離散型+l連續(xù)型概率分布

1、一、 離散型分布1、 兩點(diǎn)分布：binom（1，p）意義：一次實(shí)驗(yàn)中有二個(gè)事件：成功（記1）與失?。ㄓ?），出現(xiàn)的概率分別為p和1-p，則一次試驗(yàn)（稱為貝努利試驗(yàn)）成功的次數(shù)服從一個(gè)參數(shù)為p的貝努利試驗(yàn)。例子（投一次硬幣）分布律：f(x|p)=px(1-p)1-x,x=0,1(0<p<1)數(shù)字特征：E(X)=p,Var(X)=p(1-p)2、 二項(xiàng)分布：binom（n，p）意義：貝努利試驗(yàn)獨(dú)立重復(fù)n次，則試驗(yàn)成功的次數(shù)服從一個(gè)參數(shù)為（n，p）的二項(xiàng)分布。（投n次硬幣）分布律：nxf(x|p)= p(1-p)n-x,x=0,1,p,n.(0<p<1)數(shù)字特征：E(X)=n

2、p,Var(X)=np(1-p)3、 多項(xiàng)分布：multinon(n,p1,pk)()ip=0(ip<,<意義：一試驗(yàn)中有k個(gè)時(shí)間Ai,i=1,2,k，且PAi1p)1=ii=1k將此試驗(yàn)獨(dú)立地重復(fù)n次，則時(shí)間A1,A2,Ak出現(xiàn)的次數(shù)服從一個(gè)參數(shù)(n,p)的多項(xiàng)式分布，其中P=(p1,p2,pk)（仍骰子問(wèn)題） 分布律：f(x1,n,xk|n,p)= px1px2pp,0xin,xi=n xki=1k數(shù)字特征：E(X)=np,Var(X)=np(1-p),Cov(Xi,Xj)=-npipj4、 負(fù)二項(xiàng)分布：nbinom(k,p)意義：貝努利試驗(yàn)獨(dú)立地重復(fù)進(jìn)行，一直到出現(xiàn)k次成功時(shí)

3、停止試驗(yàn)，則試驗(yàn)失敗的次數(shù)服從一個(gè)參數(shù)(k,p)的負(fù)二項(xiàng)分布。分布律：f(x|k,p)=(k+x)kp(1-p)x,x=0,1,(k)(x)數(shù)字特征： E(X=k(1-p)k-(1p),Var=(2 pp5、 幾何分布：geom(p)意義：伯努利試驗(yàn)獨(dú)立地重復(fù)進(jìn)行，一直到出現(xiàn)有成功出現(xiàn)時(shí)停止試驗(yàn)，則試驗(yàn)失敗的次數(shù)服從一個(gè)參數(shù)p的集合分布。分布律：f(x|p)=p(1-p)x,x=0,1,2,數(shù)字特征：E(X)=(1-p)(1-p),Var(X)= 2pp6、 超幾何分布：hyper(N,M,n)意義：從裝有N個(gè)白球和M個(gè)黑球的罐子中不放回地取出k其中kN+M則其中的白球服從超幾何分布。分布律：

4、NM çxk-xf(x|N,M,k)=,x=0,1,2,N+M k,minN,k數(shù)字特征：E(X)=(kN)(N+M-k)kNN,Var(X)=(1-) N+MN+M-1N+MM+N7、 泊松分布：pois()意義：?jiǎn)挝粫r(shí)間，單位長(zhǎng)度，單位面積，單位體積中發(fā)生某一事件的次數(shù)常可以使用泊松分布來(lái)刻畫，例如某高速公路上一年內(nèi)交通事故和某辦公室一天中收到的電話次數(shù)可以認(rèn)為近似服從泊松分布。 分布律：f(x|)=xx!e-,x=0,1,2,.數(shù)字特征： E(X)=,Var(X)=二、 連續(xù)分布的密度函數(shù)1、 貝塔分布Beta(a,b)意義：在貝葉斯分析中，貝塔分布常常作為二項(xiàng)分布參數(shù)的共軛先

5、驗(yàn)分布。密度函數(shù)：f(x|a,b)=1xa-1(1-x)b-1,0<x<1(a,b>0) B(a,b)數(shù)字特征：E(X)=aab,Var(X)= 2a+b(a+b)(a+b+1)當(dāng)(a=1,b=1)時(shí)的分布為0,1上的均勻分布。2、 均勻分布：unif(a,b)意義：區(qū)間a,b上隨機(jī)投點(diǎn)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)服從a,b上的均勻分布。 密度函數(shù)：f(x|a,b)=1,axb b-a數(shù)字特征：a+bb2-a2E(X)=,Var(X)= 2123、 柯西分布：cauchy(a,b)意義：柯西分布（又稱為L(zhǎng)orentz分布）用于描述共振行為。以一隨機(jī)的角度投向X軸的水平距離服從柯西分布。密度函數(shù)

6、：f(x|a,b)=1,0x1(a,b>0) x-ab1+ b數(shù)字特征：均值和方差均不存在。4、 威布爾分布：weibull(a,b)意義：最為常見(jiàn)的壽命分布，用來(lái)刻畫滾珠軸承、電子元器件等產(chǎn)品的壽命。密度函數(shù)：f(x|a,b)=abxb-1eax,x>0(a,b>0)數(shù)字特征：121(1+)(1+)(1+)2,Var(X)=- E(X)=122bbbaaab特例：b = 1時(shí)為指數(shù)分布。5、 指數(shù)分布：exp()意義：泊松過(guò)程的等待時(shí)間服從指數(shù)分布。形狀參數(shù)b=1的weibull分布為指數(shù)分布。密度函數(shù)： f(x|a,b)=e-x,x>0(>0) 數(shù)字特征：E(

7、X)=,Var(X)=1126、 瑞利（Rayleigh）分布：rayl(b)意義：瑞利（Rayleigh）分布為weibull分布的又一個(gè)特例：它是參數(shù)為(1/2b2),2)的weibull分布。密度函數(shù)：xx2f(x|b)=2exp(-2) b2b數(shù)字特征：E(X)=,Var(X)=4-2b 27、 正態(tài)分布/高斯分布：norm(,2)意義：高斯分布式概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中最重要的一個(gè)分布。中心極限定理表明，一個(gè)變量如果是由大量微小的、獨(dú)立的隨機(jī)因素的疊加結(jié)果，那么這個(gè)變量一定是正態(tài)變量。因此許多隨機(jī)變量可以用高斯分布表述或近似描述。密度函數(shù)：f(x|,)=-(x-)222,-<x<

8、;,(-<<,>0)數(shù)字特征：E(X)=,Var(X)=28、 對(duì)數(shù)正態(tài)分布：lnorm(,2)意義：ln(X)服從參數(shù)為(,2)的正態(tài)分布，則X服從參數(shù)為(,2)的對(duì)數(shù)正態(tài)分布。密度函數(shù)：f(x|,)=-(ln(x)-)22,x>0,(-<<,>0) 1222數(shù)字特征：E(X)=exp(+2),Var(X)=e(e-1)e29、 逆正態(tài)分布：inorm(,)意義：正態(tài)隨機(jī)變量的倒數(shù)服從的分布。 密度函數(shù)：-f(x|,)=(x-)2x,(-<<,>0)數(shù)字特征：3E(X)=,Var(X)= 10、 伽馬分布：gamma(a,b)意義：

9、k個(gè)相互獨(dú)立的參數(shù)為1/b的指數(shù)分布的和服從(k,b)的伽馬分布。密度函數(shù)：f(x|a,b)=1a-1-x/bxe,x>0,(a>0,b>0) a(a)b數(shù)字特征：E(X)=ab,Var(X)=ab2 特例：a=1時(shí)的分布為指數(shù)分布；a=,b=2的分布為卡方分布。11、 伽馬分布：igamma(a,b)意義：伽馬分布隨機(jī)變量的倒數(shù)服從逆伽馬分布。 n2密度函數(shù)：f(x|a,b)=1x-(a+1)e-1/bx,x>0,(a>0,b>0) a(a)b數(shù)字特征：E(X)=n211(a>1),Var(X)=(a>2) 22(a-1)b(a-1)(a-2)

10、b特例： a=,b=2的分布為逆卡方分布。12、 卡方（2）分布：chisq(n)意義：n個(gè)獨(dú)立正態(tài)隨機(jī)變量的平方和服從自由度為n的卡方分布。 密度函數(shù)：xn/2e-x/2f(x|n)=n/2,x>0 2(n/2)數(shù)字特征：E(X)=n,Var(X)=2n(n>2)13、 逆卡方分布：ichisq(n)意義：卡方分布隨機(jī)變量的倒數(shù)服從逆卡方分布。 密度函數(shù)：x-(n/2+1)e-1/2xf(x|n)=n/2,x>0 2(n/2)數(shù)字特征：E(X)=12(n>2),Var(X)=(n>4) n-2(n-2)2(n-4)14、 t分布：t(n)意義:隨機(jī)變量X與Y獨(dú)立

11、，X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，Y服從自由度為n的卡方分布，則T=密度函數(shù)： 服從自由度為n的t分布。x2-(n+1)/2(1+) f(x|n)=1n(,)22數(shù)字特征：E(X)=0,Var(X)=15、F分布：f(n,m) n(n>2) (n-2)意義：隨機(jī)變量X與Y獨(dú)立，X服從自由度為n的卡方分布，Y服從自由度為m的卡方分布，則T=X/n服從自由度為(n,m)的t分布。 Y/mn()n/2xn-2/2nx密度函數(shù)：f(x|n,m)=(1+)-(n+m)/2 mB(,)22m2m2(n+m-2)數(shù)字特征：E(X)=(m>2),Var(X)=(n>2) m-2n(m+2)16、logi

12、stic分布：logis(a,b)意義：生態(tài)學(xué)中的增長(zhǎng)模型常用logistic分布來(lái)刻畫，它也常用于logistic回歸中。密度函數(shù)：f(x|a,b)=1+e-(x-a)/b-1數(shù)字特征：E(X)=a,Var(X)=23b217、Dirichlet分布：Dirichlet(1,k)意義：在貝葉斯分析中作為多項(xiàng)分布參數(shù)的共軛分布。Dirichlet分布的密度函數(shù)表示在已知k個(gè)競(jìng)爭(zhēng)事件已經(jīng)出現(xiàn)了i-1次條件下，他們出現(xiàn)的概率為xi,i=1,2,k的信念。密度函數(shù)：f(x1,xk|)=1i=1(i) i-1x,x>0,x=1(>0),B()=iiiikB()i=1(i)i=1kki=1k

13、數(shù)字特征：E(X)=i(-i)k,Var(X)=i20,Cov(Xi,Xj)=-2i0,0=i=1i 00(0+1)0(0+1)18、Pareto分布：pd(a,b)意義：財(cái)富的分配的規(guī)則（稱為Pareto規(guī)則）是大部分的財(cái)富（80%）被少數(shù)（20%）的人擁有，這可以較好地用Pareto分布來(lái)刻畫。 密度函數(shù)：baf(x|a,b)= axb+1,x>a(b>0)數(shù)字特征：aba2bE(X)=(b>1),Var(X)=(b>2) 2b-1(b-1)(b-2)19、非中心分布.與前面卡方分布，t分布和F分布相對(duì)應(yīng)還有三個(gè)非中心的分布：非中心的卡方分布：chisq(n,)，n個(gè)獨(dú)立正態(tài)隨機(jī)