同余定理答案版(共7頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上同余定理第4講若余數(shù)為，余數(shù)為，則的余數(shù)等于的余數(shù)；的余數(shù)等于的余數(shù)（）或的余數(shù)（）。的余數(shù)等于的余數(shù)。特別的，當(dāng)時(shí)，是的倍數(shù)。若兩個(gè)整數(shù)、被同一個(gè)非零自然數(shù)除，余數(shù)相同，那么稱、對于同余，用式子表示為.同余定理是奧數(shù)考試中最?？嫉念}型，同時(shí)也是數(shù)論知識中最具有代表性的知識之一。本講將帶領(lǐng)大家一起領(lǐng)略巧妙的數(shù)論方法，相信大家一定會被同余的意想不到的魅力所吸引。編寫說明知識要點(diǎn) 【例1】 有三個(gè)自然數(shù)，其中除以的余數(shù)是，除以的余數(shù)是，恰好是的倍數(shù)，求的值。【分析】 根據(jù)同余定理，除以的余數(shù)是，而恰好是的倍數(shù)，所以?！就卣埂?已知：，其中、均為正整數(shù)，且除以的余數(shù)是，則除

2、以的余數(shù)是多少?【分析】 是的倍數(shù)，所以和除以的余數(shù)相同，除以的余數(shù)是?！緶剀疤嵝选窟@邊可以幫助學(xué)生總結(jié)出和（或差）的余數(shù)等于余數(shù)的和（或差）的余數(shù)?！纠?】 的乘積除以的余數(shù)是多少？【分析】 ，除以的余數(shù)分別為，除以的余數(shù)是，所以除以的余數(shù)是?！緶剀疤崾尽窟@邊可以幫助學(xué)生總結(jié)出積的余數(shù)等于余數(shù)的積的余數(shù)?！就卣埂?的末兩位是多少？【分析】 要求末兩位，可以轉(zhuǎn)化為求其除以的余數(shù)是多少，除以余數(shù)是，除以余數(shù)是，除以余數(shù)為，除以余數(shù)是，除以的余數(shù)是，依此類推，余數(shù)是以，循環(huán)的，所以所有余數(shù)的和是，除以的余數(shù)是，所以和的末兩位是?！纠?】 求：除以的余數(shù)。【分析】 的余數(shù)是， ，除以的余數(shù)是，所以，

3、所以，除以的余數(shù)是，所以除以的余數(shù)是.【拓展】 求：除以的余數(shù)?！痉治觥?的余數(shù)是，所以，所以，除以的余數(shù)是?！纠?】 (第七屆中環(huán)杯六年級初賽第十三題)下面第一行已經(jīng)填好十個(gè)數(shù),請?jiān)谒麄兊南旅嬉恍幸卜謩e填上,使得每一豎列的兩個(gè)數(shù)相乘的積除以所得的余數(shù)都是.【分析】 我們知道,除以的余數(shù)是,所以除以余的數(shù)可以是等等,對照此題,下面的框肯定填,同時(shí)確定下面的框,根據(jù)乘積可能取的值,我們填出該表格如下:【例5】 一個(gè)大于的數(shù)去除，時(shí)，得余數(shù)為，則這個(gè)自然數(shù)是多少？【分析】 后兩個(gè)余數(shù)比前一個(gè)余數(shù)分別多和，所以此數(shù)若去除，時(shí)余數(shù)相同，所以這個(gè)自然數(shù)是.【拓展】 （第六屆小機(jī)靈杯五年級初賽）由多于人而

4、少于人的學(xué)生圍成一個(gè)圓圈，從某人開始報(bào)數(shù). 如果報(bào)“”和“”的是同一個(gè)人時(shí)，那么圍成的這個(gè)圓圈一共有多少人？【分析】 由題可知，所有的報(bào)數(shù)，是以所有學(xué)生的個(gè)數(shù)為周期的一列數(shù).那么與之間相差的是周期的倍數(shù).（人），在中能整除的只有和，所以圍成的這個(gè)圓圈一共有或人.【例6】 號碼分別為，的個(gè)運(yùn)動員進(jìn)行乒乓球比賽，規(guī)定每兩人比賽的盤數(shù)是他們號碼的和被除所得的余數(shù)，那么打球盤數(shù)最多的運(yùn)動員打了多少盤？【分析】 ，除以的余數(shù)依次為，則好球員與另三人分別進(jìn)行了，盤比賽，共盤；號運(yùn)動員與另三人分別進(jìn)行了，盤比賽，共盤；號運(yùn)動員與另三人分別進(jìn)行了，盤比賽，共盤；號運(yùn)動員與另三人分別進(jìn)行了，盤比賽，共盤，所以打

5、球盤數(shù)最多的運(yùn)動員打了盤?！就卣埂?有一個(gè)自然數(shù)，用它分別去除、都有余數(shù)，個(gè)余數(shù)的和是，求這個(gè)數(shù)最大是多少？【分析】 根據(jù)同余定理，是該數(shù)的倍數(shù)，若該數(shù)是，則余數(shù)分別為，符合條件，所以此數(shù)最大是.【練習(xí)1】 求除以的余數(shù)?！痉治觥?，所以除以的余數(shù)是.【練習(xí)2】 一個(gè)數(shù)去除，這四個(gè)數(shù)，余數(shù)都相同，該數(shù)最大可能是多少？【分析】 ，所以該數(shù)最大可能是.【練習(xí)3】 ，均為非零自然數(shù)，已知：是的倍數(shù)，除以的余數(shù)是，則除以的余數(shù)是多少？【分析】 ，所以除以的余數(shù)是【練習(xí)4】 有一列數(shù):,其中第一個(gè)數(shù)是,第二個(gè)數(shù)是,從第三個(gè)起,每個(gè)數(shù)恰好是前面兩個(gè)數(shù)之和的倍再加上,那么這列數(shù)中的第個(gè)數(shù)除以,得到的余數(shù)是多

6、少？【分析】 題目必然是一個(gè)周期問題,不過我們不能直接求第個(gè)數(shù)是多少,而是在這列數(shù)字除以的余數(shù)所組成的數(shù)列的中尋找規(guī)律.根據(jù)余數(shù)的性質(zhì)寫出這列數(shù)除以以后的余數(shù)數(shù)列為是以為周期的,因?yàn)?所以這列數(shù)的第個(gè)數(shù)除以的余數(shù)是.【練習(xí)5】 甲、乙、丙、丁個(gè)旅行團(tuán)分別有游客人、人、人、人?，F(xiàn)在要把這個(gè)旅行團(tuán)分別進(jìn)行分組，使每組有人，以便乘車前往參觀游覽.已知甲乙丙三個(gè)旅行團(tuán)分成每組人的若干組后，所剩的人數(shù)都相同，問丁旅行團(tuán)分成每組人的若干組后還剩幾人？【分析】 甲乙丙三個(gè)旅行團(tuán)分成每組人的若干組后，所剩的人數(shù)都相同，即、除以的余數(shù)相同，根據(jù)同余定理，這三個(gè)數(shù)兩兩做差，所得的差是的倍數(shù)。，所以或或.【練習(xí)6】

7、 小朋友們圍成一圈，按順時(shí)針方向連續(xù)報(bào)數(shù).如果報(bào)和報(bào)的是同一個(gè)人，那么參加報(bào)數(shù)的小朋友至多有（ ）人.【分析】 報(bào)數(shù)的周期就是全班的人數(shù)，所以至多有（人）.角度和廣度一位老員外，特別喜歡牡丹花，庭內(nèi)外都種滿了牡丹。老員外采了幾朵牡丹花，送給一位老翁，老翁很開心地插在花瓶里。 隔天，鄰居激動地和老翁說：“你的牡丹花，每一朵都缺了幾片花瓣，這不是富貴不全嗎？” 老翁總覺得不妥，就把牡丹花全部還給老員外。 老翁一五一十地告訴老員外，關(guān)于富貴不全的事情。 老員外忍不住笑地說：“牡丹花缺了幾片花瓣，這不就是富貴無邊嗎？” 老翁聽了頗有同感，選了更多地牡丹花，開心地走了。有智慧的人，不會和不同角度的人爭吵

8、。每個(gè)人站的角度不同，說話的方式自然就有所差異，不管意見和你是否接近，每個(gè)角度的意見都值得去采納！丹麥館Bjarke Ingels，這位年僅32歲的建筑師初出茅廬，之前還未曾有過驚世駭俗的作品，此次的出手竟醞釀了如此奇妙的念頭：給“小美人魚”在中國上海安個(gè)新家。而她的新家就在上海世博會的歐洲國家館展區(qū)，它有一個(gè)好聽的英文名字“Welfairytales”，即“Welfare”(幸福生活)和“fairy tales”(童話故事)的組合。 “幸福生活，童話樂園”正如它的名字所示，這座新穎美麗的丹麥館將會帶來有關(guān)健康、幸福這一主題的新的童話故事。 上期答案：王子可以在裝著金幣的盆里留下1枚金幣，而把

9、其他9枚金幣都倒入裝著銀幣的盆里，那么這個(gè)盆里就會有10枚銀幣和9枚金幣。如果王子選中的是放有1枚金幣的盆，那么選中金幣的幾率就是100%；如果王子選中的是另一個(gè)盆，選中金幣的最大幾率是919。而王子選中兩個(gè)盆的幾率都是12。那么，根據(jù)前面兩項(xiàng)的幾率，得到王子選中金幣的總幾率是100%12919121419.而在調(diào)換之前，王子選中金幣的幾率是12，1419的幾率要遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于12 。 蠟燭燃燒的時(shí)間這天晚上，哥哥和弟弟正在房間里做作業(yè)，突然電燈熄滅，原來是保險(xiǎn)絲燒斷了。弟弟點(diǎn)燃了兩支備用的蠟燭，在燭光下繼續(xù)做作業(yè)，直到哥哥換好保險(xiǎn)絲。第二天，哥哥想要知道昨晚停電的時(shí)間有多長。當(dāng)時(shí)誰都沒有注意什么時(shí)

10、間開始斷電的，也沒有注意什么時(shí)候來的電，也不清楚蠟燭原來的長度。弟弟只記得兩支蠟燭長短一樣，但粗細(xì)不同，其中粗的一支全部燒完要用5個(gè)小時(shí)，細(xì)的一支全部燒完要用4個(gè)小時(shí)。兩支蠟燭都是新的、沒有用過的蠟燭，都是弟弟點(diǎn)燃的。但是，弟弟沒有找到蠟燭剩余的部分，因?yàn)閶寢尠阉麄內(nèi)恿?。媽媽只記得?“兩支蠟燭剩余的部分不一樣長。一支蠟燭的長度等于另一支蠟燭的4倍?！睙o法知道更多的情況了。那么，你能根據(jù)上述的推算，算出蠟燭燃燒了多長時(shí)間嗎？ 斐波拉契數(shù)列的出現(xiàn)13世紀(jì)初，歐洲最好的數(shù)學(xué)家是斐波拉契；他寫了一本叫做算盤書的著作，是當(dāng)時(shí)歐洲最好的數(shù)學(xué)書。書中有許多有趣的數(shù)學(xué)題，其中最有趣的是下面這個(gè)題目：“如果一對兔子每月能生1對小兔子，而每對小兔在它出生后的第3個(gè)月里，又能開始生1對小兔子，假定在不發(fā)生死亡的情況下，由1對初生的兔子開始，1年后能繁殖成多少對兔子?” 斐波拉契把推算得到的頭幾個(gè)數(shù)擺成一串：l，l，2，3，5，8這串?dāng)?shù)里隱含著一個(gè)規(guī)律：從第3個(gè)數(shù)起，后面的每個(gè)數(shù)都是它前面那兩個(gè)數(shù)的和。而根據(jù)這個(gè)規(guī)律，只要作一些簡單的加法，就能推算出以后各個(gè)月兔子的數(shù)目了。 于是，按照這個(gè)規(guī)律推算出來的數(shù)，構(gòu)成了數(shù)學(xué)史上一個(gè)有名的數(shù)列。大家都叫它“斐波拉契數(shù)列”，又稱“兔子數(shù)列”。這個(gè)數(shù)列有許多奇特的性質(zhì)，例如，從第3個(gè)數(shù)起，每個(gè)數(shù)與它后面那個(gè)數(shù)的比值，都很接近于0618，正好