離散型隨機變量期望和方差

1、離散型隨機變量期望和方差1離散型隨機變量的均值和方差一般地，若離散型隨機變量 X 的分布列為則稱 E(X)_為隨機變量 X的均值或數(shù)學期望它反映了離散型隨機變量取值的平均水平x1p1x2p2xipixnpnXx1x2xixnPp1p2pipn2均值和方差的性質(zhì)設 a，b 是常數(shù)，隨機變量 X，Y 滿足 YaXb，則 E(Y)E(aXb)_，D(Y)D(aXb)_3兩點分布、二項分布及超幾何分布的均值和方差(1)若 X 服從兩點分布，則 E(X)_，D(X)_(2)若 XB(n，p)，則 E(X)_，D(X)_aE(X)ba2D(X)np(1p)x1E(X)2p1x2E(X)2p2xnE(X)2

2、pnp(1p)p np123P0.40.20.41已知隨機變量的分布列是：B則 D()( )A0.6B0.8C1D1.22已知隨機變量B(n，p)，且 E()2.4，D()1.44，則n,p的值為( )An4，p0.6Cn8，p0.3Bn6，p0.4Dn24，p0.1BA.3已知 X 的分布列如下表，設 Y2X1，則 Y 的數(shù)學期望是()B162B.3C129D.36x123P(x)？??？4(2011 年上海)馬老師從課本上抄錄一個隨機變量的概率分布律如下表請小牛同學計算的數(shù)學期望，盡管“！”處無法完全看清，且兩個“？”處字跡模糊，但能肯定這兩個“？”處的數(shù)值相同據(jù)此，小牛給出了正確答案 E(

3、)_.25.已知離散型隨機變量 X 的分布列如下表若 E(X)0，D(X)1，則 a_，b_.51214日銷售量(件)0123頻數(shù)1595考點1離散型隨機變量的均值和方差例1：(2011 年湖南改編)某商店試銷某種商品20 天，獲得如下數(shù)據(jù)：試銷結束后(假設該商品的日銷售量的分布規(guī)律不變)，設某天開始營業(yè)時有該商品 3 件，當天營業(yè)結束后檢查存貨，若發(fā)現(xiàn)存貨少于 2 件，則當天進貨補充至 3 件，否則不進貨，將頻率視為概率(1)求當天商品不進貨的概率；(2)記 X 為第二天開始營業(yè)時該商品的件數(shù)，求 X 的分布列和數(shù)學期望及方差先求出離散型隨機變量的分布列，然后再代入公式求其數(shù)學期望和方差標與

4、否互不影響若A項技術指標達標的概率為，B項技術指標達標的概率為.按質(zhì)量檢驗規(guī)定：兩項技術指標都達標的零件為合【互動探究】1(2011 年廣東惠州調(diào)研)某工廠在試驗階段大量生產(chǎn)一種零件這種零件有 A、B 兩項技術指標需要檢測，設各項技術指標達3489格品(1)一個零件經(jīng)過檢測至少一項技術指標達標的概率；(2)任意依次抽取該種零件 4 個，設表示其中合格品的個數(shù)，求分布列及 E()，D()考點2均值與方差的應用例2：某校設計了一個實驗學科的實驗考查方案：考生從 6道備選題中一次性隨機抽取 3 題，按照題目要求獨立完成全部實驗操作規(guī)定：至少正確完成其中 2 題的便可通過已知 6 道備選題中考生甲有

5、4 題能正確完成，2 題不能完成；考生乙每題正確23(1)分別寫出甲、乙兩考生正確完成題數(shù)的概率分布列，并計算數(shù)學期望；(2)試用統(tǒng)計知識分析比較兩考生的實驗操作能力完成的概率都是，且每題正確完成與否互不影響. 求：從做對題數(shù)的數(shù)學期望考察，兩人水平相當；從做對題數(shù)的方差考察，甲較穩(wěn)定；從至少完成 2 題的概率考察，甲獲得通過的可能性大因此可以判斷甲的實驗操作能力較強隨機變量的分布列刻畫了隨機變量取值的概率規(guī)律隨機變量的均值反映了隨機變量取值的平均水平，方差反映了隨機變量穩(wěn)定于均值的程度，它們從整體和全局上刻畫了隨機變量，是生產(chǎn)實際中用于方案取舍的重要理論依據(jù)，一般先比較均值，若均值相同，再由

6、方差決定【互動探究】2某俱樂部舉行迎圣誕活動，每位會員交 50 元活動費，可享受 20 元的消費，并參加一次游戲：擲兩顆正方體骰子，點數(shù)之和為 12 點獲一等獎，獎價值為 a 元的獎品；點數(shù)之和為 11 或 10點獲二等獎，獎價值為 100 元的獎品；點數(shù)之和為 9 或 8 點獲三等獎，獎價值為 30 元的獎品；點數(shù)之和小于 8 點的不得獎求：(1)同行的三位會員一人獲一等獎、兩人獲二等獎的概率；(2)如該俱樂部在游戲環(huán)節(jié)不虧也不贏利，求 a 的值x22%8%12%P0.20.50.3x15%10%P0.80.2考點3均值與方差與其他知識的結合例 3：(2011 屆廣東韶關摸底)A、B 兩個投

7、資項目的利潤率分別為隨機變量 x1和x2.根據(jù)市場分析，x1和x2的分布列分別為：(1)在 A、B 兩個項目上各投資 100 萬元，y1 和 y2 分別表示投資項目 A 和 B 所獲得的利潤，求方差 Dy1、Dy2；(2)將 x(0 x100)萬元投資 A 項目，100 x 萬元投資 B 項目，f(x)表示投資 A 項目所得利潤的方差與投資 B 項目所得利潤的方差的和. 求f(x)的最小值，并指出 x 為何值時，f(x)取到最小值注：D(axb)a2Dxy22812P0.20.50.3y1510P0.80.2解析：(1)由題設可知y1 和 y2 的分布列分別為：E(y1)50.8100.26，

8、D(y1)(56)20.8(106)20.24.E(y2)20.280.5120.38，D(y2)(28)20.2(88)20.5(128)20.312.本題利用隨機變量方差的性質(zhì)將其轉化為二次函數(shù)的最值問題【互動探究】3(2011 年廣東揭陽模擬)某單位甲乙兩個科室人數(shù)及男女工作人員分布情況見下表現(xiàn)采用分層抽樣方法(層內(nèi)采用不放回簡單隨機抽樣)從甲、乙兩個科室中共抽取 3 名工作人員進行一項關于“低碳生活”的調(diào)查.(1)求從甲、乙兩科室各抽取的人數(shù)；(2)求從甲科室抽取的工作人員中至少有 1 名女性的概率；(3)記表示抽取的 3 名工作人員中男性的人數(shù)，求的分布列及數(shù)學期望 性別人數(shù)科別男女甲科室64乙科室321掌握離散型隨機變量的數(shù)學期望和方差計算公式，特別的二項分布的數(shù)學期望和方差的規(guī)律2數(shù)學期望和方差的意義及在實際問題