(bào)率期望值；為股票價(jià)格的年波動(dòng)率。在t時(shí)刻股票價(jià)格為S，則在tdt時(shí)刻股票的價(jià)格應(yīng)該為SS，如果用微分方程描述就是：上述推導(dǎo)過(guò)程說(shuō)明，股票價(jià)格與時(shí)間之間的關(guān)系服從指數(shù)函數(shù)的關(guān)系。進(jìn)一步推導(dǎo)，可以得出結(jié)論：即：LnSTLnS0LnST/S0N2/2T，2T。其中：S0：股票初始價(jià)格；T：是初始時(shí)間距目前階段的時(shí)間。進(jìn)一步：LnSTNLnS02/2T，2T如果設(shè)ST是股票在T時(shí)刻的價(jià)值，則看漲期權(quán)的價(jià)值應(yīng)該可以用以下函數(shù)表述：如果ST是

3、一個(gè)隨機(jī)變量，滿足STX的概率為P，則滿足STX的概率就是1P，這樣投資者獲利的數(shù)學(xué)期望值就是：ESTSTX×P0×1P這就是看漲期權(quán)C的價(jià)值估算。對(duì)于看跌期權(quán)P：如果滿足STX的概率為P，則滿足STX的概率就是1P，這樣投資者獲利的數(shù)學(xué)期望值就是：ESTXST×P0×1P這就是看跌期權(quán)P的價(jià)值估算。B-S模型的推導(dǎo)：由于看漲期權(quán)的收益：Ce-rTEmaxSTX，0e-rTESTX/STXESTX/STX上式中的后半部分，根據(jù)看漲期權(quán)的定義是等于0的，因此可以得到看漲期權(quán)的收益：Ce-rTESTX/STX設(shè)：YLn，則Y服從正態(tài)分布，而eY，這樣看漲期權(quán)

4、的收益C可以改寫(xiě)為：注意關(guān)注下式：該等式定義了Nd2是隨機(jī)變量大于行權(quán)價(jià)X的概率，也就是發(fā)生行權(quán)事件的概率。三B-S模型的分類B-S模型一般分為兩類：1不含分紅派息的B-S模型：所謂不含分紅派息的B-S模型就是在估算股票期權(quán)價(jià)值時(shí)，認(rèn)為標(biāo)的股票在期權(quán)到期日之前這段時(shí)間內(nèi)沒(méi)有分紅派息，或者說(shuō)不考慮分紅派息；2含分紅派息的B-S模型：所謂含分紅派息的B-S模型就是在估算股票期權(quán)價(jià)值時(shí)，需要考慮標(biāo)的股票在期權(quán)到期日之前這段時(shí)間內(nèi)進(jìn)行的分紅派息對(duì)期權(quán)價(jià)值的影響。不含分紅派息的買期權(quán)CCall Option：C0SNd1Xe-rTNd2上式中：C0：不含分紅派息買期權(quán)看漲期權(quán)；X：期權(quán)執(zhí)行價(jià)；S：標(biāo)的資

5、產(chǎn)現(xiàn)實(shí)價(jià)格；r：連續(xù)復(fù)利計(jì)算的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率；T：期權(quán)到期時(shí)間；N：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)密度函數(shù)；d1，d2：B-S模型的兩個(gè)參數(shù)。上式中：X：期權(quán)執(zhí)行價(jià)；S：標(biāo)的資產(chǎn)現(xiàn)實(shí)價(jià)格；r：連續(xù)復(fù)利計(jì)算的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率；T：期權(quán)到期時(shí)間；：股票波動(dòng)率。含分紅派息的買期權(quán)C看漲期權(quán)：C1Se-TNd1Xe-rTNd2上式中：C1：含分紅派息的買期權(quán)買期權(quán)、看漲期權(quán)；X：期權(quán)執(zhí)行價(jià)；S：標(biāo)的資產(chǎn)現(xiàn)實(shí)價(jià)格；r：連續(xù)復(fù)利計(jì)算的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率；T：期權(quán)限制時(shí)間；：連續(xù)復(fù)利計(jì)算的股息率；N：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)密度函數(shù)；d1，d2：B-S模型的兩個(gè)參數(shù)。上式中：X：期權(quán)執(zhí)行價(jià)；S：標(biāo)的資產(chǎn)現(xiàn)實(shí)價(jià)格；r：連續(xù)復(fù)利計(jì)算的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率；T：期權(quán)到期

6、時(shí)間；：股票波動(dòng)率；：連續(xù)復(fù)利計(jì)算的股息率。不含分紅派息的賣期權(quán)P0看跌期權(quán)：P0Xe-rTN-d2SN-d1含分紅派息賣期權(quán)P1看跌期權(quán):P1Xe-rTN-d2Se-TN-d1看漲期權(quán)實(shí)際就是當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格ST高于約定的行權(quán)價(jià)X時(shí)，期權(quán)擁有人就會(huì)行權(quán)，按行權(quán)價(jià)X買入標(biāo)的資產(chǎn)，這時(shí)由于STX，因此期權(quán)擁有者可以獲利STX，反之當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格STX時(shí)，權(quán)利人不會(huì)行權(quán)，這時(shí)期權(quán)價(jià)值就是0，上述情況可以用以下函數(shù)表述：看漲期權(quán)函數(shù)曲線看跌期權(quán)實(shí)際就是當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格ST低于約定的行權(quán)價(jià)X時(shí)，期權(quán)擁有人就會(huì)行權(quán)，按行權(quán)價(jià)X賣出標(biāo)的資產(chǎn)，這時(shí)由于STX，因此期權(quán)擁有者按X價(jià)賣出標(biāo)的資產(chǎn)，還可以按ST再

7、買回標(biāo)的資產(chǎn)，這樣就可以獲利XST，反之當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格STX時(shí)，權(quán)利人不會(huì)行權(quán)，這時(shí)期權(quán)價(jià)值就是0，上述情況可以用以下函數(shù)表述：看跌期權(quán)函數(shù)曲線四特殊形式的期權(quán)兩點(diǎn)式期權(quán)Binary Option：所謂兩點(diǎn)式期權(quán)就是具有不連續(xù)收益的期權(quán)。典型的例子就是現(xiàn)金或無(wú)值Cash-or-Nothing期權(quán)?，F(xiàn)金或無(wú)值Cash-or-Nothing看漲期權(quán)當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格低于執(zhí)行價(jià)時(shí)該期權(quán)價(jià)值為0，當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格高于執(zhí)行價(jià)時(shí)，期權(quán)價(jià)值為給定值Q?，F(xiàn)金或無(wú)值Cash-or-Nothing看漲期權(quán)的圖形：現(xiàn)金或無(wú)值Cash-or-Nothing看跌期權(quán)當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格低于執(zhí)行價(jià)時(shí)該期權(quán)價(jià)值為Q，當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格高于

8、執(zhí)行價(jià)時(shí)，期權(quán)價(jià)值為制定值0?，F(xiàn)金或無(wú)值Cash-or-Nothing看跌期權(quán)的圖形：在B-S看漲期權(quán)模型中：C1Se-TNd1Xe-rTNd2標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格高于執(zhí)行價(jià)的概率為Nd2，因此當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)低于執(zhí)行價(jià)時(shí)現(xiàn)金或無(wú)值Cash-or-Nothing Call看漲期權(quán)價(jià)值為0，當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)值高于執(zhí)行價(jià)時(shí)，該期權(quán)價(jià)值為：QXe-rTNd2在B-S看跌期權(quán)模型中：P0Xe-rTN-d2SN-d1當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)高于執(zhí)行價(jià)時(shí)現(xiàn)金或無(wú)值Cash-or-Nothing Put看跌期權(quán)價(jià)值為0，當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)值低于執(zhí)行價(jià)時(shí)，該期權(quán)價(jià)值為：QXe-rTN-d2五股票波動(dòng)率的估算1股票波動(dòng)率一般有兩個(gè)估算途徑1采用歷史

9、數(shù)據(jù)估算；2采用隱含方式估算。2采用歷史數(shù)據(jù)估算的計(jì)算方法1采用與期權(quán)到期時(shí)間T相同年限的股票歷史數(shù)據(jù)計(jì)算；2每期數(shù)據(jù)采用LnSt1/Stt=1，2，3，n；3估算歷史數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差。3采用歷史數(shù)據(jù)法估算的方法1采用標(biāo)的股票歷史數(shù)據(jù)估算。2采用比照公司或行業(yè)多個(gè)股票歷史數(shù)據(jù)估算。由于股票波動(dòng)是隨機(jī)的，因此對(duì)于某個(gè)特定股票的預(yù)期波動(dòng)率與其歷史數(shù)據(jù)之間應(yīng)該不存在關(guān)系，因此最好采用該股票所在行業(yè)的多個(gè)比照股票或全部股票的波動(dòng)率方差平均值估算。3采用隱含法估算，一般都采用彭博數(shù)據(jù)，目前國(guó)內(nèi)尚沒(méi)有相關(guān)機(jī)構(gòu)提供相關(guān)數(shù)據(jù)。所謂隱含法就是向相關(guān)專業(yè)人員進(jìn)行股票期權(quán)詢價(jià)，采用專業(yè)認(rèn)定的期權(quán)價(jià)格反算股票的波動(dòng)率。B

10、-S模型中無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率r、期權(quán)到期時(shí)間T和波動(dòng)率三個(gè)參數(shù)估算應(yīng)該相互匹配：如果r是采用年收益率，則T需要按年計(jì)算，也需要估算其年度波動(dòng)率；如果r是采用月度收益率，則T需要按月計(jì)算，也需要估算其月度波動(dòng)率；實(shí)際中多采用年度為時(shí)間單位計(jì)算r、T和。二、B-S模型在股票期權(quán)公允價(jià)值評(píng)估中的應(yīng)用一股票期權(quán)作為一種管理層激勵(lì)的一種手段越來(lái)越多地被國(guó)內(nèi)上市公司所采用按照相關(guān)會(huì)計(jì)準(zhǔn)則的要求，企業(yè)實(shí)施股權(quán)票激勵(lì)，需要按公允價(jià)值計(jì)量；實(shí)施股權(quán)票激勵(lì)的企業(yè)每年至少需要將其正在實(shí)施的股權(quán)票激勵(lì)的期權(quán)的公允價(jià)值評(píng)估出來(lái)，為財(cái)務(wù)報(bào)告目的服務(wù)；期權(quán)的公允價(jià)值評(píng)估的基準(zhǔn)日選擇需要根據(jù)需要與企業(yè)或?qū)徲?jì)人員協(xié)商后確定。二股票期

11、權(quán)激勵(lì)的概念所謂股票激勵(lì)期權(quán)通常是上市公司的董事會(huì)以決議的方式確定無(wú)償授予公司高級(jí)管理人員一個(gè)購(gòu)買股票的權(quán)利，該權(quán)利規(guī)定授權(quán)人可以在一個(gè)特定時(shí)間內(nèi)，在一定的條件下，以某一個(gè)特定的價(jià)格購(gòu)買公司假設(shè)干股股票。上市公司僅僅是授權(quán)公司高管可以以約定的價(jià)格購(gòu)買股票，也就是授權(quán)僅是可以購(gòu)買股票，并不是授給公司高管股票。從另外一個(gè)角度分析，股票期權(quán)就是上市公司與公司的高級(jí)管理人員約定進(jìn)行一項(xiàng)股票交易。上市公司是約定股票的賣方空頭，其承擔(dān)義務(wù)是一旦買方要求購(gòu)買股票，則其必須要按約定的價(jià)格賣出其持有的股票。公司管理人員則是股票的買方多頭，其具有一項(xiàng)權(quán)利，可以在一個(gè)有效期內(nèi)，按照約定低價(jià)格去購(gòu)買一定數(shù)量的股票，管

12、理人員可以選擇實(shí)際購(gòu)買，也可以選擇不購(gòu)買。上述交易中空頭方給予多頭方的權(quán)利不是免費(fèi)的，需要多頭方給予對(duì)價(jià)補(bǔ)償，這個(gè)對(duì)價(jià)就是期權(quán)的價(jià)值。但是股票激勵(lì)實(shí)務(wù)中，管理層并不實(shí)際支付這個(gè)對(duì)價(jià)，因此造成上市公司需要自行支付對(duì)價(jià)，即在當(dāng)期損益中增加相應(yīng)的成本，這也是需要進(jìn)行財(cái)務(wù)報(bào)告目的評(píng)估的原因，準(zhǔn)確計(jì)量上市公司替管理層支付這個(gè)期權(quán)的成本。從上述分析中可以看到股票激勵(lì)期權(quán)應(yīng)該是一個(gè)有權(quán)購(gòu)買股票的權(quán)利，因此是一個(gè)看漲期權(quán)Call Option。三股票期權(quán)公允價(jià)值評(píng)估案例分析1案例情況介紹ABC公司同事會(huì)決定對(duì)公司高管給予40萬(wàn)份股票期權(quán)激勵(lì)。股票期權(quán)的授予日為：2011年X月28日。股票期權(quán)行權(quán)價(jià)格為16.8

13、5元，但是股票期權(quán)有效期內(nèi)發(fā)生資本公積轉(zhuǎn)增股本、派發(fā)股票紅利、股份拆細(xì)或縮股、配股、派息等事宜，行權(quán)價(jià)格將做相應(yīng)的調(diào)整。行權(quán)安排：本計(jì)劃授予的股票期權(quán)自本期激勵(lì)計(jì)劃授予日起滿12個(gè)月后。2模型選擇股票激勵(lì)期權(quán)的模型是看漲期權(quán)，通常包括兩種：1不含分紅派息模型CSNd1Xe-rTNd22包含分紅派息模型CSe-TNd1Xe-rTNd2根據(jù)案例介紹，本次授予的期權(quán)是要考慮分紅派息問(wèn)題的，因此應(yīng)該選擇含有分紅派息的模型：CSe-TNd1Xe-rTNd23參數(shù)取值估算S：現(xiàn)實(shí)股票價(jià)格，取評(píng)估基準(zhǔn)日ABC公司的股票均價(jià)15.1元/股；X：行權(quán)價(jià)格，根據(jù)ABC公司2011年X月28日的關(guān)于股票期權(quán)授予相關(guān)

14、事項(xiàng)的公告，股票期權(quán)的行權(quán)價(jià)格為16.85元；T：股權(quán)有效期，選擇行權(quán)日距基準(zhǔn)日的期間，按年計(jì)算，本次評(píng)估為一年12個(gè)月；r：連續(xù)復(fù)利計(jì)算的年無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率，在Wind數(shù)據(jù)中選擇剩余年限為1-2年內(nèi)的國(guó)債年到期收益率平均值為3.579%；：股票波動(dòng)率，選取Wind行業(yè)中可選消費(fèi)-耐用消費(fèi)品與服裝家庭耐用消費(fèi)品家用器具與特殊消費(fèi)品行業(yè)中的上市公司作為比照公司，取其基準(zhǔn)日前股價(jià)并計(jì)算1年12個(gè)月的股票波動(dòng)率為32.933%，并以此作為期權(quán)的預(yù)期波動(dòng)率；：連續(xù)復(fù)利計(jì)算的股息率，ABC公司于2007年上市，截止評(píng)估基準(zhǔn)日共進(jìn)行兩次分紅，通過(guò)計(jì)算其歷史平均分紅率為0.530%，以此作為未來(lái)股息收益率。股票

15、期權(quán)評(píng)估案例計(jì)算表三、B-S模型在限制流通股價(jià)值評(píng)估中的應(yīng)用一采用期權(quán)估價(jià)方式估算缺少流通性折扣最早出現(xiàn)在1993年David B.H. Chaffe，III建議采用對(duì)沖交易手段作為缺少流通折扣的估算模式；1995年，F(xiàn)rancis Longstaff發(fā)表了一個(gè)研究。采用的對(duì)沖交易策略是利用一個(gè)回望式看跌期權(quán)Look-back Put。二采用B-S模型估算限制流通價(jià)值的思路分析設(shè)股票現(xiàn)實(shí)價(jià)格為S，限制期為T年后的股票價(jià)格為X，如果投資者僅單買股票：1當(dāng)限制期T年后，股票價(jià)格XS時(shí)，可以認(rèn)為這個(gè)T年的限制期對(duì)于投資者沒(méi)有損失，不管股票是否存在限制，T年后全部盈利XS；2當(dāng)限制期T年后，股票價(jià)格X

16、S時(shí)，可以認(rèn)為這個(gè)T年限制使得投資限制流通股票的投資者損失SX。如果投資者在投資買股票的同時(shí)又購(gòu)買了一個(gè)期限為T，并且在期限T滿后的賣出股票行權(quán)價(jià)為股票初始價(jià)S的賣期權(quán)看跌期權(quán)：1當(dāng)限制期T年后，股票價(jià)格XS時(shí)，股票投資盈利XS，投資者不會(huì)行權(quán)，期權(quán)價(jià)值為0；2當(dāng)限制期T年后，股票價(jià)格XS時(shí)，股票投資損失SX，但投資者擁有一個(gè)行權(quán)價(jià)為S賣期權(quán)，因此仍然可以以S的價(jià)格賣出股票，因此期權(quán)的價(jià)值為SX，也就是可以對(duì)沖股票投資的損失。結(jié)論：如果限制股票投資者在買股票的同時(shí)，再買一個(gè)相應(yīng)賣期權(quán)，就可以有效對(duì)沖股票限制可能造成的損失。三采用B-S模型估算限制流通股價(jià)值案例1B-S模型選擇1最好應(yīng)該選擇含分紅派息法B-S模型；2選擇行權(quán)日為限制期結(jié)束時(shí)的歐式期權(quán)。2各類參數(shù)的估算S：標(biāo)的股票現(xiàn)實(shí)價(jià)值，取評(píng)估基準(zhǔn)日標(biāo)的股票的收盤價(jià)或均價(jià)；X：標(biāo)的股票行權(quán)價(jià)，限制期結(jié)束日股票的期望價(jià)格，可以選擇按無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率計(jì)算的標(biāo)的股票現(xiàn)價(jià)的