比的意義和基本性質(zhì)、按比例分配問(wèn)題典型例題解析

1、.年級(jí)六年級(jí)科目數(shù)學(xué)主講老師崔小兵【同步教育信息】一、 本周主要內(nèi)容：比的意義和根本性質(zhì)、按比例分配問(wèn)題二、本周學(xué)習(xí)目的：1、理解比的意義，掌握比的讀、寫(xiě)方法，知道比的各部分名稱以及比與分?jǐn)?shù)、除法的關(guān)系。2、理解并掌握比的根本性質(zhì)，能應(yīng)用比的意義和根本性質(zhì)求比值、化簡(jiǎn)比，能應(yīng)用比的知識(shí)解答按比例分配的實(shí)際問(wèn)題。3、經(jīng)歷比的概念的抽象過(guò)程，經(jīng)歷探究比與分?jǐn)?shù)、除法的關(guān)系以及比的根本性質(zhì)的過(guò)程，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)歷，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)之間內(nèi)在聯(lián)絡(luò)，培養(yǎng)觀察、比較、抽象、概括以及推理的才能。三、考點(diǎn)分析：1、兩個(gè)數(shù)相除又叫做兩個(gè)數(shù)的比。如：3÷2也就是3:2。比的前項(xiàng)除以后項(xiàng)所得的商叫做比值。

2、比值通常用分?jǐn)?shù)表示，也可以用小數(shù)表示，有時(shí)也可以是整數(shù)。3:2的比值是1.5。2、同除法比較，比的前項(xiàng)相當(dāng)于被除數(shù)，后項(xiàng)相當(dāng)于除數(shù)，比值相當(dāng)于商；同分?jǐn)?shù)比較，比的前項(xiàng)相當(dāng)于分子，后項(xiàng)相當(dāng)于分母，比值相當(dāng)于分?jǐn)?shù)值。3、比的根本性質(zhì)相當(dāng)于除法中的商不變性質(zhì)和分?jǐn)?shù)中的根本性質(zhì)。因此應(yīng)用比的根本性質(zhì)可以將比進(jìn)展化簡(jiǎn)。比的前項(xiàng)和后項(xiàng)為互質(zhì)數(shù)時(shí)，這個(gè)比就是最簡(jiǎn)整數(shù)比。4、求比值和化簡(jiǎn)比的核心區(qū)別在于結(jié)果的表達(dá)形式不同，求比值的結(jié)果一定要是一個(gè)數(shù)，化簡(jiǎn)比的結(jié)果一定要是一個(gè)比。5、把一個(gè)數(shù)量按照一定的比來(lái)進(jìn)展分配，這種分配的方法叫做按比例分配。四、典型例題例1、重點(diǎn)展示從甲地到乙地共300千米，甲車(chē)要行8小時(shí)

3、，乙車(chē)要行6小時(shí)。甲車(chē)所行的路程與所用時(shí)間的比是，比值是；乙車(chē)所行的路程與所用時(shí)間的比是，比值是。分析與解：求哪兩個(gè)量的比就把這兩個(gè)量按先后順序?qū)懴聛?lái)，再在中間添上比號(hào)。求比值，就用前項(xiàng)除以后項(xiàng)。從甲地到乙地共300千米，甲車(chē)要行8小時(shí)，乙車(chē)要行6小時(shí)。甲車(chē)所行的路程與所用時(shí)間的比是300:8，比值是37.5；乙車(chē)所行的路程與所用時(shí)間的比是300:6，比值是50。點(diǎn)評(píng)：比與除法、分?jǐn)?shù)之間有著親密的聯(lián)絡(luò)。但不不是說(shuō)，它們之間是等同的。它們之間的區(qū)別是：比是兩個(gè)量之間的關(guān)系，除法是一種運(yùn)算，而分?jǐn)?shù)是一個(gè)數(shù)。在理解意義的時(shí)候要注意區(qū)分。比與除法、分?jǐn)?shù)之間的聯(lián)絡(luò)比2:5前項(xiàng)比號(hào):后項(xiàng)比值分?jǐn)?shù)分子分?jǐn)?shù)線

4、-分母分?jǐn)?shù)值除法2÷5被除數(shù)除號(hào)÷除數(shù)商例2、重點(diǎn)展示化簡(jiǎn)。120:25 20.3:0.27 3:分析與解：根據(jù)比的根本性質(zhì)，第1題比的前項(xiàng)和后項(xiàng)直接除以5；第2題要先把前項(xiàng)和后項(xiàng)同時(shí)乘100，再化簡(jiǎn)；第3題要將比的前項(xiàng)和后項(xiàng)同時(shí)乘12，再化簡(jiǎn)。正確解答：120:25 = 20÷5:25÷5= 4:520.3:0.27 = 0.3×100:0.27×100= 30:27 =30÷3:27÷3=10:93:= ×12:×12= 9:8點(diǎn)評(píng)：在化簡(jiǎn)過(guò)程中，假如比的前項(xiàng)和后項(xiàng)都是整數(shù)，那就同時(shí)除以它們

5、的最大公約數(shù)；假如前項(xiàng)和后項(xiàng)是小數(shù)或是分?jǐn)?shù)，先將它們同時(shí)乘一個(gè)數(shù)化成整數(shù)，再化簡(jiǎn)。要注意：最后化簡(jiǎn)到比的前項(xiàng)和后項(xiàng)是互質(zhì)數(shù)的比是最簡(jiǎn)整數(shù)比。例3、誤點(diǎn)診所化簡(jiǎn)。10.4:0.16 2:錯(cuò)誤解法：10.4 : 0.16 2: = 4 : 16 = × = 1 : 4 = 分析與解：將比的前項(xiàng)和后項(xiàng)同時(shí)乘或除以同一個(gè)數(shù)，進(jìn)展化簡(jiǎn)。 10.4 : 0.16 2: = 40 : 16 = ×20:×20 = 5 : 2 = 15 : 8點(diǎn)評(píng)：第1題兩個(gè)小數(shù)，一個(gè)是兩位小數(shù)，一個(gè)是一位小數(shù)，要將兩個(gè)數(shù)同時(shí)乘100化成整數(shù)，再化簡(jiǎn)，而不能一個(gè)乘10，一個(gè)乘100，那樣比的大小

6、就改變了；第2題不能為了約分而用乘法，應(yīng)該將比的前項(xiàng)和后項(xiàng)同時(shí)乘12，化成整數(shù)比，再化簡(jiǎn)。例4、難點(diǎn)打破的前項(xiàng)加上8，假如要使比值不變，后項(xiàng)應(yīng)該加上 。分析與解：把的前項(xiàng)增加8，之后前項(xiàng)就變成了16，相當(dāng)于前項(xiàng)乘了2，要使比值不變，后項(xiàng)也應(yīng)當(dāng)乘2，變成30，后項(xiàng)應(yīng)該加上15。 的前項(xiàng)加上8，假如要使比值不變，后項(xiàng)應(yīng)該加上 15 。點(diǎn)評(píng)：比的根本性質(zhì)中講的是前項(xiàng)和后項(xiàng)同時(shí)乘或除以一樣的數(shù)0除外，比值不變。加上8，就要把這種加法之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為乘法，再去判斷。例5、重點(diǎn)展示公園里柳樹(shù)和楊樹(shù)的課數(shù)比是5:3，柳樹(shù)和楊樹(shù)共40棵。柳樹(shù)和楊樹(shù)各多少棵？分析與解：公園里柳樹(shù)和楊樹(shù)的課數(shù)比是5:3，也就是4

7、0棵樹(shù)中，柳樹(shù)占5份，楊樹(shù)占3份，一共是5+3份，即柳樹(shù)占總棵數(shù)的，楊樹(shù)占總棵數(shù)的。柳樹(shù)的棵數(shù)：40× = 25棵楊樹(shù)的棵數(shù)：40× = 15棵答：柳樹(shù)有25棵，楊樹(shù)有15棵。點(diǎn)評(píng)：在解答按比例分配應(yīng)用題時(shí)，還可以直接用份數(shù)來(lái)解。這道題目通過(guò)分析，已經(jīng)知道柳樹(shù)和楊樹(shù)共8份，就可以用40÷8，求出每份有5棵，柳樹(shù)有5份，用5×5=25棵，求出柳樹(shù)的棵數(shù)。同樣，用5×3=15棵，求出楊樹(shù)的棵數(shù)。例6、誤點(diǎn)診所商店運(yùn)來(lái)一批洗衣機(jī)，賣(mài)出24臺(tái)，賣(mài)出的臺(tái)數(shù)與剩下的臺(tái)數(shù)的比是3:5，這批洗衣機(jī)一共有多少臺(tái)？錯(cuò)誤解法：24÷3×5=40臺(tái)

8、分析與解：賣(mài)出的臺(tái)數(shù)與剩下的臺(tái)數(shù)的比是3:5，即賣(mài)出的臺(tái)數(shù)是3份，剩下的臺(tái)數(shù)是5份，這批洗衣機(jī)的總臺(tái)數(shù)是8份。24臺(tái)對(duì)應(yīng)的份數(shù)是3份，可以先求出每份是多少臺(tái)，再求8份是多少臺(tái)。 24÷3×5+3=64臺(tái)答：這批洗衣機(jī)一共有64臺(tái)。點(diǎn)評(píng)：在用份數(shù)來(lái)解按比例分配應(yīng)用題時(shí)，要注意份數(shù)和量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。這道題目，是求的總臺(tái)數(shù)，就要用每份數(shù)乘總臺(tái)數(shù)所對(duì)應(yīng)的份數(shù)。而3份和5份分別是賣(mài)出的份數(shù)和剩下的份數(shù)，它們的和才是總臺(tái)數(shù)所對(duì)應(yīng)的份數(shù)。在解題時(shí)要仔細(xì)考慮。例7、難點(diǎn)打破A、B、C三個(gè)數(shù)的比是2:3:5，這三個(gè)數(shù)的平均數(shù)是90，這三個(gè)數(shù)分別是多少？分析與解：三個(gè)數(shù)的平均數(shù)是90，那么這

9、三個(gè)數(shù)的和是90×3=270，A、B、C三個(gè)數(shù)的比是2:3:5，那么A是2份，B是3份，C是5份，總共是2+3+5 = 10份，那么就可以求出每份是多少，再逐步求出A、B、C分別是多少？ 90×3=270 270÷10 = 27 27×2=54 27×3=81 27×5 = 135答：這三個(gè)數(shù)分別是54，81，135。點(diǎn)評(píng)：按比例分配應(yīng)用題的特點(diǎn)是告訴幾個(gè)量的比，及這幾個(gè)量的和或差，或其中的一個(gè)量，求出每個(gè)量或其中的某些量。但是有些題目，并不是直接知道和或差，而是通過(guò)間接條件求出和或差?！灸M試題】一、根底穩(wěn)固題1、一輛汽車(chē)上午3小時(shí)

10、行駛96千米，下午4小時(shí)行駛140千米。1上、下午行車(chē)時(shí)間的比是 。2上、下午所行路程的比是 。3下午與上午行駛速度的比是 。2、在括號(hào)里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)。5 : 4 = : 24 1.5 : 0.18 = : 188 : 15 = 24 : 36 : 12 = 9 : : 0.5 = 9 : 5 14 : = 7 : 1.63、化簡(jiǎn)下面各比，并求出比值。比35 : 14 : 0.9 : 1.35 2 : 最簡(jiǎn)整數(shù)比比值4、甲數(shù)與乙數(shù)的比是5 : 4，甲數(shù)是乙數(shù)的，乙數(shù)是甲數(shù)的，甲數(shù)是甲乙和的，乙數(shù)是甲乙和的。5、一批貨物按3:4:5分配給甲、乙、丙三個(gè)隊(duì)去運(yùn)。甲隊(duì)運(yùn)了這批貨物的，乙隊(duì)運(yùn)了這批貨物

11、的，丙隊(duì)運(yùn)了這批貨物的。二、思維拓展題6、桃樹(shù)有48棵，梨樹(shù)是桃樹(shù)的，桃樹(shù)和梨樹(shù)的比是 。7、被減數(shù)是150，減數(shù)與差的比是3:2，減數(shù)是 ，差是 。8、分別寫(xiě)出以下正方體棱長(zhǎng)的比和體積的比，并化簡(jiǎn)。2厘米 4厘米9、圖書(shū)室買(mǎi)來(lái)540本新書(shū)，其中三分之一是連環(huán)畫(huà)，其余的是文藝書(shū)和科技書(shū)，文藝書(shū)和科技書(shū)的比是3:2。三種書(shū)各是多少本？三、自主探究題10、把10克糖放入100克水中，糖與糖水的比是多少？11、把2:5的前項(xiàng)增加4，要使比值不變，后項(xiàng)應(yīng)增加多少？12、一個(gè)長(zhǎng)方形操場(chǎng)，周長(zhǎng)76米，長(zhǎng)與寬的比是10:9。這塊操場(chǎng)的面積是多少平方米？【試題答案】一、根底穩(wěn)固題1、一輛汽車(chē)上午3小時(shí)行駛96

12、千米，下午4小時(shí)行駛140千米。1上、下午行車(chē)時(shí)間的比是 3 : 4 。 2上、下午所行路程的比是 96 : 140 。3下午與上午行駛速度的比是 35 : 32 。2、在括號(hào)里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)。5 : 4 = 30 : 24 1.5 : 0.18 = 150 : 188 : 15 = 24 : 45 36 : 12 = 9 : 3 0.9 : 0.5 = 9 : 5 14 : 3.2 = 7 : 1.63、化簡(jiǎn)下面各比，并求出比值。比35 : 14 : 0.9 : 1.35 2 : 最簡(jiǎn)整數(shù)比5 : 23 : 22 : 39 : 1比值2.51.594、甲數(shù)與乙數(shù)的比是5 : 4，甲數(shù)是乙數(shù)的，

13、乙數(shù)是甲數(shù)的，甲數(shù)是甲乙和的，乙數(shù)是甲乙和的。5、一批貨物按3:4:5分配給甲、乙、丙三個(gè)隊(duì)去運(yùn)。甲隊(duì)運(yùn)了這批貨物的，乙隊(duì)運(yùn)了這批貨物的，丙隊(duì)運(yùn)了這批貨物的。二、思維拓展題6、桃樹(shù)有48棵，梨樹(shù)是桃樹(shù)的，桃樹(shù)和梨樹(shù)的比是 8:7 。7、被減數(shù)是150，減數(shù)與差的比是3:2，減數(shù)是 90 ，差是 60 。8、分別寫(xiě)出以下正方體棱長(zhǎng)的比和體積的比，并化簡(jiǎn)。2厘米 4厘米 棱長(zhǎng)的比 2:4 = 1:2體積的比 8:64 = 1:89、圖書(shū)室買(mǎi)來(lái)540本新書(shū)，其中三分之一是連環(huán)畫(huà)，其余的是文藝書(shū)和科技書(shū)，文藝書(shū)和科技書(shū)的比是3:2。三種書(shū)各是多少本？ 連環(huán)畫(huà) 540× = 180本 540 180 = 360本文藝書(shū) 360× = 216本科技書(shū) 360× = 144本三、自主探究題10、把10克糖放入100克水中，糖與糖水的比是多少？10:110 = 1:1111、把2:5的前項(xiàng)增加4，要使比值不變，后項(xiàng)應(yīng)增加多少？1012、一個(gè)長(zhǎng)方形操場(chǎng)，周長(zhǎng)76米，長(zhǎng)與寬的比是10:9。這塊操場(chǎng)的面積是多少平方米？76÷2 = 38米38×= 20米 38×= 18米 20×18 = 360平方米數(shù)學(xué)興趣園