多元函數微分法及其應用ppt課件

1、第九章第九章 多元函數的微分法多元函數的微分法及其運用及其運用第一節(jié)第一節(jié) 多元函數的根本概念多元函數的根本概念一、平面點集 n維空間二、多元函數概念三、多元函數的極限四、多元函數的延續(xù)性一、平面點集一、平面點集 n n 維空間維空間1 1、平面點集、平面點集 坐標平面上具有某種性質p的點的集合稱為平面點集，記作 E,| ),(RyRxyx 2R坐標平面：坐標平面：建立了直角坐標系的平面建立了直角坐標系的平面),( | ),(pyxyx具有性質),(yx點點P以點以點P P表示表示(x , y)(x , y)，|OP|OP|表示表示點點P P到原點到原點O O的間隔，那么的間隔，那么| |rO

2、PP C=| ),(222ryxyxC 平面上以原點為中心、平面上以原點為中心、r r 為半徑的圓內為半徑的圓內一切點的集合是一切點的集合是xyorC，即記為，鄰域的的全體，稱為點的點距離小于是某一正數，與點平面上的一個點，是設),(),(),(),(00000000 PUPyxPyxPxOyyxP |),(00 PPPPU )()(),( 220 oyyxxyx鄰域：0P xyo)(0PU去心鄰域去心鄰域 ),(00 PU|0 PPP 0 )()(0),( 220 oyyxxyx2R2RE 平面點集平面點集設設P為坐標平面為坐標平面上的一點，上的一點，那么，那么， 點點P與與 集集E之間有怎

3、樣的之間有怎樣的關系？關系？只需下面三種關系。只需下面三種關系。(1)(1)內點內點: :假設存在點假設存在點P P的某個鄰域的某個鄰域 ，使得使得 那么稱那么稱P P為為E E的內點的內點. .,)(EPU )(PU)(EE的內點一定屬于PE(2)(2)外點：假設存在點外點：假設存在點P P的某個鄰的某個鄰域域 ，使得使得 ，那么稱，那么稱P P為為E E的外點的外點. . EPU)()(PU)(EE的外點一定不屬于PE(3)(3)邊境點：假設點邊境點：假設點P P的任一鄰域內既含有的任一鄰域內既含有屬于屬于E E的點，也含有不屬于的點，也含有不屬于E E的點，那么的點，那么稱稱P P為為E

4、 E的邊境點的邊境點. . PEE E的邊境點的全體稱為的邊境點的全體稱為E的邊境，記為的邊境，記為 .),(EEE也可能不屬于的邊界點可能屬于21 | ),( 221 yxyxE例例xyo121E,求求1E的內點和邊境點的內點和邊境點聚點：假設對于恣意給定的聚點：假設對于恣意給定的 ，點，點P P的去心鄰域的去心鄰域 內總有內總有E E中的點，那么中的點，那么稱稱P P是是E E的聚點的聚點. .0 ),( PU2| ),( 22 0 2 yxyxE例例xyo22E2E點點)0 , 0(是是的聚點，的聚點，但但)0 , 0(2E 圓周圓周222 yx上的點都是上的點都是2E的聚點，的聚點，也

5、屬于也屬于 2E.的聚點的內點一定是EE的聚點也可能不是的聚點，的邊界點可能是EEE闡明闡明開集開集: : 假設點集假設點集E E的每一點都是內點，的每一點都是內點，那么稱那么稱E E為開集為開集. .21),( 22 yxyxE3:例如，的每個點都是內內點點它它的的3E.為開集開集3Exyo123E閉集：假設點集閉集：假設點集E的余集的余集 為開集，那為開集，那么稱么稱E為閉集為閉集.cExyo124E21),( 22 yxyxE4:例如21| ),(2222 yxyxyxEc或4.為閉集閉集4E為開集為開集連通集：假設點集連通集：假設點集E E內的任何兩點，都可內的任何兩點，都可用折線連結

6、起來，且該折線上的點都屬用折線連結起來，且該折線上的點都屬于于E E，那么稱，那么稱E E為連通集為連通集. .區(qū)域區(qū)域( (或開區(qū)域或開區(qū)域) )：連通的開集稱為區(qū)域：連通的開集稱為區(qū)域或開區(qū)域或開區(qū)域).).21),( 22 yxyxE3:例如是開集，是開集，又是連通集又是連通集.是區(qū)域3E閉區(qū)域：閉區(qū)域：開區(qū)域連同它的邊境一同所構成的點集開區(qū)域連同它的邊境一同所構成的點集稱為閉區(qū)域稱為閉區(qū)域.21),( 22 yxyxE4:例如.是閉區(qū)域有界集：對于平面點集有界集：對于平面點集E，假設存在某一，假設存在某一正數正數r，使得，使得 ，其中，其中O是坐標是坐標原點，那么稱原點，那么稱E為有界

7、集為有界集.),(rOUE 無界集：一個集合假設不是有界集，就無界集：一個集合假設不是有界集，就稱這集合為無界集稱這集合為無界集. .集合集合21| ),(224 yxyxE是有界閉區(qū)域是有界閉區(qū)域例如，例如，xyo124E集合集合是無界開區(qū)域是無界開區(qū)域例如，例如，0| ),(5 yxyxExyxy 集合集合是無界閉區(qū)域是無界閉區(qū)域例如，例如，0| ),(6 yxyxExyxy 2、n維空間維空間為自然數，設n即的全體所構成的集合，),.,(21nxxx元有序實數組表示用nRn,.,2 , 1,| ),.,(21niRxxxxRinn 中的元素2R平面上的點在解析幾何中，我們知道在解析幾何中

8、，我們知道中的元素3R空間中的點類似地，類似地，),.,(21nnxxxxR 中的元素將.維向量中的一個點或一個也稱為nRn yx x ),(2211nnyxyxyx ),(21nxxx 規(guī)定中任意兩個元素，為設,),.,(),.,(2121RRyyyyxxxxnnn .維空間維空間稱為稱為集合集合這樣定義了線性運算的這樣定義了線性運算的nRn ),(yx 規(guī)規(guī)定定記記為為之之間間的的距距離離和和中中的的點點),(,),.,(),.,(2121yxyyyyxxxxRnnn 2222211)()()(nnxyxyxy x22221nxxxx 記記作作之之間間的的距距離離與與零零元元中中的的元元素

9、素)0 ,(0),(21xxxxxRnn ，即即記記作作中中，通通常常將將在在),(321xxRRR采用這一記號，結合向量的線性運算，得2222211)()()(nnyxyxyx yx),(yx 0 axnnnnRaaaaRxxxx ),(),(2121 在n維空間 中定義了間隔以后，就可以定義 中變元的極限：nRnR那么稱變元 在 中趨于固定元 ，記作axnRxa假設假設設設 在n維空間 中定義了間隔以后，就可以類似地定義nRnR中的中的鄰域的概念鄰域的概念. ),(0 PU),(|0 PPP這樣，這樣，內點，外點，邊境點，聚點，內點，外點，邊境點，聚點，區(qū)域等概念都可定義區(qū)域等概念都可定義

10、 .聚點的性質：聚點的性質：.,00 PPPEEPnn使得中的點列找到的聚點，則一定可以為若點二、多元函數的概念二、多元函數的概念定義1 設D是 的一個非空子集，稱映射 f： 為定義在D上的二元函數，通常記為或點集D稱為該函數的定義域，x、y 稱為自變量，z 稱為因變量。1 1、二元函數的定義、二元函數的定義2RDyxyxfz ),(),( ，DPPfz ),(RD 與自變量與自變量x、y的一對值即二元數組的一對值即二元數組(x,y)相對應的因變量相對應的因變量z的值，稱為的值，稱為 f 在在點點(x,y)處的函數值，處的函數值， 記作記作),(yxf),(yxfz 即記作的值域函數的全體構成

11、的集合稱為函數值),(,),(Dffyxf )(Df即即),(),(|Dyxyxfzz 與一元函數類似，與一元函數類似， 記號記號f 與與 f (x,y) 的意義的意義但是，習慣上常用記號但是，習慣上常用記號),(),(Dyxyxf 來表示來表示D上的二元函數上的二元函數 f .是不同的，是不同的，),(),(Dyxyxfz 或或 把定義1中的平面點集D換成n維空間 內的點集D，映射 就稱為定義在D上的 n元函數，通常記為RDf:Dxxxxxxfunn ),(),(2121 nR.),(),(21DxxxPPfun 也可記為也可記為Dxxxxxfun ),(),(21 或簡記為或簡記為注2普通

12、地，在討論用算式表達的多元函數時，就以使算式)(xfu )(xfu 有意義的變元x的值所組成的點集為這個多元函數的自然定義域。注1元函數稱為多元函數。時，當元函數就是一元函數；時，當nnnn2 1例例1 1 矩形的面積和它的長矩形的面積和它的長x x、寬、寬y y的關系為：的關系為：例例2 2 圓柱體的體積圓柱體的體積V V 和它的底半徑和它的底半徑R R、高高h h的關系為：的關系為：,2hRV ,xyS )0,0( hR)0,0( yx例例3 3 ) 1 ,2(2|:,1)sin(zyxyz求設 )1 ,(|2z解解211)1sin( 2.21 在上述函數概念中，關鍵的兩點為:(1) 點(

13、x,y)的變化范圍，稱為定義域；(2) 對應法那么，即函數關系.關于函數概念，我們主要研討下面三個問題：(1)求函數的定義域； (2)建立函數關系； (3)求函數值.留意：二元函數 z=f(x,y)中，自變量在定義域內的取值是獨立的，即x的取值與y的取值沒有必然的聯(lián)絡.例例4 4.)(1)2ln(2的定義域求函數yxxyz 要使ln(y2x)有意義，解：解：即即 y2x y2x,)(12 有意義要使yx 11 xyx 即 D所以，定義域：112| ),( xyxxyyx 且, 1| yx須使須使 y2x 0 xyoxy2 1 xy1 xyD例5 求函數1142222 yxyxz的定義域.4122 yx 即：解：1142222 yxyxz 要使函數有意義，0122 yx須使0422 yx4122 yxyxD| ),( 2、二元函數的幾何意義： 設二元函數z=f(x,y)的定義域為xoy面上的某一區(qū)域D，對于D上的每一點P(x,