固體物理學(xué)課后題答案

1、第一章 晶體結(jié)構(gòu)1.1、 如果將等體積球分別排成下列結(jié)構(gòu)，設(shè)x表示鋼球所占體積與總體積之比，證明：結(jié)構(gòu) X簡(jiǎn)單立方 體心立方 面心立方 六角密排 金剛石 解：實(shí)驗(yàn)表明，很多元素的原子或離子都具有或接近于球形對(duì)稱結(jié)構(gòu)。因此，可以把這些原子或離子構(gòu)成的晶體看作是很多剛性球緊密堆積而成。這樣，一個(gè)單原子的晶體原胞就可以看作是相同的小球按點(diǎn)陣排列堆積起來的。它的空間利用率就是這個(gè)晶體原胞所包含的點(diǎn)的數(shù)目n和小球體積V所得到的小球總體積nV與晶體原胞體積Vc之比，即：晶體原胞的空間利用率， （1）對(duì)于簡(jiǎn)立方結(jié)構(gòu)：（見教材P2圖1-1）a=2r， V=，Vc=a3，n=1（2）對(duì)于體心立方：晶胞的體對(duì)角線

2、BG=n=2, Vc=a3（3）對(duì)于面心立方：晶胞面對(duì)角線BC=n=4，Vc=a3（4）對(duì)于六角密排：a=2r晶胞面積：S=6=晶胞的體積：V=n=12=6個(gè) （5）對(duì)于金剛石結(jié)構(gòu)，晶胞的體對(duì)角線BG= n=8, Vc=a31.3、證明：面心立方的倒格子是體心立方；體心立方的倒格子是面心立方。證明：（1）面心立方的正格子基矢（固體物理學(xué)原胞基矢）：由倒格子基矢的定義：，同理可得：即面心立方的倒格子基矢與體心立方的正格基矢相同。所以，面心立方的倒格子是體心立方。（2）體心立方的正格子基矢（固體物理學(xué)原胞基矢）：由倒格子基矢的定義：，同理可得：即體心立方的倒格子基矢與面心立方的正格基矢相同。所以，

3、體心立方的倒格子是面心立方。1.5、證明倒格子矢量垂直于密勒指數(shù)為的晶面系。證明：因?yàn)椋?，容易證明所以，倒格子矢量垂直于密勒指數(shù)為的晶面系。1.6、對(duì)于簡(jiǎn)單立方晶格，證明密勒指數(shù)為的晶面系，面間距滿足：，其中為立方邊長；并說明面指數(shù)簡(jiǎn)單的晶面，其面密度較大，容易解理。解：簡(jiǎn)單立方晶格：，由倒格子基矢的定義：，倒格子基矢：倒格子矢量：，晶面族的面間距：面指數(shù)越簡(jiǎn)單的晶面，其晶面的間距越大，晶面上格點(diǎn)的密度越大，單位表面的能量越小，這樣的晶面越容易解理。1.9、畫出立方晶格（111）面、（100）面、（110）面，并指出（111）面與（100）面、（111）面與（110）面的交線的晶向。解：

4、1、(111)面與(100)面的交線的AB，AB平移，A與O點(diǎn)重合，B點(diǎn)位矢：， (111)面與(100)面的交線的晶向，晶向指數(shù)。2、(111)面與(110)面的交線的AB，將AB平移，A與原點(diǎn)O重合，B點(diǎn)位矢：，(111)面與(110)面的交線的晶向，晶向指數(shù)。第二章 固體結(jié)合2.1、兩種一價(jià)離子組成的一維晶格的馬德隆常數(shù)（）和庫侖相互作用能，設(shè)離子的總數(shù)為。 解 設(shè)想一個(gè)由正負(fù)兩種離子相間排列的無限長的離子鍵，取任一負(fù)離子作參考離子（這樣馬德隆常數(shù)中的正負(fù)號(hào)可以這樣取，即遇正離子取正號(hào)，遇負(fù)離子取負(fù)號(hào)），用r表示相鄰離子間的距離，于是有 前邊的因子2是因?yàn)榇嬖谥鴥蓚€(gè)相等距離的離子，一個(gè)在

5、參考離子左面，一個(gè)在其右面，故對(duì)一邊求和后要乘2，馬德隆常數(shù)為當(dāng)X=1時(shí)，有 2.3、若一晶體的相互作用能可以表示為 試求：（1）平衡間距；（2）結(jié)合能（單個(gè)原子的）；（3）體彈性模量；（4）若取，計(jì)算及的值。解：（1）求平衡間距r0由，有：結(jié)合能：設(shè)想把分散的原子（離子或分子）結(jié)合成為晶體，將有一定的能量釋放出來，這個(gè)能量稱為結(jié)合能（用w表示）（2）求結(jié)合能w（單個(gè)原子的）題中標(biāo)明單個(gè)原子是為了使問題簡(jiǎn)化，說明組成晶體的基本單元是單個(gè)原子，而非原子團(tuán)、離子基團(tuán)，或其它復(fù)雜的基元。顯然結(jié)合能就是平衡時(shí)，晶體的勢(shì)能，即Umin即： （可代入r0值，也可不代入）（3）體彈性模量由體彈性模量公式：（

6、4）m = 2，n = 10， w = 4eV，求、 將，代入詳解：（1）平衡間距r0的計(jì)算晶體內(nèi)能平衡條件，（2）單個(gè)原子的結(jié)合能，（3）體彈性模量晶體的體積，A為常數(shù)，N為原胞數(shù)目晶體內(nèi)能由平衡條件，得 體彈性模量（4）若取，2.7、對(duì)于，從氣體的測(cè)量得到LennardJones參數(shù)為計(jì)算fcc結(jié)構(gòu)的的結(jié)合能以KJ/mol單位)，每個(gè)氫分子可當(dāng)做球形來處理結(jié)合能的實(shí)驗(yàn)值為0.751kJmo1，試與計(jì)算值比較解 以為基團(tuán)，組成fcc結(jié)構(gòu)的晶體，如略去動(dòng)能，分子間按LennardJones勢(shì)相互作用，則晶體的總相互作用能為：因此，計(jì)算得到的晶體的結(jié)合能為255KJmol，遠(yuǎn)大于實(shí)驗(yàn)觀察值0.7

7、5lKJmo1對(duì)于的晶體，量子修正是很重要的，我們計(jì)算中沒有考慮零點(diǎn)能的量子修正，這正是造成理論和實(shí)驗(yàn)值之間巨大差別的原因第三章 固格振動(dòng)與晶體的熱學(xué)性質(zhì)3.2、討論N個(gè)原胞的一維雙原子鏈（相鄰原子間距為a），其2N個(gè)格波解，當(dāng)= 時(shí)與一維單原子鏈的結(jié)果一一對(duì)應(yīng)。 解：質(zhì)量為的原子位于2n-1， 2n+1， 2n+3 ；質(zhì)量為的原子位于2n， 2n+2， 2n+4 。 牛頓運(yùn)動(dòng)方程N(yùn)個(gè)原胞，有2N個(gè)獨(dú)立的方程設(shè)方程的解，代回方程中得到A、B有非零解，則兩種不同的格波的色散關(guān)系一個(gè)q對(duì)應(yīng)有兩支格波：一支聲學(xué)波和一支光學(xué)波.總的格波數(shù)目為2N. 當(dāng)時(shí)，兩種色散關(guān)系如圖所示：長波極限情況下，與一維單

8、原子晶格格波的色散關(guān)系一致.3.3、考慮一雙子鏈的晶格振動(dòng)，鏈上最近鄰原子間的力常數(shù)交錯(cuò)地為和，令兩種原子質(zhì)量相等，且最近鄰原子間距為。試求在處的，并粗略畫出色散關(guān)系曲線。此問題模擬如這樣的雙原子分子晶體。答：（1）淺色標(biāo)記的原子位于2n-1， 2n+1， 2n+3 ；深色標(biāo)記原子位于2n， 2n+2， 2n+4 。第2n個(gè)原子和第2n1個(gè)原子的運(yùn)動(dòng)方程：體系N個(gè)原胞，有2N個(gè)獨(dú)立的方程方程的解：，令，將解代入上述方程得：A、B有非零的解，系數(shù)行列式滿足：因?yàn)?、，令得到兩種色散關(guān)系： 當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，（2）色散關(guān)系圖：3.6.求出一維單原子鏈的頻率分布函數(shù)。3.7、設(shè)三維晶格的光學(xué)振動(dòng)在q=0附近

9、的長波極限有求證：;.解依據(jù)，并帶入上邊結(jié)果有3.10、設(shè)晶體中每個(gè)振子的零點(diǎn)振動(dòng)能為，使用德拜模型求晶體的零點(diǎn)振動(dòng)能。證明:根據(jù)量子力學(xué)零點(diǎn)能是諧振子所固有的，與溫度無關(guān)，故T=0K時(shí)振動(dòng)能就是各振動(dòng)模零點(diǎn)能之和。和代入積分有，由于一股晶體德拜溫度為，可見零點(diǎn)振動(dòng)能是相當(dāng)大的，其量值可與溫升數(shù)百度所需熱能相比擬3.11、一維復(fù)式格子求（1），光學(xué)波，聲學(xué)波。（2）相應(yīng)聲子能量是多少電子伏。（3）在300k時(shí)的平均聲子數(shù)。（4）與相對(duì)應(yīng)的電磁波波長在什么波段。解（1）， （2）（3）（4）第四章 能帶理論4.2、寫出一維近自由電子近似，第n個(gè)能帶(n=1，2，3)中，簡(jiǎn)約波數(shù)的0級(jí)波函數(shù)。解第

10、一能帶：第二能帶：第三能帶：4.3、電子在周期場(chǎng)中的勢(shì)能 0 ， 其中d4b，是常數(shù)試畫出此勢(shì)能曲線，求其平均值及此晶體的第一個(gè)和第二個(gè)禁帶度解(I)題設(shè)勢(shì)能曲線如下圖所示(2)勢(shì)能的平均值：由圖可見，是個(gè)以為周期的周期函數(shù)，所以題設(shè)，故積分上限應(yīng)為，但由于在區(qū)間內(nèi)，故只需在區(qū)間內(nèi)積分這時(shí)，于是 。（3），勢(shì)能在-2b,2b區(qū)間是個(gè)偶函數(shù)，可以展開成傅立葉級(jí)數(shù)利用積分公式得第二個(gè)禁帶寬度代入上式再次利用積分公式有4.4、用緊束縛近似模型求出面心立方晶格和體心立方晶格s態(tài)原子能級(jí)相對(duì)應(yīng)的能帶函數(shù)。解：我們求解面心立方，同學(xué)們做體立方。（1）如只計(jì)及最近鄰的相互作用，按照緊束縛近似的結(jié)果，晶體中S

11、態(tài)電子的能量可表示成：在面心立方中，有12個(gè)最近鄰，若取，則這12個(gè)最近鄰的坐標(biāo)是：由于S態(tài)波函數(shù)是球?qū)ΨQ的，在各個(gè)方向重疊積分相同，因此有相同的值，簡(jiǎn)單表示為J1=。又由于s態(tài)波函數(shù)為偶宇稱，即在近鄰重疊積分中，波函數(shù)的貢獻(xiàn)為正J10。于是，把近鄰格矢代入表達(dá)式得到：=+=（2）對(duì)于體心立方：有8個(gè)最近鄰，這8個(gè)最近鄰的坐標(biāo)是： 4.7、有一一維單原子鏈，間距為a，總長度為Na。求（1）用緊束縛近似求出原子s態(tài)能級(jí)對(duì)應(yīng)的能帶E(k)函數(shù)。（2）求出其能態(tài)密度函數(shù)的表達(dá)式。（3）如果每個(gè)原子s態(tài)只有一個(gè)電子，求等于T=0K的費(fèi)米能級(jí)及處的能態(tài)密度。解（1）(2) ,(3), 4.12、正方晶格設(shè)有二維正方晶格，晶體勢(shì)為用基本方程，近似求出布里淵區(qū)角處的能隙 解以表示位置矢量的單位矢量，以表示倒易矢量的單位矢量，則有，晶體勢(shì)能。這樣基本方程求布里淵區(qū)角頂，即處的能隙，可利用雙項(xiàng)平面波近似來處理。當(dāng)時(shí)依次有而其他的，所以在雙項(xiàng)平面波近似下上式中只有 =0，因?yàn)榈谖逭?晶體中電子在電場(chǎng)和磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)5